高考复习——《动量》典型例题复习

高考复习——《动量》典型例题复习

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

七、动量

一、知识网络

二、画龙点

睛

概念

1、冲量

(1)定义

力F和力的作用时间t的乘积Ft叫做力的冲量，通常用I表示。

冲量表示力对时间的累积效果，冲量是过程量。

(2)大小：物体在恒力作用下，冲量的大小是力和作用时间的乘积，即

I＝Ft

计算冲量时，要明确是哪个力在哪一段时间内的冲量。

(3)方向：冲量是矢量，它的方向是由力的方向决定的。

如果力的方向在作用时间内不变，冲量方向就跟力的方向相同。

(4)单位：在国际单位制中，冲量的单位是牛·秒（N·s）。

(5)说明

①冲量是矢量。恒力冲量的大小等于力和时间的乘积，方向与力的方向一致；冲量的运算符合矢量运算的平行四边形定则。

(怎样求合力的冲量，怎样求变力的冲量)

②冲量是过程量。冲量表示力对时间的累积效果，只要有力并且作用一段时间，那么该力对物体就有冲量作用。计算冲量时必须明确是哪个力在哪段时间内的冲量。

③冲量是绝对的。与物体的运动状态无关，与参考系的选择无关。

④冲量可以用F─t图象描述。

F─t图线下方与时间轴之间包围的“面积”值表示对应时间内力的冲量。

例题：①如图所示，一个质量为m的物块在与水平方向成θ角的恒力F作用下，经过时间t

，获得的速度为V，

求F在t时间内的冲量

(大小：Ft；方向：与F的方向一致，与水平方向成θ角)

②一质量为mkg的物体，以初速度V0水平抛出，经时间t，求重力在时间t内的冲量

(大小：mgt；方向：竖直向下)

例题：以初速度V0竖直向上抛出一物体，空气阻力不可忽略。关于物体受到的冲量，以下说法中正确的是

A．物体上升阶段和下落阶段受到重力的冲量方向相反

B．物体上升阶段和下落阶段受到空气阻力冲量的方向相反

C．物体在下落阶段受到重力的冲量大于上升阶段受到重力的冲量

D．物体从抛出到返回抛出点，所受各力冲量的总和方向向下

解析：物体在整个运动中所受重力方向都向下，重力对物体的冲量在上升、下落阶段方向都向下，选项A错。

物体向上运动时，空气阻力方向向下，阻力的冲量方向也向下。物体下落时阻力方向向上，阻力的冲量方向向上。选项B正确。

在有阻力的情况下，物体下落的时间t2比上升时所用时间t1大。物体下落阶段重力的冲量mgt2大于上升阶段重力的冲量mgt1，选项C正确。

在物体上抛的整个运动中，重力方向都向下。物体在上升阶段阻力的方向向下，在下落阶段虽然阻力的方向向上，但它比重力小。在物体从抛出到返回抛出点整个过程中，物体受到合力的冲量方向向下，选项D正确。

综上所述，正确选项是B、C、D。

2、动量

(1)定义：在物理学中，物体的质量m和速度V的乘积mV叫做动量，动量通常用符号P表示。

(2)大小：物体在某一状态动量的大小等于物体的质量和物体在该时刻瞬时速度的乘积，即

P＝mV

计算动量时，要明确是哪个物体在哪个状态的动量，速度一定要是该状态的瞬时速度。

(3)方向：动量也是矢量，动量的方向与速度方向相同。

动量的运算服从矢量运算规则，要按照平行四边形定则进行。

(4)单位：在国际单位制中，动量的单位是千克·米/秒（kg·m/s）

1kg·m/s＝1N·s

(5)说明

①动量是矢量。动量有大小和方向，动量的大小等于物体的质量和速度的乘积，方向与物体的运动方向相同。动量的运算符合矢量运算的平行四边形定则。在一维情况下可首先规定一个正方向，这时求动量变化就可简化为代数运算。

②动量是状态量。动量与物体的运动状态相对应。计算动量时，要明确是哪个物体在哪个状态的动量，速度一定要是该状态的瞬时速度。

③动量与参考系有关。物体的速度与参考系有关，所以物体的动量也与参考系有关。在中学物理中，如无特别说明，一般都以地面为参考系。

3、动量的变化

①动量变化的三种情况：动量大小变化、动量方向改变、动量的大小和方向都改变三种可能。

②定义：在某一过程中，末状态动量与初状态动量的矢量差值，叫该过程的动量变化。

③计算

a、如果v1和v2方向相同，计算动量的变化就可用算术减法求之。

12mv mv mv -=?

b 、如果v 1和v 2方向相反，计算动量的变化就需用代数减法求之，若以v 2为正值，则v 1就应为负值。 1212)(mv mv v m mv mv +=--=?

c 、如果v 1与v 2的方向不在同一直线上，应当运用矢量的运算法则： 如图1所示，mV 1为初动量，mV 2为末动量，则动量的变化（矢量式）

)(1212mv mv mv mv mv -+=-=?

即作mV 1的等大、反向矢量-mV 1，然后，将mV 2与-mV 1运用平行四边形定则作其对角线即为动量的变化mv ?，如图2所示。

或者将初动量与末动量的矢量箭头共点放置，自初动量的箭头指向末动量箭头的有向线段，即为矢量ΔP 。

例题：一个质量是0.1kg 的钢球，以6m/s 的速度水平向右运动，碰到一块坚硬的障碍物后被弹回，沿着同一直线以6 m/s

球的动量有没有变化变化了多少

解析：取水平向右的方向为正方向，碰撞前钢球的速度V ＝6m/s ，碰撞前钢球的动量为

P ＝mV ＝0.1×6kg ·m/s ＝0.6kg ·

m/s

正方P ΔP

图1

m

m

碰撞后钢球的速度为V ′＝－6m/s ，碰撞后钢球的动量为

P ′＝mV ′＝－0.1×6kg ·m/s ＝－0.6kg ·m/s 碰撞前后钢球动量的变化为

ΔP ＝P ˊ－P ＝－0.6kg ·m/s －0.6 kg ·m/s ＝－1.2 kg ·m/s 且动量变化的方向向左。

[对例题的处理：①为熟悉动量变化的矢量运算，可先假定物体运动速度的方向没有变化，仅大小发生改变，要求学生算出动量的变化。②规定向右为正

化量(练习一、第3题)不影响解题的结果。]

例题：一个质量是0.2kg 的钢球，以2m/s 的速度斜射到坚硬的大理石板上，入射的角度是45°，碰撞后被斜着弹出，弹出的角度也是45°，速度大小仍为2m/s ，求出钢球动量变化的大小和方向

解析：碰撞前后钢球不在同一直线上运动，据平行四边形定则， P ′、

P 和ΔP 的矢量关系如右图所示。

ΔP ＝m/s ?kg 20.4=m/s ?kg 4.0+4.0=+2222

/p p 方向竖直向上。

P

总结：动量是矢量，求其变化量应用平行四边

形定则；

在一维情况下可首先规定一个正方向，这时求动量变化就可简化为代数运算。

例题：质量m为3kg的小球，以2m/s的速率绕其圆心O做匀

速圆周运动，小球从A转到B过程中动量的变化为多少？从A

转到C的过程中，动量变化又为多少

解析：小球从A转到B过程中，动量变化的大小为2

6kg·m/s，方向为向下

偏左45°，小球从A转到C，规定向左为正方向，则ΔP＝12kg·m/s，方向水平向左。

例题：质量为m的小球由高为H的光滑斜面顶端无初速滑到底端过程中，重力、弹力、合力的冲量各是多大？

解析：力的作用时间都是

g

H

g

H

t

2

sin

1

sin

2

2α

α

=

=，力的大小依次是mg、

mg cosα和mg sinα，所以它们的冲量依次是：

gH

m

I

gH

m

I

gH

m

I

N

G

2

,

tan

2

,

sin

2

=

=

=

合

α

α

特别要注意，该过程中弹力虽然不做功，但对物体有冲量。

例题：以初速度v0平抛出一个质量为m的物体，抛出后t秒内物体的动量变化是多少？

A

O

C

V

解析：因为合外力就是重力，所以Δp=F t=m g t

有了动量定理，不论是求合力的冲量还是求物体动量的变化，都有了两种可供选择的等价的方法。本题用冲量求解，比先求末动量，再求初、末动量的矢量差要方便得多。当合外力为恒力时往往用Ft来求较为简单；当合外力为变力时，在高中阶段只能用Δp来求。

1、动量定理

(1)内容：物体所受合力的冲量等于物体的动量变化，这个结论叫做动量定理。

(2)表达式：Ft＝mV′－mV＝P′－P

(3) 推导

问题：一个质量为m的物体，初速度为V，在合力F的作用下，经过一段时间t，速度变为V′，求：

①物体的初动量P和末动量P′分别为多少

②物体的加速度a＝

③据牛顿第二定律F＝ma可推导得到一个什么表达式

规律

解析：①初动量为P＝mV ，末动量为P′＝mV′

②物体的加速度a＝(V＇－V)/t

③根据牛顿第二定律F＝ma＝(mV＇－mV)/t可得

Ft＝mV′－mV

即Ft＝P′－P

等号左边表示合力的冲量，等号右边是物体动量的变化量。

⑷说明：

①动量定理Ft＝P′－P是矢量式，Ft指的是合外力的冲量，ΔP指的是动量的变化。

动量定理说明合外力的冲量与动量变化的数值相同，方向一致，单位等效，但不能认为合外力的冲量就是动量的增量。对方向变化的力，其冲量的方向与力的方向一般不同，但冲量的方向与动量变化的方向一定相同。

若公式中各量均在一条直线上，可规定某一方向为正，根据已知各量的方向确定它们的正负，从而把矢量运算简化为代数运算。公式中的“－”号是运算符号，与正方向的选取无关。

②动量定理揭示的因果关系。它表明物体所受合外力的冲量是物体动量变化的原因，物体动量的变化是由它受到的外力经过一段时间积累的结果。

③动量定理的分量形式：物体在某一方向上的动量变化只由这一方向上的外力冲量决定。

F x t＝mV x′－mV x

F y t＝mV y′－mV y

④动量定理既适用于恒力，也适用于变力。对于变力的情况，动量定理中的F应理解为变力在作用时间内的平均值。

⑤动量定理的研究对象。在中学阶段，动量定理的研究对象通常是指单个物体，合外力是指物体受到的一切外力的合力。实际上，动量定理对物体系统也是适用的。对物体系统来说，内力不会改变系统的动量，同样是系统合外力的冲量等于系统的动量变化。

⑥牛顿第二定律的动量表示，F＝(P′－P)/t＝ΔP/t。从该式可以得出：合外力等于物体的动量变化率。

(5)动量定理的特性

①矢量性：冲量、动量和动量变化均为矢量，动量定理为矢量关系；

②整体性：F和t，m和V不可分；运用动量定理可对整个过程建立方程，对过程的细节考虑较少，解题较动力学和运动学容易些。

③独立性：某方向的冲量只改变该方向的动量；

④对应性：Ft和ΔP应对应同一过程，F、V应对应同一惯性参考系；

⑤因果性：冲量是动量变化的原因，动量变化是力对时间累积的结果；

⑥变通性：在具体应用时，可用冲量代替匀变速曲线运动的动量变化，也可用动量变化代替变力的冲量。

动量定理应用举例

(1)解释现象

①在ΔP一定的情况下，要减小力F，可以延长力的作用时间；要增大力F，可缩短力的作用时间。

②在F一定的情况下，作用时间t短则ΔP小，作用时间t长则ΔP大；

③在t一定的情况下，作用力F小则ΔP小，作用力F大则ΔP大。

例题：鸡蛋从同一高度自由下落，第一次落在地板上，鸡蛋被打破；第二次落在泡沫塑料垫上，没有被打破。这是为什么？

解：两次碰地（或碰塑料垫）瞬间鸡蛋的初速度相同，而末速度都是零也相同，所以两次碰撞过程鸡蛋的动量变化相同。根据Ft=Δp，第一次与地板作用时的接触时间短，作用力大，

所以鸡蛋被打破；第二次与泡沫塑料垫作用的接触时间长，作用力小，所以鸡蛋没有被打破。（再说得准确一点应该指出：鸡蛋被打破是因为受到的压强大。鸡蛋和地板相互作用时的接触面积小而作用力大，所以压强大，鸡蛋被打破；鸡蛋和泡沫塑料垫相互作用时的接触面积大而作用力小，所以压强小，鸡蛋未被打破。）

例题：某同学要把压在木块下的纸抽出来。第一次他将纸迅速抽出，木块几乎不动；第二次他将纸较慢地抽出，木块反而被拉动了。这是为什么？

解：物体动量的改变不是取决于合力的大小，而是取决于合力

冲量的大小。在水平方向上，第一次木块受到的是滑动摩擦力，一般来说大于第二次受到的静摩擦力；但第一次力的作用时间极短，摩擦力的冲量小，因此木块没有明显的动量变化，几乎不动。第二次摩擦力虽然较小，但它的作用时间长，摩擦力的冲量反而大，因此木块会有明显的动量变化。

(2)定量计算

应用动量定理解题的步骤： ①确定研究对象；

②对研究对象进行正确的受力分析，确定合外力及作用时间； ③找出物体的初末状态并确定相应的动量；

④如果初、末动量在同一直线上，则选定正方向，并给每个力的冲量和初、末动量带上正负号，以表示和正方向同向或反向；如果初、末动量不在同一直线上，则用平行四边形定则求解；

⑤根据动量定理列方程； ⑥解方程，讨论。

例题：一个质量为0.18kg 的垒球，以25 m/s 的水平速度飞向球棒，被球棒打击后，反向水平飞回，速度的大小为45 m/s ，设球棒与垒球的作用时间为0.01 s ，求球棒对垒球的平均作用力有多大

解析：取垒球飞向球棒时的方向为正方向，垒球的初动量为P ＝mV ＝4.5kg ·m/s ，垒球的末动量为P ＇＝mV ＇＝－8.1kg ·m/s ，由动量定理可得

垒球所受的平均力为

/8.1 4.512600.01

P P F N N t ---===-

垒球所受的平均力的大小为1260N ，负号表示力的方向与所选的正方向相反，即力的方向与垒球飞回的方向相同。 ⑶计算冲量的大小主要有下述的三种方法：

第一种方法是：根据冲量的概念求解。即将已知的力F 和作用的时间t 代入下式：

Ft I =（矢量式 ）

第二种方法是：根据“动量定理”求解。即用已知的1mv 和2mv 求出mv ?代入下式：

12mv mv mv Ft -=?=

第三种方法是：求变力的冲量，不能直接用F ·t 求解，应该由动量定律根据动量的变化间接求解，也可以 F-t 图像下的“面积”的计算方法求解。

例题：一个物体同时受到两个力F 1、F 2的作用，F 1、F 2与时间t 的关系如图所示。若该物体从静止开始运动，则在0 – 10s 的这段时间内，物体动量的最大值为___________。

解析：这是一个受两个线性变化力的问题，物体动量的情况应借助于图象去做，

如图所示，做任一时刻的“面积”，S 1为F 1的冲量、S 2为F 2的冲量；不过S 1为正，S 2为负；这样从静止开始到t 内的冲量为 )(21S S I -+=

而

[]2112110)10(1021

t t t t t F S -=?-+=

=

2222

1

21t t t t F S =?=

= 于是

25)5(10)(2221+--=-=-+=t t t S S I

所以，在5s 时动量最大，最大值为25kg ·m/s

警示！物理中的图象是多功能的，这里“面积”有正负，应该取代数和。 例题：从地面以1v 速度竖直竖直向上抛出一气球，皮球落地时的速度为2v ，若皮球运动中所受空气的阻力的大小与其速度的成正比，试求皮球在空气中的运动时间。

解析：如何突破这个问题？

阻力的变化引起加速度的变化，不过物体上升的位移与下降的位移等值、反向；作υ—t 图，S 1为上升的位移、S 2为下降的位移大小；即 0)(21=-+S S

对全过程应用动量定理，得

)(12mv mv t f t f mgt --=++下下上上

这里，[]021=-+=+）（下下上上S S K t f t f ，如图所示 所以，g

v v t 2

1+=

警示！应用图象、转化图象，可以突破难点。

例题：一质量为700g 的足球从m h 51=高处自由落下，落地后反跳到m h 2.31=的高处。（(g 取10m/s 2)）

求：（1）球在与地面撞击的极短过程中动量变化如何？

（2）若球与地面的接触时间是0.02s,球对地面的平均作用力有多大？ 解析：(1) 球刚落地时速度大小为

s m gh v /105102211=??==

方向为竖直向下。

反跳时（即离开地面的一瞬间）足球的速度大小为

s m gh v /82.3102222=??==

方向为竖直向上。 所以，动量的变化为

s m kg mv mv p /6.12)107.0(87.0)(12?=?--?=--=?

方向为竖直向上。

（2）取向上为正，根据动量定理，球的动量改变正是球受到的冲量所致，所以

)(12mv mv mgt I --=-

)

(12mv mv mgt Ft --+=N t mv mv mg F 637630702

.06

.12712=+=+=++

=

其方向应该和动量增量的方向相同，即方向为竖直向上。

根据作用与反作用的关系，球对地面作用的平均冲力的大小为637N 、方向为竖直向下。

警示！建议不论作用时间长、短，都不要忽略重力。 例题：如图所示，，在光滑的水平面上静止放着两个相互接触的木块A 和B ，质量分别为m 1和m 2，今有一颗子弹水平地穿过两个木块，设子弹穿过A 、

B 木块的时间分别为t 1和t 2，木块对子弹的阻力大小恒为f ，则子弹穿出两木块后，木块A 的速度和木块B 的速度分别为多少?

解析：子弹打入A 时，A 、B 具有共同的速度，子弹离开A 打入B 时，A 、B 的共同的速度也就是A 的最终速度A v ，

对A 、B 这一过程根据动量定理，

0)(211-+=A v m m ft ①

第二阶段，对B 根据动量定理，

B B v m v m ft 222-= ②

由①得 2

11m m ft v A

+=

将①代人②得 2

11

22m m ft m ft v B

++

=

警示！虽然物体多，但是一一分析清楚，结合已知条件列出方程，就会解答。 例题： 质量为m 的小球，从沙坑上方自由下落，经过时间t 1到达沙坑表面，又经过时间t 2停在沙坑里。求：⑴沙对小球的平均阻力F ；⑵小球在沙坑里下落过程所受的总冲量I 。

解：设刚开始下落的位置为A ，刚好接触沙的位置为B ，在沙中到达的最低点为C 。⑴在下落的全过程对小球用动量定理：重力作用时间为t 1+t 2，而阻力作用时间仅为t 2，以竖直向下为正方向，有： m g (t 1+t 2)-F t 2=0, 解得：()2

21t t t mg F +=

⑵仍然在下落的全过程对小球用动量定理：在t 1时间内只有重力的冲量，在t 2时间内只有总冲量（已包括重力冲量在内），以竖直向下为正方向，有：

m g t 1-I =0,∴I =m g t 1

这种题本身并不难，也不复杂，但一定要认真审题。要根据题意所要求的冲量将各个外力灵活组合。若本题目给出小球自由下落的高度，可先把高度转换成时间后再用动量定理。当t 1>> t 2时，F >>mg 。

例题：质量为M 的汽车带着质量为m 的拖车在平直公路上以加速度a 匀加速前进，当速度为v 0时拖车突然与汽车脱钩，到拖车停下瞬间司机才发现。若汽车的牵引力一直未变，车与路面的动摩擦因数为μ，那么拖车刚停下时，汽车的瞬时速度是多大？

解：以汽车和拖车系统为研究对象，全过程系统受的合外力始终为()a m M +，该过程经历时间为v 0/μg ，末状态拖车的动量为零。全过程对系统用动量定理可得：

()()()()000,v

Mg

g a m M v v m M v M g v a m M μμμ++='∴+-'=?

+

这种方法只能用在拖车停下之前。因为拖车停下后，系统受的合外力中少了拖车受到的摩擦力，因此合外力大小不再是()a m M +。

例题：一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的AB 边重合，如图。已知盘与桌布的动摩擦因数为1μ，盘与桌面间的动摩擦因数为2μ。现突然以恒定加速度a 将桌布抽离桌面，加速度的方向是水平的且垂直于AB 边。若圆盘最后末从

桌面掉下，则加速度a 满足的条件是什么（ 以g 表示重力加速度）

解析：设圆盘的质量为m ，桌长为l ，，这一阶段圆盘的末速度为1v 解法一：（动量法）

第一阶段，对圆盘（在桌布上运动）根据动量定理，

111mv mgt =μ

①

第二阶段，对圆盘（在桌面上运动，初速度1v ，末速度临界值为0）根据动量定理，

1220mv mgt -=-μ ② 在桌布从圆盘下抽出的过程中，盘的加速度为1a g a 11μ= ③ 这一阶段圆盘的位移为 21112

1t a x =

④

第二阶段，盘的加速度为2a g a 22μ=

⑤

这一阶段圆盘的位移为

22222

1t a x =

⑥

桌布从盘下抽出所经历的时间为t ，在这段时间内桌布移动的距离为x ，有

22

1at x =

⑦ 而 12

1x l x +=

⑧

盘没有从桌面上掉下的条件是

122

1

x l x -≤

⑨

联立解得 g a μμμμ2

2

12+≥

解法二：（以牛顿定律为主） 在桌布从圆盘下抽出的过程中，

①

圆盘在桌面上运动的过程中，

②

第一阶段圆盘的末速度为1v

11212x a v =

③

又 22212x a v = ④

盘没有从桌面上掉下的条件是

122

1

x l x -≤

⑤

桌布从盘下抽出所经历的时间为t ，在这段时间内桌布移动的距离为x ，有

2

2

1at x =

⑥ ⑦ 而

12

1

x l x +=

⑧ 由以上各式得

g a μμμμ2

2

12+≥

解法三：（能量法）???

???

?

==2

22221112121mv mgx mv mgx μμ

或直接写出：2211mgx mgx μμ=

1

1ma mg =μ2

2ma mg =μ2

112

1t a x =