FEM有限单元法

其基本思想可简单的概括为如下2点。

（1）将一个表示结构或连续体的求解域离散为若干个子域(单元)，并通过他们边界上的节点相互联结为一个组合体。

（2）用每个单元内所假设的近似函数来分片表示全求解域内待求解的未知变量，而每个单元内的近似函数由未知场函数(或其导数)在单元各个节点上的数值和与其对应的插值函数来表示。由于在联结相邻单元的节点上，场函数具有相同的数值，则将它们作为数值求解的基本未知量。

因此，求解原待求场函数的无穷多自由度问题转换为求解场函数节点值的有限自由度问题。

3.1.2有限元法的特点

有限元方法之所以用途如此广泛，是因为它有其自身的特点，概括如下：

（1）对于复杂几何构形的适应性。由于单元在空间上可以是一维、二维、三维的，而且每一种单元可以有不同的形状，同时各种单元可以有不同的连接方式，所以，工程实际遇到的非常复杂的结构和构造都可以离散为由单元几何体表示的有限元模型。

（2）对于各种物理问题的适应性。由于用单元内近似函数分片表示全求解域的未知场函数，并未限制场函数所满足的方程形式，也未限制各个单元所对应的方程必须有相同的形式，因此它适用于各种物理问题。

（3）建立于严格理论基础上的可靠性。因为用于建立有限元方程的变分原理或加权余量法在数学上己证明是微分方程和边界条件的等效积分形式，所以只要原问题的数学模型是正确的，同时用来求解有限元方程的数值算法是稳定可靠的，则随着单元数目的增加(即单元尺寸的缩小)或是随着单元自由度数的增加(即插值函数阶次的提高)，有限元解的近似程度不断地被改进。如果单元是满足收敛准则的，则近似解最后收敛于原数学模型的精确解。

（4）适合计算机实现的高效性。由于有限元分析的各个步骤可以表达成规范化的矩阵形式，所以求解方程可以统一为标准的矩阵代数问题，特别适合计算机的编程和执行。随着计算机硬件技术的高速发展，以及新的数值算法的不断出现，大型复杂问题的有限元分析已成为工程技术领域的常规工作。

3.1.3有限元法的分析过程

由于本论文主要是结构分析，所以主要介绍有限元分析过程中针对结构分析的主要步骤，通常分为7步，概括如下。

(1)结构的离散化。按照问题的几何特征和精度要求等因素将结构物分割成有限个单元体，并在单元体的指定点设置节点，使相邻单元的有关参数具有一定的连续性，形成有限元网格，即将原来的连续体离散为在节点处相互连接的有限单元组合体，用它来代替原来的结构。(2)选择位移模式。假定位移是坐标的某种简单函数(位移模式或插值函数)，通常采用多项式作为位移模式。在选择位移模式时，应该注意以下几点:

a.多项式项数应等于单元自由度数；

b.多项式阶次应包含常数项和线性项；

c.单元自由度应等于单元节点独立位移的个数。

位移矩阵为:

(3.1)式中，为单元的节点位移，为形函数矩阵。

(3)分析单元的力学性能。用节点位移表示的单元应变为:

(3.2)式中，为单元应变，是单元的节点位移，为几何矩阵或应变矩阵，反映了节点位移与应变之间的转换关系。

由本构方程导出用节点位移表示的单元应力可表示为:

(3.3) 为与单元材料有关的弹性矩阵。

由变分原理，建立单元上节点力与节点位移的关系式，即平衡方程为:

(3.4) 其中，为单元刚度矩阵，其形式为:

(3.5) [D]为与单元材料有关的弹性矩阵。

(4)集合所有单元的平衡方程。建立整个结构的平衡方程，即组集总刚，总刚矩阵为[k]。

(3.6)由总刚形成的整个结构的平衡方程为:

(3.7)上述方程在引入几何边界条件时，将进行适当修改。(5)求解未知节点位移和计算单元应力。对平衡方程求解，解出未知的节点位移，然后根据前面给出的关系计算节点的应变和应力以及单元的应力和应变。

(6)整理并输出单元应变和应力。

(7)结合计算结果进行一系列处理，得到问题的最终分析结果。

公式不显示