常微分方程总复习

常微分方程复习总结

初等积分法

一、主要概念

常微分方程：未知函数是一个变元的函数，由这样的函数及其导数（或微分）构成的等式。 方程的阶：在微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶。

微分方程的解：一个函数代入微分方程中去，使得它成为关于自变量的恒等式，称此函数为微分方程的解。

通解：n 阶方程，其解中含有n 个（独立的）任意常数，此解称为方程的通解。由隐式表出的通解称为通积分。

特解：给通解中的任意常数以定值，所得到的解称为特解，由隐式给出的特解称为特积分。 初值问题：求微分方程满足初值条件的解的问题。

变量可分离方程： 形如 )()(d d y g x f x

y

=或 y y N x M x y N x M d )()(d )()(2211= 的方程称为变量可分离方程。

齐次微分方程：形如

)(d d x

y

x y ?=的方程，称为齐次微分方程。 线性微分方程：未知函数和它的导数都是一次的微分方程。

一阶线性微分方程：

一阶线性微分方程的形式是 )()(d d x f y x p x y =+ 如果0)(≡x f ,即0)(d d =+y x p x

y

称为一阶线性齐次方程。如果)(x f 不恒为零，则称)()(d d x f y x p x y

=+为一阶线性非齐次方程。

伯努利（Bernoulli ）方程：形如 n y x f y x p x

y

)()(d d =+ (1,0≠n ) 的方程，称为伯努利

方程。

全微分方程：如果微分形式的一阶方程

0d ),(d ),(=+y y x N x y x M (1.1)

的左端恰好是一个二元函数),(y x U 的全微分，即

y y x N x y x M y x U d ),(d ),(),(d += (1.2)

则称方程(1.1)是全微分方程或恰当方程，而函数),(y x U 称为微分式(1.2)的原函数。

积分因子：假如存在这样的连续可微函数0),(≠y x μ，使方程

0d ),(),(d ),(),(=+y y x N y x x y x M y x μμ

成为全微分方程，我们就把),(y x μ称为方程(1.1)的一个积分因子。

二、主要定理

定理1.1 假如),(y x U 是微分式(1.2)的一个原函数，则全微分方程（1.1）的通积分为

C y x U =),(，其中C 为任意常数。

定理1.2 如果方程(1.1)中的),(),,(y x N y x M 在矩形区域

b y y a x x R ≤-≤-00,:

上连续可微，则方程(1.1)是全微分方程的充要条件是：在R 上有

x

N

y M ??≡??

三、基本解法

每种解法所对应的可积类型可归纳如下： 对于导数已解出的一阶方程),(y x f y ='，有 1．分离变量法：（1）显式变量可分离方程为： )()(d d y g x f x

y

= ； 当0≠g 时，通过积分

??+=C x x f y g y

d )()(d 求出通解。

（2）微分形式变量可分离方程为： y y N x M x y N x M d )()(d )()(2211=；

当0)()(21≠x M y N 时，通过积分 ??+=C x x M x M y y N y N d )()

(d )()(2112

求出通解。 （3）一阶齐次微分方程为： )(d d x y

g x y = ；

令x

y

u =，代入方程得x u u g x u -=

)(d d ，当0)(≠-u u g 时，分离变量并积分，得?=-u

u g u

x C )(d 1e

，即)

(e u C x ?=，用x

y

u =回代，得通解)(e x y

C x ?=. 2．常数变易法：（1）一阶线性非齐次微分方程为：)()(d d x f y x p x y

=+；

用常数变易法可以求出线性非齐次方程的通解：??+?

=-]d e )([e d )(d )(x x f C y x

x p x x p 。 （2）伯努利方程为：)1,0()()(d d ≠=+n y x f y x p x

y

n ， 两端除以n y ，得 )()(d d 1x f y x p x

y y n n =+--；令n y z -=1，代入后得到以z 为未知函数的线

性方程)()(d d 11x f z x p x

z

n =+-，在求通解。

3．积分因子法：化成全微分方程，按全微分方程求解。

（1）全微分方程（或恰当方程）为：0d ),(d ),(=+y y x N x y x M ；

若二元函数),(y x U 满足：y y x N x y x M y x U d ),(d ),(),(d +=，则上式的原函数为： ),(y x U .

（2）如果存在连续可微函数0),(≠y x μ，使方程+x y x M y x d ),(),(μ 0d ),(),(=y y x N y x μ成为全微分方程，则称),(y x μ积分因子。

对于导数未解出的一阶方程0),,(='y y x F 有 4．参数法：

（1）类型Ⅰ )0),((,

0),(='='y y F y x F

若参数形式???='=)()(t y t x ψ?，则参数形式通解为：??

???+==?C t t t y t x d )()()

(?ψ?&；

或参数形式???='=)()(t y t y ψ?，则参数形式通解为：??

???=+=?)

(d )()(t y C t t t x ?ψ?&

（2） 类型Ⅱ )),((),,(y y f x y x f y '='=

若参数形式??

?

??=='=)

,(p x f y p y x

x ，则参数形式解为：???==),(0),,(p x f y C p x G

或参数形式??

?

??=='=)

,(p y f x p y y

y ，则参数形式解为：???==Φ),(0),,(p y f x C p y

对于高阶方程有

降阶法： 第一种可降阶的高阶方程 )1(.

0),,,,()()1()

(>=+k y y y

x F n k k Λ；

第二种可降阶的高阶方程 0),,,(='n

y y y F Λ； 假如方程0),,,,()

(='n y y y x F Λ的左端恰为某一函数),,,,()1(-'Φn y y y x Λ对x 的导数，则称

该方程为恰当导数方程。 例题分析 例1 填空题

（1）方程0d )1(1)d (22

=-+-y x y x y x 所有常数解是 ．

解：将其化为

),(d d y x f x

y

=或),(d d x y g y x =形式，然后令方程右端的0),(=y x f 或0),(=x y g ，求出常数解，再代入方程验算，可以得到答案。

应该填写：1,1±=±=x y

（2）方程

y x x

y

sin d d 2=的所有常数解是 ． 解：应该填写：πk y =，Λ,2,1,0±±=k

（3）方程y x x

y

tan d d 2=的所有常数解是 ．

解：应该填写：πk y =，Λ,2,1,0±±=k

（4）一阶常微分方程的一个特解的图像是 维空间上的一条曲线． 解：应该填写：2

求下列方程的通解或通积分： 例2 0d d )2(=-+y x x y x 解：方程化为

x

y

x y 21d d +=

令xu y =，则

x

u

x

u x y d d d d +=，代入上式，得 u x

u

x +=1d d

分量变量，积分，通解为： 1-=Cx u

原方程通解为： x Cx y -=2

例3 1d d +=x

y

x y

解：齐次方程的通解为：Cx y =

令非齐次方程的特解为： x x C y )(=

代入原方程，确定出 C x x C +=ln )(

原方程的通解为： Cx y =+x x ln

例4

0d )ln (d 3=++y x y x x

y

解： 因为x

N

x y M ??==??1，所以原方程是全微分方程． 取)0,1(),(00=y x ，原方程的通积分为

C y y x x y y

x =+??0

31d d

即 C y x y =+4

41ln

例5 2

)(y y x y '+'=

解：原方程是克来洛方程，通解为：2

C Cx y +=

例6 03)(2

2=+'+''x y y y

解：原方程是恰当导数方程，可写成： 0)(3

='+'x y y 即 13

C x y y =+' 分离变量解此方程，通积分为： 24124

1

21C x x C y +-= 例7 1)ln (='-'y x y

解：令p y ='，则原方程的参数形式为

?????

='+=p y p

p x ln 1 由基本关系式 y x

y

'=d d ，有 p p p

p x y y )d 11(d d 2+-?='=p p )d 1

1(-=

积分得 C p p y +-=ln 得原方程参数形式通解为

??

?

??+-=+=C p p y p p x ln ln 1 例8 0d d )e (2

=+-y x x y x x

解：积分因子为 ：2

1

)(x x =μ， 原方程的通积分为

101

2d d )(e C y x x

y y x x =+-

??

即 1e ,e C C C x

y

x +==+

第2章 基本定理

一、主要概念

延展解、不可延展解：设)(1x y ?=是初值问题

?????==0

0)()

,(d d y x y y x f x

y

(2.1) 在区间R I ?1上的一个解，如果(2.1)还有一个在区间R I ?2上的解)(2x y ?=，且满足

(1)21I I ?；

(2)当)()(,211x x I x ??≡∈时；

则称解11),(I x x y ∈=?是可延展的，并称)(2x ? 是)(1x ?在I 2上的一个延展解.否则，如果不存在满足上述条件的解)(2x ?，则称11),(I x x ∈?是初值问题(2.1)的一个不可延展解， (亦称饱和解). 这

里区间I 1和Ｉ2可以是开的也可以是闭的.

奇解： 如果方程存在某一解，在它所对应的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的奇解. 奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线.

包络线： 设给定单参数曲线族

0),,(:)(=C y x C φ

其中C 为参数，Φ 对所有变量连续可微.如果存在连续可微曲线L ，其上任一点均有(C )中某一曲线与L 相切，且在L 上不同点，L 与(C )中不同曲线相切，那么称此曲线L 为曲线族(C )的包络线或简称包络.

二、主要定理

定理2.2 (存在与唯一性定理) 如果方程

),(d d y x f x

y

=的右端函数),(y x f 在闭矩形域 b y y b y a x x a x R +≤≤-+≤≤-0000,:

上满足如下条件：

(1) 在R 上连续;

(2) 在R 上关于变量y 满足李普希兹(Lipschitz )条件，即存在常数N ，使对于R 上任何一对点),(y x 和),(y x 有不等式：

y y N y x f y x f -≤-),(),(

则初值问题(2.1)在区间0000h x x h x +≤≤-上存在唯一解：

00)(),(y x x y ==??

其中),(max ),,

min(),(0y x f M M

b

a h R y x ∈==．

定理2.3 如果方程),(d d y x f x

y

=的右端函数),(y x f 在区域2R D ?上连续，且对y 满足局部

李普希兹条件，则对任何D y x ∈),(00，初值问题(2.1)存在唯一的不可延展解.

定理2.4 如果方程

),(d d y x f x

y

=的右端函数),(y x f 在(有界或无界)区域D 上连续，且关于y 满足局部李普希兹条件，那么对于D 上任意一点),(00y x ，方程),(d d y x f x

y

=的以),(00y x 为初值

的不可延展解),(),(βα?∈=x x y ，当00-→+→βαx x 和时，相应积分曲线上的点

))(,(x x ?都趋于D 的边界.

定理2.6 若L 是曲线族0),,(:)(=ΦC y x C 的包络线，则它满足如下的C -判别式

??

?=Φ'=Φ0),,(0

),,(C y x C y x C

(2.2) 反之，若从(2.2)解得连续可微曲线

)(),(:C y C x ψ?==Γ

且满足：0)()(22≠'+'C C ψ?和0)),(),(()),(),((22

≠Φ'+Φ'C C C C C C y x ψ?ψ?,（称为非退化条

件），则Γ是曲线族的包络线.

三、基本解法

1．不存在奇解的判别方法：

（1）若方程在全平面上解唯一，则方程不存在奇解；

（2）若不满足解唯一的区域上没有方程的解，则方程无奇解． 2．求奇解的包络线求法．

若L 是曲线族0),,(:)(=ΦC y x C 的包络线，则其满足C —判别式（2.2）．

在非蜕化条件下，从C —判别式解出的曲线)(),(:C y C x ψ?==Γ是曲线族的包络线．

四、复习要求

1．知道线素与线素场的概念，理解解的存在与唯一性定理的条件、结论，理解其证明方法． 2．了解解的延展、延展解、不可延展解的概念，了解局部李普希兹条件，理解解的延展定理，了解其证明方法．

3．了解奇解定义、包络线概念，掌握不存在奇解的判别法、包络线的C -判别式，掌握奇解的包络线求法．

4．掌握利用解的存在与唯一性定理、解的延展定理证明有关方程解的某些性质的基本方法．

本章重点：解的存在与唯一性定理，解的延展定理。

五、例题分析 例1 填空题

（1）方程

x x y x

y

e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定是 ． 解：将方程整理为：),(sin e d d y x

f x y x

y

x =-=

因为在矩形区域R ：+∞<<∞-+∞<<∞-y x ,内，方程右端的),(y x f 满足解的存在、惟一性定理的条件，所以应该填写：),(∞+-∞

（2）方程y x x

y

cos sin d d ?=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．

解：因为在矩形区域R ：+∞<<∞-+∞<<∞-y x ,内，方程右端的),(y x f 满足解的存在、

惟一性定理的条件，所以应该填写：xoy 平面

（3）李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件．

解：由教材第105页可以知道，应该填写：充分

（4）方程21d d y x

y

-=的奇解是 ． 解：由教材第123页的例2.4.4可以知道，应该填写：1±=y

例2 单项选择题

（1）),(y x f y '

连续是保证),(y x f 对y 满足李普希兹条件的（ ）条件． （A ）充分 （B ）充分必要 （C ）必要 （D ）必要非充分 解：由教材第页的说明1可以知道，正确答案：A

（2）方程21y y -='过点)0,0(的解x y sin =，这个解的存在区间是（ ）． （A ）),0(∞+ （B ）)0,(-∞ （C ）]2,

2[π

π- （D ）),(∞+-∞

解：正确答案：C （3）方程

y x

y =d d 满足解存在惟一性定理条件的区域是（ ）．

（A ）xoy 平面 （B ）左半平面 （C ）右半平面 （D ）除x 轴外的全平面 解：因为y y x f =

),(在x 轴处的偏导数),('y x f y 不存在，正确答案：D

（4）常微分方程的一个不可延展解的存在区间一定是（ ）．

（A ）),(∞+-∞ （B ）闭区间 （C ）开区间 （D ）),0(∞+ 解：不可延展解的存在区间一定是开区间，所以正确答案：C

例3 设)(x ?在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程

y x x

y

sin )(d d ?= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞．

证明 由已知条件可知，该方程在整个xoy 平面上满足解的存在惟一及延展定理条件，又存在常数解 Λ,2,1,0,

±±==k k y π．

对平面内任一点),(00y x ，若πk y =0，则过该点的解是πk y =，显然是在),(∞+-∞上有定

义．

若πk y ≠0,则))1(,(0ππ+∈k k y ,记过该点的解为)(x y y =，那么一方面解)(x y y =可以向

平面的无穷远无限延展；另一方面在条形区域k y k x y x (,),({<<π+∞<<∞- })1π+内)(x y 不能上、下穿过解π)1(+=k y 和πk y =，否则与解的惟一性矛盾．因此解的存在区间必为

),(∞+-∞．

例4 在方程

)()(d d y x f x

y

?=中，已知)(y f ，)(x ?'在),(∞+-∞上连续，且0)1(=±?．求证：对任意0x 和10

证明 由已知条件，该方程在整个xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件． 显然1±=y 是方程的两个常数解．

任取初值),(00y x ，其中),(0∞+-∞∈x ,10

例5 假设方程

),(d d y x f x

y

=在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且)(1x y ，)(2x y 是定义在区间I 上的两个解．求证：若)(01x y <)(02x y ，I x ∈0，则在区间I 上必有)(1x y <)(2x y 成

立．

证明 仅证0x x ≥方向，（反之亦然）．

假设存在0x x ≥，使得)(1x y >)(2x y （)(1x y =)(2x y 不可能出现，否则与解惟一矛盾）． 令)(x y =)(1x y -)(2x y ，那么

)(0x y =)(01x y -)(02x y < 0， )(x y =)(1x y -)(2x y > 0

由连续函数介值定理，存在),(0*

x x x ∈，使得

)(*x y =)(*

1x y -)(*

2x y = 0 即 )(*

1x y =)(*

2x y

这与解惟一矛盾． 例6 设)(x y 是方程

0)(d d )(d d 2

2=++y x q x y

x P x y 的非零解，其中)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续．求证：当0)(0=x y 时，必有0d d 0

≠=x x x

y

．

证明 由已知条件知方程存在零解．

该方程满足解的存在惟一性定理条件． 设)(x y 是方程的一个非零解，假如它满足 0)(0=x y ，

0d d 0

==x x x

y ，

由于零解也满足上述条件，以及方程有零解存在，那么由解的惟一性有0)(≡x y ，这与)(x y 是非零解矛盾．

例7 在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，已知)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续．求证：该方程的任一非零解在xoy 平面上不能与x 轴相切．

证明 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是),(∞+-∞．

显然，该方程有零解0)(≡x y ．

假设该方程的任一非零解)(1x y 在x 轴上某点0x 处与x 轴相切，即有)()(01

01x y x y '== 0，那么由解的惟一性及该方程有零解0)(≡x y 可知),(,0)(1∞+-∞∈≡x x y ，这是因为零解也满足初值

条件)()(0101x y x y '== 0，于是由解的惟一性，有∈≡≡x x y x y ,0)()(1,(-∞ )∞+．这与)(1x y 是

非零解矛盾．