数学建模方法之统计回归总结
诡计回归总錯
由子家观亨?畅内祁规律的复杂及人们认积程盛的限制，无廉分析宾际对隼内衣.的因糸关糸，建立合手机理规律的救学僕宴。所以我们通过对數据的统计分析，我出与数据拟合录好的模型。
我们通过宾例讨论如何追择不同矣型的換型，对软件得到的姑果进行分析，对模矍进行改进J
回归分析步腋如下：
?收集一组阖变董和自变萤的数据
? 选走因变量和令变量之间的栈型，利用數擁最小二泵准刘计算栈型中的糸救
?创用统计分析方法对不同的栈4!进行比较找出与救据拟合得最好的模熨
?判靳这俎栈熨是否追合于这俎數据诊斷有无不追合回归棋矍的异
常數据
?利用模晏对因变董做岀预測与解年
卖例分析
一、牙育的林a受
题a :
收集了30个4?@周期本心司牙青锚傅量.价格、Z4#用，A 同期其乞厂彖同典牙青的平的傳价，请根据对數据的处理建立牙育锚?董与价格、户告投入之间的棋熨预测虚不阿价格和/?告费用下的牙
根据对题目中數据进行处理，作散点08分析fMATLAB；应用格
PIot(x,yJ )
Plotfit(x,y,1),其中x 表示y
核熨建立与求解
級4ty~心甸牙音補?量，冶~其它厂家与本公司价格左
y = Q()+ Qz + ￡
(1)X2~^<1广吿费用
y = 0o + 0宀 + PiA + ￡
(2)将fb. (2)或子朕立可以得到
3)
冷木2~解年雯受（回归变交■，角＜4）
00，九卩2屆~回归余数
￡~建机镁迸（拔值为奉的正杰分布随机iiJ
刊用MATLAB工典求解可以得到。
格式如下
[b,bint,r,rint,rtat$]? regress （y,x,alpha）
输入：
y~n推數据向董
x?[1 XiX2X2?]~nX4數据矩阵，第一刃％全1向量
alpha （JL 侑水平,0.05）
输出：
b~p的估计值
bint~b的JL传区间
r ~戎；M向董y-xb
rint~r 的X^rfiL 间
Stats~检絵疣计回归模型；检缺统计爻：2,F,p
注：其中以越揍近1越好，F运起过F检絵的临界值，p运小于a?0.05 则可行假如R2,F,p满足条件，则我们说模熨从蔓体上看成立
结系分析
判靳出R2,F,p均成立，刘模熨可用，但因为卩2的置信区间通i±0
点，则说明此项对模型的彩响不显著所以要对棋熨进行发遗。
棋熨进行改进
改进的方武是加入夾又项，用栈矍变为
⑷
然后用MATLAB求詹检捡，通过議宴(3). (4)的姑糸进行对比可以得到硕测区间长废更经及余数的置侑区间却不过0点，则可证朗此(4)模矍比(3)模型更精确通过西图比戟可以得岀结论：
价格优势会使锚?量增加“2小于7.5357 T万元丿
加大广告投入使锚?量增加“2大于6百万无丿
对棋矍进行进一步故进
因A MATLAB中有工具箱rstool(x,y)令冬可以宜換对龙全二次多项式进行求鮮，所以将挨整(4)戎进为
y = 00 + P\x\ + P1X2 + 卩込皿 + 04 斤 + 05 卅 + ￡
(5) 结系分析得到(4)与(5)模熨预测咎系相養不大，则可以证明棋
燮的正确性。
2、轶件开发人员的薪会
题目要求：
?建立爆型研究薪会b冬历、管理贵任、教肓程盛的关糸；
?分析人事策略的合理性，作为新静用人员薪会的参考。
姿坊~从寧专业工作的年救；
管理~1■管理人贡，0■非管理人贡；
教育~1■中学，2■大学，3■更需程盛。
分析与假段
y~薪金S冷?寮历（年丿X2?1~管理人员，X2?0~非管理人员教肓1■中学2■大学3■更宮
可以得到表达方式： 中学：x 3-1,x 4-0； 大学:x 3-0,x 4-b 更窝：x 3-0,x 4-0o
爆矍的建丈求解
賽易年加一年薪金的增枚是帝救；奄理、教肓.竇易之间无夾互 作用可以建立模熨
y =他 + ad + a 2x 2 + a 3x 3 + a 4x 4 + ￡
U
即,6,??“4是待估计的回归糸数，￡是随机祺左
檢脸与改遗
模憂R2,F,pT 模熨薑体上可用，但是得岀对置传0L 间包舍奉点， 解年不可索。
用践迸分析出进行分析戎左大机分成3个水平，6种管理一教育 俎合混虚一起，未正确反缺。
所以我们将6种管理一散育分类可以得到下裹
戎昱全为正，或全为负，管理一教肓组合处理不当，所以对棋憂 进行改进，应堆.模
1,中学 0,其它
I 大学 0.其它
熨中增加管理X2与获育X3，X4的夾互项。
农遗行求解得到栈矍的结系比较轲确了。
此例題特色：
?对走性因素（如管理.教育），可以引入0?1支受处理，0?1支量的个数应比定性囲素的水平少lo
?戎差分析方出可以发现栈矍的缺陷，引入交互作用项常帝能够友鼻爆型。
? u除异帝救据，有助子得到更好的结泉。
统计回归小姥
从这两个卖例中我们可以＜?,建丈回归撲型可以丸根据巳知的數摒，从带识和经脸进行分析，鞘以做图，决走取哪几个回归变受，及他们的函救形北（如筑性的、二决的丿用软件（MATLAB丿求解后，作统计分析：lV,F,p值的大小是对栈熨的整体评价，每个回归余数JL 命区间是否包舍奉点，可以用泉检絵对应得回归变量对Sti的影岭是否显著（若包舍率点则不显著几如果对结累不够满意，刚应该故进棋熨，如海加二次项、夾互项等。
数学建模——回归分析
回归分析——20121060025 吕佳琪 企业编号生产性固定资产价值(万元)工业总产值(万元) 1318524 29101019 3200638 4409815 5415913 6502928 7314605 812101516 910221219 1012251624 合计65259801 （2）建立直线回归方程; （3）计算估价标准误差; （4）估计生产性固定资产(自变量)为1100万元时总产值(因变量)的可能值。解: (1)画出散点图,观察二变量的相关方向 x=[318 910 200 409 415 502 314 1210 1022 1225]; y=[524 1019 638 815 913 928 605 1516 1219 1624]; plot(x,y,'or') xlabel('生产性固定资产价值(万元)') ylabel('工业总产值(万元)') 由图形可得,二变量的相关方向应为直线 (2)
x=[318 910 200 409 415 502 314 1210 1022 1225]; y=[524 1019 638 815 913 928 605 1516 1219 1624]; X = [ones(size(x))', x']; [b,bint,r,rint,stats] = regress(y',X,0、05); b,bint,stats b = 395、5670 0、8958 bint = 210、4845 580、6495 0、6500 1、1417 stats = 1、0e+004 * 0、0001 0、0071 0、0000 1、6035 上述相关系数r为1,显著性水平为0 Y=395、5670+0、8958*x (3) 计算方法:W=((Y1-y1)^2+……+(Y10-y10)^2)^(1/2)/10 利用SPSS进行回归分析:
数学建模方法模型
数学建模方法模型 一、统计学方法 1 多元回归 1、方法概述: 在研究变量之间的相互影响关系模型时候用到。具体地说:其可以定量地描述某一现象和某些因素之间的函数关系，将各变量的已知值带入回归方程可以求出因变量的估计值，从而可以进行预测等相关研究。 2、分类 分为两类:多元线性回归和非线性线性回归;其中非线性回归可以通过一定的变化转化为线性回归，比如:y=lnx 可以转化为 y=u u=lnx 来解决;所以这里主要说明多元线性回归应该注意的问题。 3、注意事项 在做回归的时候，一定要注意两件事: (1) 回归方程的显著性检验(可以通过 sas 和 spss 来解决) (2) 回归系数的显著性检验(可以通过 sas 和 spss 来解决) 检验是很多学生在建模中不注意的地方，好的检验结果可以体现出你模型的优劣，是完整论文的体现，所以这点大家一定要注意。 4、使用步骤: (1)根据已知条件的数据，通过预处理得出图像的大致趋势或者数据之间的大致关系; (2)选取适当的回归方程; (3)拟合回归参数; (4)回归方程显著性检验及回归系数显著性检验 (5)进行后继研究(如:预测等)
2 聚类分析 1、方法概述 该方法说的通俗一点就是，将 n个样本，通过适当的方法(选取方法很多，大家可以自行查找，可以在数据挖掘类的书籍中查找到，这里不再阐述)选取 m 聚类中心，通过研究各样本和各个聚类中心的距离 Xij，选择适当的聚类标准，通常利用最小距离法(一个样本归于一个类也就意味着，该样本距离该类对应的中心距离最近)来聚类，从而可以得到聚类结果，如果利用sas 软件或者 spss 软件来做聚类分析，就可以得到相应的动态聚类图。这种模型的的特点是直观，容易理解。 2、分类 聚类有两种类型: (1) Q型聚类:即对样本聚类; (2) R型聚类:即对变量聚类; 通常聚类中衡量标准的选取有两种: (1) 相似系数法 (2) 距离法 聚类方法: (1) 最短距离法 (2) 最长距离法 (3) 中间距离法 (4) 重心法 (5) 类平均法 (6) 可变类平均法 (7) 可变法
数学建模统计模型
数学建模
论文题目： 一个医药公司的新药研究部门为了掌握一种新止痛剂的疗效，设计了一个药物试验，给患有同种疾病的病人使用这种新止痛剂的以下4个剂量中的某一个：2 g，5 g，7 g和10 g，并记录每个病人病痛明显减轻的时间（以分钟计）. 为了解新药的疗效与病人性别和血压有什么关系，试验过程中研究人员把病人按性别及血压的低、中、高三档平均分配来进行测试. 通过比较每个病人血压的历史数据，从低到高分成3组，分别记作，和. 实验结束后，公司的记录结果见下表（性别以0表示女，1表示男）. 请你为该公司建立一个数学模型，根据病人用药的剂量、性别和血压组别，预测出服药后病痛明显减轻的时间.
一、摘要 在农某医药公司为了掌握一种新止痛药的疗效，设计了一个药物实验，通过观测病人性别、血压和用药剂量与病痛时间的关系，预测服药后病痛明显减轻的时间。我们运用数学统计工具m i n i t a b软件，对用药剂量，性别和血压组别与病痛减轻
时间之间的数据进行深层次地处理并加以讨论概率值P （是否<）和拟合度R-S q的值是否更大（越大，说明模型越好）。 首先，假设用药剂量、性别和血压组别与病痛减轻时间之间具有线性关系，我们建立了模型Ⅰ。对模型Ⅰ用m i n i t a b 软件进行回归分析，结果偏差较大，说明不是单纯的线性关系，然后对不同性别分开讨论，增加血压和用药剂量的交叉项，我们在模型Ⅰ的基础上建立了模型Ⅱ，用m i n i t a b软件进行回归分析后，用药剂量对病痛减轻时间不显着，于是我们有引进了用药剂量的平方项，改进模型Ⅱ建立了模型Ⅲ，用m i n i t a b 软件进行回归分析后，结果合理。最终确定了女性病人服药后病痛减轻时间与用药剂量、性别和血压组别的关系模型： Y=1x 3x 1x 3x 2 1 x 对模型Ⅱ和模型Ⅲ关于男性病人用m i n i t a b软件进行回归分析，结果偏差依然较大，于是改进模型Ⅲ建立了模型Ⅳ，用m i n i t a b软件进行回归分析后，结果合理。最终确定了男性病人服药后病痛减轻时间与用药剂量、性别和血压组别的关系模 型：Y=1x1x 3x 2 1 x关键词止痛剂药剂量性别病痛减轻时 间
数学建模的基本步骤
数学建模的基本步骤 一、数学建模题目 1）以社会，经济，管理，环境，自然现象等现代科学中出现的新问题为背景，一般都有一个比较确切的现实问题。 2）给出若干假设条件： 1. 只有过程、规则等定性假设； 2. 给出若干实测或统计数据； 3. 给出若干参数或图形等。 根据问题要求给出问题的优化解决方案或预测结果等。根据问题要求题目一般可分为优化问题、统计问题或者二者结合的统计优化问题，优化问题一般需要对问题进行优化求解找出最优或近似最优方案，统计问题一般具有大量的数据需要处理，寻找一个好的处理方法非常重要。 二、建模思路方法 1、机理分析根据问题的要求、限制条件、规则假设建立规划模型，寻找合适的寻优算法进行求解或利用比例分析、代数方法、微分方程等分析方法从基本物理规律以及给出的资料数据来推导出变量之间函数关系。 2、数据分析法对大量的观测数据进行统计分析，寻求规律建立数学模型，采用的分析方法一般有： 1）. 回归分析法(数理统计方法)-用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n，确定函数的表达式。 2）. 时序分析法--处理的是动态的时间序列相关数据，又称为过程统计方法。 3）、多元统计分析（聚类分析、判别分析、因子分析、主成分分析、生存数据分析）。 3、计算机仿真（又称统计估计方法）：根据实际问题的要求由计算机产生随机变量对动态行为进行比较逼真的模仿，观察在某种规则限制下的仿真结果（如蒙特卡罗模拟）。 三、模型求解： 模型建好了，模型的求解也是一个重要的方面，一个好的求解算法与一个合
适的求解软件的选择至关重要，常用求解软件有matlab，mathematica，lingo，lindo，spss，sas等数学软件以及c/c++等编程工具。 Lingo、lindo一般用于优化问题的求解，spss，sas一般用于统计问题的求解，matlab，mathematica功能较为综合，分别擅长数值运算与符号运算。 常用算法有：数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法,通常使用spss、sas、Matlab作为工具. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划、动态规划等通常使用Lindo、Lingo,Matlab软件。 图论算法,、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法, 模拟退火法、神经网络、遗传算法。 四、自学能力和查找资料文献的能力： 建模过程中资料的查找也具有相当重要的作用，在现行方案不令人满意或难以进展时，一个合适的资料往往会令人豁然开朗。常用文献资料查找中文网站：CNKI、VIP、万方。 五、论文结构： 0、摘要 1、问题的重述，背景分析 2、问题的分析 3、模型的假设，符号说明 4、模型的建立（局部问题分析，公式推导，基本模型，最终模型等） 5、模型的求解 6、模型检验:模型的结果分析与检验，误差分析 7、模型评价:优缺点，模型的推广与改进 8、参考文献 9、附录 六、需要重视的问题 数学建模的所有工作最终都要通过论文来体现，因此论文的写法至关重要：
数学建模之回归分析法
什么是回归分析 回归分析（regression analysis)是确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。运用十分广泛，回归分析按照涉及的自变量的多少，可分为一元回归分析和多元回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。 回归分析之一多元线性回归模型案例解析 多元线性回归，主要是研究一个因变量与多个自变量之间的相关关系，跟一元回归原理差不多，区别在于影响因素（自变量）更多些而已，例如：一元线性回归方程为： 毫无疑问，多元线性回归方程应该为： 上图中的x1, x2, xp分别代表“自变量”Xp截止，代表有P个自变量，如果有“N组样本，那么这个多元线性回归，将会组成一个矩阵，如下图所示： 那么，多元线性回归方程矩阵形式为： 其中：代表随机误差，其中随机误差分为：可解释的误差和不可解释的误差，随机误差必须满足以下四个条件，多元线性方程才有意义（一元线性方程也一样） 1：服成正太分布，即指：随机误差必须是服成正太分别的随机变量。 2：无偏性假设，即指：期望值为0 3：同共方差性假设，即指，所有的随机误差变量方差都相等 4：独立性假设，即指：所有的随机误差变量都相互独立，可以用协方差解释。
今天跟大家一起讨论一下，SPSS---多元线性回归的具体操作过程，下面以教程教程数据为例，分析汽车特征与汽车销售量之间的关系。通过分析汽车特征跟汽车销售量的关系，建立拟合多元线性回归模型。数据如下图所示：（数据可以先用excel建立再通过spss打开） 点击“分析”——回归——线性——进入如下图所示的界面：
数学建模-数据的统计分析
数学建模与数学实验 课程设计 学院数理学院专业数学与应用数学班级学号 学生姓名指导教师 2015年6月
数据的统计分析 摘要 问题：某校60名学生的一次考试成绩如下： 93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55 （1）计算均值、标准差、极差、偏度、峰度，画出直方图；（2）检验分布的正态性； （3）若检验符合正态分布，估计正态分布的参数并检验参数； 模型：正态分布。 方法：运用数据统计知识结合MATLAB软件 结果：符合正态分布
一． 问题重述 某校60名学生的一次考试成绩如下： 93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55 （1）计算均值、标准差、偏差、峰度，画出直方图； （2）检验分布的正态性； （3）若检验符合正态分布，估计正态分布的参数并检验参数。 二．模型假设 假设一：此组成绩没受外来因素影响。 假设二：每个学生都是独自完成考试的。 假设三：每个学生的先天条件相同。 三．分析与建立模型 像类似数据的信息量比较大，可以用MATLAB 软件决绝相关问题，将n 名学生分为x 组，每组各n\x 个学生，分别将其命为1x ，2X ……j x 由MATLAB 对随机统计量x 进行命令。此时对于直方图的命令应为 Hist(x,j) 源程序为： x1=[93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 ] x2=[77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 ] x3=[79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 ]
回归分析在数学建模中的应用
摘要 回归分析和方差分析是探究和处理相关关系的两个重要的分支,其中回归分析方法是预测方面最常用的数学方法,它是利用统计数据来确定变量之间的关系,并且依据这种关系来预测未来的发展趋势。本文主要介绍了一元线性回归分析方法和多元线性回归分析方法的一般思想方法和一般步骤,并且用它们来研究和分析我们在生活中常遇到的一些难以用函数形式确定的变量之间的关系。在解决的过程中,建立回归方程,再通过该回归方程进行预测。 关键词:多元线性回归分析;参数估计;F检验
回归分析在数学建模中的应用 Abstract Regression analysis and analysis of variance is the inquiry and processing of the correlation between two important branches, wherein the regression analysis method is the most commonly used mathematical prediction method, it is the use of statistical data to determine the relationship between the variables, and based on this relationship predict future trends. introduces a linear regression analysis and multiple linear regression analysis method general way of thinking and the general steps, and use them to research and analysis that we encounter in our life, are difficult to determine as a function relationship between the variables in the solving process, the regression equation is established by the regression equation to predict. Keywords:Multiple linear regression analysis; parameter estimation;inspection II
数学建模回归分析多元回归分析
1、 多元线性回归 在回归分析中，如果有两个或两个以上的自变量，就称为多元回归。事实上，一种现象常常是与多个因素相联系的，由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量，比只用一个自变量进行预测或估计更有效，更符合实际。 在实际经济问题中，一个变量往往受到多个变量的影响。例如，家庭消费支出，除了受家庭可支配收入的影响外，还受诸如家庭所有的财富、物价水平、金融机构存款利息等多种因素的影响，表现在线性回归模型中的解释变量有多个。这样的模型被称为多元线性回归模型。（multivariable linear regression model ） 多元线性回归模型的一般形式为： 其中k 为解释变量的数目，j β (j=1,2,…，k)称为回归系数（regression coefficient)。上式也被称为总体回归函数的随机表达式。它的非随机表达式为： j β也被称为偏回归系数（partial regression coefficient)。 2、 多元线性回归计算模型 多元性回归模型的参数估计，同一元线性回归方程一样，也是在要求误差平方和（Σe)为最小的前提下，用最小二乘法或最大似然估计法求解参数。 设（ 11 x ， 12 x ，…， 1p x ， 1 y ），…，（ 1 n x ， 2 n x ，…， np x ， n y ）是一个样本， 用最大似然估计法估计参数： 达 到最小。
把（4）式化简可得： 引入矩阵： 方程组（5）可以化简得： 可得最大似然估计值：
3、Matlab 多元线性回归的实现 多元线性回归在Matlab 中主要实现方法如下： （1）b=regress(Y, X ) 确定回归系数的点估计值 其中 （2）[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)求回归系数的点估计和区间估计、并检 验回归模型 ①bint 表示回归系数的区间估计. ②r 表示残差 ③rint 表示置信区间 ④stats 表示用于检验回归模型的统计量,有三个数值：相关系数r2、F 值、与F 对应的 概率p 说明：相关系数r2越接近1，说明回归方程越显著；F>F1-alpha(p,n-p-1) 时拒绝H0，F 越大，说明回归方程越显著；与F 对应的概率p<α 时拒绝H0，回归模型成立。 ⑤alpha 表示显著性水平(缺省时为0.05) （3）rcoplot(r,rint) 画出残差及其置信区间
数学建模竞赛统计回归分析相关练习题
1. 一个班有7名男性工人，他们的身高和体重列于下表 请把他们分成若干类并指出每一类的特征。这里身高以米为单位，体重以千克为单位。 2.有两种跳蚤共10只，分别测得它们四个指标值如表。 样本号甲种乙种 X3 X4 X1 X2 X3 X4 X1 X 2 1 189 245 137 163 181 305 184 209 2 192 260 132 217 158 237 13 3 188 3 217 276 141 192 18 4 300 166 231 4 221 299 142 213 171 273 162 213 5 171 239 128 158 181 297 163 224 1）用距离判别法建立判别准则。 2）问（192, 287, 141,198 和（197, 303, 170, 205 各属于哪一种？ 3.考察温度x对产量y的影响，测得下列10组数据: 求y关于x的线性回归方程，检验回归效果是否显著，并预测 x=42C时产量的估值 4. 在研究化学动力学反应过程中，建立了一个反应速度和反应物 %-备 含量的数学模型，形式为y — 1 +卩2为+ P3X 2 +P4X3 其中i…，飞是未知参数，X1，X2，X3是三种反应物（氢,门戊烷, 异构戊烷）的含量，y是反应速度?今测得一组数据如表，试由此确定参数订…宀
序号反应速度y 氢X1 n戊烷X2 异构戊烷X3 1 8.55 470 300 10 2 3.79 285 80 10 3 4.82 470 300 120 4 0.02 470 80 120 5 2.75 470 80 10 6 14.39 100 190 10 7 2.54 100 80 65 8 4.35 470 190 65 9 13.00 100 300 54 10 8.50 100 300 120 11 0.05 100 80 120 12 11.32 285 300 10 13 3.13 285 190 120 5. 主成分与卡方检验已课件为主
数学建模方法和步骤
数学建模的主要步骤: 第一、模型准备 首先要了解问题的实际背景,明确建模目的,搜集必需的各种信息,尽量弄清对象的特征. 第二、模型假设 根据对象的特征和建模目的,对问题进行必要的、合理的简化,用精确的语言作出假设,是建模至关重要的一步.如果对问题的所有因素一概考虑,无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为,所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力,善于辨别主次,而且为了使处理方法简单,应尽量使问题线性化、均匀化. 第三、模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系,利用对象的内在规律和适当的数学工具,构造各个量间的等式关系或其它数学结构.这时,我们便会进入一个广阔的应用数学天地,这里在高数、概率老人的膝下,有许多可爱的孩子们,他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多,真是泱泱大国,别有洞天.不过我们应当牢记,建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用,因此工具愈简单愈有价值. 第四、模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法,特别是计算机技术.一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算,许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来,因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重. 第五、模型分析 对模型解答进行数学上的分析."横看成岭侧成峰,远近高低各不?quot;,能否对模型结果作出细致精当的分析,决定了你的模型能否达到更高的档次.还要记住,不论那种情况都需进行误差分析,数据稳定性分析. 数学建模采用的主要方法有： （一）、机理分析法：根据对客观事物特性的认识从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模 型. 1、比例分析法：建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法. 2、代数方法：求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法. 3、逻辑方法：是数学理论研究的重要方法,对社会学和经济学等领域的实际问题,在决策,对策等学科中得到广泛应用. 4、常微分方程：解决两个变量之间的变化规律,关键是建立“瞬时变化率”的表达式. 5、偏微分方程：解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律. （二）、数据分析法：通过对量测数据的统计分析,找出与数据拟合最好的模型 1、回归分析法：用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法. 2、时序分析法：处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法. 3、回归分析法：用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法.
数学建模-回归分析-多元回归分析
1、 多元线性回归在回归分析中，如果有两个或两个以上的自变量，就称为 多元回归。事实上，一种现象常常是与多个因素相联系的，由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量，比只用一个自变量进行预测或估计更有效，更符合实际。 在实际经济问题中，一个变量往往受到多个变量的影响。例如，家庭消费支出，除了受家庭可支配收入的影响外，还受诸如家庭所有的财富、物价水平、金融机构存款利息等多种因素的影响，表现在线性回归模型中的解释变量有多个。这样的模型被称为多元线性回归模型。（multivariable linear regression model ） 多元线性回归模型的一般形式为： 其中k 为解释变量的数目，j β (j=1,2,…，k)称为回归系数（regression coefficient)。上式也被称为总体回归函数的随机表达式。它的非随机表达式为： j β也被称为偏回归系数（partial regression coefficient)。 2、 多元线性回归计算模型 多元性回归模型的参数估计，同一元线性回归方程一样，也是在要求误差平方和（Σe)为最小的前提下，用最小二乘法或最大似然估计法求解参数。 设（ 11 x ， 12 x ，…， 1p x ， 1 y ），…，（ 1 n x ， 2 n x ，…， np x ， n y ）是一个样本， 用最大似然估计法估计参数： 达 到最小。
把（4）式化简可得： 引入矩阵： 方程组（5）可以化简得： 可得最大似然估计值：
3、Matlab 多元线性回归的实现 多元线性回归在Matlab 中主要实现方法如下： （1）b=regress(Y, X ) 确定回归系数的点估计值 其中 （2）[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)求回归系数的点估计和区间估计、并检 验回归模型 ①bint 表示回归系数的区间估计. ②r 表示残差 ③rint 表示置信区间 ④stats 表示用于检验回归模型的统计量,有三个数值：相关系数r2、F 值、与F 对应的 概率p 说明：相关系数r2越接近1，说明回归方程越显著；F>F1-alpha(p,n-p-1) 时拒绝H0，F 越大，说明回归方程越显著；与F 对应的概率p<α 时拒绝H0，回归模型成立。 ⑤alpha 表示显著性水平(缺省时为0.05) （3）rcoplot(r,rint) 画出残差及其置信区间
数学建模常用统计方法
数学建模常用统计方法 1.1多元回归 1、方法概述: 在研究变量之间的相互影响关系模型时候，用到这类方法，具体地说:其可以定量地描述某一现象和某些因素之间的函数关系，将各变量的已知值带入回归方程可以求出因变量的估计值，从而可以进行预测等相关研究。 2、分类 分为两类:多元线性回归和非线性线性回归;其中非线性回归可以通过一定的变化转化为线性回归，比如:y=lnx 可以转化为 y=u u=lnx来解决;所以这里主要说明多元线性回归应该注意的问题。 3、注意事项 在做回归的时候，一定要注意两件事: (1) 回归方程的显著性检验(可以通过sas和spss来解决) (2) 回归系数的显著性检验(可以通过sas和spss来解决) 检验是很多学生在建模中不注意的地方，好的检验结果可以体现出你模型的优劣，是完整论文的体现，所以这点大家一定要注意。 4、使用步骤: (1)根据已知条件的数据，通过预处理得出图像的大致趋势或者数据之间的大致关系; (2)选取适当的回归方程; (3)拟合回归参数; (4)回归方程显著性检验及回归系数显著性检验 (5)进行后继研究(如:预测等)
这种模型的的特点是直观，容易理解。 这体现在:动态聚类图可以很直观地体现出来～ 当然，这只是直观的一个方面～ 2、分类 聚类有两种类型: (1) Q型聚类:即对样本聚类; (2) R型聚类:即对变量聚类; 聚类方法: (1) 最短距离法 (2) 最长距离法 (3) 中间距离法 (4) 重心法 (5) 类平均法 (6) 可变类平均法 (7) 可变法 (8) 利差平均和法 在具体做题中，适当选取方法; 3、注意事项 在样本量比较大时，要得到聚类结果就显得不是很容易，这时需要根据背景知识和 相关的其他方法辅助处理。 还需要注意的是:如果总体样本的显著性差异不是特别大的时候，使用的时候也要 注意～
数学建模各种分析报告方法
现代统计学 1.因子分析(Factor Analysis) 因子分析的基本目的就是用少数几个因子去描述许多指标或因素之间的联系，即将相关比较密切的几个变量归在同一类中，每一类变量就成为一个因子（之所以称其为因子，是因为它是不可观测的，即不是具体的变量），以较少的几个因子反映原资料的大部分信息。 运用这种研究技术，我们可以方便地找出影响消费者购买、消费以及满意度的主要因素是哪些，以及它们的影响力（权重）运用这种研究技术，我们还可以为市场细分做前期分析。 2.主成分分析 主成分分析主要是作为一种探索性的技术，在分析者进行多元数据分析之前，用主成分分析来分析数据，让自己对数据有一个大致的了解是非常重要的。主成分分析一般很少单独使用：a，了解数据。(screening the data),b,和cluster analysis一起使用，c，和判别分析一起使用，比如当变量很多，个案数不多，直接使用判别分析可能无解，这时候可以使用主成份发对变量简化。（reduce dimensionality）d,在多元回归中，主成分分析可以帮助判断是否存在共线性（条件指数），还可以用来处理共线性。 主成分分析和因子分析的区别 1、因子分析中是把变量表示成各因子的线性组合，而主成分分析中则是把主成分表示成个变量的线性组合。 2、主成分分析的重点在于解释个变量的总方差，而因子分析则把重点放在解释各变量之间的协方差。 3、主成分分析中不需要有假设(assumptions),因子分析则需要一些假设。因子分析的假设包括：各个共同因子之间不相关，特殊因子（specific factor）之间也不相关，共同因子和特殊因子之间也不相关。 4、主成分分析中，当给定的协方差矩阵或者相关矩阵的特征值是唯一的时候，的主成分一般是独特的；而因子分析中因子不是独特的，可以旋转得到不同的因子。 5、在因子分析中，因子个数需要分析者指定（spss根据一定的条件自动设定，只要是特征值大于1的因子进入分析），而指定的因子数量不同而结果不同。在主成分分析中，成分的数量是一定的，一般有几个变量就有几个主成分。 和主成分分析相比，由于因子分析可以使用旋转技术帮助解释因子，在解释方面更加有优势。大致说来，当需要寻找潜在的因子，并对这些因子进行解释的时候，更加倾向于使用因子分析，并且借助旋转技术帮助更好解释。而如果想把现有的变量变成少数几个新的变量（新的变量几乎带有原来所有变量的信息）来进入后续的分析，则可以使用主成分分析。当然，这中情况也可以使用因子得分做到。所以这中区分不是绝对的。 总得来说，主成分分析主要是作为一种探索性的技术，在分析者进行多元数据分析之前，用主成分分析来分析数据，让自己对数据有一个大致的了解是非常重要的。主成分分析一般很少单独使用：a，了解数据。(screening the data),b,
数学建模多元回归模型
实习报告书 学生姓名： 学号： 学院名称： 专业名称： 实习时间： 2014年 06 月 05 日 第六次实验报告要求 实验目的： 掌握多元线性回归模型的原理，多元线性回归模型的建立、估计、检验及解释变量的增减的方法，以及运用相应的Matlab软件的函数计算。 实验内容： 已知某市粮食年销售量、常住人口、人均收入、肉、蛋、鱼的销售数据，见表1。请选择恰当的解释变量和恰当的模型，建立粮食年销售量的回归模型，并对其进行估计和检验。
表1 某市粮食年销售量、常住人口、人均收入、肉、蛋、鱼的销售数据 年份粮食年销售 量Y/万吨 常住人口 X2/万人 人均收 入X3/ 元 肉销售 量X4/万 吨 蛋销售 量X5/ 万吨 鱼虾销 售量 X6/万吨 197498.45560.20153.20 6.53 1.23 1.89 1975100.70603.11190.009.12 1.30 2.03 1976102.80668.05240.308.10 1.80 2.71 1977133.95715.47301.1210.10 2.09 3.00 1978140.13724.27361.0010.93 2.39 3.29 1979143.11736.13420.0011.85 3.90 5.24 1980146.15748.91491.7612.28 5.13 6.83 1981144.60760.32501.0013.50 5.418.36 1982148.94774.92529.2015.29 6.0910.07
1983158.55785.30552.7218.107.9712.57 1984169.68795.50771.1619.6110.1815.12 1985162.14804.80811.8017.2211.7918.25 1986170.09814.94988.4318.6011.5420.59 1987178.69828.731094.6 523.5311.6823.37 实验要求： 撰写实验报告，参考第10章中牙膏销售量，软件开发人员的薪金两个案例，写出建模过程，包括以下步骤 1.分析影响因变量Y的主要影响因素及经济意义； 影响因变量Y的主要影响因素有常住人口数量，城市中人口越多，需要的粮食数量就越多，粮食的年销售量就会相应增加。粮食销量还和人均收入有关，人均收入增加了，居民所能购买的粮食数量也会相应增加。另外，肉类销量、蛋销售量、鱼虾销售量也会对粮食的销售量有影响，这些销量增加了，也表示居民的饮食结构也在发生变化，生活水平在提高，所以相应的，生活水平提升了，居民也有能力购买更多的粮食。
数学建模实验 ——曲线拟合与回归分析
曲线拟合与回归分析 1、有10个同类企业的生产性固定资产年平均价值和工业总产值资料如下： （1）说明两变量之间的相关方向； （2）建立直线回归方程； （3）计算估计标准误差； （4）估计生产性固定资产（自变量）为1100万元时的总资产 （因变量）的可能值。 解： (1)工业总产值是随着生产性固定资产价值的增长而增长的，存 在正向相关性。 用spss回归 （2）spss回归可知：若用y表示工业总产值（万元），用x表示生产性固定资产，二者可用如下的表达式近似表示： .0+ y =x 896 . 395 567 （3）spss回归知标准误差为80.216（万元）。 （4）当固定资产为1100时，总产值为： （0.896*1100+395.567-80.216~0.896*1100+395.567+80.216） 即（1301.0~146.4）这个范围内的某个值。 MATLAB程序如下所示： function [b,bint,r,rint,stats] = regression1 x = [318 910 200 409 415 502 314 1210 1022 1225]; y = [524 1019 638 815 913 928 605 1516 1219 1624]; X = [ones(size(x))', x']; [b,bint,r,rint,stats] = regress(y',X,0.05); display(b); display(stats); x1 = [300:10:1250]; y1 = b(1) + b(2)*x1; figure;plot(x,y,'ro',x1,y1,'g-');
数学建模中统计学常用方法.
1.1多元回归 1、方法概述: 在研究变量之间的相互影响关系模型时候, 用到这类方法, 具体地说:其可以定量地描述某一现象和某些因素之间的函数关系,将各变量的已知值带入回归方程可以求出因变量的估计值,从而可以进行预测等相关研究。 2、分类 分为两类:多元线性回归和非线性线性回归; 其中非线性回归可以通过一定的变化转化为线性回归, 比如:y=lnx 可以转化为 y=u u=lnx来解决;所以这里主要说明多元线性回归应该注意的问题。 3、注意事项 在做回归的时候,一定要注意两件事: (1 回归方程的显著性检验(可以通过 sas 和 spss 来解决 (2 回归系数的显著性检验(可以通过 sas 和 spss 来解决 检验是很多学生在建模中不注意的地方, 好的检验结果可以体现出你模型的优劣, 是完整论文的体现, 所以这点大家一定要注意。 4、使用步骤: (1根据已知条件的数据,通过预处理得出图像的大致趋势或者数据之间的大致关系; (2选取适当的回归方程; (3拟合回归参数; (4回归方程显著性检验及回归系数显著性检验 (5进行后继研究(如:预测等
这种模型的的特点是直观,容易理解。 这体现在:动态聚类图可以很直观地体现出来! 当然,这只是直观的一个方面! 2、分类 聚类有两种类型: (1 Q 型聚类:即对样本聚类; (2 R 型聚类:即对变量聚类; 聚类方法: (1 最短距离法 (2 最长距离法 (3 中间距离法 (4 重心法 (5 类平均法 (6 可变类平均法 (7 可变法 (8 利差平均和法 在具体做题中,适当选取方法; 3、注意事项
在样本量比较大时,要得到聚类结果就显得不是很容易,这时需要根据背景知识和相关的其他方法辅助处理。还需要注意的是:如果总体样本的显著性差异不是特别大的时候,使用的时候也要注意! 4、方法步骤 (1首先把每个样本自成一类; 2选取适当的衡量标准,得到衡量矩阵,比如说:距离矩阵或相似性矩阵,找到矩阵中最小的元素,将该元素对应的两个类归为一类, (4重复第 2步,直到只剩下一个类; (4重复第 2步,直到只剩下一个类; 补充:聚类分析是一种无监督的分类,下面将介绍有监督的“分类” 。 我简单说明下,无监督学习和有监督学习是什么 无监督学习:发现的知识是未知的 而有监督学习:发现的知识是已知的 有监督学习是对一个已知模型做优化,而无监督学习是从数据中挖掘模型 他们在分类中应用比较广泛 (非数值分类 如果是数值分类就是预测了,这点要注意 1.3数据分类 1、方法概述
数学建模之回归分析法
什么就是回归分析 回归分析(regression analysis)就是确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。运用十分广泛,回归分析按照涉及的自变量的多少,可分为一元回归分析与多元回归分析;按照自变量与因变量之间的关系类型,可分为线性回归分析与非线性回归分析。如果在回归分析中,只包括一个自变量与一个因变量,且二者的关系可用一条直线近似表示,这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量,且因变量与自变量之间就是线性关系,则称为多元线性回归分析。 回归分析之一多元线性回归模型案例解析 多元线性回归,主要就是研究一个因变量与多个自变量之间的相关关系,跟一元回归原理差不多,区别在于影响因素(自变量)更多些而已,例如:一元线性回归方程 为: 毫无疑问,多元线性回归方程应该 为: 上图中的x1, x2, xp分别代表“自变量”Xp截止,代表有P个自变量,如果有“N组样本,那么这个多元线性回归,将会组成一个矩阵,如下图所示: 那么,多元线性回归方程矩阵形式为: 其中:代表随机误差, 其中随机误差分为:可解释的误差与不可解释的误差,随机误差必须满足以下四个条件,多元线性方程才有意义(一元线性方程也一样) 1:服成正太分布,即指:随机误差必须就是服成正太分别的随机变量。 2:无偏性假设,即指:期望值为0 3:同共方差性假设,即指,所有的随机误差变量方差都相等 4:独立性假设,即指:所有的随机误差变量都相互独立,可以用协方差解释。 今天跟大家一起讨论一下,SPSS---多元线性回归的具体操作过程,下面以教程教程数据为例,分析汽车特征与汽车销售量之间的关系。通过分析汽车特征跟汽车销售量的关系,建立拟
数学建模之统计回归模型
数学建模大作业
摘要 某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售额，题目给出了1977—1981此公司的销售额和行业销售额的分季度数据表格。通过对所给数据的简单分析，我们可以看出：此公司的销售额有随着行业销售额的增加而增加的趋势，为了更加精确的分析题目所给的数据，得出科学的结论，从而达到合理预测的目的。我们使用时间序列分析法，参照课本统计回归模型例4，做出了如下的统计回归模型。 在问题一中，我们使用MATLB数学软件，画出了数据的散点图，通过观察散点图，发现公司的销售额和行业销售额之间有很强的线性关系，于是我们用线性回归模型去拟合，发现有很好的拟合性。但是这种情况下，并没有考虑到数据的自相关性，所以我们做了下面几个问题的分析来对这个数学模型进行优化。 在问题二中，通过建立了公司销售额对全行业销售额的回归模型，并使用DW检测诊断随机误差项的自相关性。通过计算和查DW表比较后发现随即误差存在正自相关，也就是说前面的模型有一定的局限性，预测结果存在一定的偏差，还有需要改进的地方。 在问题三中，因为在问题二中得出随即误差存在正自相关，为了消除随机误差的自相关性，我们建立了一个加入自相关后的回归模型。并对其作出了分析和验证，我们发现加入自相关后的回归模型更加合理。通过使用我们建立的模型对公司的销售额进行预测，发现和实际的销售额很接近，也就是说模型效果还不错。 关键词：销售额、回归模型、自相关性 一、问题提出 某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售额，下表给出了1977-1981年公司销售额和行业销售额的分季度数据（单位：百万元）. （1）画出数据的散点图，观察用线性回归模型拟合是否合适。 （2）监理公司销售额对全行业销售额的回归模型，并用DW检验诊断随机误差项的自相关性。
数学建模统计模型
数学建模统计模型集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#
数学建模
论文题目： 一个医药公司的新药研究部门为了掌握一种新止痛剂的疗效，设计了一个药物试验，给患有同种疾病的病人使用这种新止痛剂的以下4个剂量中的某一个：2 g，5 g，7 g和10 g，并记录每个病人病痛明显减轻的时间（以分钟计）. 为了解新药的疗效与病人性别和血压有什么关系，试验过程中研究人员把病人按性别及血压的低、中、高三档平均分配来进行测试. 通过比较每个病人血压的历史数据，从低到高分成3组，分别记作，和. 实验结束后，公司的记录结果见下表（性别以0表示女，1表示男）. 请你为该公司建立一个数学模型，根据病人用药的剂量、性别和血压组别，预测出服药后病痛明显减轻的时间.
一、摘要 在农某医药公司为了掌握一种新止痛药的疗效，设计了一个药物实验，通过观测病人性别、血压和用药剂量与病痛时间的关系，预测服药后病痛明显减轻的时间。我们运用数学统计工具m i n i t a b软件，对用药剂量，性别和血压组别与病痛减轻
时间之间的数据进行深层次地处理并加以讨论概率值P（是否<）和拟合度R-S q的值是否更大（越大，说明模型越好）。 首先，假设用药剂量、性别和血压组别与病痛减轻时间之间具有线性关系，我们建立了模型Ⅰ。对模型Ⅰ用m i n i t a b软件进行回归分析，结果偏差较大，说明不是单纯的线性关系，然后对不同性别分开讨论，增加血压和用药剂量的交叉项，我们在模型Ⅰ的基础上建立了模型Ⅱ，用m i n i t a b软件进行回归分析后，用药剂量对病痛减轻时间不显着，于是我们有引进了用药剂量的平方项，改进模型Ⅱ建立了模型Ⅲ，用m i n i t a b软件进行回归分析后，结果合理。最终确定了女性病人服药后病痛减轻时间与用药剂量、性别和血压组别的关系模型： Y=1x 3x 1x 3x 2 1 x 对模型Ⅱ和模型Ⅲ关于男性病人用m i n i t a b软件进行回归分析，结果偏差依然较大，于是改进模型Ⅲ建立了模型Ⅳ，用m i n i t a b软件进行回归分析后，结果合理。最终确定了男性病人服药后病痛减轻时间与 用药剂量、性别和血压组别的关系模型：Y=1x1x 3x 2 1 x关键词止痛 剂药剂量性别病痛减轻时间