一维波动方程的达郎贝尔公式
数理方程
学院：制冷及低温工程姓名：赵瑞昌
学号： 120160159
一维波动方程的达郎贝尔公式
1达郎贝尔公式
在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。考虑无限长弦的自由振动问题
???
????=??=>+∞<<∞-??=??==)(|),(|0, ,0022222x t u x u t x x u a t u t t φ? ① 作自变量的代换
???-=+=at
x at x ηξ 利用复合函数的微分法有： η
ξ??-??=??u a u a t u )2(22222222η
ηξξ??+???-??=??u u u a t u 同理有：22222222η
ηξξ??+???+??=??u u u x u 将①化为：02=???η
ξu 并将它两端对η进行积分得： )(0ξξ
f u =?? 其中)(0ξf 是ξ的任意函数，再将此式对ξ积分
)()()()(),(2120ηξηξξf f f d f t x u +=+=?
=)()(21at x f at x f -++ ②
其中21f f 、是任意两次连线可微函数，式②即为方程①的含有两个任意函数的通解。
由初始条件可得：
)()()(21x x f x f ?=+
)()()(2''
1x x f x af φ=+
通过积分可得：
?+-+-++=at x at
x d a at x at x t x u ξξ?φ?)(21)]()([21),( 称此式为一维波动方程的达郎贝尔公式。 2解的物理意义
由于波动方程的通解是两部分)(1at x f +与)(2at x f -。)(22at x f u -=表示了以速度a 向x 轴正方向传播的行波，称为右行波。同理，)(11at x f u +=表示了以速度a 向x 轴负方向传播的行波，称为左行波。
由达郎贝尔公式，解在点),(t x 的值由初始条件在区间],[at x at x +-内的值决定，称区间],[at x at x +-为点),(t x 的依赖区域，在t x -平面上，它可看作是过点
),(t x ，斜率分别a
1±
为的两条直线在x 轴上截得的区间。 这里要掌握半无限长弦的自由振动问题和一维非齐次波动方程的柯西问题的解。 3 半限长弦的自由振动问题
定解问题
????
?????=??==>>??=??===)10.4()(|),(|)9.4(0|)8.40,000022222
（ ， x t u x u u x t x u a t u t x x φ? 用延拓法求解，注意边界条件（4.9），采用奇延拓。令
???<--≥=Φ
0),(0,)()(x x x x x ?? ???<--≥=ψ
0),(0,)()(x x x x x φφ 考虑定解问题
???
????ψ=??Φ=>+∞<<∞-??=??== ， )(|),(|0,0022222x t u x u t x x u a t u t x 它的解可由达郎贝尔公式得：
?+-ψ+-Φ++Φ=at x at
x d a at x at x t x U ξξ)(21)]()([21),(。 4 一维非齐次波动方程的柯西问题
定解问题
???
????=??=>+∞<<∞-+??=??==)12.4()(|),(|)11.4(0,),(0022222 ， x t u x u t x t x f x u a t u t x φ? 令),(),(),(t x V t x U t x u +=，可将此定解分解成下面两个定解问题： (I) ???
????=??=>+∞<<∞-??=??== ， )(|),(|0,0022222x t u x u t x x u a t u t x φ? (II) ???
????=??=>+∞<<∞-+??=??== ， 0|,0|0,),(0022222t x t u u t x t x f x u a t u 其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出：
?+-+-++=at x at
x d a at x at x t x U ξξ???)(21)]()([21),(。 对于问题(II)，有下面重要的定理。
定理（齐次化原理）设),,(τωt x 是柯西问题
???
????=??=>??=??== ， ),(|,0|22222τωωτωωττx f t t x a t t x 的解)0(≥τ，则?=t
d t x t x V 0),,(),(ττω是问题(II)的解。 二 三维波动方程的柯西问题
1 三维波动方程的泊松公式
考虑三维波动方程的柯西问题
???
????=??=>+∞<<∞-??+??+??=??==)18.4(),,(|),,,(| 4.17(0,,, )(00222222222 ） z y x t u z y x u t z y x z u y u x u a t u t t φ? (1)三维波动方程的球对称解
如果将三维波动方程的空间坐标用球坐标表示，则波动方程化为：
2222222sin 1)(sin sin 1)(1?
θθθθ??+??+????u r u r r u r r r = ） （19.41222t
u a ?? 如果波函数u 与θ，?变量无关，而只与变量t r ,有关，即u 是所谓球对称的，这时式可简化为：
)(122r u r r r ????=2221t
u a ?? )2(22222r
u r u r a t u ??+??=?? 即有：22222)()(r
ru a t ru ??=??。 这是关于的一维波动方程，其通解为：
)()(),(21at r f at r f t r ru -++=
从而)]()([1),(21at r f at r f r
t r ru -++=即得到三维波动方程关于原点为球对称的解。
(2)三维波动方程的泊松公式
???
????=??=>+∞<<∞-??+??+??=??==)18.4(),,(|),,,(| 4.17(0,,, )(00222222222 ） z y x t u z y x u t z y x z u y u x u a t u t t φ? 的解为：
=),,,(t z y x u t a ??
π41ds at M at S ??),,(ζηξ?＋a π41ds at M at S ??),,(ζηξ?，称它为三维波动方程柯
西问题的泊松公式。
这里要求掌握三维波动方程柯西问题的泊松公式的推导过程。
2降维法
利用三维波动方程柯西问题的泊松公式来导出二维波动方程柯西问题的解。这种利用高维问题的解推导低维问题的方法称之为降维法。
二维波动方程的柯西的问题：
???
????=??=>+∞<<∞-??+??=??==),(|),,(|0,,, )(002222222y x t u y x u t z y x y u x u a t u t t φ? 令),,(),,(_z y x u z y x u =，将上式的解视为特殊的三维问题，最后得到问题的解为： ??----??
=M at C d d y x at t a t y x u ηξηξηξ?π222)()()(),(21),,(+ +??----??M at C d d y x at t a ηξηξηξφπ222)
()()(),(21 称此式为二维波动方程柯西问题的泊松公式。随了掌握这个公式，还要掌握这个公式的物理意义。
一维波动方程的达郎贝尔公式
第四章 行波法 一 一维波动方程的达郎贝尔公式 1达郎贝尔公式 在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。考虑无限长弦的自由振动问题 ?????? ?=??=>+∞<<∞-??=??==) (|),(|0, ,0 022 2 22x t u x u t x x u a t u t t φ? ① 作自变量的代换 ?? ?-=+=at x at x ηξ 利用复合函数的微分法有： η ξ??-??=??u a u a t u )2(22 2222 22η ηξξ??+???-??=??u u u a t u 同理有：2 2222222ηηξξ??+???+??=??u u u x u 将①化为：02=???η ξu 并将它两端对η进行积分得：
)(0ξξ f u =?? 其中)(0ξf 是ξ的任意函数，再将此式对ξ积分 )()()()(),(2120ηξηξξf f f d f t x u +=+=? = )()(21at x f at x f -++ ② 其中21f f 、是任意两次连线可微函数，式②即为方程①的含有两个任意函数的通解。 由初始条件可得： )()()(21x x f x f ?=+ )()()(2'' 1x x f x af φ=+ 通过积分可得： ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x u ξξ?φ?)(21)]()([21),( 称此式为一维波动方程的达郎贝尔公式。 2解的物理意义 由于波动方程的通解是两部分)(1at x f +与)(2at x f -。 )(22at x f u -=表示了以速度a 向x 轴正方向传播的行波，称 为右行波。同理，)(11at x f u +=表示了以速度a 向x 轴负方向传播的行波，称为左行波。 由达郎贝尔公式，解在点),(t x 的值由初始条件在区间],[at x at x +-内的值决定，称区间],[at x at x +-为点),(t x 的 依赖区域，在t x -平面上，它可看作是过点),(t x ，斜率分
第七章 一维波动方程的解题方法及习题答案
第二篇 数学物理方程 ——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法 Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程； 2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件 (自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题； 3、方程齐次化； ４、数理方程的线性导致解的叠加。 一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律） 1、来源 I ．质点力学：牛顿第二定律F mr =r r && 连续体力学222 2() (,)(,)0(()0; v 1()0(Euler eq.).u r t a u r t t v t v v p f t ρρρ ?????-?=??????? ?? +??=????-?+??=+=????? r r r r r r r r &弹性定律弦弹性体力学杆 振动：波动方程);膜 流体力学：质量守恒律：热力学物态方程： II.麦克斯韦方程 ;;00;().,,,D D E l B s E B B B H l j D s H j D E u B A u A σρτρσ??=???=?=????=????=???=?=+????=+??=-?=????????????????????r r r r r r r r r &&r r r r r r r r r r r &&r r r r 已已d d d d d d d 满足波动方程。Lorenz 力公式力学方程；Maxwell eqs.+电导定律电报方程。 III. 热力学统计物理 220;0.T k T t D t ρρ?? -?=??????-?=??? 热传导方程：扩 散方程：特别: 稳态（0t ρ?=?）:20ρ?= (Laplace equation). IV. 量子力学的薛定谔方程： 22 .2u i u Vu t m ?=-?+?h h 2. 分类
热传导+对流微分方程推导
热传导微分方程 导热又称热传导,是两个相互接触的物体或同一物体的各部分之间，由于温度不同而引起的热量传递现象.此时热量主要依靠分子、原子及自由电子等微观粒子的运动进行传递，没有明显的物质转移。热量可以通过固体、液体以及气体进行传导，但是严格来说,单纯的导热只发生在密实的固体物质中。 1 傅立叶定律 傅立叶定律是导热理论的基础。其向量表达式为： q gradT λ=-? （2-1) 式中：q ——热流密度,是一个向量,2/()Kcal m h gradT ——温度梯度，也是一个向量,℃／m . λ--导热系数，又称热导率，/()Kcal mh C ； 式中的负号表示q 的方向始终与gradT 相反。 2 导热系数（ｔh ｅrm ａl c ｏｎdu ｃt ｉv ｉty ）及其影响因素 导热系数λ（/()Kcal mh C ）是热传导过程中一个重要的比例常数,在数值上等于每小时每平方米面积上，当物体内温度梯度为1℃/m 时的导热量. 导热系数是指在稳定传热条件下,1m 厚的材料,两侧表面的温差为１度（Ｋ,°C),在1秒内，通过1平方米面积传递的热量，用λ表示,单位为瓦/米·度,w/m·k(W/m·K,此处的K 可用℃代替). 导热系数为温度梯度1℃/m ，单位时间通过每平方米等温面的热传导热流量.单位是:Ｗ/（m·K）。 在上述假设前提下，建立煤层瓦斯流动数学模型的控制方程. ３．热传导微分方程推导 在ｔ时刻ｗ界面的温度梯度为 x T ?? 在t 时刻e 界面的温度梯度为dx x T x T dx x x T x T 22??+??=???? +??
单位时间内六面体在x 方向流入的热流量为：dydz x T ??-λ ; 单位时间内六面体在x 方向流出的热流量为:dydz dx x T x T ?? ? ? ????+??-22λ； 单位时间内六面体在x 方向流入的净热量为：dxdydz x T 22??λ 图3-1 微分单元体各面上进出流量示意图 同理，单位时间内六面体在y 方向流入的净热量为:dxdydz y T 22??λ 单位时间内六面体在y 方向流入的净热量为：dxdydz z T 22??λ 单位时间内流入六面体的总热量为： dxdydz z T y T x T ??? ?????+??+??222222λ （3－1)
一维热传导MATLAB模拟
昆明学院2015届毕业设计（论文） 设计（论文）题目 一维热传导问题的数值解法及其MATLAB模拟子课题题目无 姓名伍有超 学号201117030225 所属系物理科学与技术系 专业年级2011级物理学2班 指导教师王荣丽 2015 年 5 月
摘要 本文介绍了利用分离变量法和有限差分法来求解一维传导问题的基本解，并对其物理意义进行了讨论。从基本解可以看出，在温度平衡过程中，杠上各点均受初始状态的影响，而且基本解也满足归一化条件，表示在热传导过程中杆的总热量保持不变。通过对一维杆热传导的分析，利用分离变量法和有限差分法对一维热传导进行求解，并用MATLAB 数学软件来对两种方法下的热传导过程进行模拟，通过对模拟所得三维图像进行取值分析，得出由分离变量法和有限差分法绘制的三维图基本相同，且均符合热传导过程中温度随时间、空间的变化规律，所以两种方法均可用来解决一维热传导过程中的温度变化问题。 关键词：一维热传导；分离变量法；有限差分法；数值计算；MATLAB 模拟
Abstract In this paper, the method of variable separation and finite difference method are introduced to solve the problem of one-dimensional heat conduction problems, and the physical significance of numerical methods for heat conduction problems are discussed. From the basic solution, we can see the temperature on the bar are affected by the initial state during the process of temperature balance, and basic solution also satisfy the normalization condition which implied the invariance of the total heat in the bar during the heat conduction process. Through the analysis of the one-dimensional heat conduction, by taking use of variable separation method and finite difference method, we simulated the one-dimensional heat conduction problem by MATLAB. The three-dimensional images of the simulation results obtained by the method of separation of variables and finite difference method are similar to each other, and the temperature curve is in accordance with the law of temperature variation during heat conduction. Thus, we can go to the conclusion that both methods can be used to deal with the one-dimensional heat conduction problems. Keywords: One-dimensional heat conduction; method of variable separation; finite difference method; numerical method; MATLAB simulation
热传导方程及其定解问题的导出
第一章 热传导方程 本章介绍最典型的抛物型方程—热传导方程,在研究热传导,扩散等物理现象时都会遇 到这类方程. §1 热传导方程及其定解问题的导出 1.1热传导方程的导出 物理模型 在三维空间中,考虑一均匀,各向同性的物体Ω,假定它内部有热源,并且与周围介质有热交换,需要来研究物体内部温度的分布和变化. 以函数),,,(t z y x u 表示物体Ω在位置),,(z y x 及时刻t 的温度.物体内部由于各部分温度不同,产生热量的传递,它们遵循能量守恒定律. 能量守恒定律 物体内部的热量的增加等于通过物体的边界流入的热量与由物体内部的热源所生成的热量的总和 . 在物体Ω内任意截取一块D .现在时段],[21t t 上对D 使用能量守恒定律. 设),,,(t z y x u u =是温度(度),c 是比热(焦耳∕度·千克),ρ是密度(千克/米3), q 是热流密度(焦耳/秒·米2),0f 是热源强度(焦耳/千克·秒). 注意到在dt 时段内通过D 的边界D ?上小块dS 进入区域D 的热量为dSdt n q ?-(n 是 D ?的外法向),从而由能量守恒律,我们有 ,)||(21 21 120??????????+?-=-?==t t D t t D D t t t t dxdydz f dt ds n q dt dxdydz u u c ρρ （1.1） 大家知道,热量流动的原因是因为在物体内部存在温差.依据传热学中的傅立叶实验定律,在一定条件下,热流向量与温度梯度成正比 ,u k q ?-= （梯度? ?? ? ????????==?z u y u x u gradu u ,,） （1.2） 这里负号表明热量是由高温向低温流动,k 是物体的导热系数.
一维热传导方程
一维热传导方程Last revision on 21 December 2020
一维热传导方程 一． 问题介绍 考虑一维热传导方程： （1） ,0),(22T t x f x u a t u ≤<+??=?? 其中a 是正常数，)(x f 是给定的连续函数。按照定解条件的不同给法，可将方程（1）的定解问题分为两类： 第一类、初值问题（也称Cauthy 问题）：求具有所需次数偏微商的函数),(t x u ，满足方程（1）（∞<<∞-x ）和初始条件： （2） ),()0,(x x u ?= ∞<<∞-x 第二类、初边值问题（也称混合问题）：求具有所需次数偏微商的函数),(t x u ，满足方程（1）（l x <<0）和初始条件： （3） ),()0,(x x u ?= l x <<0 及边值条件 (4) .0),(),0(==t l u t u T t ≤≤0 假定)(x ?在相应区域光滑，并且在l x ,0=满足相容条件，使上述问题有唯一充分光滑的解。 二． 区域剖分 考虑边值问题（1），（4）的差分逼近。去空间步长N l h /=和时间步长M T /=τ，其中N,M 都是正整数。用两族平行直线： 将矩形域}0;0{T t l x G ≤≤≤≤=分割成矩形网格，网格节点为),(k j t x 。以h G 表示网格内点集合，即位于开矩形G 的网点集合；h G 表示所有位于闭矩形G 的网点集合；Γ=G --G 是网格界点集合。
三． 离散格式 第k+1层值通过第k 层值明显表示出来，无需求解线性代数方程组，这样的格式称为显格式。 第k+1层值不能通过第k 层值明显表示出来，而由线性代数方程组确定，这样的格式称为隐格式。 1. 向前差分格式 （5） ,22111j k j k j k j k j k j f h u u u a u u ++-=--++τ )(j j x f f =， )(0 j j j x u ??==， 00==k N k u u ， 其中j = 1,2,…，N-1，k = 1,2,…,M-1。以2/h a r τ=表示网比。则方程（5）可以改写为： 易知向前差分格式是显格式。 2. 向后差分格式 （6） ,11111)21(j k j k j k j k j f u ru u u ru τ+=-++-+-+++ )(0 j j j x u ??==， 00==k N k u u ， 其中j = 1,2,…，N-1，k = 1,2,…,M-1，易知向前差分格式是显格式。 3. 六点对称格式（Grank-Nicolson 格式） 将向前差分格式和向后差分格式作算术平均，即得到六点对称格式： （7） 111112)1(2+-+++-++-k j k j k j u r u r u r =j k j k j k j f u r u r u r τ++-+-+112 )1(2 利用0j u 和边值便可逐层求到k j u 。六点对称格式是隐格式，由第k 层计算第k+1层时需解线性代数方程组（因系数矩阵严格对角占优，方程组可唯一求解）。
第七章一维波动方程的解题方法与习题答案
第七章一维波动方程的傅里叶解小结及习题答案 第二篇数学物理方程 ——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程； 2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件 (自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题； 3、方程齐次化； ４、数理方程的线性导致解的叠加。 一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律） 1、来源 I．质点力学：牛顿第二定律Fmr 连续体力学 弦 2 u(r,t) 弹性体力学杆振动：22波动方程); au(r,t)0( 2 t (弹性定律) 膜 流体力学：质量守恒律：(v)0; t 热力学物态方 程： v1 (v)vpf0(Eulereq.). t II.麦克斯韦方程 DddD;EdlBdsEB; Bd0B0;Hdl(jD)dsHjD. Eu,BA,u,A 满足波动方程。 Lorenz力公式力学方程；Maxwelleqs.+电导定律电报方程。III.热力学统计物理 热传导方程： 扩散方程：T t t 2 kT 2 D 0; 0. 特别:稳态（0 t ） : 20(Laplaceequation). IV.量子力学的薛定谔方程： 2 u 2.iuVu t2m 2.分类 物理过程方程数学分类
振动与波波动方程2 u 1 2 u 22 at 双曲线 输运方程能量：热传导 质量：扩散u t 20 ku 抛物线 1
稳态方程Laplaceequation 2u0椭圆型 二、数理方程的导出 推导泛定方程的原则性步骤： （1）定变量：找出表征物理过程的物理量作为未知数（特征量），并确定影响未知函数的自变量。 （2）立假设：抓主要因素，舍弃次要因素，将问题“理想化” ---“无理取闹”（物理趣乐）。 （3）取局部：从对象中找出微小的局部（微元），相对于此局部一切高阶无穷小均可忽略---线性化。 （4）找作用：根据已知物理规律或定律，找出局部和邻近部分的作用关系。 （5）列方程：根据物理规律在局部上的表现，联系局部作用列出微分方程。 Chapter7一维波动方程的傅里叶解 第一节一维波动方程-弦振动方程的建立 1.弦横振动方程的建立 （一根张紧的柔软弦的微小振动问题） （1）定变量：取弦的平衡位置为x轴。表征振动的物理量为各点的横向位移u(x,t)，从而速度为u t，加速度为u tt. （2）立假设：①弦振动是微小的，1，因此，sintan，cos1，又 u x tan u；②弦是柔软的，即在它的横截面内不产生应，1 x 力，则在拉紧的情况下弦上相互间的拉力即张力T(x,t)始终是沿弦的切向 2
一维热传导方程(Richardson格式)
中南林业科技大学 偏微分方程数值解法学生姓名：周晓虹 学号：20083710 学院：理学院 专业年级：08信计1班 设计题目：一维热传导方程的Richardson格式 2011年06月
一． 问题介绍 考虑一维热传导方程： （1） ,0),(22 T t x f x u a t u ≤<+??=?? 其中a 是正常数，)(x f 是给定的连续函数。按照定解条件的不同给法，可将方程（1）的定解问题分为两类： 第一类、初值问题（也称Cauthy 问题）：求具有所需次数偏微商的函数),(t x u ，满足方 程（1）（∞<<∞-x ）和初始条件： （2） ),()0,(x x u ?= ∞<<∞-x 第二类、初边值问题（也称混合问题）：求具有所需次数偏微商的函数),(t x u ，满足方 程（1）（l x <<0）和初始条件： （3） ),()0,(x x u ?= l x <<0 及边值条件 (4) .0),(),0(==t l u t u T t ≤≤0 假定)(x ?在相应区域光滑，并且在l x ,0=满足相容条件，使上述问题有唯一充分光滑 的解。 二． 区域剖分 考虑边值问题（1），（4）的差分逼近。去空间步长N l h /=和时间步长M T /=τ，其中N,M 都是正整数。用两族平行直线： ),,1,0(N j jh x x j === ),,1,0(M k k t t k ===τ 将矩形域}0;0{T t l x G ≤≤≤≤=分割成矩形网格，网格节点为),(k j t x 。以h G 表示网格内点集合，即位于开矩形G 的网点集合；h G 表示所有位于闭矩形G 的网点集合； h Γ=h G --h G 是网格界点集合。
热传导+对流微分方程推导(精.选)
热传导微分方程 导热又称热传导，是两个相互接触的物体或同一物体的各部分之间，由于温度不同而引起的热量传递现象。此时热量主要依靠分子、原子及自由电子等微观粒子的运动进行传递，没有明显的物质转移。热量可以通过固体、液体以及气体进行传导，但是严格来说，单纯的导热只发生在密实的固体物质中。 1 傅立叶定律 傅立叶定律是导热理论的基础。其向量表达式为: q gradT λ=-? (2-1) 式中:q ——热流密度，是一个向量，2/()Kcal m h gradT ——温度梯度，也是一个向量，℃/m 。 λ——导热系数，又称热导率，/()Kcal mh C o ； 式中的负号表示q 的方向始终与gradT 相反。 2 导热系数（thermal conductivity ）及其影响因素 导热系数λ（ /()Kcal mh C o ）是热传导过程中一个重要的比例常数，在数值上等于每小时每平方米面积上，当物体内温度梯度为1℃/m 时的导热量。 导热系数是指在稳定传热条件下，1m 厚的材料，两侧表面的温差为1度（K ，°C）,在1秒内，通过1平方米面积传递的热量，用λ表示，单位为瓦/米·度，w/m·k （W/m·K,此处的K 可用℃代替）。 导热系数为温度梯度1℃/m ，单位时间通过每平方米等温面的热传导热流量。单位是：W/(m·K)。 在上述假设前提下，建立煤层瓦斯流动数学模型的控制方程。 3．热传导微分方程推导 在t 时刻w 界面的温度梯度为 x T ?? 在t 时刻e 界面的温度梯度为dx x T x T dx x x T x T 22??+??=???? +??
单位时间内六面体在x 方向流入的热流量为：dydz x T ??-λ ； 单位时间内六面体在x 方向流出的热流量为：dydz dx x T x T ?? ? ? ????+??-22λ； 单位时间内六面体在x 方向流入的净热量为：dxdydz x T 22??λ 图3-1 微分单元体各面上进出流量示意图 同理，单位时间内六面体在y 方向流入的净热量为：dxdydz y T 22??λ 单位时间内六面体在y 方向流入的净热量为：dxdydz z T 22??λ 单位时间内流入六面体的总热量为： dxdydz z T y T x T ??? ?????+??+??222222λ (3-1)
一维热传导方程的前向 、紧差分格式
中南林业科技大学 本科课程论文 学院：理学院 专业年级：09信息与计算科学一班 课程：偏微分方程数值解法 论文题目：一维热传导方程的前向Euler和紧差分格式指导教师：陈红斌 2012年7月
学生姓名：唐黎学号： 20093936分工：程序编写，数值例子 学生姓名：何雄飞学号：20093925分工：格式建立，资料收集 学生姓名：汪霄学号：20093938分工：文档编辑，资料整理 学生姓名：毛博伟学号：20093931分工：公式编辑，查找资料 学生姓名：倪新东学号：20093932分工：数据分析，查找资料 学生姓名：何凯明学号：20093924分工：数据分析，查找资料
目录 1引言 (1) 2物理背景 (1) 3网格剖分 (2) 4．1.1向前Euler格式建立 (2) 4.1.2差分格式的求解 (4) 4.1.3收敛性与稳定性 (4) 4.1.4 数值例子 (7) 4.2.1紧差分格式建立 (10) 4.2.2差分格式求解 (12) 4.2.3数值例子 (13) 总结 (17) 参考文献 (18) 附录 (19)
1 引言 本文考虑的一维非齐次热传导方程的定解问题： 22(,),0,0,u u a f x t x l t T t x ??-=<<<≤?? (,0)(),0,u x x x l φ=≤≤ (0,)(), (1,)(), 0.u t t u t t t T αβ==<≤ 其中a 为正常数，(,),(),(),()f x t x t t ?αβ为已知函数，(0)(0),(1)(0).?α?β== 目前常用的求解热传导方程的差分格式有前向Euler 差分格式、向后Euler 差分格式、Crank-Nicolson 格式、Richardson 格式[1,2,3]．本文将给出前向Euler 格式和紧差分格式，并给出其截断误差和数值例子． 2 物理背景 热传导是由于物体内部温度分布不均匀,热量要从物体内温度较高的点流向温度较低的点处.以函数(),,,u x y z t 表示物体在t 时刻,(),M M x y =处的温度,并假设 (),,u x y z 关于,,x y z 具有二阶连续偏导数,关于t 具有一阶连续偏导数.() ,,k k x y z =是物体在(),,M x y z 处的热传导系数,取正值.设物体的比热容为(),,c c x y z =,密度为 (),,x y z ρ.根据Fourier 热传导定律,热量守恒定律以及Gauss 公式得 ,u u u u c kx k k t x x y y z z ρ ????????????? =++ ? ? ???????????? ?? 如果物体是均匀的,此时,k c 以及ρ均为常数.令2 k a c ρ = ,上式方程化为 2222 2222,t u u u u a a u x y z ?? ???=++=? ?????? 若考虑物体内有热源,其热源密度函数为(),,F F x y z =,则有热源的热传导方程为 ()2,,,,t u a u f x y z t =?+ 其中F f c ρ = .
第七章 一维波动方程的解题方法及习题答案
第二篇 数学物理方程 ——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法 Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程； 2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件 (自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题； 3、方程齐次化； ４、数理方程的线性导致解的叠加。 一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律） 1、来源 I ．质点力学：牛顿第二定律F mr = } 连续体力学2222()(,)(,)0(()0; v 1()0(Euler eq.).u r t a u r t t v t v v p f t ρρρ ????? -?=??????? ?? +??=??? ?-? +??=+=????? 弹性定律弦 弹性体力学杆 振动：波动方程);膜 流体力学：质量守恒律：热力学物态方程： II.麦克斯韦方程 ; ;00;().,,,D D E l B s E B B B H l j D s H j D E u B A u A σρτρσ??=???=?=????=????=???=?=+????=+? ?=-?=????????? ???????????d d d d d d d 满足波动方程。Lorenz 力公式力学方程；Maxwell eqs.+电导定律电报方程。 III. 热力学统计物理 220;0.T k T t D t ρρ?? -?=??????-?=??? 热传导方程：扩 散方程：特别: 稳态（0t ρ?=?）:20ρ?= (Laplace equation). IV. 量子力学的薛定谔方程： 2 2.2u i u Vu t m ?=-?+?
一维热传导方程的前向 、紧差分格式
页眉内容 中南林业科技大学 本科课程论文学院：理学院 专业年级：09信息与计算科学一班 课程：偏微分方程数值解法 论文题目：一维热传导方程的前向Euler和紧差分格式指导教师：陈红斌 2012年7月 学生姓名：唐黎学号： 分工：程序编写，数值例子 学生姓名：何雄飞学号： 分工：格式建立，资料收集 学生姓名：汪霄学号： 分工：文档编辑，资料整理 学生姓名：毛博伟学号： 分工：公式编辑，查找资料 学生姓名：倪新东学号： 分工：数据分析，查找资料 学生姓名：何凯明学号：
页眉内容 分工：数据分析，查找资料 目录 1引言 (1) 2物理背景 (1) 3网格剖分 (2) 4．1.1向前Euler格式建立 (2) (4) 4.1.4 数值例子 (7) (10) (12) (13) 总结 (17) 参考文献 (18) 附录 (19)
页眉内容 1 引言 本文考虑的一维非齐次热传导方程的定解问题： 其中a 为正常数，(,),(),(),()f x t x t t ?αβ为已知函数，(0)(0),(1)(0).?α?β== 目前常用的求解热传导方程的差分格式有前向Euler 差分格式、向后Euler 差分格式、Crank-Nicolson 格式、Richardson 格式[1,2,3]．本文将给出前向Euler 格式和紧差分格式，并给出其截断误差和数值例子． 2 物理背景 热传导是由于物体内部温度分布不均匀,热量要从物体内温度较高的点流向温度较低的点处.以函数(),,,u x y z t 表示物体在t 时刻,(),M M x y =处的温度,并假设(),,u x y z 关于,,x y z 具有二阶连续偏导数,关于t 具有一阶连续偏导数.(),,k k x y z =是物体在(),,M x y z 处的热传导系数,取正值.设物体的比热容为(),,c c x y z =,密度为(),,x y z ρ.根据Fourier 热传导定律,热量守恒定律以及Gauss 公式得 如果物体是均匀的,此时,k c 以及ρ均为常数.令2k a c ρ =,上式方程化为 若考虑物体内有热源,其热源密度函数为(),,F F x y z =,则有热源的热传导方程为 其中F f c ρ =. 3 网格剖分 取空间步长N l h /=和时间步长M T /=τ，其中M N ,都是正整数．用两族平行直线),1,0(N j jh x j Λ==和),,1,0(M k k t k Λ==τ将矩形域}0,0{T t l x G ≤≤≤≤=分割成矩形网格，网格节点为),(k j t x ．记),(k j k j t x u u =．以h G 表示网格内点集合，即 位于开矩形G 的网点集合；h G 表示所有位于闭矩形的网点集合；h h h G G -=Γ是网格界点集合. 引进如下记号:
一维波动方程的达郎贝尔公式
数理方程 学院：制冷及低温工程姓名：赵瑞昌 学号： 120160159
一维波动方程的达郎贝尔公式 1达郎贝尔公式 在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。考虑无限长弦的自由振动问题 ??? ????=??=>+∞<<∞-??=??==)(|),(|0, ,0022222x t u x u t x x u a t u t t φ? ① 作自变量的代换 ???-=+=at x at x ηξ 利用复合函数的微分法有： η ξ??-??=??u a u a t u )2(22222222η ηξξ??+???-??=??u u u a t u 同理有：22222222η ηξξ??+???+??=??u u u x u 将①化为：02=???η ξu 并将它两端对η进行积分得： )(0ξξ f u =?? 其中)(0ξf 是ξ的任意函数，再将此式对ξ积分 )()()()(),(2120ηξηξξf f f d f t x u +=+=?
=)()(21at x f at x f -++ ② 其中21f f 、是任意两次连线可微函数，式②即为方程①的含有两个任意函数的通解。 由初始条件可得： )()()(21x x f x f ?=+ )()()(2'' 1x x f x af φ=+ 通过积分可得： ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x u ξξ?φ?)(21)]()([21),( 称此式为一维波动方程的达郎贝尔公式。 2解的物理意义 由于波动方程的通解是两部分)(1at x f +与)(2at x f -。)(22at x f u -=表示了以速度a 向x 轴正方向传播的行波，称为右行波。同理，)(11at x f u +=表示了以速度a 向x 轴负方向传播的行波，称为左行波。 由达郎贝尔公式，解在点),(t x 的值由初始条件在区间],[at x at x +-内的值决定，称区间],[at x at x +-为点),(t x 的依赖区域，在t x -平面上，它可看作是过点 ),(t x ，斜率分别a 1± 为的两条直线在x 轴上截得的区间。 这里要掌握半无限长弦的自由振动问题和一维非齐次波动方程的柯西问题的解。 3 半限长弦的自由振动问题 定解问题 ???? ?????=??==>>??=??===)10.4()(|),(|)9.4(0|)8.40,000022222 （ ， x t u x u u x t x u a t u t x x φ? 用延拓法求解，注意边界条件（4.9），采用奇延拓。令