成人高考高数(二)复习题

高等数学（二）命题预测试卷（二）

选择题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。在每个小题给出的选 项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号） 1．下列函数中，当1→x 时，与无穷小量)1(x -相比是高阶无穷小的是（B ） A ．)3ln(x - B ．x x x +-2

3

2 C ．)1cos(-x D ．12-x 2．曲线x

x y 1

33+

-=在),1(+∞是（B ） A ．处处单调减小 B ．处处单调增加 C ．具有最大值 D ．具有最小值 3．设)(x f 是可导函数，且1)

()2(lim

000

=-+→h

x f h x f x ，则)(0x f '为（D ）

A ．1

B ．0

C ．2

D ．2

1 4．若1

)1(+=x x

x f ，则?10)(dx x f 为（D ）

A ．

2

1

B ．2ln 1-

C ．1

D ．2ln

5．设x

u xy u z ??=,等于（ D ） A ．z zxy B ．1

-z xy

C ．1

-z y

D ．z

y

填空题：本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分，把答案填在 题中横线上。 6．设2yx e

z xy

+=，则

)

2,1(y

z ??=122

+e ．

7．设x e x f x

ln )(+='，则='')3(f 3

13

+

e ． 8．x x x

f -=

1)(，则=)1(x f 1

1-x ． 9．设二重积分的积分区域D 是412

2

≤+≤y x ，则

??=D

dxdy π3．

10．x x x

)211(lim -∞→=2

1

-e ．

11．函数)(2

1)(x x

e e x

f -+=

的极小值点为0=x ． 12．若31

4

lim

21=+++-→x ax x x ，则=a 5 ． 13．曲线x y arctan =在横坐标为1点处的切线方程为)1(2

1

4

-=

-

x y π

． 14．函数?

=

2

sin x tdt y 在2

π

=

x 处的导数值为4

sin

2

ππ．

15．=+?-1

122cos 1sin dx x

x

x 0 ． 三、解答题：本大题共13小题，共90分，解答应写出推理、演算步骤。

16．（本题满分6分）

求函数???

??

=≠==0

00 1arctan )(x x x

x f 的间断点． 解 这是一个分段函数，)(x f 在点0=x 的左极限和右极限都存在．

2

1arctan lim )(lim 00π

-==-→-→x x f x x

2

1arctan lim )(lim 00π

==+→+→x x f x x

)(lim )(lim 00x f x f x x +

→-

→≠

故当0→x 时，)(x f 的极限不存在，点0=x 是)(x f 的第一类间断点． 17．（本题满分6分） 计算1

21lim

2

--++∞

→x x x x ．

解 原式=222

1121

11lim

1

21lim

2

2

2

==--

+=--++∞

→+∞

→x

x x x x x x x 18．（本题满分6分）

计算??

????++→x

x x x 1

)1(arcsin ln lim ．

解 设x

x x x f 1

)1(arcsin )(++=．

由于0=x 是初等函数)(ln x f 的可去间断点，

故 []

??????++==→→→x

x x x x x x f x f 1

00)1(arcsin lim ln )(lim ln )(ln lim

??

?

???++=→→x x x x x 1

00)1(lim arcsin lim ln

1ln )0ln(==+=e e ． 19．（本题满分6分）

设函数?????≤<-+>=-01

)1ln(0 )(1

x x x xe x f x ，求)(x f '． 解 首先在0≠x 时，分别求出函数各表达式的导数，即 当0>x 时，)1

1(1)()(1

2111

x e x

xe

e

xe

x f x x

x

x

+=?+='='--

-

-

当01<<-x 时，[]1

1

)1ln()(+=

'

+='x x x f ． 然后分别求出在0=x 处函数的左导数和右导数，即

11

1

lim )0(0

=+='-

→-x f x 0)1

1(lim )0(10

=+='-+

→+x

e f x

x

从而)0()0(

+-'≠'f f ，函数在0=x 处不可导． 所以???????<+>+='-0 1

10 )1

1()(1x x x x e x f x 20．（本题满分6分）

求函数)sin(y x y +=的二阶导数． 解 )sin(y x y +=

)cos()cos()1)(cos(y x y y x y y x y +'++='++=' ① [])1()sin()cos()1)(sin(y y x y y x y y y x y '++-'++''+'++-='' []2

)1)(sin()cos(1y y x y y x '++-=''+-

)

cos(1)1)(sin(2

y x y y x y +-'++-='' ②

又由①解得)

cos(1)

cos(y x y x y +-+=

'

代入②得2

)

cos(1)cos(1)cos(1)cos(y x y x y x y x y +-???

???+-++

+=

'

[]

3

)cos(1)

sin(y x y x +-+-= 21．（本题满分6分）

求曲线3

4

2)(x x x f -=的极值点．

解 先出求)(x f 的一阶导数：)2

3(464)(2

2

3

-=-='x x x x x f 令0)(='x f 即0)23(42

=-x x 解得驻点为2

3,021=

=x x ． 再求出)(x f 的二阶导数)1(121212)(2

-=-=''x x x x x f ．

当232=

x 时，09)23(>=''f ，故16

27)23(-=f 是极小值． 当01=x 时，0)0(=''f ，在)0,(-∞，0)(<'x f ，在)2

3

,0(0)(<'x f

故 01=x 不是极值点．

总之 曲线2

4

2)(x x x f -=只有极小值点2

3

=x ． 22．（本题满分6分）

计算?+dx x x 1

2

3

． 解 Θ 11)1(112222323+-=+-+=+-+=+x x

x x x x x x x x x x x ∴ ????+-=+-=+dx x x

xdx dx x x x dx x x 1)1(1222

3 ?

++-=++-=C x x x x d x )1ln(2

1

211)1(21212222 23．（本题满分6分）

若)(x f 的一个原函数为x x ln ，求?

?dx x f x )(． 解 由题设知1ln )(ln ln )ln ()(+='+='=x x x x x x x f

故??

+=?dx x x dx x f x )1(ln )( ??

+=xdx xdx x ln ?

+=222

121ln x dx x []

22221)(ln ln 21x x d x x x +-?=

? 222

21121ln 21x dx x x x x ?+-?=

2

22121ln 21x xdx x x ?+-=

C x x x +-=2

24

1ln 21．

24．（本题满分6分）

已知

?∞-=+0

2

2

1

1dx x k ，求常数k 的值． 解 Θ ???+?=+=+-∞→∞-∞-02

020211

lim 111a a dx x k dx x k dx x k 2

)arctan (lim arctan lim 0

π

?

=-?=?=-∞

→-∞

→k a k x k a a a

又

2

1

10

2

=+?∞-dx x k 故 212=?πk 解得π

1

=k ．

25．（本题满分6分）

求函数5126),(2

3

+-+-=y x x y y x f 的极值． 解 Θ

123,622-=??+-=??y y

f x x f 解方程组???=-=+-0

1230

622y x 得驻点)2,3(),2,3(00-B A

又 Θy f C f B f A yy xy xx 6,0,2

=''==''=-=''= 对于驻点126,0,2:230-===-===y x y C B A A ，故0242

>=-AC B

∴ 驻点0A 不是极值点．

对于驻点126,0,2:230-===-=-==y x y C B A B

故 0242

<-=-AC B ，又02<-=A ．

∴ 函数),(y x f 在)2,3(0-B 点取得极大值 30524189)2()2,3(3

=+++--=-f 26．（本题满分10分） 求

??

+D

dxdy y x )(2

，其中D 是由曲线2x y =与2y x =所围成的平面区域． 解 由2x y =与2

y x =得两曲线的交点为)0,0(O 与)1,1(A

)0(2

≥=y y x 的反函数为x y =

．

∴

dx y y x dy y x dx dxdy y x x x

x

x

D

21

22

22

10

2

)2

1()()(?????+=+=+

140

33)1034172()21()21(10

5227

1

0442

5=-+=??????+-+=?x x x dx x x x x 27．（本题满分10分） 设?

-

=a

dx x f x x f 0

2

)()(，且常数1-≠a ，求证：)

1(3)(3

+=?

a a dx x f a

．

证 Θ ?????

????-=a a

a dx dx x f x dx x f 0020)()(

dx dx x f dx x a a

a

???

??

????-=000

2)(

???-=

a a

a dx dx x f x 0003)(3

1

?-=

a dx x f a a 03

)(3

∴ 3

)()(3

a dx x f a dx x f a

a =+?

?

于是

)

1(3)(3

+=?

a a dx x f a

．

28．（本题满分10分） 求函数x

x

y ln =

的单调区间、极值、此函数曲线的凹凸区间、拐点以及渐近线并作出函数的图形． 解 （1）先求函数的定义域为),0(+∞． （2）求y '和驻点：2

ln 1x

x

y -=

'，令0='y 得驻点e x =． （3）由y '的符号确定函数的单调增减区间及极值．

当e x <<0时，0ln 12

>-=

'x

x

y ，所以y 单调增加； 当e x >时，0<'y ，所以y 单调减少． 由极值的第一充分条件可知e y e x 1

==为极大值．

（4）求y ''并确定y ''的符号：

3

3

ln 2x

x y -=''，令0=''y 得23

e x =． 当2

30e x <<时，0<''y ，曲线y 为凸的； 当2

3e x >时，0>''y ，曲线y 为凹的．

根据拐点的充分条件可知点)2

3,(23

2

3

-

e e 为拐点．

这里的y '和y ''的计算是本题的关键，读者在计算时一定要认真、仔细。 另外建议读者用列表法来分析求解更为简捷，现列表如下：

就表上所给的y '和y ''符号，可得到：

函数x x

y ln =

的单调增加区间为),0(e ； 函数x x

y ln =的单调减少区间为),(+∞e ；

函数x x y ln =的极大值为e

e y 1

)(=；

函数x x

y ln =的凸区间为),0(23

e ；

函数x

x

y ln =的凹区间为),(23

+∞e ；

函数x

x

y ln =的拐点为)23,(2323

-e e ．

（5）因为0ln lim =+∞→x x x ，∞=+→x

x

x ln lim 0

所以曲线x

x

y ln =有

水平渐近线0=y

铅垂渐近线0=x

（6）根据上述的函数特性作出函数图形如下图．