特殊三角形教案

博大教育个性化教案（简案）

编号： 科目： 数学 教师： 刘 学生： 年级： 八年级 教学课题：

特殊三角形

教学目标：

1、巩固掌握等腰三角形的性质及判定。

2、复习等边三角形的性质及判定。

3、会利用勾股定理判定直角三角形。 重点难点：

重点：等腰三角形的性质及判定 难点：三角形全等的运用。 教学内容：

知识结构

本章主要学习了等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定以及勾股定理、HL 定理等知识，这些知识点之间的结构如下图所示：

等腰Rt

两直角三角形全等的判定

直角三角形的性质和判定等边三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定直角三角形等边三角形

等腰三角形特殊三角形

授课时间： 年 月 日 时 分至 时

博大教育个性化教案教案正文：

F

E O

B

C

A

F

E

O

B C

A

一、重点回顾

1．等腰三角形的性质：

等腰三角形两腰_______；等腰三角形两底角______(即在同一个三角形中，等边对_____)；等腰三角形三线合一，这三线是指________________、________________、________________，等腰三角形是________图形，它的对称轴有_________条。

2．等腰三角形的判定：

有____边相等的三角形是等腰三角形；有_____相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对_____）。

注意：有两腰相等的三角形是等腰三角形，这句话对吗？

3．等边三角形的性质：

等边三角形各条边______，各内角_______，且都等于_____；等边三角形是______图形，它有____条对称轴。 4．等边三角形的判定：

有____边相等的三角形是等边三角形；有三个角都是______的三角形是等边三角形；有两个角都是______的三角形是等边三角形；有一个角是______的______ 三角形是等边三角形。

5．直角三角形的性质：

直角三角形两锐角_______；直角三角形斜边上的中线等于_______；直角三角形两直角边的平方和等于________（即勾股定理）。

30°角所对的直角边等于斜边的________ 6．直角三角形的判定：

有一个角是______的三角形是直角三角形；有两个角_______的三角形是直角三角形；两边的平方和等于_______的三角形是直角三角形。

一条边上的中线等于该边长度的一半，那么该三角形是直角三角形，但不能直接拿来判断某三角形是直角三角形，但有助于解题。

7．直角三角形全等的判定：

斜边和___________ 对应相等的两个直角三角形全等。 8．角平分线的性质：

在角内部到角两边___________在这个角的平分线上。 典型例题

（一）、角平分线+平行线

1、在△ABC 中，三内角互不相等，BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB 。过O 点作EF, 使EF ∥BC 。 （1）图中有几个等腰三角形？（2）猜测线段BE 、CF 、EF 有什么数量关系，并说明理由。

2、在△ABC 中，∠ABC=∠ACB ，BO 平分∠ABC ， CO 平分∠ACB,过O 点作EF ，

使EF ∥BC ，且∠EBO=30°。若BE=5，△ABC 的周长为_________。

12

D E

F

B C A

D E

A

B C

E

D C

A B

F F E A B C D M

N D

B

A C E

（二）、角平分线+垂线

3、如图：AB=AC ，∠1=∠2，AE ⊥CD 于F 交BC 于点E ，求证：AB=CE 。

4、如图，△ABC 是等腰直角三角形，其中∠A=90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ，求证：BD=2CE

(三)、直角三角形的一个锐角平分线+斜边上的高线

5、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AE 平分∠CAB ，CD ⊥AB 于D ，它们交于点F ，△CFE 是等腰三角形吗？试说明理由.

（四）、等边三角形的几个基本图形：

6、等边三角形ABC 中，BD=CE ，连接AD 、BE 交于点F 。∠AFE=_________。

7、如图点A 、C 、E 在同一直线上，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，M 、N 分别是AD 、BE 的中点。说明： △CMN 是等边三角形。

A B C D E

M N

图1

A B C D

E

M N 图2 A B C D M N 图3 C

M

A

B

E

D

8、已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC?的距离分别是h 1，h 2，h 3，△ABC 的高为h ，若点P 在一边BC 上（图1），此时h 3=0，可得结论h 1+h 2+h 3=h ，请你探索以下问题：当点P 在△ABC 内（图2）和点P 在△ABC 外（图3）这两种情况时，h 1、h 2、h 3与h?之间有怎样的关系，请写出你的猜想，并简要说明理由．

B

A D C

E P

B A D

C

F E

P B

A

D

C

F E P

（五）、等腰直角三角形的几个基本应用

9、在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥M 于E 。 (1)当直线MN 绕点C 旋转到图1位置时，说明△ADC ≌△CEB 的理由； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2位置时，说明DE=AD －BE 的理由；

(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3位置时，试问DE 、 AD 、BE 有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由.

10、如图，在直角△ABC 中，∠C=90，AC=BC ，D ，E 分别在BC 和AC 上，且BD=CE ，M 是AB 的中点。求证：△MDE 是等腰直角三角形。

（六）、勾股定理、勾股定理的逆定理、勾股定理与方程

11、观察下面表格中所给出的三个数a ，b ，c ，其中a ，b ，c 为正整数，且a

（1）：试找出他们的共同点，并证明你的结论 （2）：当a=21时，求b ，c 的值

12、如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA 、PB 、PC ，?以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连结CQ 。

（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．

（2）若PA ：PB ：PC=3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．

13、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，求这个三角形的面积

14、矩形纸片ABCD 的边AB=10cm,BC=6cm,E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在DC 边上的点G 处，求BE 的长。

（七）、需要分类讨论的

有一个角等于50°，另一个角等于__________的三角形是等腰三角形。 有一个直角三角形的两条直角边为3，4，则第三条边长为__________

如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD?将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长。

,3,4,5 32+42=52 5,12,13 52+122=132

7,24,25 72+242=252

9,40,41 92+402=412

…….. ……

21,b,c 212+b 2=c 2

E G C D B A

（八）作图题

如图，求作一点P，使PC=PD,并且使点P到∠AOB两边的距离相等，并说明你的理由．

练习：

1．△ABC的三边长分别a，b，c，且a+2ab=c+2bc，则△ABC是（）

A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形

2．（2006?威海）如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（）

A．20°B．25°C．30°D．40°

3．如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形有（）

A．3对B．4对C．5对D．6对

4．如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，则图中互余的角有（）

A．2对B．3对C．4对D．5对

5．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，AB=AE，AC=AD．那么在下列四个结论中：（1）AC⊥BD；（2）BC=DE；（3）∠DBC=∠DAB；（4）△ABE是正三角形，其中正确的是（）A．（1）和（2）B．（2）和（3）C．（3）和（4）D．（1）和（4）

6．（2001?宁波）如图：D，E分别是△ABC的边BC、AC上的点，若AB=AC，AD=AE，则（）

A．当∠B为定值时，∠CDE为定值B．当∠α为定值时，∠CDE为定值

C．当∠β为定值时，∠CDE为定值D．当∠γ为定值时，∠CDE为定值

7．（2005?扬州）如图：将一张矩形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（F在BC边上，不与B、C重合）使得C点落在

矩形ABCD内部的E处，FH平分∠BFE，则∠GFH的度数α满足（）

A．90°＜α＜180°B．α=90°

C．0°＜α＜90°D．α随着折痕位置的变化而变化

8．（2010?鞍山）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）

A．4个B．5个C．6个D．7个

二、填空题）

1．如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，当横板AB的A端着地时，测得∠OAC=α，则在玩跷跷板时，上下最大可以转动的角度为_________．

2．已知等腰三角形的两边长为3cm、5cm，则它的周长为_________．

3．如图，B，D，F在AN上，C，E在A G上，且AB=BC=CD，EC=ED=EF，∠A=20°，则∠FEG的度数是_________度．

4．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和5，那么这个等腰三角形的周长为_________．

5．（2004?哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，CM是斜边AB的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，则∠A=_________°．

6．已知△ABC是轴对称图形，且三条高的交点恰好是C点，则△ABC的形状是_________．

7．（2006?沈阳）已知等腰△ABC中，AB=AC，D是BC边上一点，连接AD，若△ACD和△ABD都是等腰三角形，则∠C的度数是_________．

8．（2009?陕西）如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD 和AB上的动点，则BM+MN的最小值是_________．

9．如图所示，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管_________根．

解答题:

1．已知如图△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E使CE=CD．?试判断DB与DE之间的大小关系，并说明理由。

2．如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，?给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．

（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；

（2）选择第（1）小题中的一种情况，证明△ABC是等腰三角形．

3．如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、?CA上的点．

（1）若AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论．

（2）若△DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论．

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