平行四边形证明练习题#精选.
平行四边形证明练习题
一．解答题
1．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF．求证：∠DAE=∠BCF．
2．在?ABCD中，E，F分别是BC、AD上的点，且BE=DF．求证：AE=CF．
3．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC．AD上的点，∠1=∠2
求证：△ABE≌△CDF．
4．如图，已知：平行四边形ABCD中，E是CD边的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于F点．求证：BC=DF．
5．如图，在?ABCD中，AC交BD于点O，点E、点F分别是OA、OC的中点，请判断线段BE、DF的关系，并证明你的结论．
6．已知：如图，?ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．求证：△ABE≌△CDF．
7．如图，已知在?ABCD中，过AC中点的直线交CD，AB于点E，F．求证：DE=BF．
8．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AE．四边形AECD是平行四边形吗？为什么？
9．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：DE=BF．
10．如图，四边形ABCD中，AD=BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E、F，AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．
11．如图，在△ABC中，AD是中线，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF．求证：四边形AFBD是平行四边形．
12．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，DE∥AB，AD+DC=BC．
求证：（1）DE=DC；
（2）△DEC是等边三角形．
13．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．
求证：（1）△ADF≌△CBE；
（2）连接DE、BF，试判断四边形DEBF的形状，并说明理由．
14．如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
15．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．
（1）猜想探究：BE与DF之间的关系：_________
（2）请证明你的猜想．
16．如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF．求证：∠1=∠2．
17．如图，已知E，F分别是?ABCD的边AB，CD的中点．求证：ED=BF．
18．如图，BD是?ABCD的对角线，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．求证：四边形DEBF为平行四边形．
19．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知点E、F分别为AO、OC的中点，证明：四边形BFDE 是平行四边形．
20．如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，可以得到BD平分EF，为什么？说明理由．
21．如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．
求证：EF=DG且EF∥DG．
22．已知如图所示，?ABCD的对角线AC、BD交于O，GH过点O，分别交AD、BC于G、H，E、F在AC上且AE=CF，求证：四边形EHFG是平行四边形．
平行四边形证明练习题
参考答案与试题解析
一．解答题（共22小题）
1．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF．求证：∠DAE=∠BCF．
考点：平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．
分析：根据平行四边形性质求出AD∥BC，且AD=BC，推出∠ADE=∠CBF，求出DE=BF，证△ADE≌△CBF，推出∠DAE=∠BCF即可．
解答：证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC，
∴∠ADE=∠CBF
又∵BE=DF，
∴BF=DE，
∵在△ADE和△CBF中
，
∴△ADE≌△CBF，
∴∠DAE=∠BCF．
点评：本题考查了平行四边形性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出证出△ADE和△CBF全等的三个条件，主要考查学生的推理能力．
2．在?ABCD中，E，F分别是BC、AD上的点，且BE=DF．求证：AE=CF．
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
分析：根据平行四边形的性质得出AB=CD，∠B=∠D，根据SAS证出△ABE≌△CDF即可推出答案．
解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D，
∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF．
点评：本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能根据性质证出△ABE≌△CDF是证此题的关键．
3．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC．AD上的点，∠1=∠2
求证：△ABE≌△CDF．
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定．
分析：利用平行四边形的性质和题目提供的相等的角可以为证明三角形全等提供足够的条件．
解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AB=CD，
∴在：△ABE与△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（ASA）
点评：本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，根据平行四边形找到证明全等三角形足够的条件是解决本题的关键．
4．如图，已知：平行四边形ABCD中，E是CD边的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于F点．求证：BC=DF．
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，根据平行线的性质即可求得∠EBC=∠F，∠C=∠EDF，又由E是CD边的中点，根据AAS即可求得△EBC≌△EFD，则问题得证．
解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EBC=∠F，∠C=∠EDF，
又∵EC=ED，
∴△EBC≌△EFD（AAS），
∴BC=DF．
点评：此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．
5．（2013?莒南县二模）如图，在?ABCD中，AC交BD于点O，点E、点F分别是OA、OC的中点，请判断线段BE、DF的关系，并证明你的结论．
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
分析：根据平行四边形的性质对角线互相平分得出OA=OC，OB=OD，利用中点的意义得出OE=OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE是平行四边形，从而得出BE=DF，BE∥DF．
解答：解：由题意得：BE=DF，BE∥DF．理由如下：
连接DE、BF．
∵ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴OE=OF，
∴BFDE是平行四边形，
∴BE=DF，BE∥DF．
点评：本题考查了平行四边形的基本性质和判定定理的运用．性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．判定：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角
分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
6．已知：如图，?ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．
求证：△ABE≌△CDF．
考点：平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定．
分析：根据平行四边形的性质得出AB∥DC，AB=CD，根据平行线的性质推出∠BAC=∠DCF，根据SAS证出即可．
解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=CD，
∴∠BAC=∠DCF，
∵AE=CF，
∴△ABE≌△CDF．
点评：本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能推出证△ABE≌△CDF的三个条件是解此题的关键．
7．如图，已知在?ABCD中，过AC中点的直线交CD，AB于点E，F．求证：DE=BF．
考点：平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．
分析：根据平行四边形的性质得到DC=AB，DC∥AB，根据平行线的性质得到∠ECA=∠BAC，∠CEO=∠AFO，能推出△AOF≌△COE，得到CE=AF，即可证出答案．
解答：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴DC=AB，DC∥AB，
∴∠ECA=∠BAC，∠CEO=∠AFO，
∵OA=OC，
∴△AOF≌△COE，
∴CE=AF，
∵DC=AB，
∴DE=BF．
点评：本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，解此题的关键是根据平行四边形的性质证出△AOF和△COE全等．
8．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AE．四边形AECD是平行四边形吗？为什么？
考点：等腰梯形的性质；平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定．
分析：根据等腰三角形性质求出∠B=∠C，根据等腰三角形性质推出∠AEC=∠B=∠C，推出AE∥CD，根据平行四边形的判定推出即可．
解答：解：是平行四边形，
理由：∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，
∴AB=DC，∠B=∠C，
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠B，
∴∠AEB=∠C，
∴AE∥DC，
又∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形．
点评：本题考查了等腰三角形的性质，等腰梯形的性质，平行线的性质和判定，平行四边形的判定等知识点的应用，关键是根据题意推出AE∥CD，培养了学生分析问题和解决问题的能力，题目较好，综合性比较强．
9．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：DE=BF．
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．
分析：连接BE，DF，BD，BD交AC于O，根据平行四边形性质求出OA=OC，OD=OB，推出OE=OF，根据平行四边形的判定推出四边形BEDF是平行四边形即可．
解答：证明：连接BE，DF，BD，BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OD=OB，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DE=BF．
点评：本题考查了平行四边形的性质和判定等应用，关键是能熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理，此题的证明方法二是证△AED≌△CFB，推出DE=BF．
10．如图，四边形ABCD中，AD=BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E、F，AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．
考点：平行四边形的判定；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．
分析：求出∠AED=∠CFB=90°，根据HL证Rt△AED≌Rt△CFB，推出∠ADE=∠CBD，得到AD∥BC，根据平行四边形的判定判断即可．
解答：证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
在Rt△AED和Rt△CFB中
，
∴Rt△AED≌Rt△CFB（HL），
∴∠ADE=∠CBD，
∴AD∥BC，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
点评：本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出AD∥BC，主要考查学生运用性质进行推理的能力．
11．如图，在△ABC中，AD是中线，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF．求证：四边形AFBD是平行四边形．
考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：求出AE=DE，∠AFE=∠DCE，证△AEF≌△CED，推出AF=DC，得出AF∥BD，AF=BD，根据平行四边形的判定推出即可．
解答：证明：∵E为AD中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
在△AEF和△CED中
∵，
∴△AEF≌△CED（AAS），
∴AF=DC，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∴AF=BD，
即AF∥BD，AF=BD，
故四边形AFBD是平行四边形．
点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，关键是推出AF=DC=BD．
12．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，DE∥AB，AD+DC=BC．
求证：（1）DE=DC；
（2）△DEC是等边三角形．
考点：等腰梯形的性质；等边三角形的判定；平行四边形的判定与性质．
分析：（1）证出平行四边形ABED，推出DE=AB，即可推出答案；（2）根据BE=AD，AD+DC=BC，BE+EC=BC，推出DC=EC即可证出答案．
解答：证明：（1）∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴DE=AB，
∵AB=DC，
∴DE=DC．
（2）证明：∵BE=AD，AD+DC=BC，BE+EC=BC，
∴DC=EC，
由（1）知：DE=DC，
∴DE=DC=EC，
∴△DEC是等边三角形．
点评：本题主要考查对等腰梯形的性质，平行四边形的性质和判定，等边三角形的判定等知识点的理解和掌握，证出平行四边形ABED和DC=EC是解此题的关键．
13．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．
求证：（1）△ADF≌△CBE；
（2）连接DE、BF，试判断四边形DEBF的形状，并说明理由．
考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
分析：（1）根据平行四边形的性质对边平行且相等得到AD与BC平行且相等，由AD与BC平行得到内错角∠DAF 与∠BCA相等，再由已知的AE=CF，根据“SAS”得到△ADF与△CBE全等；
（2）由（1）证出的全等，根据全等三角形的性质得到DF与EB相等且∠DFA与∠BEC相等，由内错角相等两直线平行得到DF与BE平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得到四边形DEBF 的形状．
解答：证明：（1）∵ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC（1分）
∴∠DAF=∠BCA（2分），∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE（3分）
∴△ADF≌△CBE（4分）
（2）四边形DEBF是平行四边形（5分）
∵△ADF≌△CBE，
∴∠DFA=∠BEC，DF=BE，
∴DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形（6分）
点评：本题综合考查了全等三角形的判断与性质，以及平行四边形的判断与性质．其中第2问是一道先试验猜想，再探索证明的新型题，其目的是考查学生提出问题，解决问题的能力，这类几何试题将成为今后中考的热点试题．
14．如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
分析：易证得△AEH≌△CGF，从而证得对应边BE=DG、DH=BF．故有△BEF≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证．
解答：证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C（平行四边形的对边相等）；
又∵AE=CG，AH=CF（已知），
∴△AEH≌△CGF（SAS），
∴EH=GF（全等三角形的对应边相等）；
在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等），
∴AB﹣AE=CD﹣CG，AD﹣AH=BC﹣CF，
即BE=DG，DH=BF．
又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，
∴△BEF≌△DGH；
∴GH=EF（全等三角形的对应边相等）；
∴四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
点评：本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用
时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
15．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．
（1）猜想探究：BE与DF之间的关系：平行且相等
（2）请证明你的猜想．
考点：平行四边形的判定与性质．
分析：（1）BE平行且等于DF；
（2）连接BD交AC于O，根据平行四边形的性质得出OA=OC，OD=OB，推出OE=OF，得出平行四边形BEDF即可．
解答：（1）解：BE和DF的关系是：BE=DF，BE∥DF，
故答案为：平行且相等．
（2）证明：连接BD交AC于O，
∵ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴BFDE是平行四边形，
∴BE=DF，BE∥DF．
点评：本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，主要检查学生能否熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理，题型较好，通过此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，同时培养了学生的观察能力和猜想能力．
16．如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF．求证：∠1=∠2．
考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
分析：由三角形全等（△ABE≌△CDF）得到BE=DF，所以四边形BFDE是平行四边形，根据对角相等即可得证．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴AB=CD，AB∥CD（平行四边形的对边平行且相等），
∴∠BAE=∠DCF（两直线平行，内错角相等）；
∵BE∥DF（已知），
∴∠BEF=∠DFE（两直线平行，内错角相等），
∴∠AEB=∠CFD（等量代换），
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
∴BE=DF（全等三角形的对应边相等），
∵BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴∠1=∠2（平行四边形的对角相等）．
点评：本题主要考查平行四边形的性质和三角形全等的判定，需要熟练掌握并灵活运用．平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形．
17．如图，已知E，F分别是?ABCD的边AB，CD的中点．求证：ED=BF．
考点：平行四边形的判定与性质．
分析：
根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD，根据线段的中点的定义得到EB=AB，DF=CD，即BE=DF，BE∥DF，得到平行四边形EBFD，根据平行四边形的性质即可得到答案．
解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵E，F分别是?ABCD的边AB，CD的中点，
∴EB=AB，DF=CD，
∴BE=DF，
∵BE∥DF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∴ED=BF．
点评：本题主要考查对平行四边形的性质和判定的理解和掌握，能灵活运用平行四边形的性质和判定进行证明是解此题的关键．
18．如图，BD是?ABCD的对角线，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．求证：四边形DEBF为平行四边形．
考点：平行四边形的判定与性质；角平分线的定义．
分析：根据平行四边形性质和角平分线定义求出∠FDB=∠EBD，推出DF∥BE，根据平行四边形的判定判断即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠CDB=∠ABD，
∵DF平分∠CDB，BE平分∠ABD，
∴∠FDB=∠CDB，∠EBD=∠ABD，
∴∠FDB=∠EBD，
∴DF∥BE，
∵AD∥BC，即ED∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
点评：本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质和判定等的应用，关键是推出DF∥BE，主要检查学生能否运用定理进行推理，题型较好，难度适中．
19．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知点E、F分别为AO、OC的中点，证明：四边形BFDE 是平行四边形．
考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
分析：利用“平行四边形的对角线互相平分”的性质推知OA=OC，OB=OD；然后由已知条件“点E、F分别为AO、OC的中点”可以证得OE=OF；最后根据平行四边形的判定定理“对角线相互平分的四边形为平行四边形”即可证得结论．
解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）．
又∵点E、F分别为AO、OC的中点，
∴OE=OF．
∴四边形BFDE是平行四边形（对角线相互平分的四边形为平行四边形）．
点评：本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
20．如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，可以得到BD平分EF，为什么？说明理由．
考点：全等三角形的判定与性质；垂线；直角三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质．
分析：求出∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，推出AF=CE，连接BE、DF，根据HL证Rt△ABF≌Rt△CDE，推出DE=BF，得出平行四边形DEBF，根据平行四边形的性质推出即可．
解答：解：BD平分EF，理由是：
证法一、连接BE、DF．
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中
，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE，
∴DE=BF，
∵DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BD平分EF；
证法二、∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中
，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE，
∴DE=BF，
∵在△BFG和△DEG中
，
∴△BFG≌△DEG（AAS），
∴EG=FG，
即BD平分EF．
点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，垂线，全等三角形的性质和判定等知识点的运用，关键是得出平行四边形DEBF，题目比较好，难度适中．
21．如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．
求证：EF=DG且EF∥DG．
考点：三角形中位线定理；三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的判定与性质．
分析：
根据三角形的中位线推出DE∥BC，DE=BC，GF∥BC，GF=BC，推出GF=DE，GF∥DE，得出平行四边形DEFG，根据平行四边形的性推出即可．
解答：证明：∵BD、CE是△ABC的中线，
∴DE∥BC，DE=BC，
同理：GF∥BC，GF=BC，
∴GF=DE，GF∥DE，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∴EF=DG，EF∥DG．
点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的中位线，三角形的中线等知识点，主要检查学生能否熟练的运用性质进行推理，题目比较典型，难度适中，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力．
22．已知如图所示，?ABCD的对角线AC、BD交于O，GH过点O，分别交AD、BC于G、H，E、F在AC上且AE=CF，求证：四边形EHFG是平行四边形．
考点：平行四边形的判定与性质．
分析：根据平行四边形性质得出OA=OC，AD∥BC，推出OE=OF，∠GAO=∠HCO，∠AGO=∠CHO，根据AAS 证△AGO≌△CHO，推出OG=OH，根据平行四边形的判定推出即可．
解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∵AD∥BC，
∴∠GAO=∠HCO，∠AGO=∠CHO，
在△AGO和△CHO中
，
∴△AGO≌△CHO（AAS），
∴OG=OH，
∵OE=OF，
∴四边形EHFG是平行四边形．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，平行四边形的性质和判定等知识点，注意：平行四边形的对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形．
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平行四边形常见证明题
1．在□ABCD中，E、F是对角线AC上两点，且AE=CF，四边形DEBF是平行四边形吗？请说明理由． 2.如图，?ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且ED=BF，EF与AC相交于点O，求证：OA=OC． 3、如图，延长平行四边形ABCD的边BC至F、DA至E，使CF＝AE，EF与BD交于O． 试说明EF与BD互相平分 4．如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF，DF=BE，DF∥BE， 求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）四边形ABCD是平行四边形． 5．如图, 在ABCD中，∠ABC＝70 ,∠ABC的平分线交AD于点E,过点D作BE的平行线交BC于点F,求∠CDF的度数. A E D B F A B C D F E
6．已知如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，且CE⊥BE。求证：BC=2CD 7.如图，平行四边形ABCD中，AB AC ⊥，1 AB=，．对角线AC BD ，相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC AD ，于点E F ，． （1）证明：当旋转角为90o时，四边形ABEF是平行四边形； （2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等； 8、如图，四边形ABCD和四边形EBFD都是平行四边形． 试说明△ABE≌△CDF C 9. 已知:如图, 在ABCD中，E、F分别是AB和CD上的点，AE=CF, M、N分别是DE和BF的中点，求证.四边形ENFM是平行四边形． 10. 已知:如图, 在ABCD中，E、F分别是CD和AB上的点，AE//CF, BE交CF于点H，DF交AE于点G．求证.EG=FH． A B C D O F E
平行四边形的证明题
平行四边形的证明题 一．解答题（共30小题） 1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F． （1）求证：BE=DF； （2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）． — 2．如图所示，?AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D． 求证：四边形ABCD是平行四边形． $ 3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO． #
4．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD． ~ 5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明． ： 6．如图，已知，?ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点． 求证：四边形MFNE是平行四边形． ! 7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA． 求证：四边形AECF是平行四边形．
8．在?ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形． ！ 9．如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE． 10．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？ ; 11．如图：已知D、E、F分别是△ABC各边的中点，
平行四边形典型例题精编版
平行四边形典型例题 1 如图，□ABCD的对角线AC、BD 相交于点O，则图中全等三角形有（） A ．2 对 B ．3对 C ．4 对 D ．5对 17如图，□ABCD中，∠ B、∠ C的平分线交于点O ，BO 和CD 的延长线交于求证：BO=OE． 例3】如图，在ABCD中，AE⊥ BC于E ，AF⊥DC 于F ，∠ ADC=60°，BE=2，CF=1， 求△ DEC 的面积． 解】在中，，、 在Rt △ABE 中，， 在△ 中，
例 4】已知：如图， D 是等腰△ ABC 的底边 BC 上一点， DE//AC ， DF//AB 求证： DE+DF=A ．B ， ，从而可以利用平行四边形的定义和性质，等腰 三角 形的判定和性质来证． 解】∵ ， ∴四边形 是平行四边形． ∴． ∵ ，∴ ． ∵ ，∴ 说明：证明一条线段等于另外两条线段的和常采用的方法是： 分为两段，证明这两段分别等于另两条线段． 于 ，求证： 分析】 分析】由于 把三条线段中较长的线段 例 5】如图， 已知： 中， 相交于 点， 于 ，
解】因为四边形是平行四边形，所以，又因为、交于点， 所以． 又因为， 所以 从而例6】已知：如图，AB//DC ，AC、BD交于O，且 AC=BD。 求证：OD=OC. 证明：过B 作交DC延长线于E，则 于是△≌△ ∵ ，， E
∵， ∴∴ 说明：本题条件中有“夹在两条平行线之间的相等且相交的线 段 时用不上，为此通过作平行线，由“夹在两条平行线间的平行线B BE ，得到等腰△ BDE ，使问题得解． 例 7】如图， □ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD 、BC 分别交于 E 、F ， 例 8】如图所示， □ABCD 中，各内角的平分线分别相交于点 E 、 F 、 G 、 H ， 证明：四边形 EFGH 是矩形。 例 9】如图所示，已知矩形 ABCD 的对角线 AC 、BD 交于点 O ，过顶点 C ，作 BD 的垂线与∠ BAD 的平分线相交于点 E ，交 BD 于 G ，证明： AC=CE 。 求证：四边形 AFCE 是菱形． 解：略。 置交错而 A 由 AC 平移到 E
(完整版)平行四边形典型证明题(已分类).docx
平行四边形证明题 1. 在□ ABCD中，∠ BAD的平分线 AE 交 DC于 E，若∠ DAE＝25o，求□ABCD各角度数 .D E C A B 2.如图，把一张长方形 ABCD的纸片沿 EF 折叠后，ED与 BC的交点为 G，点 D、C 分别落在 D′、 C′的位置上，若∠EFG=55°，求∠ AEG度数． 3.如图在□ABCD 中， E，F 为 BD 上的点， BE=DF ，那么四边形AECF 是什么图形？并证明. 4.如图，在□ABCD 中， E、 F 为对角线BD 上的两点，且∠DAE= ∠ BCF． （1）求证： AE=CF ．（ 2）求证： AE ∥CF 5.如图，□ABCD 中， AE 平分∠ BAD 交 BC 于点 E， CF 平分∠ BCD 交 AD 于点 F， 求证：四边形AECF 是平行四边形.
6.如图，点 D 、E、 F 分别是△ ABC 各边中点 . （1）求证：四边形 ADEF 是平行四边形 . （2）若 AB=AC=10 ， BC=12 ，求四边形 ADEF 的周长和面积 . 7.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点，若把△ ADE绕着点E顺时针旋转180°得到△ CFE． 求证：四边形DBCF 是平行四边形。 8. 如图，一张矩形纸片ABCD ，其中 AD＝ 8cm，AB＝ 6cm，先沿对角线BD 对折，点 C 落在点 C′的位置， BC′交 AD 于 点G.(1)求证： AG＝ C′G． (2) 求△ BDG的面积 9.如图，矩形ABCD 中， AC 与 BD 相交于点 O.若 AO=3 ，∠OBC=30°，求矩形的周长和面积。
中考数学四边形经典证明题含答案
1．如图，正方形ABCD 和正方形A ′OB ′C ′是全等图形，则当正方形A?′OB ′C ′绕正方形 ABCD 的中心O 顺时针旋转的过程中． （1）四边形OECF 的面积如何变化． （2）若正方形ABCD 的面积是4，求四边形OECF 的面积． 解：在梯形ABCD 中由题设易得到： △ABD 是等腰三角形，且∠ABD=∠CBD=∠ADB=30°． 过点D 作DE ⊥BC ，则DE=1 2BD=23，BE=6 ．过点A 作AF ⊥BD 于F ，则AB=AD=4． 故S 梯形ABCD =12+43． 2．如图，ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，EF ⊥AC 交CD 于E ，交AB 于F ，问四边形AFCE 是菱形吗？请说明理由． 解：四边形AFCE 是菱形． ∵四边形ABCD 是平行四边形． ∴OA=OC ，CE ∥AF ． ∴∠ECO=∠FAO ，∠AFO=∠CEO ． ∴△EOC ≌△FOA ，∴CE=AF ． 而CE ∥AF ，∴四边形AFCE 是平行四边形． 又∵EF 是垂直平分线，∴ AE=CE ．∴四边形AFCE 是菱形． 3．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，?垂足分别为E 、F ．求证：（1）△BDE ≌CDF ．（2）△ABC 是直角三角形时，四边形AEDF 是正方形．
19．证明：（1）,90D BC BD CD DE AB DF AC BED CFD B C 是的中点 △BDE ≌△CDF ． （2）由∠A=90°，DE ⊥AB ，DF ⊥AC 知： AEDF BED CFE DE DF 四边形是矩形 矩形AEDF 是正方形．4．如图，ABCD 中，E 、F 为对角线AC 上两点，且AE=CF ，问：四边形EBFD 是平行四边形吗？为什么？ 解：四边形EBFD 是平行四边形．在 ABCD 中，连结BD 交AC 于点O ， 则OB=OD ，OA=OC ．又∵AE=CF ，∴OE=OF ． ∴四边形EBFD 是平行四边形．5．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ．现将A ，C 重合，使纸片 折叠压平，设折痕为EF ，试求AF 的长和重叠部分△AEF 的面积． 【提示】把AF 取作△AEF 的底，AF 边上的高等于AB ＝3． 由折叠过程知，EF 经过矩形的对称中心，FD ＝BE ，AE ＝CE ＝AF ．由此可以在△ABE 中使用勾股定理求AE ，即求得AF 的长． 【答案】如图，连结AC ，交EF 于点O ， 由折叠过程可知，OA ＝OC ， ∴O 点为矩形的对称中心．E 、F 关于O 点对称，B 、D 也关于O 点对称． ∴BE ＝FD ，EC ＝AF ，
北师大版九年级上学期第一章《特殊的平行四边形》证明题集锦
北师大版九年级上学期 第一章 平行四边形及特殊的平行四边形证明题集锦 1.（1）如图1，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ． 求∠AEB 的大小；（2）如图2，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. 2．如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：长度关系及所在直线的位置关系；（1）①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度 ，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断． B A O D C E 图2 C B O D 图1 A E 图1 图2 图3
（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a ，BC=b ，CE=ka ， CG=kb (a ≠b ，k >0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第 (2)题图5中，连结DG 、BE ，且a =3，b =2，k =1 2 ，求22BE DG +的值． 3.如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角．点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ． 解答下列问题：（1）如果AB=AC ，∠BAC=90o．①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF 、BD 之间的位置关系为 ，数量关系为 ．②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么（2）如果AB ≠AC ，∠BAC ≠90o，点D 在线段BC 上运动．试探究：当△ABC 满足一个什么条件时，CF ⊥BC （点C 、F 重合除外）画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）CF 相交于点P ，求线段CP 长的最大值． 4.已知：如图，点C 在线段AB 上，以AC 和BC 为边在AB 的同侧作正三角形△ACM 和△BCN ， A B C D E F 图甲 图乙 F E D C B A F E D C B A 图丙 图4 图5 图6
平行四边形证明题
平行四边形证明题 第一篇：特殊平行四边形：证明题 特殊四边形之证明题 1、如图8，在abcd中，e，f分别为边ab，cd的中点，连接de，bf，bd．? （1）求证：△ade≌△cbf． （2）若ad?bd，则四边形bfde是什么特殊四边形？请证明你的结论． fc aeb 2、如图，四边形abcd中，ab∥cd，ac平分?bad，ce∥ad交ab 于e． （1）求证：四边形aecd是菱形； （2）若点e是ab的中点，试判断△abc的形状，并说明理由． 3.如图，△abc中，ac的垂直平分线mn交ab于点d，交ac于点o，ce∥ab交mn于e，连结ae、cd． （1）求证：ad＝ce； （2）填空：四边形adce的形状是． a dmn
4.如图，在△abc中，ab=ac，d是bc的中点，连结ad，在ad的延长线上取一点e，连结be， （1）求证： （2）当ae与ad满足什么数量关系时，四边形abec是菱形？并说明理由 5．如图，在△abc和△dcb中，ab=dc，ac=db，ac与db交于点m． （1）求证：△abc≌△dcb； （2）过点c作cn∥bd，过点b作bn∥ac，cn与bn交于点n，试判断线段bn与cn的数量关系，并证明你的结论． 6、如图，矩形abcd中，o是ac与bd的交点，过o点的直线ef 与ab，cd的延长线分别交于e，f． （1）求证：△boe≌△dof； （2）当ef与ac满足什么关系时，以a，e，c，f为顶点的四边形是菱形？证明你的结论． f a b e
7. 600，它的两底分别是16cm、30cm。求它的腰长。 (两种添线方法) c 8．如图（七），在梯形abcd中，ad∥bc，ab?ad?dc，ac?ab，将cb延长至点f，使bf?cd． （1）求?abc的度数； （2）求证：△caf为等腰三角形． c b图七f 第二篇：平行四边形证明题 由条件可知，这是通过三角形的中位线定理来判断fg平行da，同理he平行da，ge平行cb，fh平行cb!~ 我这一化解，楼主应该明白了吧!~ 希望楼主采纳，谢谢~!不懂再问!!! 此题关键就是对于三角形的中位线定理熟不!~!~· 已知：f，g是△cda的中点，所以fg是△cda的中位线，所以fg 平行da 同理he是△bad的中位线，所以he平行da，所以fg平行he
平行四边形综合性质及经典例题
一对一个性化辅导教案
平行四边形的性质与判定 平行四边形及其性质(一) 一、 教学目标： 1． 理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质． 2． 会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证． 3． 培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力． 二、 重点、难点 1． 重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用． 2． 难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 三、 课堂引入 1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象 平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗 你能总结出平行四边形的定义吗 (1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)表示：平行四边形用符号“ ”来表示． 如图，在四边形ABCD 中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD 是平行四边形．平行四边形ABCD 记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”． ①∵AB ?50?360?360?180行 四边形的面积计算 六、随堂练习 1．在平行四边形中，周长等于48， ① 已知一边长12，求各边的长 ② 已知AB=2BC ，求各边的长 ③ 已知对角线AC 、BD 交于点O ，△AOD 与△AOB 的周长的差是10，求各边的长 2．如图，ABCD 中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm ，AC+BD=14cm ，则△OBC 的周长是____ ___cm ．
3．ABCD 一内角的平分线与边相交并把这条边分成cm 5，cm 7的两条线段，则ABCD 的周长是__ ___cm ． 七、课后练习 1．判断对错 （1）在ABCD 中，AC 交BD 于O ，则AO=OB=OC=OD ． （ ） （2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等． （ ） （3）平行四边形的两组对边分别平行且相等． （ ） （4）平行四边形是轴对称图形． （ ） 2．在 ABCD 中，AC ＝6、BD ＝4，则AB 的范围是_ ____ __． 3．在平行四边形ABCD 中，已知AB 、BC 、CD 三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是 ． 4．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB ＝15cm ，AD ＝12cm ，AC ⊥BC ，求小路BC ，CD ，OC 的长，并算出绿地的面积． （一） 平行四边形的判定 一、教学目标： 1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法． 2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题． 3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题． 二、重点、难点 重点：平行四边形的判定方法及应用． 难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用． 四、课堂引入 1．欣赏图片、提出问题． 展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形你是怎样判断的 2．【探究】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗
平行四边形经典证明题例题讲解
1 / 1 经纬教育 平行四边形证明题 经典例题（附带详细答案） 1．如图，E F 、是平行四边形 ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥， 求证：AF CE =． 【答案】证明：平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =， ACB CAD ∴∠=∠． 又BE DF ∥， BEC DFA ∴∠=∠， BEC DFA ∴△≌△， ∴CE AF = 2．如图6，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=∠D ， ， 求四边形ABCD 的周长． 【答案】20、 解法一: ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴∥即得是平行四边形 ∴ ∴四边形的周长 解法二: 3 ,6==AB BC AB CD ∥?=∠+∠180C B B D ∠=∠?=∠+∠180D C AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=?+?=D C A B E F A D C B
连接 ∵ ∴ 又∵ ∴≌ ∴ ∴四边形的周长解法三: 连接 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴∥即是平行四边形 ∴ ∴四边形的周长 3.（在四边形ABCD中，∠D=60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C 的大小． 【关键词】多边形的内角和 【答案】设x A= ∠（度），则20 + = ∠x B，x C2 = ∠． 根据四边形内角和定理得，360 60 2 ) 20 (= + + + +x x x． 解得，70 = x． ∴? = ∠70 A，? = ∠90 B，? = ∠140 C． 4．（如图，E F ，是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF CE DF BE DF BE == ，，∥． AC AB CD ∥ DCA BAC∠ = ∠ B D A C CA ∠=∠= ， ABC △CDA △ 36 AB CD BC AD ==== ， ABCD18 3 2 6 2= ? + ? = BD AB CD ∥ CDB ABD∠ = ∠ ABC CDA ∠=∠ ADB CBD∠ = ∠ AD BC ABCD 36 AB CD BC AD ==== ， ABCD18 3 2 6 2= ? + ? = A D C B A D C B 1 / 1
特殊平行四边形：证明题
基础篇 特殊平行四边形之证明题 题型一：菱形的证明 1、如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻 折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说确的是( ) A. DE 是△ABC 的中位线 B. AA '是BC 边上的中线 C. AA '是BC 边上的高 D. AA '是△ABC 的角平分线 2．已知：如图，在ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC △．（1）求证：BE DG =； （2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论． 3、将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF ． （1）求证：△ABE ≌△AD ′F ； （2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论． 4.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，交AC 于点O ，CE ∥AB 交MN 于E ，连结AE 、 CD ．（1）求证：AD ＝CE ；（2）填空：四边形ADCE 的形状是 5如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE . （1）求证：△ABE ≌△ACE （2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由. D A E N M O A B C D E F D ′ A D G C B F E
6如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把ACD △沿CA方向平移得到A C D ''' △．（1）证明A AD CC B ''' △≌△； （2）若30 ACB ∠=°，试问当点C'在线段AC上的什么位置时，四边形ABC D''是菱形，并请说明理由． 7在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，56 AB AC == ，．点D作DE AC ∥交BC的延长线于点E． （1）求BDE △的周长； （2）点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q．求证：BP DQ =． 8．如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F．（1）点D是△ABC的________心； （2）求证：四边形DECF为菱形． 9、如图,已知:在四边形ABFC中，ACB ∠=90BC ,?的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE (1)试探究,四边形BECF是什么特殊的四边形; (2)当A ∠的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形?请回答并证明你的结论. (特别提醒:表示角最好用数字) 10、如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB CD ，的延长线分别交于E F ，．（1）求证：BOE DOF △≌△； （2）当EF与AC满足什么关系时，以A E C F ，，，为顶点的四边形是菱形？证明你的结论． A Q D E B P C O C B A D A'C' （第19 D'
特殊平行四边形：证明题
特殊平行四边形之证明题 题型一：菱形的证明 1、如图，在三角形ABC 中，AB ＞ AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻 折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( ) A. DE 是△ABC 的中位线 B. AA '是BC 边上的中线 C. AA '是BC 边上的高 D. AA '是△ABC 的角平分线 2．已知：如图，在ABCD Y 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC △． （1）求证：BE DG =； （2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论． 3、将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF ． （1）求证：△ABE ≌△AD ′F ； （2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论． 4.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，交AC 于点O ，CE ∥AB 交MN 于E ，连结AE 、CD ． （1）求证：AD ＝CE ； （2）填空：四边形ADCE 的形状是 ． 5.两个完全相同的矩形纸片ABCD 、BFDE 如图7放置，AB BF =，求证： 四边形BNDM 为菱形． D A E N M O A B C D E F D ′ A D G C B F E
6.如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ， 连结BE ， CE . （1）求证：△ABE ≌△ACE （2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由. 7.如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把ACD △沿CA 方向平移得到A C D '''△． （1）证明A AD CC B '''△≌△； （2）若30ACB ∠=°，试问当点C '在线段AC 上的什么位置时，四边形ABC D ''是菱形，并请 说明理由． 8．在菱形 ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，56AB AC ==，． 点D 作DE AC ∥交BC 的延长线于点E ． （1）求BDE △的周长； （2）点P 为线段BC 上的点，连接PO 并延长交 AD 于点Q ．求证：BP DQ =． 9．如图，在△ABC 和△DCB 中，AB = DC ，AC = DB ，AC 与DB 交于点M ． （1）求证：△ABC ≌△DCB ； （2）过点C 作CN ∥BD ，过点B 作BN ∥AC ，CN 与BN 交于点N ，试判断线段BN 与CN 的数量关系，并证明你的结论． C D E M A B F N A Q D E B P C O C B A D A ' C '（第19 D ' A D M
平行四边形常见证明题(经典)
1.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( ) A.一组对边平行，另一组对边相等 B.一组对边平行，一组对角相等 C.一组对边平行，一组邻角互补 D.一组对边相等，一组邻角相等 2.如图，EF过□ABCD的对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若AB＝4，BC＝5，OE＝，那么四边形EFCD 的周长是( ) 3.两直角边不等的两个全等的直角三角形能 拼成平行四边形的个数( ) 4.过不在同一直线上的三点，可作平行四边形的个数是( ) 个个个个 5.如图，已知□ABCD的对角线交点是O，直线EF过O点，且平行于BC，直线GH过且平行于AB，则图中共有( )个平行四边形. 6.以下结论正确的是( ) A.对角线相等，且一组对角也相等的四边形是平行四边形 B.一边长为5cm，两条对角线分别是4cm和6cm的四边形是平行四边形 C.一组对边平行，且一组对角相等的四边形是平行四边形 D.对角线相等的四边形是平行四边形 7．能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（）． A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD 8．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（）． A．相邻的角互补 B．两组对角分别相等 C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线交点是两对角线中点 9．如下左图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（）． A．若AO=OC，则ABCD是平行四边形; B．若AC=BD，则ABCD是平行四边形; C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平行四边形;D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平行四边形 10．如上右图所示，对四边形ABCD是平行四边形的下列判断，正确的打“∨”，错误的打“×”．（1）因为AD∥BC，AB=CD，所以ABCD是平行四边形．（） （2）因为AB∥CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（） （3）因为AD∥BC，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（） （4）因为AB∥CD，AD∥BC，所以ABCD是平行四边形．（） （5）因为AB=CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（） （6）因为AD=CD，AB=AC，所以ABCD是平行四边形．（） 1．在□ABCD中，E、F是对角线AC上两点，且AE=CF，四边形DEBF是平行四边形吗请说明理由．
平行四边形的证明题类型汇总
平行四边形的证明题类型汇总 平行四边形的证明题类型很多，是期末考试的重点，也是中考的热点，为了降低学生学习这方面的难度，特把这章的证明问题总结如下，一共写了28道题目，当然还有没有总结到的，还希望学生多多思考和总结，把没有写上的证明题目也要学会 1.平行四边形ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形 2.分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE，已知∠BAC=30°，EF⊥AB于F，连接DF， （1）试说明AC=EF； （2）求证四边形ADEF是平行四边形
3.如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，点E,F分别在CD,AB 的延长线上，且AE=AD,CF=CB. (1)求证：四边形AFCE是平行四边形； (2)若去掉已知条件中的“∠DAB=60°，”上述结论还成立吗？若成立请写出证明过程；若不成立，请说明 理由. 4如图以平行四边形ABCD的对角线AC为斜边作Rt△AMC，且∠BMD 为直角.求证：四边形ABCD是矩形.
5.如图，在等边△ABC中，点D是BC的中点，点F是AB边的中点，以AD为边作等边△ADE，连接CE,CF，求证四边形AFCE是矩形. F E C 6.如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与对角线AC 交于点O,与边AD,BC分别交于点E,F四边形AFCE 是不是菱形？为什么？ 7.如图，在平行四边形ABCD中， AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得到△GFC.若∠B=60°，当AB与BC满足 什么数量关系时，四边形ABFC是菱形？证 明你的结论.
平行四边形证明练习题汇编
平行四边形证明练习题 一．解答题 1．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF．求证：∠DAE=∠BCF． 2．在?ABCD中，E，F分别是BC、AD上的点，且BE=DF．求证：AE=CF． 3．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC．AD上的点，∠1=∠2 求证：△ABE≌△CDF． 4．如图，已知：平行四边形ABCD中，E是CD边的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于F点．求证：BC=DF． 5．如图，在?ABCD中，AC交BD于点O，点E、点F分别是OA、OC的中点，请判断线段BE、DF的关系，并证明你的结论． 6．已知：如图，?ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．求证：△ABE≌△CDF．
7．如图，已知在?ABCD中，过AC中点的直线交CD，AB于点E，F．求证：DE=BF． 8．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AE．四边形AECD是平行四边形吗？为什么？ 9．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：DE=BF． 10．如图，四边形ABCD中，AD=BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E、F，AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形． 11．如图，在△ABC中，AD是中线，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF．求证：四边形AFBD是平行四边形． 12．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，DE∥AB，AD+DC=BC． 求证：（1）DE=DC； （2）△DEC是等边三角形． 13．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF． 求证：（1）△ADF≌△CBE；
平行四边形及特殊的平行四边形证明习题
平行四边形及特殊的平行四边形 1．已知：如图，四边形ABCD 是菱形，过AB 的中点E 作AC 的垂线EF ，交AD 于点M ，交CD 的延长线于点F . （1）求证：AM =DM ； （2）若DF =2，求菱形ABCD 的周长． 2. 如图所示，在Rt ABC △中，90ABC =?∠．将Rt ABC △绕点C 顺时针方向旋转60?得到DEC △，点E 在AC 上，再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180?得到ABF △．连接 AD ． （1）求证：四边形AFCD 是菱形； （2）连接BE 并延长交AD 于G ，连接CG ， 请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？ 3．（本题满分13分）如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上 任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM. ⑴ 求证：△AMB ≌△ENB ； ⑵ ①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小； B A C D F M 第1题图 E 第2题图 A D F C E G B A D
②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13+时，求正方形的边长. 4. 如图，ABM ∠为直角，点C 为线段BA 的中点，点D 是射线BM 上的一个动点（不与点B 重合）， 连结 AD ，作BE AD ⊥，垂足为E ，连结CE ，过点E 作EF CE ⊥，交BD 于F ． （1）求证：BF FD =； （2）A ∠在什么围变化时，四边形 ACFE 是梯形，并说明理由； （3）A ∠在什么围变化时，线段DE 上存在点G ，满足条件1 4 DG DA =，并说明 理由 5. 如图15，平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，1AB = ，BC =对角线AC BD ，相 交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC AD ，于点E F ，． A B C D F E M
初三数学-平行四边形经典例题讲解(3套)
初三数学 经典例题（附带详细答案） 1．如图，E F 、是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥， 求证：AF CE =． 【答案】证明：平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =， ACB CAD ∴∠=∠． 又BE DF ∥， BEC DFA ∴∠=∠， BEC DFA ∴△≌△， ∴CE AF = 2．如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=∠D ，， 求四边形ABCD 的周长． 【答案】 解法一: ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴∥即得是平行四边形 ∴ ∴四边形的周长 解法二: 3 ,6==AB BC AB CD ∥?=∠+∠180C B B D ∠=∠?=∠+∠180D C AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=?+?=A D C B D C A B E F
连接 ∵ ∴ 又∵ ∴≌ ∴ ∴四边形的周长 解法三: 连接 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴∥即是平行四边形 ∴ ∴四边形的周长 3.（在四边形ABCD 中，∠D =60°，∠B 比∠A 大20°，∠C 是∠A 的2倍， 求∠A ，∠B ，∠C 的大小． 【关键词】多边形的内角和 【答案】设x A =∠（度），则20+=∠x B ，x C 2=∠． 根据四边形内角和定理得，360602)20(=++++x x x ． 解得，70=x ． AC AB CD ∥DCA BAC ∠=∠B D AC CA ∠=∠=，ABC △CDA △36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=?+?=BD AB CD ∥CDB ABD ∠=∠ABC CDA ∠=∠ADB CBD ∠=∠AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=?+?=A D C B A D C B
初二数学平行四边形压轴几何证明题
初二数学平行四边形压轴：几何证明题 1.在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，顺次连接EF 、FG 、 GH 、HE ． （1）请判断四边形EFGH 的形状，并给予证明； （2）试探究当满足什么条件时，使四边形EFGH 是菱形，并说明理由。 2.如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=10，将△ABC 绕点B 沿顺时针方向旋转90°得到△A 1BC 1． （1）线段A 1C 1的长度是 ，∠CBA 1的度数是 ． （2）连接CC 1，求证：四边形CBA 1C 1是平行四边形． 3. 如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点， PO 的延长线交 BC 于Q. （1）求证：OP=OQ ； （2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与 D 重合）.设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形． 4.已知：如图，在□ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将△ABE 沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得△GFC. ⑴求证：BE ?DG ； ⑵若∠B ?60?，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的 结论. 5. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连结AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长 AE 交BC 的延长线于点F ． 求证：（1）FC ＝AD ； （2）AB ＝BC ＋AD ． 6.如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE. （1）求证：△ABE ≌△ACE （2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由. 7.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，BE 的延长线与CD 的延长线交 于点F. （1）求证：△ABE ≌△DFE （2）连结BD 、AF ，判断四边形ABDF 的形状，并说明理由. 8. 如图，已知点D 在△ABC 的BC 边上，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ． （1）求证：AE ＝DF ； （2）若AD 平分∠BAC ，试判断四边形AEDF 的形状，并说明理由． 9. 如图，在平行四边形中，点E F ，是对角线BD 上两点，且BF DE =． （1）写出图中每一对你认为全等的三角形； （2）选择（1）中的任意一对全等三角形进行证明． 10.在梯形ABCD 中，AD ∥BC,AB=DC ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为点E ，并延长DE 至点F ，使EF=DE.连接BF 、CF 、AC. A B E F G D H B A 1 C 1A C A D G C B F E A Q C D P B O A B E D C A D E F C B A B C D E F E A F C D B A C E F
初二数学平行四边形压轴：几何证明题
初二数学平行四边形压轴：几何证明题
初二数学平行四边形：几何证明题 1.在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ．（1）请判断四边形EFGH 的形状，并给予证明；（2）试探究当满足什么条件时，使四边形EFGH 是菱形，并说明理由。 2.如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=10，将△ABC 绕点B 沿顺时针方向旋转90°得到△A 1BC 1． （1）线段A 1C 1的长度是 ，∠CBA 1的度数是 ．（2）连接CC 1，求证：四边形CBA 1C 1是平行四边形． 3. 如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点， PO 的延长线交BC 于Q. （1）求证：OP=OQ ； A B E F G D H B A C A C
（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）.设点P 请用t 表示PD 的长；并求t 形．4.已知：如图，在□ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将△ABE 沿 BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得△GFC. ⑴求证：BE =DG ； ⑵若∠B =60?，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论. A D G C B F E D
5. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连结 AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F ．求证：（1）FC ＝AD ；（2）AB ＝BC ＋AD ． 6.如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE. （1）求证：△ABE ≌△ACE （2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由. A B E D C A D E F C B
平行四边形综合证明题
33．（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE ．求证：CE ＝CF ； （2）如图2，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，G 是AD 上一点，如果∠ECG ＝45°，请你利用（1）的结论证明：ECG BCE CDG s s s ???=+． （3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图3，在直角梯形ABCG 中，AG ∥BC （BC ＞AG ），∠B ＝90°，AB ＝BC=6，E 是AB 上一点，且∠ECG ＝45°，BE ＝2．求△ECG 的面积． 【答案】（1）先根据正方形的性质可得BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF ，BE ＝DF ，即可证得△CBE ≌△CDF ，从而得到结论；（2）延长AD 至F ，使DF=BE ．连接CF ．由（1）知△CBE ≌△CDF ，即可得到∠BCE ＝∠DCF ．又∠GCE ＝45°，可得∠BCE+∠GCD ＝45°．即可得到∠ECG ＝∠GCF ．又CE ＝CF ，GC ＝GC ，即可证得△ECG ≌△FCG ，即可证得结论；（3）15 【解析】 试题分析：（1）先根据正方形的性质可得BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF ，BE ＝DF ，即可证得△CBE ≌△CDF ，从而得到结论； （2）延长AD 至F ，使DF=BE ．连接CF ．由（1）知△CBE ≌△CDF ，即可得到∠BCE ＝∠DCF ．又∠GCE ＝45°，可得∠BCE+∠GCD ＝45°．即可得到∠ECG ＝∠GCF ．又CE ＝CF ，GC ＝GC ，即可证得△ECG ≌△FCG ，即可证得结论； （3）过C 作CD ⊥AG ，交AG 延长线于D ．证得四边形ABCD 为正方形．由（2）中△ECG ≌△FCG ，即得GE ＝GF ．GE ＝DF ＋GD ＝BE ＋GD ，设DG ＝x ，可得AE=4，AG ＝6—x ，EG=2+ x ．在Rt △AEG 中，根据勾股定理即可列方程求得x 的值，再根据三角形的面积公式即可求得结果． （1）在正方形ABCD 中， ∵BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF ，BE ＝DF ， ∴△CBE ≌△CDF ． ∴CE ＝CF ． （2）如图2，延长AD 至F ，使DF=BE ．连接CF ． 由（1）知△CBE ≌△CDF ， ∴∠BCE ＝∠DCF ． 又∠GCE ＝45°， ∴∠BCE+∠GCD ＝45°． ∴∠DCF ＋∠GCD ＝∠GCF ＝45° A B C D E F A B C G E A B C D E 图1 图2 图3 G A B C D E F 图2 G