(完整版)必修四向量加法运算及其几何意义(附答案)
向量加法运算及其几何意义
[学习目标] 1.理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.
了解向量加法的交换律和结合律，并能依几何意义作图解释加法运算律的合理性．
知识点一向量的加法
1．向量加法的定义
定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
对于零向量与任一向量a ，规定0＋a ＝a ＋0＝a.
2．向量求和的法则
三角形法则如图，已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝
b ，则向量AC →
叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →
平行四边
形法则
如图，已知两个不共线向量a ，b ，作AB →＝a ，AD →＝b ，以AB →，AD →为
邻边作?ABCD ，
则对角线上的向量AC →＝a ＋b
思考如图，已知向量a, b ，分别利用三角形法则和平行四边形法则作出向量a ＋b.答案作法1：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b.
作法2：在平面内任取一点
O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA ，OB 为邻边作?OACB ，连接OC ，
则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b.知识点二向量的加法和向量的模
(1)当向量a 与b 不共线时，a ＋b 的方向与a ，b 都不相同，且|a ＋b|<|a|＋|b|；
(2)当a 与b 同向时，a ＋b ，a ，b 的方向相同，且|a ＋b|＝|a|＋|b|；
(3)当a 与b 反向时，若|a|≥|b|，则a ＋b 与a 的方向相同，且|a ＋b|＝|a|－|b|.
若|a|<|b|，则a ＋b 与b 的方向相同，且|a ＋b|＝|b|－|a|.
知识点三向量加法的运算律
交换律
a ＋
b ＝b ＋a 结合律(a ＋b)＋
c ＝a ＋(b ＋c)
思考1
根据下图中的平行四边形ABCD ，验证向量加法的交换律：a ＋b ＝b ＋a.(注：AB →＝a ，
AD →＝b)答案∵AC →＝AB →＋BC →，∴AC →＝a ＋b.
∵AC →＝AD →＋DC →，∴AC →＝b ＋a.
∴a ＋b ＝b ＋a.
思考2
根据下图中的四边形ABCD ，验证向量加法的结合律：(a ＋b)＋c ＝a ＋(b ＋c)．答案∵AD →＝AC →＋CD →＝(AB →＋BC →)＋CD →，
∴AD →＝(a ＋b)＋c ，
又∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋(BC →＋CD →)，
∴AD →＝a ＋(b ＋c)，
∴(a ＋b)＋c ＝a ＋(b ＋c)．
题型一向量加法及其运算律
例1化简：
(1)BC →＋AB →；(2)DB →＋CD →＋BC →；
(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →.
解(1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →.
(2)DB →＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB →
＝(BC →＋CD →)＋DB →＝BD →＋DB →＝0.
(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →
＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋FA →
＝AC →＋CD →＋DF →＋F A
→＝AD →＋DF →＋FA →
＝AF →＋FA →＝0.
跟踪训练1如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 和BD 的交点．
(1)AB →＋AD →＝________；
(2)AC →＋CD →＋DO →＝________；
(3)AB →＋AD →＋CD →＝________；
(4)AC →＋BA →＋DA →＝________.
题型二向量加法在平面几何中的应用
例2已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AO →＝OC →，
DO →＝OB →.
求证：四边形ABCD 是平行四边形．
证明AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →，
又∵AO →＝OC →，OB →＝DO →，∴AB →＝DC →.
∴AB ＝CD 且AB ∥DC.
∴四边形ABCD 为平行四边形．
跟踪训练2
如图所示，在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，试判断四边形的形状．解∵AC →＝AB →＋AD →，
∴DC →＝DA →＋AC →＝DA →＋AB →＋AD →＝DA →＋AD →＋AB →＝AB →，即DC →＝AB →.
∴四边形ABCD 为平行四边形．
题型三
向量加法的实际应用例3在水流速度为 4 3 km/h 的河中，如果要船以12 km/h 的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．
解如图，设AB →表示水流速度，则AC →表示船航行的实际速度，作AD 綊
BC ，则AD →即表示船航行的速度．
因为|AB →|＝4 3，|AC →|＝12，∠CAB ＝90°，所以tan ∠ACB ＝4 312＝33
，即∠ACB ＝30°，∠CAD ＝30°．
所以|AD →|＝8 3，∠BAD ＝120°．
即船航行的速度为
8 3 km/h ，方向与水流方向所成角为120°．跟踪训练3如图所示，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km
到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km
送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
解设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，
从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km ，
则飞机飞行的路程指的是
|AB →|＋|BC →|；两次飞行的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →.
依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)，
又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°，
所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002＝8002(km)．
其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°．
从而飞机飞行的路程是 1 600 km ，两次飞行的位移和的大小为
800 2 km ，方向为北偏东80°．向量加法的多边形法则
向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量．
如图，即：A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ——→＝A 1A n →.
或A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n －1A n ——→＋A n A 1→＝0.
这是一个极其简单却非常有用的结论．
利用向量加法的多边形法则化简多个向量的和有时非常有效．
例4
在正六边形ABCDEF 中，AC →＋BD →＋CE →＋DF →＋EA →＋FB →＝________.解析AC →＋BD →＋CE →＋DF →＋EA →＋FB
→＝(AB →＋BC →)＋(BC →＋CD →)＋(CD →＋DE →)＋(DE →＋EF →)＋(EF →＋F A →)＋(FA →＋AB →)
＝(AB →＋BC →＋CD →＋DE →＋EF →＋FA →)＋(BC →＋CD →＋DE →＋EF →＋FA →＋AB →)＝0＋0
＝0.
答案0
1．作用在同一物体上的两个力
F 1＝60 N ，F 2＝60 N ，当它们的夹角为120°时，则这两个力的合力大小为(
)A ．30 N B ．60 N C ．90 N D ．120 N
2．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式中错误的是
()A.FD
→＋DA →＋DE →＝0 B.AD →＋BE →＋CF →＝0C.FD →＋DE →＋AD →＝AB → D.AD →＋EC →＋FD →＝BD
→3．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，则AB
→＋BC →＋AC →的模等于________．4．化简：(1)AB
→＋CD →＋BC →；(2)(MA →＋BN →)＋(AC →＋CB →)；
(3)AB →＋(BD →＋CA →)＋DC →.
5．如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC.
求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.
一、选择题
1．已知向量a ∥b ，且|a|>|b|>0，则向量a ＋b 的方向()
A ．与向量a 方向相同
B ．与向量a 方向相反
C ．与向量b 方向相同
D ．不确定
2．下列等式错误的是()
A ．a ＋0＝0＋a ＝a B.A
B →＋B
C →＋AC →＝0
C.AB →＋BA →＝0
D.CA →＋AC →＝MN →＋NP →＋PM →
3．a ，b 为非零向量，且|a ＋b|＝|a|＋|b|，则()
A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同
B ．a ，b 是共线向量且方向相反
C ．a ＝b
D ．a ，b 无论什么关系均可
4.如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →等于()
A.BD →
B.DB →
C.BC →
D.CB →
5.如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于()
A ．1
B ．2
C ．3
D ．23
6．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是任一非零向量，则下列结论中正确的是
()①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b|＝|a|－|b|；⑤|a ＋b|＝|a|＋|b|.
A ．①②
B ．①③
C ．①③⑤
D ．③④⑤二、填空题
7．根据图示填空，其中
a ＝DC →，
b ＝CO →，
c ＝OB →，
d ＝BA →.(1)a ＋b ＋c ＝________；
(2)b ＋d ＋c ＝________.
8．已知|a|＝3，|b|＝5，则向量a ＋b 模长的最大值是____．
9．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，AC →＝b ，BC →＝c ，则|a ＋b ＋c|＝________.
10．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝______.
三、解答题
11．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O 点，P 为平面内任意一点．
求证：P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →.
12．已知|OA →|＝|a|＝3，|OB →|＝|b|＝3，∠AOB ＝60°，
求|a ＋b|.
13.如图所示，在平行四边形
ABCD 的对角线BD 的延长线和反向延长线上取点F ，E ，使BE ＝DF.
求证：四边形AECF 是平行四边形．
当堂检测答案
1．答案
B 2．答案
D 解析FD →＋DA →＋D
E →＝FA →＋DE →＝0，
AD
→＋BE →＋CF →＝AD →＋DF →＋FA →＝0，FD →＋DE →＋AD →＝FE →＋AD →＝AD →＋DB →＝AB →，
AD →＋EC →＋FD →＝AD →＋0＝AD →＝DB →≠BD →.
故选D.
3．答案
213解析
|AB →＋BC →＋AC →|＝|2AC →|＝2|AC →|＝213.4．解(1)AB →＋CD →＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →.
(2)(MA →＋BN →)＋(AC →＋CB →)＝(MA →＋AC →)＋(CB →＋BN →)＝MC →＋CN →＝MN →.
(3)AB →＋(BD →＋CA →)＋DC →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0.
5．证明∵AP →＝AB →＋BP →，AQ →＝AC →＋CQ →，
∴AP →＋AQ →＝AB →＋AC →＋BP →＋CQ →.
又∵BP ＝QC 且BP →与CQ →方向相反，
∴BP →＋CQ →＝0，
∴AP →＋AQ →＝AB →＋AC →，即AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.
课时精练答案
一、选择题
1．答案
A 解析如果a 和b 方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同；如果它们的方
向相反，而a 的模大于b 的模，则它们的和的方向与
a 的方向相同．2．答案
B 解析AB →＋B
C →＋AC →＝AC →＋AC →＝2AC →≠0，故B 错．
3．答案
A
4.答案
C 解析
BC →＋DC →＋BA →＝BC →＋(DC →＋BA →)＝BC →＋0＝BC →.5.答案
B 解析|AB →＋FE →＋CD →|＝|AB →＋B
C →＋C
D →|＝|AD →|＝2.
6．答案
C 解析a ＝0，∴a ∥b ，a ＋b ＝b ，|a ＋b|＝|a|＋|b|，故选 C.
二、填空题
7．答案(1)DB →(2)CA →
解析(1)a ＋b ＋c ＝DC →＋CO →＋OB →＝DB →.
(2)b ＋d ＋c ＝CO →＋BA →＋OB →＝CA →.
8．答案8
解析∵|a ＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8.
∴|a ＋b|的最大值为8.
9．答案22
解析|a ＋b ＋c|＝|AB →＋AC →＋BC →|＝|AB →＋BC →＋AC →|＝|AC →＋AC →|＝2|AC →|＝2 2.
10．答案0
解析如图所示，连接AG 并延长交BC 于E 点，点E
为BC 的中点，延长
AE 到D 点，使GE ＝ED ，
则GB →＋GC →＝GD →，GD →＋GA →＝0，
∴GA →＋GB →＋GC →＝0.
三、解答题
11．证明∵PA →＋PB →＋PC →＋PD →
＝PO →＋OA →＋PO →＋OB →＋PO →＋OC →＋PO →＋OD →
＝4PO →＋(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)
＝4PO →＋(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)
＝4PO →＋0＋0＝4PO →.
∴PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →.
12．解如图，∵|OA →|＝|OB →|＝3，
∴四边形OACB 为菱形．
连接OC 、AB ，则OC ⊥AB ，设垂足为 D.
∵∠AOB ＝60°，∴AB ＝|OA →|＝3.
∴在Rt △BDC 中，CD ＝33
2.
∴|OC →|＝|a ＋b|＝33
2×2＝3 3.
13.证明AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →，
因为FD ＝BE ，且FD →与BE →的方向相同，所以FD →＝BE →，所以AE →＝FC →，即AE 与FC 平行且相等，
所以四边形AECF 是平行四边形．
高中数学 空间向量的线性运算教案
用心 爱心 专心 - 1 - 课题：3.1.1空间向量的线性运算 设计人： 审核人： 班级： 组名： 姓名： 日期： 典型例题 例１.已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图），以图中一对顶点构造向量，使 它们分别等于： ； ⑴BC AB + ；⑵'AA AD AB ++ '2 1CC AD AB + +⑶ ．⑷ )'(3 1AA AD AB ++ (5)D D AB BC → → → '-+ 1(6)()2 A B A D D D B C → → → → '++ - (7)AB BC C C C D D A → → → → → '''''++++ 例3.已知平行六面ABCD-A1B1C1D1 ，求满足下列各式的x 的值。 11111 )3(2 )2(AC x AD AB AC AC x BD AD =++=-x C D A AB =++1111 )1( 1 C C ' D ' A ' B ' D A )(21,,.2→ →→+=BC AD MN CD AB ABCD N M 求证：的中点， 的棱分别是四面体例D C B A N M
用心 爱心 专心 - 2 - 四．当堂检测 １．在三棱柱111ABC A B C -中，设M 、N 分别为1,BB AC 的中点，则MN 等于（ ） A ．11()2A C A B B B ++ B ．111111()2 B A B C C C ++ C ．11()2A C C B B B ++ D ．11()2 B B B A B C -- ２．若A 、B 、C 、D 为空间四个不同的点，则下列各式为零向量的是 （ ）①22AB BC CD DC +++ ②2233AB BC CD DA AC ++++ ③AB CA BD ++ ④AB CB CD AD -+- A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．①④ 3.在空间四边形ABCD 中,点M 、G 分别是BC 、CD 边的中点,化简 4. 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1 BA CB +; （2）1 21AA CB AC + +; （3）CB AC AA --1 五．课后练习 1．四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，,,AB a AD b AP c === ，E 为PC 中点， 则向量C E = _______________________； 2.已知长方体 1111 ABC D A B C D -，化简向量表达式 1CB AC AD AA +++= _____________； 3. 1(1) ()2 1(2) ()2 AB BC BD AG AB AC ++-+ a b AD c a ,b,c C D ,. ABC D AB BC AC BD == 空间四边形中，，＝，，试用来表示，
苏教版高中数学选修2-1《空间向量及其线性运算》教案
空间向量及其线性运算 学习目标： 1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 3．理解空间向量共线的充要条件。 学习重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质； 学习难点：空间向量的线性运算及其性质。 学习过程： 一、创设情景 1、平面向量的概念及其运算法则； 2、物体的受力情况分析（如右图）。 二、建构数学 1．空间向量的概念 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）空间的一个平移就是一个向量。 （2）向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （3）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2．空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图） b a AB OA OB +=+= b a -=-= )(R a ∈=λλ 运算律： （1）加法交换律：a b b a +=+ （2）加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ （3）数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3．平行六面体
O 平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并 记作：ABCD －D C B A ''''，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。 4．共线向量 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向 量叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作b a //。 当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一 直线，也可能是平行直线。 5．共线向量定理及其推论 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb 。 推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于任意一点O ， 点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 t OA OP +=a ，其中向量a 叫做直线l 的 方向向量。 三、数学运用 1、如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +； （2）12 1 AA + +； （3）CB AC AA --1。 解：（1）11CA BA =+； （2）AM AA CB AC =+ +12 1 ； （3）11BA CB AC AA =--。
空间向量及其线性运算(教案)
课 题：空间向量及其线性运算 教学目标： 1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 3．理解空间向量共线的充要条件 教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质； 教学难点：空间向量的线性运算及其性质。 教学过程： 一、创设情景 1、蚂蚁爬行的问题引入为什么要研究空间向量. 2、平面向量的概念及其运算法则； 二、建构数学 1．空间向量的概念： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图） b a AB OA OB +=+= b a -=-= )(R a ∈=λλ 运算律： ⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3．平行六面体： 平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。 4．共线向量 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向 量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //． 当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同 一直线，也可能是平行直线． 5．共线向量定理： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，
数学选修空间向量及其运算教案
第三章空间向量与立体几何 §3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。 学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。（不要翻书） （在黑板或背投上呈现或边说边写） 1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量； 2、平面向量的表示方法：
①几何表示法：_________________________ ②字母表示法：_________________________ （注意：向量手写体一定要带箭头） 3、平面向量的模表示_________________，记作____________ 4、一些特殊的平面向量： ①零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性） ②单位向量：______________________________ （强调：都只限制了大小，不确定方向） ③相等向量：____________________________ ④相反向量：____________________________ 5、平面向量的加法： 6、平面向量的减法： 7、平面向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和 方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. 8、向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb 数乘结合律：λ（aμ）=a) (λμ [师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟） [师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间） [师]：空间向量与平面向量有什么联系？ [生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及 空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。
《向量的加法运算及其几何意义》教学设计
《向量的加法运算及其几何意义》教学设计 教学目标： 1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； 3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义. 学 法： 数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律. 教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 一、设置情景： 1、 复习：向量的定义以及有关概念 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、情景设置： （1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ （2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ （4）船速为AB ，水速为BC ，则两速度和：AC BC AB =+ A B C C A B A B C A B C
《向量加法运算及其几何意义》教学设计
《向量加法运算及其几何意义》教学设计 一、教材分析 《普高中课程标准数学教科书数学（必修（4））》(人教（版）)。第二章2．2平面向量的线性运算的第一节“向量加法运算及其几何意义”（89--94页）。《向量》这一章是前一轮教材中新增的内容。高考考纲有明确说明,同时新课标也提出向量是数学的重要概念之一，在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用。另外，在今后学习复数的三角形式与向量形式时，还要用到向量的有关知识及思想方法，向量也是将来学习高等数学以及力学、电学等学科的重要工具。教材的第2．1节通过物理实例引入了向量的概念，介绍了向量的模、相等的向量、负向量、零向量以及平行向量等基本概念。而本节课是继向量基本概念的第一节课。向量的加法是向量的第一运算，是最基本、最重要的运算，是学习向量其他运算的基础。它在本单元的教学中起着承前启后的作用，同时它在实际生活、生产中有广泛的应用。正如第二章的引言中所说：如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。 二、学生学习情况分析 学生在高一学习物理中的位移和力等知识时，已初步了解了矢量的合成，而物理学中的矢量相当于数学中的向量，这为学生学习向量知识提供了实际背景。 三、设计理念 教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此，在教学中要不断指导学生学会学习。在教学过程中，从教材和学生的实际出发，按照学生认知活动的规律，精练、系统、生动地讲授知识，发展学生的智能，陶冶学生的道德情操；要充分发挥学生在学习中的主体作用，运用各种教学手段,调动学生学习的主动性和积极性，启发学生开展积极的思维活动，通过比较、分析、抽象、概括，得出结论；进一步理解、掌握和运用知识，从而使学生的智力、能力和其他心理品质得到发展。 四、教学目标
《向量的加法运算及其几何意义》教案
2.2.1向量加法运算及其几何意义 知识目标： 1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的 和，培养数形结合解决问题的能力； 3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向 量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算， 渗透类比的数学方法； 教学重点与难点: 教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义. 教学过程 一、复习引入 问题1：向量的定义以及相等向量的定义是什么？ 1、什么叫向量？ 2、长度为零的向量叫做。零向量的方向具有性。 3、长度等于一个单位的向量叫做。 4、方向相同或相反的非零向量叫做，也叫。 5、长度相等且方向相同的向量叫做。 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量
可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 问题2：数能进行运算,向量是否也能进行运算呢？ 二、探究新知 活动一 元旦假期将到，某人计划外出去三亚旅游，从重 庆（记作A ）到昆明（记作B ），再从B 到三亚（记作 C ），这两次的位移和可以用哪个向量表示？ 形成概念： 1． 向量加法的定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 2． 向量加法的法则 (1) 向量加法的三角形法则 如图3,已知非零向量a 、b ,在平面内任取一点A,作=a ,=b ,则向量叫做a 与b 的和,记作a +b ,即a +b =+=.这种求向量和的方法叫做向量加法的三角形法则 (2) 向量加法的平行四边形法则 如图4,以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为 邻边作平行四边形,则以O 为起点的对角线就是a 与b 的和.把这种求向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 问题4： 对于零向量与任一向量的加法,结果又是怎样的呢？ 对于零向量与任意向量a ，我们规定：a +0=0+a =a . 总结: 三角形法则 : 图 4
向量加法运算及其几何意义
各位评委：大家好！我的说课题目是向量加法运算及其意义 根据新课标的理念，对于本节课，我将以教什么，怎样教，为什么这样教为思路，从教材分析，教学目标分析，教学方法分析，教学过程分析四个方面加以说明。 一、教材分析 1、教材的地位和作用 本节内容是选自人教版高中数学必修4第2章第2节第1部分的内容 是高中数学的重要内容之一。向量是一个知识的交汇点，它在平面几何、立体几何等章节中都有着重要作用。本节课是在学习了向量的实际背景及基本概念后对向量加法、向量加法的三角形法则和平行四边形法则以及向量加法的运算律做的进一步探究， 初步展现了向量所具有的优良运算通性，为后面学习向量的其他知识奠定了基础 2、学情分析 从心理特征来说，高中阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。但同时，这一阶段的学生注意力易分散，喜欢发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。 3、教学重难点 根据以上对教材的地位和作用，以及学情分析，结合新课标对本节课的要求，我将本节课的 学习重点：向量加法的两个法则及其应用 学习难点：对向量加法定义的理解 二、教学目标分析 知识目标:掌握向量的加法定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量；掌握向量的加法的运算律，并会用它们进行向量计算 能力目标：体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识 情感目标:注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，培养学生学习数学的信心 三、教学方法分析 1、教法分析 本着“以学生为主体，以教师为主导，以问题解决为主线，以能力发展为目标”的指导思想，结合学生实际，主要采用“问题导引，自主探究”式教学方法。 2、学法指导 引导学生从实际问题中抽象出数学模型，提高观察、归纳、分析的能力；引导学生自己发现问题、提出问题并予以解决，学会合作交流;引导学生具有“用数学”的意识，尝试着用数学知识解决实际问题。。 四、教学过程分析 新课标指出，数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生间互动的过程，是师生共同发展的过程。为有序、有效地进行教学，本节课我主要安排以下教学环节：复习引入探究深化精讲点拨当堂达标总结提升作业布置
向量的加法及其几何意义
向量的加法及其几何意义 一、教材分析 高考考纲有明确说明,同时新课标也提出向量是数学的重要概念之一，在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用。另外，在今后学习复数的三角形式与向量形式时，还要用到向量的有关知识及思想方法，向量也是将来学习高等数学以及力学、电学等学科的重要工具。教材的第2．1节通过物理实例引入了向量的概念，介绍了向量的模、相等的向量、负向量、零向量以及平行向量等基本概念。而本节课是继向量基本概念的第一节课。向量的加法是向量的第一运算，是最基本、最重要的运算，是学习向量其他运算的基础。它在本单元的教学中起着承前启后的作用，同时它在实际生活、生产中有广泛的应用。正如第二章的引言中所说：如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。 二、学生学习情况分析 学生在高一学习物理中的位移和力等知识时，已初步了解了矢量的合成，而物理学中的矢量相当于数学中的向量，这为学生学习向量知识提供了实际背景。 三、设计理念
教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此，在教学中要不断指导学生学会学习。在教学过程中，从教材和学生的实际出发，按照学生认知活动的规律，精练、系统、生动地讲授知识，发展学生的智能，陶冶学生的道德情操；要充分发挥学生在学习中的主体作用，运用各种教学手段,调动学生学习的主动性和积极性，启发学生开展积极的思维活动，通过比较、分析、抽象、概括，得出结论；进一步理解、掌握和运用知识，从而使学生的智力、能力和其他心理品质得到发展。 四、教学目标 根据新课标的要求: 培养数学的应用意识是当今数学教育的主题，本节课的内容与实际问题联系紧密，更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识。及本节教材的特点和高一学生对矢量的认知特点，我把本节课的教学目的确定为： 1、理解向量加法的意义，掌握向量加法的几何表示法，理解向量加法的运算律。 2、理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识。 3、培养类比、迁移、分类、归纳等能力。 4、进行辩证唯物主义思想教育，数学审美教育，提高学生学习数学的积极性。
向量的加法运算及其几何意义
向量的加法运算及其几何意义 教学目标： 1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； 3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义. 学法： 数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.
教具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 一、设置情景： 1、复习：向量的定义以及有关概念 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、情景设置： （1）某人从a到b，再从b按原方向到c， 则两次的位移和： （2）若上题改为从a到b，再从b按反方向到c， 则两次的位移和： （3）某车从a到b，再从b改变方向到c， 则两次的位移和： （4）船速为，水速为，则两速度和： 二、探索研究： １、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”） 如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即a＋ｂ，规定：a + 0-= 0 + a 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量； （2）当向量与不共线时，+ 的方向不同向，且| + || |，则+ 的方向与相同，且| + |=| |-| |；若| |４．加法的交换律和平行四边形法则 问题：上题中+ 的结果与+ 是否相同？验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应） ２）向量加法的交换律：+ = + ５．向量加法的结合律：( + ) + = + ( + ) 证：如图：使，， 则( + ) + = ，+ ( + ) = ∴( + ) + = + ( + ) 从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. 三、应用举例： 例二（p94—95）略
向量的线性运算经典测试题及答案解析
向量的线性运算经典测试题及答案解析 一、选择题 1．若2a b c +=r r ，3a b c -=r r ，而且c r ≠0，a r 与r b 是（ ） A ．a r 与r b 是相等向量 B ．a r 与r b 是平行向量 C ．a r 与r b 方向相同，长度不等 D ．a r 与r b 方向相反，长度相等 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知条件求得52a c =r r ，1b 2 c =-r r ，由此确定a r 与b r 位置和数量关系． 【详解】 解：由2a b c +=r r ，3a b c -=r r ，而且c r ≠0，得到：52a c =r r ，1b 2 c =-r r ， 所以a r 与b r 方向相反，且|a r |＝5|b r |． 观察选项，只有选项B 符合题意． 故选：B ． 【点睛】 本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意对平面向量这一基础概念的熟练掌握． 2．下列命题中，真命题的个数为( ) ①方向相同 ②方向相反 ③有相等的模 ④ 方向相同 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案. 【详解】 解：对于①，若，则 方向相同，①正确； 对于②，若，则方向相反，②正确； 对于③，若，则方向相反，但 的模不一定，③错误； 对于④，若 ，则 能推出 的方向相同，但 的方向相同，得到 ④错误. 所以正确命题的个数是2个，故选:C. 【点睛】 本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题.
3．如图，已知向量a r ，b r ，c r ,那么下列结论正确的是（ ） A ．a b c +=r r r B ．b c a +=r r r C ．a c b +=r r r D ．a c b +=-r r r 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 由平行四边形法则，即可求得： 解：∵CA AB CB +=u u u r u u u r u u u r ， 即a c b +=-r r r 故选D ． 4．下列判断正确的是( ) A ．0a a -=r r B ．如果a b =r r ，那么a b =r r C ．若向量a r 与b 均为单位向量，那么a b =r r D ．对于非零向量b r ，如果()0a k b k =?≠r r ，那么//a b r r 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量的概念、性质以及向量的运算即可得出答案. 【详解】 A. -r r a a 等于0向量，而不是等于0，所以A 错误； B. 如果a b =r r ，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，所以B 错误； C. 若向量a r 与b 均为单位向量，说明两个向量长度相等，但方向不一定相同，所以C 错误； D. 对于非零向量b r ，如果()0a k b k =?≠r r ，即可得到两个向量是共线向量，可得到//a b r r ，故D 正确. 故答案为D. 【点睛】
《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版
《向量的加法运算及其几何意义》教案 教学目标： 1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； 3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义. 学 法： 数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律. 教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 一、设置情景： 1、 复习：向量的定义以及有关概念 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、 情景设置： （1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：=+ （2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：=+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：=+ （4）船速为，水速为，则两速度和： AC =+ 二、探索研究： １、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. A B C A B C A B C
2020_2021学年新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.
1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算 学习目标核心素养 1.理解空间向量的概念．(难点) 2.掌握空间向量的线性运算．(重点) 3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推 论的应用．(重点、难点) 1.通过空间向量有关概念的学习，培养学生的 数学抽象核心素养. 2.借助向量的线性运算、共线向量及共面向量 的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核 心素养. 国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？ 图1 图2 如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？ 1．空间向量 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：AB → ，其模记为|a|或|AB → |. 2．几类常见的空间向量 名称方向模记法 零向量任意00 单位向量任意1 相反向量相反相等 a的相反向量：－a AB → 的相反向量：BA →
相等向量相同相等a＝b 3.空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法 空间向量的 运算 加法OB→＝OA→＋OC→＝a＋b 减法CA→＝OA→－OC→＝a－b 加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) ①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa与向量a方向相同； 当λ<0时，λa与向量a方向相反； 当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍． ②运算律 a．结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a. b．分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？ [提示]没有关系． 4.共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. (4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP → ＝λa. 5．共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存
向量加法运算及其几何意义
向量加法运算及其几何意义 班级:____________ 姓名:______________ 一、选择题 1．化简CB →＋AD →＋BA →等于( ) A.DB → B.CA → C.DC → D.CD → 2.如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，则OA →＋BC →＋AB →＋DO →等于( ) A.CD → B.DC → C.DA → D.DO → 3．下列说法正确的个数为( ) ①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a 或b 的方向相同； ②在△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0； ③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 一定为一个三角形的三个顶点； ④若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |＝|a |＋|b |. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．已知四边形ABCD 为菱形，则下列等式中成立的是( ) A.AB →＋BC →＝CA → B.AB →＋AC →＝BC → C.AC →＋BA →＝AD → D.AC →＋AD →＝DC → 5．在矩形ABCD 中，|AB →|＝4，|BC →|＝2，则向量AB →＋AD →＋AC →的长度为( ) A ．2 5 B ．4 5 C ．12 D ．6 6．长度相等的三个非零向量OA →，OB →，OC →满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则由A ，B ，C 三点构成的△ABC 是( )
A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 二、填空题 7．如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 和BD 的交点． (1)AB →＋AD →＋CD →＝________； (2)AC →＋BA →＋DA →＝________. 8.如图，已知在矩形ABCD 中，|AD →|＝43，设AB →＝a ，BC →＝b ，BD →＝c ，则|a ＋b ＋c |＝________. 9．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝________. 10．设非零向量a ，b ，c ，若p ＝a |a|＋b |b|＋c |c| ，则|p |的取值范围为____________． 三、解答题 11.如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →. 12.如图，已知D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的中点，求证：AD →＋BE →＋CF →＝0.
空间向量及其线性运算
空间向量及其线性运算 目标认知 学习目标： 1．了解空间向量的概念，体会向量由平面向空间的推广过程。 2．掌握空间向量的线性运算，掌握向量共线的充要条件. 3．掌握空间向量的数量积，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 重点： 空间向量的线性运算和空间向量的数量积；空间向量共线与垂直的充要条件. 难点： 空间向量的数量积，空间向量共线与垂直的充要条件. 学习策略： 把向量的研究范围从平面扩大到空间，就得到空间向量，因此，空间向量是平面向量的推广，学习空间向量的相关概念及其运算时，完全类比平面向量的概念及其运算。 知识要点梳理 知识点一：空间向量的相关概念 1.空间向量的定义： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：或。 注意： （1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量 可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。 2.空间向量的长度（模）： 表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或 3．空间向量的有关概念： 零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。 单位向量：长度为1的空间向量，即. 相等向量：方向相同且模相等的向量。 相反向量：方向相反但模相等的向量。 共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平 行向量．平行于记作．
共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。 两个规定： （1）与任意向量平行； （2）与任意向量垂直。 注意： ①当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可 能是平行直线． ②向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两 个向量是共面的． 4.两个向量的夹角 已知两非零向量，在空间任取一点O，作向量，，则叫做与的夹角，记作。 规定： 当或时，向量与平行，记作 当时，向量与垂直，记作 知识点二：空间向量的加减法 因为空间任意两个向量是共面的．定义空间向量的加法、减法、数乘向量及运算律与平面向量一样。 （1）空间向量的加减法运算 ①如图,若， 则= ②如图，若
基础_知识讲解_空间向量及其线性运算(理)126
空间向量及其线性运算 编稿：赵 雷 审稿：李 霞 【学习目标】 1. 理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示方法与字母表示方法． 2．掌握空间向量的线性运算（加法、减法和数乘）及其运算律． 3．掌握空间向量的共线定理和共面定理，并能用它们分析解决有关问题． 【要点梳理】 要点一、空间向量的相关概念 1.空间向量的定义： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：AB 或a 。 （要注意印刷体用a ，而手写体为a ，要区分开） 要点诠释： （1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向 量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。 2.空间向量的长度（模）： 表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||AB 或||a 3．空间向量的有关概念： 零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0。规定：0与任意向量平行。 单位向量：长度为1的空间向量，即||1a . 相等向量：方向相同且模相等的向量。 相反向量：方向相反但模相等的向量。 共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平 行向量．a 平行于b 记作b a //． 共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。 要点诠释： ①当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也 可能是平行直线． ②向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两个向量是共面的． 要点二、空间向量的加减法 1．加减法定义 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）．
空间向量及应用专题1002：空间向量的线性运算
专题1002：空间向量的线性运算 例：如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量： (1)AP →； (2)A 1N →； (3)MP →＋NC 1→. 跟踪训练1 如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．用AB →，AD →，AA 1 →表示OC 1→，则OC 1→＝________________.
跟踪训练2：如图，在三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，设OA →＝a ，OB →＝ b ，OC →＝ c ，用a ，b ，c 表示NM →，则NM →等于( ) A.12 (－a ＋b ＋c ) B.12(a ＋b －c ) C.12(a －b ＋c ) D.12 (－a －b ＋c ) 跟踪训练3．已知空间向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且a ，b 的夹角为π3 ，O 为空间直角坐标系的原点，点A ，B 满足OA →＝2a ＋b ，OB →＝3a －b ，则△OAB 的面积为( ) A.52 3 B.54 3 C.74 3 D.114 跟踪训练4．(多选)有下列四个命题，其中不正确的命题有( ) A ．已知A ， B ， C ， D 是空间任意四点，则AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0 B ．若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →∥CD → C ．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 D ．对于空间的任意一点O 跟踪训练5．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z ＝________.
向量加法运算及其几何意义优秀教学设计
2.2.1向量加法运算及其几何意义教学设计 一、教学目标 知识目标：理解向量加法的含义，会用向量加法的三角 形法则和平行四边形法则作出两个向量的和； 掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们 进行向量运算． 能力目标：经历向量加法概念、法则的建构过程，感受 和体会将实际问题抽象为数学概念的思想方 法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题 的能力． 情感目标：经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，激发学生的学习热情．培养 学生勇于探索、敢于创新的个性品质． 二、重点与难点 重点：向量加法的定义与三角形法则的概念建构；以及利用法则作两个向量的和向量． 难点：理解向量的加法法则及其几何意义． 三、教法学法 教法运用了“问题情境教学法”、“启发式教学法”和“多媒体辅助教学法”． 学法采用以“小组合作、自主探究”为主要方式的自主学
习模式． 四、教学过程 新课程理念下的教学过程是一个内容活化、创生的过程，是一个学生思考、体验的过程，更是一个师生互动、发展的过程．基于此，我设定了五个教学环节： 一、创设情境引入课题 师：在前一节课中我们学习了一个新的量——向量，今 算，首先，请看课件．（出示） 师：他是谁？ 生：丁俊晖． 师：对，著名的台球神童——丁 俊晖？大家请看他好像遇到了难题？（出示）你能不能帮助他解决啊？ 活动设计：学生参与讨论（教师提问，学生回答：翻袋进球） 再来看另一个问题：在两岸通 航之前，要从我们郑州到达祖国的 宝岛台湾，我们需要从新郑机场乘 飞机抵达香港，然后转机才能到达， 如今通航后呢？我们可以直接到 达，节省了大量的时间和金钱．
知识讲解_空间向量及其线性运算
空间向量及其线性运算 【学习目标】 1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示方法与字母表示方法； 2．掌握空间向量的线性运算（加法、减法和数乘）及其运算律； 3．掌握数量积的概念及其几何意义，掌握数量积的运算律； 4．掌握空间向量的共线定理和共面定理，并能用它们分析解决有关问题． 【要点梳理】 要点一：空间向量的相关概念 1．空间向量的定义： 空间向量：空间中，既有大小又有方向的量； 空间向量的表示：一种是用有向线段AB 表示，A 叫作起点，B 叫作终点； 一种是用小写字母a （印刷体）表示，也可以用a （而手写体）表示． 向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||AB 或||a . 向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a b ，的相等向量OA 和OB ，则↓AOB 叫作向量a b ，的夹角，记作?a b ，∠，规定0??a b ，∠?π．如图： 要点诠释： （1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关. 只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移； （3）要确定向量a b ，的夹角必须将它们平移到同一起点； （4）当?a b ，∠=0或π时，向量a ，b 平行，记作a ?b ；当 ?a b ，∠= 2 π 时，向量 a b ，垂直，记作a ⊥b . 2．空间向量的有关概念： 零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0与任意向量平行． 单位向量：长度为1的空间向量，即||1a =． 相等向量：方向相同且模相等的向量． 相反向量：方向相反但模相等的向量． 共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平 行向量．a 平行于b 记作b a //，此时．?a b ，∠=0或?a b ，∠=π． 共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 要点诠释： （1）当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线， 也可能是平行直线． （2）向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间