2020-2021学年高一上学期数学周练三含答案

台州市书生中学高一数学周练三

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1.下列各项中，不可以组成集合的是????????????????????()

A. 所有的正数

B. 等于2的数

C. 接近于0的数

D. 不等于0的数

2.下面关于集合的表示正确的个数是------------------------------()

①{2,3}≠{3,2}；②{(x,y)|x+y=1}={y|x+y=1}；

③{x|x>1}={y|y>1}；④{x|x+y=1}={y|x+y=1}．

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

3.a>0′′是“函数y=ax+b(a≠0)单调递增”的

--------------------------------()

A. 充分不必要条件，

B. 必要不充分条件，

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

4.已知a=√2+√11，b=5，c=√6+√7，则a，b，c的大小关系为?????????()

A. a>b>c

B. c>a>b

C. c>b>a

D. b>c>a

5.关于x的不等式x2+px+q<0的解集为{x|2

x2?2x?8

>0的解集是()

A. (2,3)，

B. (?∞,?2)∪(4,+∞)

C. (?2,2)∪(3,4)

D. (?∞,?2)∪(2,3)∪(4,+∞)

6.下列四个命题：

①若a>b，则1

a <1

b

；②若ab>c，则a>c

b

；③若a>b，则a

c2

>b

c2

；④若a>b，c>d，则a?c>

b?d．

其中真命题的个数是-----------------------------------------------------() A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

7. 如图，函数f(x)的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则

f {f [f (2)]}=?????????????????????( )

A. 0

B. 2

C. 4

D. 6

8. 已知实数x ，y 满足x >y >0，且x +y =1，则

2

x+3y

+1

x?y 的最小值为????( ) A. 10

3 B. 3

2+√2

C. 3+2√2

D. 2√2

9. 定义运算：∣∣∣a

b c

d ∣∣∣=ad ?bc.若不等式∣∣∣2k kx +3?1x 2∣

∣∣<0的解集是空集，则实数k 的取值范围是( )

A. {0}∪[24,+∞)，，

B. [0,24]，，

C. (0,24]

D. (?∞,0]∪[24,+∞)

10. 设max{a,b}={a,(a ≥b)b,(a

A. [?1,0],[1

2,+∞) B. (?∞,?1],[0,1

2] C. (?∞,?1

2],[0,1] D. [?1

2,0],[1,+∞) 二、不定项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11. 若集合M ?N ，则下列结论正确的是???????????????????????( ) A. M ∩N =M

B. M ∪N =N

C. M ?(M ∩N)

D. (M ∪N)?N

12. 下列说法正确的有????????????????????????????( ) A. 不等式2x?1

3x+1>1的解集是(?2,?1

3)

B. “a >1，b >1”是“ab >1”成立的充分条件

C. 命题p:?x∈R，x2>0，则?p:?x∈R，x2<0

D. “a<5”是“a<3”的必要条件

13.设a，b均为正数，且a+2b=1，则下列结论正确的是??????????()

A. ab的最大值1

8

B. √a+√2b有最大值√2

C. a2+b2有最小值1

5D. a2?b2有最小值?1

4

14.已知f(x)=x2+mx+n(m,n∈R)，不等式x

A.m=?1,n=1

B.设g(x)=f(x)

x

，则g(x)的最小值一定为g(1)=1

C.不等式f(x)

D.已知?(x)={3

4

,?x≤1

2

f(x),?x>1

2

，若?(x)

4

,+∞)

三、填空题（本大题共4小题，每共20分）

15.已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A?B=R，则实数a的集合是_________．

16.不等式(x?1

3

)(x?3)≤1的解集为_________．

17.写出命题“若A=?或B=?，则A∩B=?”的否命题：__________________；．

18.定义：如果函数y=f(x)在定义域内给定区间[a,b]上存在x0(a

f(b)?f(a)

b?a

，则称函数y=f(x)是[a,b]上的“平均值函数”.x0是它的一个均值点，若函数f(x)= x2+mx是[?1,1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是______．

四、解答题（本大题共6小题，每大题10分，共60分）

19.已知集合A={0,1}，用列举法表示下列集合：(1)B={x|x∈A}；(2)C={x|x?A}．

20.命题p:关于x的不等式mx?1≥0的解集为A，且2∈A;命题q:关于x的方程x2?2x+m=0有两个不相等的正数根．

(1)若命题q为真命题，求实数m的范围;

(2)命题p和命题q中至少有一个是假命题，求实数m的范围;

(3)命题p和命题q中有且只有一个是真命题，求实数m的范围．

21.某种产品的两种原料相继提价，因此，产品生产者决定根据这两种原料提价的百分比，对产品分两次提价，现在有三种提价方案：

方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；

方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；方

案丙：第一次提价p+q

2%，第二次提价p+q

2

%.

其中p>q>0，比较上述三种方案，哪一种提价少？哪一种提价多？

22.已知a、b、c>0，且a+b+c=1.求证：

(1)1

a +1

b

+1

c

≥9； (2)(1

a

?1)(1

b

?1)(1

c

?1)≥8．

23.已知f(x)=x 2+2x +1?a 2(a 为常数)．

(Ⅰ)若不等式f(x)>0的解集是(?∞,m)∪(1,+∞)，求m 的值； (Ⅱ)求不等式f(x)<0的解集．

24.已知函数f(x)=ax 2+bx +1

4(a,b ∈R)，且f(?1)=0，对任意实数x ，f(x)≥0成立． (1)求函数f(x)的解析式；

(2)若c ≥0，解关于x 的不等式f(x)>(c +1

4)x 2?3

2x +(c +1

4)．

高一数学周练三答案和解析

1.【答案】C

【解析】 【分析】

本题考查集合的含义，属于基础题．直接根据集合的定义可得结论． 【解答】

解：根据集合的定义可得，接近于0的数不确定，故不能构成集合．故选C ．

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查集合的概念和性质，解题时要熟练掌握基本知识和基本方法．

集合中的元素具有无序性，故①不成立；{(x,y)|x+y=1}是点集，而{y|x+y=1}不是点集，故②不成立；③④正确．

【解答】

解：∵集合中的元素具有无序性，

∴①.{2,3}={3,2}，故①不成立；

②.{(x,y)|x+y=1}是点集，而{y|x+y=1}不是点集，故②不成立；

由集合的性质知③④正确．

故选C．

3.【答案C

4.【答案】C

【解析】解：∵a2=13+2√22,b2=13+12=13+2√36,c2=13+2√42，

又√22<√36<√42，

∴a2b>a．

故选：C．

由a2=13+2√22,b2=13+2√36,c2=13+2√42，即可得出a，b，c的大小关系．

本题考查了比较无理数大小的方法，考查了计算能力，属于基础题．

5.【答案】D

【解析】解：∵关于x的不等式x2+px+q<0的解集为

{x|2

∴2和3是方程x2+px+q=0的2个实数根，

∴2+3=?p，2×3=q，

即p=?5，q=6，

则关于x的不等式x2+px+q

x2?2x?8>0，即x2?5x+6

x2?2x?8

>0，即(x?2)(x?3)

((x?4)(x+2)

>0,

用穿根法求得它的解集为{x|x4}．

故选：D．

由题意利用韦达定理求出p和q的值，再利用用穿根法解高次不等式，求得要解不等式的解集．本题主要考查韦达定理，用穿根法解高次不等式，属于中当题．

6.【答案】A

【解析】解：①.若a>b，取a=0，b=?1，则1

a <1

b

不成立，故①假；

②.若ab>c，取a=b=?1，c=0，则a>c

b

不成立，故②假；

③.若a>b，由1

c2>0，知a

c2

>b

c2

，故③真；

④.若a>b，c>d，取a=2，b=1，c=?1，d=?2，则a?c>b?d不成立，故④假．故真命题的个数是1．

故选：A．

根据各选项的条件，取特殊值和利用不等式的基本性质，即可判处其真假

本题考查了不等式的基本性质，属基础题．

7.【答案】B

【解析】解：∵函数f(x)的图象是折线段ABC，

其中点A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，

∴f(2)=0，

f[f(2)]=f(0)=4，

f{f[f(2)]}=f(4)=2．

故选：B．

结合函数的性质和图象求解．

本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．8.【答案】B

【解析】解：因为实数x，y满足x>y>0，且x+y=1，

所以x>1?x>0，解可得1>x>1

2

>y>0，

则

2

x+3y

+1

x?y

=2

x+3(1?x)

+1

x?(1?x)

=2

3?2x

+1

2x?1

，

=1

2(2

3?2x

+1

2x?1

)[(3?2x)+(2x?1)]，

=12

[3+

2(2x?1)3?2x

+

3?2x 2x?1

]≥12

(3+2√2)=3

2

+√2，

当且仅当

2(2x?1)3?2x

=3?2x

2x?1时取等号，

故选：B ．

利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．

9.【答案】B

【解析】解：根据题意得，不等式2kx 2+kx +3<0的解集为空集， ①k =0时，3<0，满足题意；

②k ≠0时，{

k >0

△=k 2?24k ≤0，解得0

根据题意即可得出不等式2kx 2+kx +3<0的解集是空集，从而讨论k ：k =0时，显然满足题意；k ≠0时，{k >0

△=k 2?24k ≤0

，从而可得出k 的取值范围．

本题考查了分类讨论的思想，一元二次不等式解的情况，考查了计算能力，属于基础题．

10.【答案】D

【解析】解：由x 2?x =1?x 2得2x 2?x ?1=0，解得x =1或x =?1

2， 当x ≥1或x ≤?1

2，f(x)=max{x 2?x,1?x 2}=x 2?x ，此时函数的递增区间为[1,+∞)，

当?1

2

综上函数的递增区间为[?1

2,0]，[1,+∞)， 故选：D ．

根据题意得到函数解析式，作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．

本题主要考查函数单调性和单调区间的求解，求出函数f(x)的表达式是解决本题的关键，属于中档

题

11.【答案】ABCD

【解析】

【分析】本题考查子集的概念，考查集合的并集、交集概念和运算，属于基础题．

根据子集的概念，结合交集、并集的知识，对选项逐一分析，由此得出正确选项．

【解答】

解：由于，即是的子集，

故，，

从而，．

故选ABCD．

12.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题考查命题的真假判断，以及解分式不等式，充分条件与必要条件的概念，命题的否定等知识，属于中档题．

解分式不等式判断A，根据充分条件、必要条件的定义判断B、D，根据命题的否定判断C．

【解答】

解：由得，

即，得，故A正确；

由时一定有，

因此“，”是“”成立的充分条件，故B正确；

命题，，则，，故C错误；

显然时一定有成立，

“

”是“

”的必要条件，故D 正确．

故选：ABD ．

13.【答案】ABC

【解析】 【分析】

本题考查基本不等式的应用和函数的最值，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于中档题．

利用基本不等式分别判断选项A 、B 的对错，对于C 、D ，由a =1?2b ，且0

2，转化为关于b 的二次函数，由函数的性质可得最值，可判断对错． 【解答】

解：∵正实数a ，b 满足a +2b =1，

由基本不等式可得a +2b =1≥2√2ab ，∴ab ≤1

8，当a =2b =1

2时等号成立，故ab 有最大值1

8，故A 正确；

由于(√a +√2b)2=a +2b +2√2ab =1+2√2ab ≤2 ，∴√a +√2b ≤√2，当a =2b =1

2时等号成立，故√a +√2b 有最大值为√2，故B 正确；

由a ，b 均为正数，且a +2b =1，则a =1?2b ，且0

2，则a 2+b 2=(1?2b)2+b 2=5b 2?4b +1=5(b ?2

5)2+1

5，

当b =2

5∈(0,1

2)时，a 2+b 2有最小值1

5，故C 正确；

a 2?

b 2=(1?2b)2?b 2=3b 2?4b +1=3(b ?2

3)2?1

3，对称轴为b =2

3?(0,1

2)，所以无最小值，故D 错误， 故选ABC ．

14.【答案】ACD

【解析】

本题考查一元二次不等式与相应函数和方程的关系，二次不等式的解法，分段函数，函数的单调性与单调区间，函数的单调性与单调区间，利用基本不等式求最值，涉及知识点较多，属于中档题． 先根据题意，利用一元二次不等式与相应函数和方程的关系求出m ，n ，再根据选项利用相关知识点逐一判断即可． 【解答】

解：对于A ，∵f(x)=x 2+mx +n(m,n ∈R)，不等式x

(m ?1)x +n >0的解集为

，

∴m ?1=?2，n =1，即m =?1,n =1，故A 正确； 对于B ，由A 可得，设g(x)=

f(x)x

=

x 2?x+1

x

=x +1x

?1，当x >0时，x +1x

?1?2√x ·1

x

?1=1，

当且仅当x =1时，取等号，即g(x)?g(1)=1， 当x <0时，?x >0，∴?x +

1

?x

?2√?x ·1

?x =2，当且仅当x =?1时，取等号，∴x <0时，g(x)?g(?1)=?3，故g(x)无最大值，也无最小值，故B 错误； 对于C ，由不等式x

，则不等式f(x)

得f(x)<1或f(x)>1，即x 2?x +1<1或x 2?x +1>1， 解得解集为

，故C 正确；

对于D.，知?(x)={3

4,x ?

1

2f(x),x >12，即?(x)={3

4,x ?

1

2

(x ?12)2+34,x >12

，当x ?1

2时，?(x)是常函数，当x >1

2

时，?(x)是单调递增，

若??(x)

2

2x +2>

12

或x >12，解得?3412

，∴x 的取值范围是，

故D 正确． 故选ACD ．

1.【答案】{a|a ?1}

【解析】略

2.【答案】{x|0≤x ≤10

3}

【分析】

本题考查了一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题． 由题意，直接利用一元二次不等式的解法求解即可． 【解答】

解：∵(x ?1

3)(x ?3)?1， ∴x 2?103x +1?1≤0， ∴x 2?

103

x ≤0， 即x(x ?

103

)≤0，

∴0≤x ≤

103

，

故不等式(x ?1

3)(x ?3)≤1的解集为{x|0≤x ≤103

} .

故答案为{x|0≤x ≤

103

} .

3.【答案】若A ≠?且B ≠?，则A ∩B ≠? 假

【解析】解：命题的条件是：A =?或B =?，结论是：A ∩B =?”， 根据否命题的定义，否定的条件，得否定的结论， ∴其否命题是：若A ≠?且B ≠?，则A ∩B ≠?； 此命题是假命题．

故答案是：若A ≠?且B ≠?，则A ∩B ≠?”；假． 根据否命题的定义写出其否命题，再判断其真假即可． 本题考查四种命题及命题真假性的判定．

4.【答案】[0,+∞)

【解析】解：根据题意，若函数f(x)=x 2+mx 是[?1,1]上的平均值函数， 则方程x 2+mx =

f(1)?f(?1)1?(?1)

，即x 2+mx ?m =0在(?1,1)内有实数根，

若函数g(x)=x 2+mx ?m 在(?1,1)内有零点．

则△=m 2+4m ≥0，解得m ≥0，或m ≤?4． g(1)=1>0，g(?1)=1?2m.g(0)=?m ． 对称轴：x =?m

2．

①m ≥0时，?m 2≤0，g(0)=?m ≤0，g(1)>0，因此此时函数g(x)在(?1,1)内一定有零点．∴m ≥0满足条件．

②m ≤?4时，?m 2≥2，由于g(1)=1>0，因此函数g(x)=x 2+mx ?m 在(?1,1)内不可能有零点，舍去．

综上可得：实数m 的取值范围是[0,+∞)． 故答案为：[0,+∞)．

根据题意，若函数f(x)=x 2+mx 是[?1,1]上的平均值函数，方程x 2+mx =

f(1)?f(?1)1?(?1)

，即x 2+mx ?

m =0在(?1,1)内有实数根，若函数g(x)=x 2+mx ?m 在(?1,1)内有零点．首先满足：△≥0，解得m ≥0，或m ≤?4．

g(1)=1>0，g(?1)=1?2m.对称轴：x =?m

2.对m 分类讨论即可得出．

本题考查了新定义、二次函数的性质、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

5.【答案】解：(1)B ={x |x ∈A }={0,1}=A ；

(2)C ={x |x ?A }={?,{0},{1},{0,1}}．

【解析】略

6.【答案】解：命题p:关于x 的不等式mx ?1≥0的解集为A ，且2∈A ，

则2m ?1?0，解得m ?1

2;

命题q:关于x 的方程x 2?2x +m =0有两个不相等的正数根， 则{△>0

x 1+x 2>0x 1x 2>0，即22?4m >0，m >0， 解得0

(1)由命题q 为真命题，∴实数m 的范围是0

(2)由命题p 和命题q 都是真命题，则

{m ?1

2

0

，解得12?m <1， 可得：命题p 和命题q 中至少有一个是假命题，则m <1

2或m ≥1; ∴实数m 的范围是m <1

2或m ≥1;

(3)命题p 和命题q 中有且只有一个是真命题， 若命题p 为真命题，命题q 就为假命题， 则{m ?1

2m ?0或m ?1，解得m ≥1， 若命题p 为假命题，命题q 就为真命题，

则{m <12

0

，解得0

2．

【解析】本题主要考查命题的真假判定，不等式求解，以及韦达定理应用，命题p 的解集由不等式求解得出m 取值范围，命题q 的解集通过韦达定理解得m 取值范围，

(1)若命题q 为真命题，则实数m 取值范围就是命题q 的解;

(2)命题p 和命题q 中至少有一个是假命题，先求出命题p 和命题q 中都是真命题时的m 取值范围，可得命题p 和命题q 中至少有一个是假命题m 取值范围;

(3)命题p 和命题q 中有且只有一个是真命题，当命题p 为真命题，命题q 就为假命题m 取值范围， 命题p 为假命题，命题q 就为真命题m 取值范围.综合得出结果．

7.【答案】解：设提价前的价格为1，那么两次提价后的价格为，方案甲：(1+p%)(1+q%)=1+

p%+q%+0.01pq%；

方案乙：(1+q%)(1+p%)=1+p%+q%+0.01pq%； 方案丙：(1+

p+q 2

%)(1+

p+q 2

%)=1+p%+q%+(

p+q 2

%)2=1+p%+q%+0.01×(

p+q 2

)2

%；

∵(

p+q 2

)2

≥pq ，且p >q >0，∴上式“=”不成立；

所以，方案甲和乙提价少，方案丙提价多．

【解析】本题考查了增长率问题和基本不等式的应用，是基础题．

两次提价属于增长率问题，分别计算出方案甲，方案乙，方案丙增长后的价格，再比较大小．

8.【答案】证明：(1)∵a 、b 、c >0，且a +b +c =1，

∴

1a +1b +1c =(1a +1b +1c )(a +b +c)=3+(b a +a b )+(c b +b c )+(c a +a

c

) ≥3+2√b

a

?a b

+2√c

b

?b c

+2√c

a

?a c

=9．

当且仅当a =b =c 时上式等号成立；

(2)(1a ?1)(1b ?1)(1c ?1)=(a +b +c a ?1)(a +b +c b ?1)(a +b +c c

?1)

=

b+c a

?

a+c b

?

a+b c

≥

2√bc?2√ac?2√ab

abc

=

8abc abc

=8．

当且仅当a =b =c 时上式等号成立．

【解析】(1)由已知可得1

a +1

b +1

c =(1

a +1

b +1

c )(a +b +c)，展开多项式乘多项式，再由基本不等式证明；

(2)利用1的代换，可得(1

a ?1)(1

b ?1)(1

c ?1)=

b+c a

?

a+c b

?

a+b c

，再由基本不等式证明．

本题考查利用基本不等式的性质证明不等式，关键是注意“1”的代换，是中档题．

9.【答案】解：(Ⅰ)不等式f(x)>0的解集是(?∞,m)∪(1,+∞)，

则x =1和x =m 是方程x 2+2x +1?a 2=0的根， 则有{1+m =?21×m =1?a 2

，解可得m =?3；

(Ⅱ)根据题意，f(x)=x 2+2x +1?a 2=x 2+2x +(1?a)(1+a)， 方程x 2+2x +1?a 2=0有两个根，即x =?1+a 和x =?1?a ，

若a <0，有?1+a

若a >0，有?1?a

【解析】(Ⅰ)根据题意，分析可得x =1和x =m 是方程x 2+2x +1?a 2=0的根，由根与系数的关系分析可得答案；

(Ⅱ)根据题意，分析求出方程x 2+2x +1?a 2=0有两个根，即x =?1+a 和x =?1?a ，按a 的取值范围分情况讨论，求出不等式的解集，综合即可得答案．

本题考查不等式的解法，涉及不等式的解集与方程根的关系，属于基础题．

10.【答案】解：(1)函数f(x)=ax 2+bx +1

4(a,b ∈R)，且f(?1)=0，

可得a ?b +14=0，即b =a +1

4，

对任意实数x ，f(x)≥0成立，可得a >0，△=b 2?a ≤0，

则(a +14)2?a ≤0，即(a ?14)2≤0，又(a ?14)2≥0，可得a =14，b =1

2， 所以f(x)=14x 2+12x +1

4；

(2)关于x 的不等式f(x)>(c +14)x 2?32x +(c +1

4)，

即14x 2+12x +14>(c +14)x 2?32x +(c +1

4)，化为cx 2?2x +c <0， 当c =0时，解得x >0； 当c >0时，△=4?4c 2，

当c ≥1时，△≤0，不等式无实数解；

当00，不等式的解为1?√1?c 2

c

综上可得，c =0时，不等式的解集为(0,+∞)； c ≥1时，不等式的解集为?；

0

c ,1+√1?c c

).

【解析】(1)由题意可得a ?b +1

4=0，又a >0，△=b 2?a ≤0，结合非负数概念，解方程可得a ，b ，进而得到f(x)的解析式；

(2)由题意可得cx 2?2x +c <0，讨论c =0，c >0，讨论判别式大于0，小于等于0，结合二次不等式的解法，即可得不等式的解集．

本题考查二次函数的解析式的求法，注意运用待定系数法，考查含参数不等式的解法，注意运用分

类讨论方法，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．