概率论与数理统计复习题1
概率论与数理统计复习题（一）
A. 古典概型
选择题
1. 在所有两位数(10－99)中任取一两位数，则此数能被2或3整除的概率为 （ ） A. 6/5 B . 2/3 C. 83/100 D.均不对
2. 对事件A,B.下列正确的命题是 （ ） A ．如A,B 互斥，则A ，B 也互斥
B. 如A,B 相容，则A ，B 也相容
C. 如A,B 互斥，且P(A)>0,P(B)>0,则A.B 独立 D . 如A,B 独立，则A ，B 也独立
3. 掷二枚骰子，事件A 为出现的点数之和等于3的概率为 （ ） A.1/11 B . 1/18 C. 1/6 D. 都不对
5. 甲，乙两队比赛，五战三胜制，设甲队胜率为0.6，则甲队取胜概率为（ ） A. 0.6
B. C 35*0.63*0.42
C. C 350.63*0.42+C 4
5
*0.64*0.4 D .C 35*0.63*0.42+C 45
*0.64*0.4+0.65 6. 某果园生产红富士苹果，一级品率为0.6，随机取10个，恰有6个一级品之概率（ ） A. 1
B. 0.66
C . C 4
6610 4.06.0
D.（0.6）4
60.4）（
7. 一大楼有3层，1层到2层有两部自动扶梯，2层到3层有一部自动扶梯，各
扶梯正常工作的概率为 P ，互不影响，则因自动扶梯不正常不能用它们从一楼到三楼的概率为（ ） A.（1-P ）3 B. 1-P 3
C . 1-P 2（2-P ）
D.（1-P ）（1-2P ）
8. 甲，乙，丙三人共用一打印机，其使用率分别p, q, r ，三人打印独立，则打印
机空闲率为（ ） A. 1-pqr B . （1-p ）（1-q ）（1-r ） C. 1-p-q-r D. 3-p-q-r 9. 事件A,B 相互独立， P(A)=0.6, P( A B )＝0.3, 则 P(AB)=（ ） A . 0.15 B. 0.2 C. 0.25 D. 0.1
10. 甲，乙各自射击一目标，命中率分别为0.6和0.5，已知目标被击中一枪，则此枪为甲命中之概率 （ ） A . 0.6 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.55 11. 下列命题中，真命题为 （ ）
A. 若 P （A ）=0 ，则 A 为不可能事件
B .若A,B 互不相容，则1B A P ）＝（
C.若 P(A)=1，则A 为必然事件
D.若A,B 互不相容，则 P(A)=1-P(B)
12. A,B 满足P(A)+P(B)>1，则A,B 一定（ ）
A. 不独立
B. 独立
C. 不相容 D . 相容
13. 若 （ ），则〕〕〔＝〔）P(B)-1P(A)-1B A P( A. A,B 互斥 B. A>B C. 互斥，B A
D . A,B 独立
14. 6本中文书，4本外文书放在书架上。则4本外文书放在一起的概率（ ）
A. 10!4!6!
B. 7/10 C . 10!
4!7! D. 4/10
15. A,B 的概率均大于零，且A,B 对立，则下列不成立的为（ ） A. A,B 互不相容 B . A,B 独立 C. A,B 不独立
D. 互不相容，B A
16. 10个球中3个红，7个绿，随机分给10个小朋友，每人一球。则最后三个分到球的小朋友中恰有一个得到红球的概率为（ ）
A. ）（103C 13
B. 210
7103））（（ C. 2
13
10
7103C ））（（
D . 3
10
2
713C C C 17. 甲，乙两人射击，A,B 分别表示甲，乙射中目标，则AB 表示（ ）。 A. 两人都没射中 B .两人没有都射中 C. 两人都射中 D. 都不对 18. A,B 表示事件，则（ ）不成立。 A. B B A B A ＝ B . B A B A ＝ C. B A B A ＝－
C. φ）＝（）（B A AB
19. 以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为（ ）。 A.甲种产品滞销，乙种产品畅销
B. 甲，乙两种产品均畅销
C.甲种产品滞销
D . 甲种产品滞销或乙种产品畅销
20. 已知事件A,B 满足B A ?，则）（）－ B P(A ≠
A. ）（B A P
B.P （A ）－P （B ） C . 1－P （AB ） D.P （A ）－P （AB ）
21. 当B A 与互不相容时，则））＝（（ B A P 。 A. 1－P （A ）
B.1－P （A ）－P （B ）
C . 0 D.）
（）（B P A P 22. 从一副52张的扑克牌中任意取5张，其中没有k 字牌的概率为（ ） A. 48/52
B . 552
548
C C
C. 52C 548
D. 5552
48
23. 某小组共9人，分得一张观看亚运会的入场券，组长将一张写有“得票”字样和8张写有“不得票”字样的纸签混合后让大家依次各抽一张，以决定谁得入场卷，则（ ）
A. 第一个获“得票”的概率最大
B.第五个抽签者获“得票”的概率最大 C . 每个人获“得票”的概率相等 D.最后抽签者获“得票”的概率最小 24. 若二事件A 和B 同时出现的概率P(AB)＝0，则（ ）。 A. A 和B 不相容（相斥） B. A,B 是不可能事件 C . A,B 未必是不可能事件 D. P （A ）＝0或P （B ）＝0
25. 设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（ ） A. B A 与不相容
B. B A 与相容
C. P （AB ）＝P(A)P （B ） D . P （A －B ）＝P （A ） 26. 设当事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则（ ）
A. 1B P A P C P ）－（）＋（）（≤ B . 1B P A P C P ）－（）＋（）（≥ C. P （C ）＝P （AB ）
D. ）（）＝（B A P C P
27. 设 0 A. 事件A 和B 互斥 B. 事件A 和B 对立 C. 事件A 和B 不独立 D . 事件A 和B 相互独立 28. 关于事件的独立性，下列结论正确的有（ ） A. n 21n 21n 21A ....A A A P .....A P A P A .....A A P ，）则（）（）（）＝（若相互独立 B .A,B 相互独立，则B A ，也相互独立 C. A,B 相互独立，则P （A+B ）＝P （A ）＋P(B) D. 都不对 99. 事件A,B 若满足P （A ）＋P （B ）>1，则A 与B 一定（ ）。 A. 不相互独立 B. 相互独立 C. 互不相容 D . 不互斥 30. 设电灯泡使用寿命在2000h 以上的概率为0.15，如果要求3个灯泡在使用2000h 以后只有一个不坏的概率，则只需用（ ）即可算出。 A. 全概率公式 B.古典概型计算公式 C. 贝叶斯公式 D .贝努里公式 31. 设321,,A A A 为任意的三事件，以下结论中，正确的是 A . 若321,,A A A 相互独立，则321,,A A A 两两独立 B. 若321,,A A A 两两独立，则321,,A A A 相互 独立 C. 若),()()(),,(32132A P A P A P A A A P =则321,,A A A 相互独立 D. 若21A A 与独立，32A A 与独立，则31A A 与独立 32. 已知A,B,C 两两独立，P(A)=P(B)=P(C)=1/2, P(ABC)=1/5,则)(C AB P 等于 A. 1/40 B . 1/20 C. 1/10 D. 1/4 33. 在最简单的全概率公式)()())(()(A B P A P A B A P B P +=中，要求事件A 与B 必须满足的条件是（ ） A . 0 D.)()()(B A P B P A P -+ 35. 设A,B 是两个随机事件， 0 A. )()(B A P B A P = B. )()(B A P B A P ≠ C . P(AB)=P(A)P(B) D. )()()(B P A P AB P ≠ 36. 设A,B 为任意两事件，且B A ?，P （B ）>0，则下列选项必然成立的是（ ）。 A. P(A) C. P(A)>P （A|B ） D.）（B A P P(A)≥ 37. 设A,B 是两个随机事件，且0 A. ）（）＝（B A P B A P B. ）（）B A P B P(A ≠ C . P （AB ）＝P （A ）P(B) D. P(A)P(B)AB)P ≠（ B. 随机变量 选择题 1. 下列函数中可以为分布密度函数的是 （ ） A. f(x)＝??? ??>+其它 x x 112 B. F(x)＝???∈ 其它〕〔00,x sinx π C . f(x)＝?? ?>其它－－（0 a x e a) x D. f(x)＝???<<其它－0 1x 13x 2. 设P(x.y)为（x.y ）的联合密度函数，则 {D y x,p ∈）（｝等于（ ）。其中D 由 y=2x ，x=1， y=0所围 A. ??2 02y 1 )).(dy dx y x P （ B . ??210 1 2 )).(y dy dx y x P C. ??1 20 )).((y dx dy y x p D. ??10 2 )).((dx dy y x p 3. 下列各函数，无论a 取何值，（ ）不可能为分布函数 A. ???≥<-=101)(2x x ax x p B . ?? ?? ?>≤=202sin )(ππx x x a x p C. a x e x p +-=)( D. ??? ??≥<-=1 011)(2 x x x a x p 4. 掷骰子4个，则出现一个‘6’的概率为（ ） A. 461? B. 0.25 C . 3 34 )6 5.(61.c D.3)6 5.(61 5. 设随机变量X 的密度函数为 ?? ?≤≤=其它 1 x 04x P(x)3 则使p(x>a)＝p(x 2 1 B. 4 2 C. 2 1 D. 4 2 1-1 6. 某型号收音机晶体管的寿命X （单位：h ）的密度函数为???? ?>≤1000 x x 1000 1000x 0p(x)2 ＝ 装有5个这种三极管的收音机在使用的前1500h 内正好有2个需要更换的概率是（ ） A. 1/3 B. 40/243 C . 8/243 D. 2/3 7. 如有下列四个函数，哪个可以是一分布函数（ ） A. ?? ???≥<≤<0x 20x 221-2x 0F(x)－＝ B. ??? ??≥<≤<=ππx 1x 0sinx 0x 0 F(x) C . 0x 0 F(x)sinx 0x 21x 2ππ??≤?? =<≤???>?? D. 0x 011F(x)x 0x 32 1 1x 2? ?≤? ? =+ <≤???> ?? 8. 如果 x e 1c －+），（－∞∞是x 的分布函数，则 0)p(x ≥＝（ ） A. 1 B . 1/2 C. 1/3 D. 0 9. 随机变量x 之密度函数 ?? ?≥=其它 1 x ax -1P(x)2 则 a ＝（ ） A . 3/2 B. 1/2 C. 1 D. －1 10. X 服从2＝λ的泊松分布。则（ ） A. p ｛x ＝0｝＝p ｛x ＝1｝ B . 分布函数2e 0)F x F －＝（）有（ C. 22e 1p{x －｝＝≤ D. p(x=0)＝22e － 11. 120,1 N －＝），（～ξηξ，则 ～η（ ） A. N(0,1) B . N(－1,4) C. N （－1,3） D. N （－1,1） 12. X ～N （0,4）F （x ）为其分布函数，则x)F （‘ ＝（ ） A. 8 x 2 e 21－ π B . 8 x 2 e 221－ π C. 4 x 2e 1 － π D. 4 x 2 2e 21 － π 13. 当X 服从参数为n ，p 的二项分布时，P （X ＝k ）＝（ ）。 A. k n k q p － B . k n k k n q p C － C.n N k n m N k m C C C －－ D. k n pq － 14. 一电话交换台每分钟接到的呼唤次数X 服从4＝λ的普阿松分布，那么每分钟接到的呼唤次数大于20的概率是（ ）。 A. 4 20e 20 4－ B. 4 0k k e k 4－＝！ ∑∞ C. 4 21k k e 20 4－＝！∑∞ D . 4 21k k e k 4－＝！ ∑∞ 15. 设X ）（）＝（x X P x F ≤ ）。 A. 0.2 16. X 为连续型随机变量，p （x ）为其概率密度，则（ ）。 A. p （x ）＝F(x) B.1x)p ≤（ C. P （X ＝x ）＝p(x) D .0x)p ≥（ 17. 设）（＝（x X P x)F ≤是连续型随机变量X 的分布函数，则下列结论中不正确的是（ ）。 A .F （x ）不是不减函数 B. F （x ）是不减函数 C.F （x ）是右连续 D.1F 0F ）＝（＋，）＝（－∞∞ 18. 设F （x ）是随机变量X 的分布函数，则对（ ）随机变量X ，有 )()(}P {x 1221x F x F x X -=<<。 A. 任意 B .连续型 C.离散型 D.个别离散型 19. 随机变量ξ的密度函数为???∈，其它，）；（，）＝（0A 0,x 2x x p 则常数A ＝（ ）。 A. 1/4 B. 1/2 C . 1 D. 2 20. 设随机变量ξ的密度函数为???∈其它 ，〕 ，〔，）＝（010x cx x p 4 则常数c ＝（ ）。 A. 1/5 B. 1/4 C. 4 D . 5 21. 函数?? ? ??>>其它，）＝（－,0;0.,0x e 1x x δθ?θ 是（ ）的概率密度。 A . 指数分布 B. 正态分布 C. 均匀分布 D.泊松分布 22. X 服从正态分布），（2N σμ，其概率密度函数p （x ）＝（ ）。 A. 2 2 x e 21σ μπ）－（－ B. 2 2x e 21 ） （）－（－σμπσ C . 2 2 2x e 21 σμπ σ）－（－ D. 2 2 2x e 2σμπ σμ ）－（－ 23. 若X ～N （2,4），则X 的概率密度为（ ）。 A. ） ，＋（－，）＝ （）－（－ ∞∞∈x e 21x p 2 22x 2 π B .） ，＋（－，＝ （）－（－ ∞∞∈x e 221x)p 8 2x 2 π C. ） ，＋（－，＝ （）－（－ ∞∞∈x e 221 x)p 4 4x 2 π D. ），＋（－，）＝（）－（－ ∞∞∈x e 21 x p 4 2x 2 π 24. 每张奖券中尾奖的概率为1/10。某人购买了20张号码杂乱的奖券，设中尾奖的张数为X ，则X 服从（ ）分布。 A . 二项 B. 泊松 C. 指数 D. 正态 25. 设X ～N （0,1），）（x φ是X 的分布函数，则）＝（0φ（ ）。 A. 1 B. 0 C. π 21 D . 1/2 26. 一电话交换台每分钟接到呼唤次数X 服从3＝λ的普阿松分布，那么每分钟接到呼唤次数X 大于10的概率是（ ）。 A.3 10e 103－！ B . 3 11k k e k 3－＝！ ∑∞ C. 3 10k k e k 3－＝！ ∑∞ D. 都不对 27. 连续型随机变量X 的分布函数为F （x ），则有（ ）。 A . a)F b)F b X a P （－（｝＝｛≤≤ B. P ｛X ＝b ｝>0 C. )()(}a P a F b F b X -≠<<｛ D. P ｛x ＝a ｝>0 28. 设打一次电话所用的时间X 服从以10 1 ＝ λ为参数的指数分布，那么等待超过10分钟的概率是（ ）。 A. 1e 1－－ B . 1e － C. 2e 1－－ D. 都不对 29. 设），（～2N X σμ，则不正确的是（ ）。 A. 密度函数以μ＝x 为对称轴的钟形曲线 B .σ越大，曲线越峭 C. σ越小，曲线越陡峭 D. 2 1 F ）＝（μ 30. 设随机变量 X 的密度函数为f (x),且 f (-x)=f (x)·F(x)是X 的分布函数，则对任意实 数a ，有（ ） A. ?-=-a dx x f a F 0)(1)( B . ?-=-a dx x f a F 0)(2 1 )( C. F (- a)=f (a) D. F (-a)=2F (a) - 1 31. 设随机变量X 的密度函数为f (x),且f (-x)=f (x), F(x)是X 的分布函数，则对任意实数a,有（ ） A. ?-=-a dx x f a F 0)(1)( B . ?-=-a dx x f a F 0 )(21 )( C. F(-a)=f (a) D. F(-a)=2 F(a) - 1 32. 设),4,(~2μN X )5,(~2μN Y 。记}4{1-≤=μX P P ， }5{2+≥=μY P ，则（ ） A .对任意实数μ，都有21P P =； B.对任意实数μ，都有21P P <； C.对任意实数μ，都有21P P >； D.只对μ的个别值，才有21P P =。 33. 在下述函数中，可以作为某个随机变量的分布函数的是（ ） A.2 11)(x x F +=； B .21 1)(+=arctgx x F π； C.?????≤>-=-000 )1(21)(x x e x F x ； D.?∞ -=x dt t f x F ,)()(其中?+∞∞-=1)(dt t f 。 34. 设X~N (0,1),)(x Φ是X 的分布函数，则=Φ)0( A. 1 B. 0 C. π 21 D . 1/2 35. ),1(~2σξ-N 且4.0}13{=-≤≤-ξP ，则=≥}1{ξP A . 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D.0.5 36. 随机变量ξ的概率密度函数为),(,1)(2 +∞<<-∞+= x x c x P 则常数c= A . π1 B. π2 C. π D. 2π 37. ),(~x ?ξ而,) 1(1 )(2x x += π?则ξη2=的概率密度是（ ） A. ;) 41(1 2x +π B . )4(22 x +π C. ;) 1(1 2 x +π D. .1 arctgx π 38. 设随机变量X 服从正态分布),,(2σμN 则随σ的增大，概率}{σμ<-X P 应该（ ） A. 单调增大 B. 单调减少 C . 保持不变 D. 增减不变 C. 随机向量 选择题 1. 设X,Y C . p(X ＝Y)＝0.5 D. p(X ＝Y)＝1 3. 设随机变量X 与Y 独立同分布，且 p{x ＝－1}＝p ｛y ＝－1｝＝1/2 p ｛x ＝1｝＝p ｛y ＝1｝＝1/2， 则下列各式成立为（ ） A . 21 )(==Y X P B. 1)(==Y X P C. 41)0(==+Y X P D. 41 )1(==XY P 4. ηξ，相互独立的随机变量，其分布函数分别为 ），（＝）则（，（ηξηξmin Z y F x)F 的分布函数为（ ） A. ）（）＝（x F F Z ξz B. y)F F Z （＝η C. ｝（，（｛＝（y)F x)F min z)F Z ηξ D . 〕（〕〔（－〔＝（y)F -1x)F -11z)F Z ηξ 5. 已知 D （X-Y ）＝DX ＋DY ，则下列不正确的是（ ） A. D （X+Y ）＝DX ＋DY B. E(XY)＝EX. EY C. X,Y 不相关 D . X,Y 独立 6. 设X,Y 独立同分布 U ＝X －Y ，V ＝X ＋Y 则U,V 必（ ） A. 不独立 B. 独立 C. 0UV ≠ρ D .0U V ＝ρ 7. 设随机变量 ??? ? ? ?-4/112 /104 /11 X i ～ i ＝1,2 且）＝＝（则，）＝＝（2121x x 10x x P P （ ） A . 0 B. 1/4 C. 1/2 D. 1 8. 设F(X,Y)是（X,Y ）联合分布函数，则）（＋y ,F ∞等于（ ） A. ?∞ ∞－p(x.y)dx B. ?∞ ∞ －p(x.y)dy C. ）（x F x D . y)F y （ 9. 设，，0DY 0DX ≠≠ 如有常数b 0a 与≠使 P{Y ＝aX ＋b}＝1,则） ＝（ xy ρ A. 1 B. －1 C. 0 D . 1或－1 10. 设随机变量X 和Y 相互独立，其概率分布为??? ? ????????????323121Y 323121X ～，～ 则下列式子正确的是（ ）。 A. P ｛X ＝Y ｝＝2/3 B. P ｛X ＝Y ｝＝1 C. P ｛X ＝Y ｝＝1/2 D . P ｛X ＝Y ｝＝5/9 11. 设随机变量X 与Y 相互独立且同分布：且P ｛X ＝－1｝＝P ｛Y ＝－1｝＝1/2, P ｛X ＝1｝＝P ｛Y ＝1｝＝1/2. 则下列各式中成立的是（ ）。 A . P ｛X ＝Y ｝＝1/2 B. P ｛X ＝Y ｝＝1 C. P ｛X ＋Y ＝0｝＝1/4 D. P ｛XY ＝1｝＝1/4 12. 设）（）与（x F x F 21为21X X 与的分布函数，为使x)bF x aF x F 21（）－（）＝（是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ）。 A . a ＝3/5，b ＝－2/5 B. a ＝2/3，b ＝2/3 C. a ＝－1/2，b ＝3/2 D. a ＝1/2，b ＝－3/2 13. 设随机变量????? ? ? ??? ? ??? 412 14110 1X i －～ （I ＝1,2） 且满足｝ ＝｛，则｝＝＝｛2121X X P 10X X P 等于（ ）。 A . 0 B. 1/4 C. 1/2 D. 1 14. 设随机变量X 和Y 独立同分布，记U ＝X －Y ，V ＝X ＋Y ，则随机变量U 和V 也（ ）。 A. 不独立 B. 独立 C.相关系数不为零 D .相关系数为零 证明题 1. 若 f （x ），g （x ）均是〔a,b 〕上随机变量的概率密度函数。求证： （1）f(x)＋g （x ）不可能是〔a,b 〕上的概率密度函数 （2）对任一） （）－＋（（），则（x g 1x)f 10ββββ<<可以是概率密度函数 2.证明：.4 1)()()(≤-B P A P AB P 3. 设二维随机变量(X,Y)服从矩形[0，1]×[0，2]上的 均匀分布。求证： .4 3 )1(=≥+Y X P 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。 第五章作业题解 5.1 已知正常男性成人每毫升的血液中含白细胞平均数是7300, 标准差是700. 使用切比雪 夫不等式估计正常男性成人每毫升血液中含白细胞数在5200到9400之间的概率. 解：设每毫升血液中含白细胞数为，依题意得，7300)(==X E μ，700)(==X Var σ 由切比雪夫不等式，得 )2100|7300(|)94005200(<-=< 《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计. 概 率 论 第一章 随机事件与概率 例1 设B A ,为随机事件，已知() 4.0,6.0)(, 5.0)(===A B P B p A P ，求 1) )(B A P + 2) )(B A P 3) ()B A P 4) )(B A P - 5) )(B A P + 例2 6个不同的球，投入编号为1到7的7个空盒中，求下列事件的概率：1) 1号到6号盒中各有一个球 2) 恰有6个盒中各有1个球 3) 1号盒内有2个球 例3 袋中有两个5分的，三个贰分的，五个1分的钱币。任取其中5个，求钱额总数超过壹角的概率。 例4 验收一批共有60件的可靠配件，按验收规则，随机抽验3件，只要3件中有一件不合格就拒收整批产品，假设，检验时，不合格品被误判为合格品的概率为0.03 ，而合格品被判为不合格品的概率为0.01，如果在60件产品中有3件不合格品，问这批产品被接收的概率是多少？ 例5 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱24只装，统计资料表明，每箱最多有2件残品，且含0，1和2件残品的箱各占80%，15%和5%。现随意抽取一箱，从中随意检验4只，若未发现残品则通过验收，否则逐一检验并更换。试求：1）一次通过验收的概率 2）通过验收的箱中确无残品的概率。 例6 一个医生已知某疾病的自然痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定10人中至少有4人治好，则认为这种药有效，反之，则无效，求：1）虽然新药有效，且把痊愈的概率提高到35%，但经过验收被否定的概率；2）新药完全无效，但经过试验被认为有效的概率。 例7 设B A ,是两个事件，0)(,0)(21>=>=P B P P A P ，且121>+P P ，证明：1 211)(P P A B P --≥ 例8 已知161)()(,0)(,41)()()(==== ==BC P AB P AB P C P B P A P ，求C B A ,,全不发生的概率。 例9 在长度为a 的线段内任取两点，将其分成三段，求它们能构成三角形的概率。 例10 设有三门炮同时对某目标射击，命中的概率分别为0.2，0.3，0.5，目标命中一发被击毁的概率是0.2，命中两发被击毁的概率为0.6，命中三发被击毁的概率为0.9，求三门炮在一次射击中击毁目标的概率。 例11 假设一厂家生产的仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，调试后以概率0.80可以出厂，并以概率0.20定为不合格品而不能出厂。现该厂生产了) 2n(n ≥ 模拟试题A 一.单项选择题（每小题3分，共9分） 1. 打靶3 发，事件表示“击中i发”，i = 0，1，2，3。那么事件 表示( )。 ( A ) 全部击中；( B ) 至少有一发击中； ( C ) 必然击中；( D ) 击中3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为 ( )。 ( A ) ；( B ) ；(C) ；(D) 3.设随机变量，服从二项分布B ( n，p )，其中0 < p < 1 ，n = 1，2,…，那么，对 于任一实数x，有等于( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.设A , B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概 率为，则4人中至多1人需用台秤的概率为：__________________。 4.从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________。 三、（10分）已知，求证 四、（10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。直到查 到次品时为止，用x表示检查次数，求的分布函数： 五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10% ,瘦者患高血压病的概率为 5%, 试求： ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？ 六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和，其概率密度分别是： 如果与相互独立，写出的联合概率密度，并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A)， ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B)， ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。 七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。 八、（10分）设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 又知随机变量 , 试求w的分布律及其分布函数。 九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg且强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取25 件作强力试验，算 得，问新产品的强力标准差是否有显著变化？( 分别 取和0.01，已知， ） 十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下： 湖北汽车工业学院 概率论与数理统计考试试卷 一、（本题满分24，每小题4分）单项选择题（请把所选答案填在答题卡指定位置上）： 【C 】1．已知A 与B 相互独立，且0)(>A P ，0)(>B P ．则下列命题不正确的是 )(A )()|(A P B A P =． )(B )()|(B P A B P =． )(C )(1)(B P A P -=． )(D )()()(B P A P AB P =． 【B 】2．已知随机变量X 的分布律为 则)35(+X E 等于 )(A 8． )(B 2． )(C 5-． )(D 1-． 【A 】3．设随机变量X 与Y 均服从正态分布2~(,4)X N μ，2~(,5)Y N μ，而 }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则 )(A 对任何实数μ，都有21p p =． )(B 对任何实数μ，都有21p p <． )(C 只对μ的个别值，才有21p p =． )(D 对任何实数μ，都有21p p >． 【C 】4．在总体X 中抽取样本,,,321X X X 则下列统计量为总体均值μ的无偏估计量的是 )(A 3213211X X X ++= μ． )(B 2223212X X X ++=μ． )(C 3333213X X X ++=μ． )(D 4 443214X X X ++=μ． 【D 】5. 设)(~n t X ，则~2 X )(A )(2n χ． )(B )1(2χ． )(C )1,(n F ． )(D ),1(n F ． 【B 】6．随机变量)1,0(~N X ，对于给定的()10<<αα，数αu 满足αα=>)(u u P ， 若α=<)(c X P ，则c 等于 )(A 2αu ． )(B )1(α-u ． )(C α-1u ． )(D 21α-u ． 二、（本题满分24，每小题4分）填空题（请把你认为正确的答案填在答题卡指定位置上）： 1. 设样本空间{},2,3,4,5,6 1=Ω，{},21=A ,{},32=B ,{},54=C ,则=)(C B A {},3,4,5,61. 2. 某班级学生的考试成绩数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，这两门都不及格的占 3%。已知一学生数学不及格，那么他语文也不及格的概率是 5 1 . 3. 设离散型随机变量X 的分布列为{}k a k X P ?? ? ??==31， ,3,2,1=k ，则=a 2. 4. 已知2)(-=X E ，5)(2 =X E ，那么=-)32015(X D 9. 习 题二 1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大 号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】 故所求分布律为 2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出 的次品个数，求： （1） X 的分布律； （2） X 的分布函数并作图； (3) 133 {},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】 故X 的分布律为 （2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0 当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)= 22 35 当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435 当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数 (3) 3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】 设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3. 故X 的分布律为 分布函数 4.（1） 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=! k a k λ， 其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2） 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ， 试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知 故 e a λ -= (2) 由分布律的性质知 即 1a =. 5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率. 【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7) (1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+ 331212 33 (0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++ (2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ =0.243 6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？ 【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有 即 200 2002001 C (0.02)(0.98) 0.01k k k k N -=+<∑ 利用泊松近似 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道. 7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？ 【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001） 8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则 故 1 3 p = 所以 4451210(4)C ()33243 P X === . 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3） (2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3） 10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时 间间隔起点无关（时间以小时计）. （1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率； （2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. <概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率 为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=， 福州大学概率论与数理统计试卷A (20130702) 附表： (Φ 2.5)=0.9937, (Φ3)=0.9987，09.2)19(025.0=t 一、 单项选择(共18分,每小题3分) 1．设随机变量X 的分布函数为()F x ，则以下说法错误的是( ) （A ）()()F x P X x =≤ （B ）当12x x <时，12()()F x F x < （C ）()1,()0F F +∞=-∞= （D ）()F x 是一个右连续的函数 2.设,A B 独立，则下面错误的是( ) (A) B A ,独立 (B) B A ,独立 (C) )()()(B P A P B A P = (D)φ=AB 3. 设X 与Y 相互独立，且3 1 )0()0(= ≥=≥Y P X P ，则=≥)0},(max{Y X P ( ) （A ）91 （B ）95 （C ）98 （D ）3 1 4. 设128,,,X X X K 和1210,,,Y Y Y L 分别是来自正态总体()21,2N -和()2,5N 的样本，且相互独立，21S 和22S 分别为两个样本的样本方差，则服从(7,9)F 的统计量是( ) （A ）222152S S （B ） 212254S S （C ）222125S S （D ）2 22 145S S 5. 随机变量)5.0,1000(~B X ，由切比雪夫不等式估计≥<<)600400(X P ( ) (A)0.975 (B)0.025 (C)0.5 (D) 0.25 6.设总体),(~2 σμN X ，n X X X ,,,21Λ为X 的一组样本， X 为样本均值，2 s 为样本 方差，则下列统计量中服从)(2n χ分布的是（ ）. (A) 1--n s X μ (B) 2 2)1(σs n - (C) n s X μ - (D) ∑=-n i i X 1 22)(1μσ 学院 专业 级 班 姓 名 学 号 《概率论与数理统计》教学大纲 一、内容简介 《概率论与数理统计》是从数量侧面研究随机现象规律性的数学理论，其理论与方法已广泛应用于工业、农业、军事和科学技术中。主要包括：随机事件和概率，一维和多维随机变量及其分布，随机变量的数字特征，大数定律与中心极限定理，参数估计，假设检验等内容。 二、本课程的目的和任务 本课程是理工学科和社会学科部分专业的基础课程。课程内容侧重于讲解概率论与数理统计的基本理论与方法，同时在教学中结合各专业的特点介绍性地给出在科研、生产、社会等各领域中的具体应用。课程的任务在于使学生建立随机现象的基本概念和描述方法，掌握运用概率论和统计学原理对自然和人类社会的现象进行观察、描述和预言的方法和能力。为学生树立基本的概率论和统计思维素养，以及进一步在相关方向深造，打下基础。 三、本课程与其它课程的关系 学生在进入本课程学习之前，应学过：高等数学、线性代数。这些课程的学习，为本课程提供了必需的数学基础知识。本课程学习结束后，学生可具备进一步学习相关课程的理论基础，同时由于概率论与数理统计的理论与方法向各基础学科、工程学科的广泛渗透，与其他学科相结 合发展成不少边缘学科，所以它是许多新的重要学科的基础，学生应对本课程予以足够的重视。 四、本课程的基本要求 概率论与数理统计是一个有特色的数学分支，有自己独特的概念和方法，内容丰富，结果深刻。通过对本课程的学习，学生应该建立用概率和统计的语言对随机现象进行描述的基本概念，熟练掌握概率论与数理统计中的基本理论和分析方法，能熟练运用基本原理解决某些实际问题。具体要求如下： （一）随机事件和概率 1、理解随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件之间的关系和 运算。 2、理解概率的定义，掌握概率的基本性质，并能应用这些性质进行概率 计算。 3、理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公 式、贝叶斯公式，并能应用这些公式进行概率计算。 4、理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。 5、掌握伯努利概型及其计算。 （二）随机变量及其概率分布 1、理解随机变量的概念 2、理解随机变量分布函数的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律 及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分 概率论与数理统计复习题--带答案 ;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）； 9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000 概论论与数理统计 习题参考解答 习题一 8.掷3枚硬币,求出现3个正面的概率. 解:设事件A ={出现3个正面} 基本事件总数n =23,有利于A 的基本事件数n A =1,即A 为一基本事件, 则.125.08 121)(3====n n A P A 9.10把钥匙中有3把能打开门,今任取两把,求能打开门的概率. 解:设事件A ={能打开门},则为不能打开门 A 基本事件总数,有利于的基本事件数,210C n =A 27C n A =467.0157910212167)(21027==××?××==C C A P 因此,.533.0467.01(1)(=?=?=A P A P 10.一部四卷的文集随便放在书架上,问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4的概率是多少?解:设A ={能打开门},基本事件总数,2412344=×××==P n 有利于A 的基本事件数为,2=A n 因此,.0833.012 1)(===n n A P A 11.100个产品中有3个次品,任取5个,求其次品数分别为0,1,2,3的概率. 解:设A i 为取到i 个次品,i =0,1,2,3, 基本事件总数,有利于A i 的基本事件数为5100C n =3 ,2,1,0,5973==?i C C n i i i 则w w w .k h d a w .c o m 课后答案网 00006.098 33512196979697989910054321)(006.0983359532195969739697989910054321)(138.098 33209495432194959697396979899100543213)(856.033 4920314719969798991009394959697)(5100297335100 39723225100 49711510059700=××==××?××××××××====××= ×××××?××××××××====×××=×××××××?××××××××=×===××××=××××××××===C C n n A P C C C n n A P C C n n A P C C n n A P 12.N 个产品中有N 1个次品,从中任取n 个(1≤n ≤N 1≤N ),求其中有k (k ≤n )个次品的概率.解:设A k 为有k 个次品的概率,k =0,1,2,…,n ,基本事件总数,有利于事件A k 的基本事件数,k =0,1,2,…,n ,n N C m =k n N N k N k C C m ??=11因此,n k C C C m m A P n N k n N N k N k k ,,1,0,)(11?===??13.一个袋内有5个红球,3个白球,2个黑球,计算任取3个球恰为一红,一白,一黑的概率.解:设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件, 则基本事件总数,有利于A 的基本事件数为, 310C n =121315C C C n A =则25.04 12358910321)(310121315==×××××××===C C C C n n A P A 14.两封信随机地投入四个邮筒,求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率.解:设A 为前两个邮筒没有信的事件,B 为第一个邮筒内只有一封信的事件,则基本事件总数,1644=×=n 有利于A 的基本事件数,422=×=A n 有利于B 的基本事件数, 632=×=B n 则25.041164)(====n n A P A .375.083166)(====n n B P B w w w .k h d a w .c o m 课后答案网 第一章 思 考 题 1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？ 2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个 能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？为什么？ ３．圆周率ΛΛ1415926.3=π是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把 它计算到小数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873年, 英国学者沈克士公布了一个π的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了π的608位小数, 得到了下表: 67 5844625664686762609876543210出现次数数字 你能说出他产生怀疑的理由吗? 答：因为π是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等， 或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由. 4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？ ５．两事件A 、B 相互独立与A 、B 互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不 相容事件又有何区别和联系？ ６．条件概率是否是概率？为什么？ 习 题 1．写出下列试验下的样本空间： （1）将一枚硬币抛掷两次 答：样本空间由如下4个样本点组成{(,)(,)(,)(,)}Ω=正正，正反，反正，反反 （2）将两枚骰子抛掷一次 答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}i j i j Ω== （3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出 答：结果可以用（x ，y ）表示，x ，y 分别是烟、酒年支出的元数.这时， 样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .{(,)0,0}x y x y Ω=≥≥ 2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件： (1) “甲未中靶”： ;A (2) “甲中靶而乙未中靶”： ;B A (3) “三人中只有丙未中靶”： ;C AB (4) “三人中恰好有一人中靶”： ;C B A C B A C B A Y Y (5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;C B A Y Y 精心整理 第一章 1.见教材习题参考答案. 2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C （1）A 发生，B ，C 都不发生； （2）A ， B ， C 都发生； （3）A ，B ，C （4）A ， B ， C 都不发生； （5）A ，B ，C （6）A ，【解】（1（B C (4)ABC B C (5)ABC ∪ABC ∪ABC ABC =AB BC AC 3. . 4.设A ，?B )=0.3，求P （. 【解】P 5.设A ，（A ）=0.6,P (B )=0.7, （1AB （2AB 【解】（1)()0.6AB P A ==,()P AB 取到最大值为（2）当()()()0.3P A P B P A B =+-= 6.设A ，B ，P （C ）=1/3P （AC ）至少有一事件发生的概率. )=0， 由加法公式可得 =14+14+13?112=34 7.52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？ 【解】设A 表示“取出的13张牌中有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花”， 则样本空间Ω中样本点总数为13 52n C =,A 中所含样本点533213131313k C C C C =,所求概率为 8. （1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率； （3）求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1）设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）= 5 17 =（17）5（亦可用独立性求解，下同） （2）设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故 P （A 2）=5567=(67 )5 (3)设A 3={五个人的生日不都在星期日} P （A 3）=1?P (A 1)=1?(1 7 )5 9..见教材习题参考答案. 10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n 《概率论与数理统计》作业集及答案 一、选择题 1．设A, B, C 为任意三个事件，则与A 一定互不相容的事件为 （A ）C B A ?? （B ）C A B A ? （C ） ABC （D ）)(C B A ? 2.对于任意二事件A 和B ，与B B A =?不等价的是 （A ）B A ? （B ）A ?B （C ）φ=B A （D ）φ=B A 3．设A 、B 是任意两个事件，A B ?，()0P B >，则下列不等式中成立的是（ ） .A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤ .C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥ 4．设()01P A <<，()01P B <<，()()1P A B P A B +=，则（ ） .A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立 5．对于任意两事件A 与B ，()P A B -=（ ） .A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+ .C ()()P A P AB - .D ()()() P A P A P AB +- 6．若A 、B 互斥，且()()0,0P A P B >>，则下列式子成立的是（ ） .A ()()P A B P A = .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A = 7．设A 、B 、C 为三个事件，已知()()0.6,0.4P B A P C AB ==，则()P BC A =（ ） .A .B .C .D 8．设A ，B 是两个随机事件，且0《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
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第 1 章 概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次，观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是：S=
(2) 一枚硬币连丢 3 次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于 2，则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次， A：第一次出现正面，则 A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= ；b5E2RGbCAP ；p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设 A、B、C 为三事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C 都不发生表示为： .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为： .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为： .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为： .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为： .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}：则 （1） A ? B ? （4） A ? B = ， （2） AB ? ， （5） A B = ， （3） A B ? 。 ，
xHAQX74J0X
§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ，则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE
2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3,
§1 .4 古典概型
1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。 。
§1 .6 全概率公式
1.
有 10 个签，其中 2 个“中” ，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人 抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19概率论与数理统计第一章