2016年全国高考湖南理科数学试题(部分答案)

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试题类型：A

2016年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)

理科数学

注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

(1)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2x －3＞0}，则A ∩B ＝

(A)(－3，－23) (B)(－3，23) (C)(1，23) (D)(2

3

，3)

解：∵A ＝(1，3)， B ＝),(+∞23，∴A ∩B ＝(2

3

，3)，选D

(2)设(1＋i )x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋yi |＝

(A)1

(B)2

(C)3

(D)2

解：∵(1＋i )x ＝1＋y i ，∴x ＝y ＝1，故|x ＋yi |＝2，选B (3)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝ (A)100 (B)99 (C)98 (D)97 解：∵S 9＝27，∴a 5＝3，又a 10＝8，∴d ＝1，因此a 100＝a 10＋90d ＝98，选C

(4)某公司的班车在7∶00，8∶00，8∶30发车，小明在7∶50至8∶30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是

(A)31 (B)21 (C)32 (D)43

解：几何概型(长度比)，选B

(5)已知方程132

222

=--+n

m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是 (A)(–1，3) (B)(–1，3) (C)(0，3) (D)(0，3)

解：依题意，m 2＋n ＋3m 2－n ＝4?m 2＝1，(m 2＋n )(3m 2－n )＝(1＋n )(3－n )＞0?－1＜n ＜3，选A 。 (6)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径。若该几何体的体积是3

28π

，则它的表面积是 (A)17π (B)18π (C)20π (D)28π

解：图中几何体是87个球，∴33

28

34873=?π=π?r r ，

于是S 表＝π=π?+π?174

3

48722r r ，选A

(7)函数y ＝2x 2–e |x |在[–2，2]的图像大致为

解：显然题中函数是偶函数，我们不妨考察y ＝2x 2–e x 在[0，2]上的性质。∵y '＝4x –e x ，∴y "＝4–e x ＝0?x ＝ln 4∈[0，2]，并且x ∈[0，ln 4]时，y "＞0，x ∈(ln 4，2]时，y "＜0，因此y '＝4x –e x 在[0，2]上取得极大值4ln 4－4＞0，又y '|x ＝0＝－1＜0，y '|x ＝0.5＝2–e ＞0，y '|x ＝2＝8–e 2＞0，∴y '＝4x –e x 在[0，2]内仅有一个零点x 0，且x 0∈[0，0.5]。于是x ∈(0，x 0)时，y '＜0，x ∈(x 0，2)时，y '＞0，选D 。 (8)若a ＞b ＞1，0＜c ＜1，则 (A)a c ＜b c

(B)ab c ＜ba c (C)a log b c ＜b log a c

(D)log a c ＜log b c

解：∵y ＝x c (c ＞0)为增函数，∴A 错；同理y ＝x 1－

c (1－c ＞0)也是增函数， ∴B 错；又y ＝log c x (0＜c ＜1)为减函数，∴D 错；选C 。

(9)执行右面的程序图，如果输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足 (A)y ＝2x

(B)y ＝3x

(C)y ＝4x

(D)y ＝5x

解：x ＝0，y ＝1，n ＝1? x ＝0，y ＝1不满足x 2＋y 2≥36?n ＝2，x ＝0.5，y ＝2 不满足x 2＋y 2≥36?n ＝3，x ＝1.5，y ＝6满足x 2＋y 2≥36?输出x ＝1.5，y ＝6，选C 。 (10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点。 已知|AB|＝42|DE |＝25C 的焦点到准线的距离为 (A)2

(B)4

(C)6

(D)8

解：不妨设抛物线的方程为y 2＝2px ，则由勾股定理可得

222

22

2222225))(()()()(p

p +=+，解得p ＝4，

选B 。

(11)平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABA 1B 1＝n ，则m 、n 所成角的正弦值为 3

2

3

(D)13

解：画图即知sin ∠A 1BD ＝sin 60?＝2

3

，选A 。

(12)已知函数f (x )＝sin (ωx ＋?)(ω＞0，|?|≤2π)，x ＝－4π为f (x )的零点，x ＝4

π

为y ＝f (x )图像的对称轴，且

f (x )在51836ππ?? ?

??，单调，则ω的最大值为

(A)11 (B)9 (C)7 (D)5

解：依题意，Z m m ∈π=?+ωπ

-,4，Z n n ∈π+π=?+ωπ,2

4，两式相减得ω＝2(n －m )＋1，记作ω＝2k

＋1，k ＝n －m ∈Z ；又f (x )在51836ππ?? ?

??

，单调，∴2T ≥1218365π=π-π?12+πk ≥12π?2k ≤11。注意检验。

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

(13)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝＿＿＿＿ 解：∵|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，∴a ⊥b ，故m ＝－2。

(14)5(2x x 的展开式中，x 3的系数是＿＿＿＿＿＿(用数字填写答案)

解：从5个括号中的某一个取2x ，其余括号中取x 相乘即可，系数为1021

5=C 。

(15)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2……a n 的最大值为＿＿＿＿

解：∵a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，∴q ＝2

1

，a 1＝8，于是

(16)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为900元。该企业现有甲材料150kg ，乙材料的条件下，生产产品A 、产品B 解：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，总利润为z ， 则??????

?∈≤+≤+≤+N

y x y x y x y x ,...6003590301505031，且z ＝2100x ＋900y 作出可行域如右图，求得点B 的坐标(60，100)， ∴z 最大＝2100×60＋900×100＝216000(元)。

(17)(本题满分为12分)

△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别别为a ，b ，c (I)求C ；

(II)若c ＝7，△ABC ABC 的周长。 解：(1)∵a cos B ＋b cos A ＝c ，∴由2cos C(a cos B ＋b cos A)＝c 得2cos C ＝1?C ＝60?

(2)∵64

321233=?==ab ab C ab sin ，又由余弦定理得7＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ，

∴a ＋b ＝5，从而△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝75+。 (18)(本题满分为12分)

如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90?，且二面角D －AF －E 与二面角C －BE －F 都是60?。

(I)证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；

(II)求二面角E －BC －A 的余弦值。 解：(1)∵ABEF 为正方形，∴AF ⊥FE ， 又∠AFD ＝90?，∴AF ⊥FD ，

而FE ∩FD ＝F ，∴AF ⊥面EFDC ，

再由AF ?面ABEF 即得平面ABEF ⊥平面EFDC 。

(2)∵AF ⊥FE ，且AF ⊥FD ，∴∠DFE ＝60?是二面角D －AF －E 的平面角， 由BE ⊥EF 及平面ABEF ⊥平面EFDC ，知BE ⊥平面EFDC ?BE ⊥EC ， 因此∠CEF ＝60?是二面角C －BE －F 的平面角。

在平面EFDC 内过F 作FZ ⊥EF ，知FZ ⊥平面ABEF ，

如图所示，分别以FA 、AE 、AZ 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系。

再设FD ＝2，AF ＝4(满足AF ＝2FD)，则A(4，0，0)，B(4，4，0)，E(0，4，0)， 又FE ∥AB ?FE ∥平面ABCD ?FE ∥DC ，因而C(0，3，3)，

于是),,(),,,(310004-==EC EB ，),,(),,,(334040-==AC AB ，

设平面EBC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则4x ＝0，且y ＝3z ，取n 1＝(0，3，1)，

再设平面ABCD 的法向量为n 2＝(a ，b ，c )，则4b ＝0，且－4a ＋3b ＋3c ＝0，取n 2＝(3，0，4)， 于是cos ＝

19

1924031304103302

22222=

++?++?+?+?)()(。 ∴二面角E －BC －A 的余弦值为－

19

19

2。

(19)(本小题满分12分)

某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰。机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元。在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元。现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数。 (I)求X 的分布列；

(II)若要求P(X ≤n )≥0.5，确定n 的最小值；

(III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n ＝19与n ＝20之中选其一，应选用哪个？ 解：(1)依题意，三年内每台机器更换易损零件数为8、9、10、11的概率分别为0.2、0.4、0.2、0.2， 所以，三年内2台机器需要更换的易损零件数X 可取16、17、18、19、20、21、22。

并且P(X ＝16)＝04020222..=?C ，P(X ＝17)＝16040201

2...=??C ，

P(X ＝18)＝2402040212222...=?+?C C ，P(X ＝19)＝24040202012212....=??+?C C ， P(X ＝20)＝20040202012222....=??+?C C ，P(X ＝21)＝08020212..=?C ， P(X ＝22)＝04020222..=?C ，

n 的最小值为19。

×0.08＋5300×0.04＝4040

＋5000×0.04＝4080 由E(y)＜E(z)知应选择n ＝19。

20. (本小题满分12分)

设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B(1，0)且与x 轴不重合，l 交圆

A 于C 、D 两点，过

B 作A

C 的平行线交A

D 于点

E 。

(I)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E 的轨迹方程；

(II)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M 、N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P 、Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围。

解：(1)如图，∵△ACD 为等腰三角形，BE ∥AC ，∴△EBD 为等腰三角形，故EB ＝ED ，

更换的易损零件数

于是|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|＝4为定值。

由椭圆的定义知点E 的轨迹方程为13

422=+y x 。

(2)设l ：???α

=α+=sin cos t y t x 1(t 为参数)，直线l 的倾斜角α∈(0，π)，

将直线l 的参数方程代入3x 2＋4y 2－12＝0中， 得(3＋sin 2α)t 2

＋6t cos α－9＝0，

∴t 1＋t 2＝α+α-236sin cos ，t 1t 2＝α

+-2

39sin ， 因此|MN|＝|t 2－t 1|＝α+=-+2

21221312

4sin )(t t t t ， 由PQ ⊥l 可知直线PQ 的参数方程为???α

=α

-=cos sin s y s x 1(s 为参数)，代入x 2＋y 2＋2x －15＝0中，

得s 2－4s sin α－12＝0，∴s 1＋s 2＝4sin α，s 1s 2＝－12，

故|PQ|＝|s 2－s 1|＝α+=-+221221344sin )(s s s s ，

于是S 四边形MPNQ ＝),[sin ||||3812324

212∈α

+=?PQ MN 。

(21)(本小题满分12分)

已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋a (x －1)2有两个零点。 (I)求a 的取值范围；

(II)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2＜2。 解：(1)∵f '(x )＝e x ＋(x －2)e x ＋2a (x －1)＝(x －1)(e x ＋2a )，

当a ＝0时，由f '(x )＝0得x ＝1，于是f (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，并且x →－∞时，f (x )→0，x →＋∞时，f (x )→＋∞，而f (1)＝－e ＜0，因而f (x )只有一个零点；

当a ＞0时，由f '(x )＝0得x ＝1，于是f (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，并且x →－∞时，f (x )→＋∞，x →＋∞时，f (x )→＋∞，而f (1)＝－e ＜0，因而f (x )必有两个零点；

当a ＜0时，由f '(x )＝0得x ＝1或x ＝ln (－2a )，此时f (1)＝－e ＜0，f (ln (－2a ))＝[ln (－2a )－2](－2a )＋a [ln (－2a )－1]2＝a [ln 2(－2a )－4ln (－2a )＋5]＜0，因此无论f (x )的单调性如何，f (x )始终只有一个零点； 综上所述，a ∈(0，＋∞)。

(2)由(1)可知a ＞0，且f (x )的两个零点分居x ＝1的两侧，不妨设x 1＜1＜x 2， 则需证2－x 1＞x 2＞1，而f (x 1)＝f (x 2)＝0，且a ＞0时f (x )在(1，＋∞)上递增， 可以考虑证明f (2－x 1)＞f (x 2)＝f (x 1)＝0，再化为证明f (2－x 1)－f(x 1)＞0。 以上只是个人的设想，还没有具体完成，也不知道是否行得通。

请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号 (22)(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲

如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB ＝120°。以⊙O 为圆心，2

1

为半径作圆。

(I)证明：直线AB 与O 相切；

(II)点C 、D 在⊙O 上，且A 、B 、C 、D 四点共圆，证明：AB ∥CD 。

(23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

在直线坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为???+==t

a y t

a x sin cos 1(t 为参数，a ＞0)。在以坐标原点为极点，

x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ。 (I)说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；

(II)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a 。

解：(1)C 1：???+==t

a y t

a x sin cos 1(t 为参数，a ＞0)?x 2＋(y －1)2＝a 2?C 1是圆心在(0，1)，半径为a 的圆。

(2)C 2：ρ＝4cos θ即x 2＋y 2－4x ＝0，也是圆，

直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，∴C 3的直角坐标方程为y ＝2x ， 由于曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，所以C 1与C 2的方程之差就是C 3的方程， 因此4x －2y ＋1－a 2＝0与2x －y ＝0重合，故a ＝1。

(24)(本小题满分10分)，选修4—5：不等式选讲

已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|。

(I)在答题卡第(24)题图中画出y ＝f (x )的图像； (II)求不等式|f (x )|＞1的解集。