重温圆的历史名题体验数学文化

重温圆的历史名题体验

数学文化

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重温圆的历史名题，体验数学文化

罗志华1张映姜2

（1广东省湛江教育学院 2湛江师范学院数科院广东湛江524048）

生活中无处不有圆，无时不见圆。我们对圆很熟悉。用圆、玩圆，我国如“没有规矩，不成方圆”，“人有悲欢离合，月有阴睛圆缺”等好多成语中都有一字“圆”。民间活动、大型活动也有用圆表示的习俗。如圆圆的五环，孕育奥运精神，牵动全球，连通世界。国际上有圆桌会议，与会者围圆桌而坐，共同协商，平等交流。哥伦布绕地球一圈，发现地球是圆的。圆是最基本的图形，也是最简单的曲线。我们知道，小学讲圆的周长、面积、对称性。中学也讲圆，主要讲圆的几何性质，圆的方程，圆与直线、圆与圆的位置关系等。可是在中小学数学教材中，我们几乎没看到人类有关圆的活动，察觉不到人在圆中的痕迹。而事实上，自古至今，人类对圆给予了充分的关注，早已研究发现太阳、地球是圆的，留下了求地球半径、周长、圆周率、面积经典问题，也流传着化圆为方、欧拉圆、拿破仑四等分圆等许多历史名题，这一些都深深地打上人类活动的烙印，体现了人类对圆的执着、对圆的热情，反映着人类对圆的欣赏，平面中最美的图形是圆，立体图形中最美的是球。我们会发现，在人类的研究过程中，圆成为数学模型，去刻划、描述天体物体的运动规律，其中也给予我们许多经典的历史名题，展示了人类在圆的研究过程中巧妙的思维方式和思维方法，重温这些圆的历史名题，既能学习前人绝妙的思维，又能继承人类的探索精神，既让我们惊叹人类对圆的执着热爱，又能给我们提供对圆美的欣赏，让我们滋润于数学文化丰富的营养之中。

1．人类天体研究繁衍出许多经典名题

古时侯，很多人猜测地球是圆的。泰勒斯认为，地球乃是浮在水面上的一块圆盘。亚里士多德（公元前384-前322）从月蚀推测地球是圆的。他在《论天》中明确写道： 在月蚀时，它的外线总是弯曲的；既然月蚀是由于地球

插入（太阳与月亮）其间，那么，它外线的那种形状就应是地球

的表面所造成的，所以，地球必定是圆球形（史宁中，2009）。

公元前320，欧几里得的《几何原本》里用圆去描述球，半圆绕

着直径旋转一周而回到初始位置时，这样描绘的形状就是球。古

希腊学者埃拉托色尼认为，太阳离地球很远，太阳光应平行地照在地球上，而地球上有的地方有影子，有的地方没有影子，这就说明地球是圆的。那么地球的周长、半径是多少。这是早期数学家努力去解决的问题。

（1） 埃拉托色尼是第一个验证地球是圆的，并准确计算地球周长（鲁品越 , 1992）。如图一，希伦（S ）在亚里山大（A ）的正南方，点O 是地球的球心。如图一，仲夏的某天，太阳在希伦S 的正天顶上，太阳能映在水井里；同一时刻，在亚里山大城A 测得的太阳光对铅垂线ON 的角，即∠PAN 是05.7，一

般认为太阳光线AP 、SQ 是平行的。因此，∠QON=∠PAN=05.7，

05.7是0360的48

1，地球周长是弧AS 长的48倍。他们测得了A 、S 两地的距离，于是地球周长大约是万公里。这与现代较准确的结

果4万公里相差无几。 （2） 10世纪,中亚细亚阿尔·婆罗尼曾创造一个简洁而非常有新意的方法,去测量地球半径.如图二。用现代的记号表示是:

()αcos h R R +=, 即有=R α

αcos 1hcos - （一

O （二

其中h 是测量出人所在位置的高度,R 是地球的半径.

（3） 10世纪，阿拉伯的比鲁尼三角学方面造诣很深,也曾创造性地给出了测量地球半径的方法。首先用带有刻度的正方形ABCD 测出山高,

=GT CD CE CT ?,其中=CT FA

CD AD ?. 再在山顶T 处悬挂一直径为SP 可以转动的圆环MPNS,如图.从山顶T 观测地平线上一点I,测得俯角

α=∠OTI .

由于=T H =()α-090sin G T , =HG ()

α-090tan G T , HI HG =.

得到HG HT IT +=,从而算出地球半径()

α-=

090tan IT IQ 2．数学家与化圆为方 化圆为方是历史上在近两千年内尺规作图三大重要问题之一。曾研究指出，化圆为方的问题，可以通过转化为正多边形而获得解决。如果把圆能化为正多边形，而正多边形容易化为正方形了。这似乎为尺规作图中化圆为方问题提供解决思路。化圆为方的另一思路是，把半月形或皮刀匠形能化归为直线形，问题也能获得解决。在这样的研究思路中，出现了希波克拉底的半月形和阿基米德皮刀匠形这两个最有名的问题。

（1） 希波克拉底与半月形

用圆规、直尺：化圆为方即作一正方形，使其面积

等于给定圆形的面积。三等分角即三等分弧。公元前

430，享有盛名的希波克拉底，利用圆的特征把曲线面

（三C （四

P

积化为直线形面积的方法，把两个半月形的面积化为三角形的面积。如图四，等腰直角三角形ABC ，以AB,BC,AC 为直径分别作三个半圆，整个图形除去以AB 为直径的半圆，得到两个半月形。利用毕达哥拉斯定理得到，AB 为直径的半圆的面积等于BC 为直径的半圆面积与AC 为直径的半圆的面积之和，各自除去AB 为直径的半圆上弦BC 、AC 所对的弓形面积，则直角三角形ABC 的面积等于两个半月形的面积。

（2） 阿基米德与皮匠刀形

皮匠刀形即三个半圆间的曲线图形。如图五，阿基米德首先研究并提出命题： 大半径圆内含两个相切的小半圆。三个半圆间的曲线图形，即皮匠刀形的面积等于两个小半圆公切线长为直径的圆的面积。

因为 AB 2=AN 2+BN 2+2ANBN= AN 2+BN 2+2PN 2

所以 AB 2－AN 2－BN 2＝2PN 2

再由圆与圆的面积比等于其半径平方之比易得证命题成立。

（3） 阿基米德等与圆的正多边形

最伟大的数学家之一阿基米德，对圆的研究给予了

极大的关注，阿基米德是用圆内接正n 方形和圆的外

切正n 边形来估算的。如图六。其《圆的度量》中研

究认为，圆的面积等于一直角三角形的面积，此直角

三角形的两条直角边分别等于圆的半径和圆周；圆的面积与其直径上的正方形面积之比，近似地等于11：14.圆周比直径的三倍大，所大部分小于直径的71，大于直径71

10的。 除此以外，我国古代数学家祖冲之也是利用圆的正多边形去估算圆周率的，并给出了精确度非常高的圆周率的近似值。圆的正多边形的尺规作图也是最有诱惑力

n 54(六

的问题之一。正多边形尺规作图与费尔马数还有紧密关系。大数学家高斯也研究正十七边形的尺规作图问题并成功获得解决。 3．开普勒巧妙求圆的面积 圆的面积是历来是人类非常关心的问题，寻求求圆面积的方法。开普勒对圆进行深入的研究。开普勒把半径为r 的圆分割为无数个相同的微小扇形，每个微小的扇形近似看作小等腰三角形，无数个小等腰三角形的底边Δx i 构成圆周。如图

（三），于是，圆的面积就是

222

12121r r r x r r x S S i i i ππ=?=?=?==∑∑∑? 也有记载认为， 开普勒采用了一种有趣的方法：将圆等分

为2n 个小扇形，如图七，然后把2n 个小扇形剪开放在

一起，拼成如图八所示的近似平行四边形，平行四边形

的高近似等于圆的半径r ，平行四边形的底约等于半圆的弧长πr ，于是圆的面积等于近似平行四边形的面积πr 2，从而解决了圆的面积问题。通过对圆的分割、拼凑求其面积，我们可以发现人类是如何猜测圆的面积。

4．拿破仑四等分圆

尺规作图深受数学家及广大数学爱好者的喜欢。更为甚者，有人对作图工具提出更加严格的限制，竟然提出单尺、单规进行几何作图。其中，军事、政治才能都显赫于世的法国皇帝、统帅拿破仑，对单规作图十分感兴趣，利用单规对圆四等分。传说他竟然在马背上颠簸出用单规四等分圆的妙法。具体作法：

令⊙O 的半径为R. 如图九。

（

（

(1) 在⊙O 上任取一点 A,以R 为半径,自点A 起,顺次截取三段相等的弧AB 、BC 、CD.

(2) 分别以A 、D 为圆心.以AC 为半径作弧，两弧交于

点E.

(3) 以A 为圆心,OE 为半径作弧交⊙O 于G 、H 两点，

则A 、G 、D 、H 四点即为⊙O 的四等分点。

并证明如下: 连AC 、DC 和AE 、OE 易见AD 是⊙O 的直径，且 30DAC =∠.

在RT △ACD 中,可知,R 3AC = 则.R 3AC AE ==

在RT △AOE 中,算出.R 2R R 3OE 22=-=

而.R 2OE AH AG ===

∴A 、G 、D 、H 为⊙O 的四等分点。

5．数学家与共点圆

从古到今，五点圆、九点圆等共点圆问题一直受到大家关注的，经久不衰。由此而引出了欧拉圆、泰勒圆、Miquel 圆、费尔巴哈圆、或庞斯莱圆等。还提出了泰勒斯定理、五圆定理、Miquel 定理。当然，最有名的还是数九点圆，它是一个着名的几何学问题。

（1）欧拉圆

欧拉圆又叫做九点圆、费尔巴哈圆、或庞斯莱圆，如

图（十），拖动三角形ABC 任一顶点，三边的中点,三高的

垂足、顶点与垂心连线希的中点总是九点在同一个圆上。公元1882年，.费尔巴哈证明了三角形的九点圆与其内切圆及旁切圆之间存在充满（十

（九

H G E D C B O A

B （十

魅力的关系，证明了三角形的九点圆同时切于三角形的内切圆和它的三个旁切圆（单墫，2002）。

（2）Miquel 圆

在任意五角星ABCDE 中，如图十一，△AJF,△BGF,△CGH,△DHI,△EIJ 的外接圆依次相交于点N 、M 、O 、L 、K 。那么，点N 、M 、O 、L 、K 五点圆。即就是五圆定理，此圆称为Miquel 圆。

有很多人对它感兴趣，如张景中教授在《计算机怎样

解几何题》给出了证法，江泽民先生等为对五点共圆进行

证明，还特意向张景中院士请教。在出席澳门回归一周年

庆典时，江先生对澳门的中学生给了这道五点共圆题。这

又引起包括中学生在内的很多人的兴趣。对五个点

共圆的证明，着名数学家丘成桐说，他也要想半小

时才行。毕竟是历史名题，曾有很多人关注过，自

然在一些书中，如单墫的《数学名题词典》第429页

中就能找到五点共圆的证明。

（3）数学家Louis Brand 与八点圆

1944年，数学家Louis Brand 提出了八点圆呢。在四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，

E 、

F 、

G 、

H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，由E 、F 、G 、H 身对边作垂线，垂足分别是K 、L 、M 、N,于是E 、F 、G 、H 、K 、L 、M 、N 八点共圆。如图十二。

（4）阿波罗尼奥斯问题 （十

生于公元前255年的阿波罗尼奥斯，在专着《论相切》中提出了一个着名的问题：给定三个元素，点、直线或圆，求作一圆通过三点（若为三点），或与给定的各直线或圆相切。

过不在同一直线上三点作圆，或作一圆与三条两两相交的直线相切，即作三角形外接圆、作三角形内切圆，都是其中的问题。公元4世纪，希腊学者Pappus研究过《论相切》，把阿波罗尼奥斯提出的问题划分为十种情况，记述详尽。

对于作一圆与另外三个圆相切的问题，极为复杂，此即就是阿波罗尼奥斯问题(沈康身，2002)。从公元前200一直到十七世纪都使许多数学家为之绞尽脑汁。韦达（1540-1603）在其专着《Apollonius问题》，牛顿（1643-1727）在《广义算术》中都进行了较深入的研究。后来，蒙根（Monge）、高斯等数学家也进行深入研究，给出了众多的解法。

日本的寺阪英孝、我国的沈康身先生对这三个圆的位置关系进行细致的研究。他们把“作一圆与另外三个圆相切的问题”给出了极其有趣的分类，用相交（记J)、相切（记Q）、相离（记L）各种不同的排列形式去考虑。因而，三个圆的位置关系共有十种：

① LLL ② JJJ ③ QQQ ④ LJQ ⑤ LLJ

⑥ LLQ ⑦ QQL ⑧ QQL ⑨ JJQ ⑩ JJL

每种情况又可分为若干子目。日本的寺阪英孝把阿波罗尼奥斯问题分为49个子目，我国的沈康身先生把上面分类进行改编，增补为51个子目，这种分类是否详尽无遗沈康身先生还认为，这有待进一步深入探索。具体对阿波罗尼奥斯问题的研究，可翻阅《历史数学名题赏析》（沈康身着）。

参考文献：

[1] 沈康身. 历史数学名题赏析，上海：上海教育出版社，2002：588-597，649—656

[2] 史宁中.数学思想概论，长春：东北师范大学出版社，2009：29-32

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[5] 单墫.数学名题词典,南京：江苏教育出版社，2002:428-445，956-971

[6] [英]斯科特着，侯德润等译.数学史，桂林：广西师范大学出版社，2002：110

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