建立反比例函数的模型
湘教版九年级上册数学教案
1.1 建立反比例函数的模型
教学目标
1．使学生理解并掌握反比例函数的概念
2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，能根据已知条件确定反比例函数表达式
3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想
重点难点
重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式
难点：理解反比例函数的概念
教学设计
一、预习导学
通过自主预习教材P2-3完成下列问题
1．当路程一定时，速度与时间成什么关系？当一个长方形面积一定时，长与宽成什么关系?
问题1中的情境是学生熟悉的例子，当中的关系式学生都列得出来，鼓励学生积极思考、讨论、合作、交流，最终让学生讨论出：当两个量的积是一个定值时，这两个量成反比例关系，如xy＝k（k为一个定值），则x与y成反比例.
二.探究展示
(一)合作探究
1．如何解教材第2页“动脑筋”中的问题？
以小组为单位，由组长带领组员讨论，得出结论：
当路程s一定时，
s一定时，v与t成反比例关系，因此把这样的函数称为反比例函数.
设计意图：先引导学生审题，列出函数关系式，并与我们以前学过的一次函数、正比例函数的关系式进行类比，找出不同点，使学生对知识认知有系统性、完整性.
2．你能归纳反比例函数的概念吗？
先由学生根据问题1的结论讨论，然后总结：
(二)展示提升
学生先尝试着解答，然后再交流，从中得出什么结论与大家分享.
2．下列函数是不是反比例函数？若是，请写出它的比例系数.
（1）y=3x -1 （2）3
x y -= （3）x y 51=
（4）x y 111-= 可点名展示，也可分组展示，培养学生分析问题和解决问题的能力；同时增强学生团结协作的精神。老师在此环节准确引导，及时点拨和追问，总结出解决问题的方法和规律。 设计意图：通过实例进一步加深对反比例函数的认识.
三.知识梳理
2．反比例函数的变式有xy=k ，y ＝kx -1
，运用反比例函数的概念及变式正确判断一个给定的函数是否为反比例函数
四.当堂检测
1．写出下列问题中两个变量之间的函数关系式，并判断其是否为反比例函数. 如果是，指出比例系数k 的值.
（1）底边为5cm 的三角形的面积y （cm 2）随底边上的高x （cm ）的变化而变化；
（2）某村有耕地面积200ha ，人均占有耕地面积y （ha ）随人口数量x （人）的变化而变化；
（3）一个物体重120N ，物体对地面的压强p （N/m 2）随该物体与地面的接触面积S （m 2）的变化而变化.
2．下列哪些关系式中的y 是x 的反比例函数？如果是，比例系数是多少？
（1）y ＝23 x ； （2）y ＝23x
； （3）xy ＋2＝0； （4）xy ＝0； （5）x ＝23y
. 3．已知函数y ＝（m ＋1）x
22 m 是反比例函数，则m 的值为 .
五.教学反思
反比例函数概念形成的过程中，充分利用已有的生活经验和背景知识，注意挖掘问题中变量的相依关系和变化规律，逐步加深理解.在概念的形成过程中，从感性认识到理性认识一旦建立概念，即已摆脱其原型成为数学对象.反比例函数具有丰富的数学含义，通过举例、说理、讨论等活动，审视某些实际现象.
1 反比例函数中的模型（讲义） 一、知识点睛 与反比例函数相关的几个结论，在解题时可以考虑调用． ① OCD ABCD △梯形 ② 结论：AB =CD ③ 结论：BD ∥CE 二、精讲精练
2 1. 如图，已知点A ，B 在双曲线y x = （x>0）的图象上，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，AC 与BD 相交于点P ，且P 是AC 的中点．若△ABP 的面积为3，则k =________． 2. 如图，A ，B 是双曲线y x = （k >0）上的点，且A ，B 两点的横坐标分别为a ，2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ．若S △AOC =6，则k =________． 第2题图 第3题图 3. 如图，直线3y x = 与双曲线y x =（x >0）交于点A ．将直线3y x =向右平移2个单位后，与双曲线y x = （x >0）交于点B ，与x 轴交于点C ，若 2=BC ，则k =________． 4. 如图，平行四边形AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线y x = （k >0）经过A ，E 两点．若平行四边形AOBC 的面积为18， 则k =________． 第4题图 第5题图 5. 如图，已知函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C ，B 两点，与双曲线y x = 交于A ，D 两点．若AB+CD=BC ，则k 的值为________．
3 6. 已知：如图，直线64y x =+与双曲线y x =（x <0）相交于A ，B 两点，与x 轴、y 轴分别交于D ， C 两点，若AB =5，则k =_________． 7. y 轴交于点A ，与双曲线x y =在第一象限交于B ，C 两点，且4AB AC ?=， 则k =_______ 8. 双曲线1y x =，2 y x =A 作x 轴的平行线，交 B ，交y 轴于点 C ，过点A 作x D ，交x 轴于点 E ，连接BD ，CE ， 则 CE =________． 第9题图 第10题图
反比例函数中的模型（讲义） 一、知识点睛 与反比例函数相关的几个结论，在解题时可以考虑调用． ① 结论：2||ABO ABCO S S k ==△矩形 结论：OCD ABCD S S =△梯形 ② 结论：AB =CD ③ 结论：BD ∥CE 二、精讲精练 1. 如图，已知点A ，B 在双曲线k y x =（x>0）的图象上，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，AC 与 BD 相交于点P ，且P 是AC 的中点．若△ABP 的面积为3，则k =________ ．
2. 如图，A ，B 是双曲线k y x = （k >0）上的点，且A ，B 两点的横坐标分别为a ，2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ．若S △AOC =6，则k =________． 第2题图 第3题图 3. 如图，直线43y x = 与双曲线k y x =（x >0）交于点A ．将直线43y x =向右平移92个单位后，与双曲线k y x =（x >0）交于点B ，与x 轴交于点C ，若2=BC AO ，则k =________． 4. 如图，平行四边形AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线k y x = （k >0）经过A ，E 两点．若平行四边形AOBC 的面积为18， 则k =________． 第4题图 第5题图 5. 如图，已知函数1+-=x y 的图象与x 轴、y 轴分别交于C ，B 两点，与双曲线k y x = 交于A ，D 两点．若AB+CD=BC ，则k 的值为________． 6. 已知：如图，直线364y x =+与双曲线k y x =（x <0）相交于A ，B 两点，与x 轴、y 轴分别交于D ， C 两点，若AB =5，则k =_________． 7. 如图，直线b x y +- =33与y 轴交于点A ，与双曲线x k y =在第一象限交于B ，C 两点，且4AB AC ?=，
§1 建立反比例函数模型 班级姓名 学习目标： 1．理解反比例函数来自实际生活. 2．知道什么是反比例函数. 学习过程： 一、引入 1、小学学过反比例关系，两个变量满足什么关系时，这两个变量成反比例关系？ 2、长方形的面积为6，长x和宽y之间有什么关系？ 3、在家庭照明电路中，电压U=220V，电流I(A)与电阻(Ω)有什么关系？ 4、某单位盖一栋经济适用房，设总工程量为1，盖这栋经济适用房所花的 天数t与每天完成的工程量x有什么关系？ 5、小明、小亮、小华、小强他们在跑400米的平均速度分别为5m/s，4.8m/s， 4.5m/s,4m/s，那么他们谁先到达终点？ 二、探索新知： 归纳：一般地，如果两个变量x与y之间的关系可以表示成 的形式，那么称y是x的. 1、你能举出反比例函数的例子吗?（可以是关系式，也可以是生活中的实例） 2、说说你对反比例函数的认识 ①反比例函数涉及有几个变量？ ②变量之间存在什么关系？
③ 还有其它形式吗？若有，请指说出来？ ④ 对x 、y 、k 有什么具体要求？为什么？ 3、下列函数中哪些是反比例函数,若是，指出反比例系数k 的值？ ①y = 3x-1 ②y = 2x 2 ③ x y 5= ④x y 2-= ⑤x y 32= ⑥x y 32-= ⑦5=?y x ⑧1-=x y 4、下列的数表中分别给出了变量y 与x 之间的对应关系， （A ） （B ） （C ） 三、知识运用： 1、下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数解析式表示？ ⑴一个游泳池的容积为2000 m ,注满游泳池所用的时间t (单位：h ）随注水速度v(单位:m /h)的变化而变化； ⑵某长方体的体积为1000cm ，长方体的高h （单位：cm ）随底面积s （单位：cm ）的变化而变化； ⑶一个物体重100牛顿，物体对地面的压强p 随物体与地面的接触面积s 的 变化而变化. 2、已知：反比例函数x y 35-=， ⑴说出反比例系数k ； ⑵求当x=‐10时函数的值； ⑶求当y=-5时,自变量x 的值. 3、设面积为10cm 的三角形的一边长为a （cm ），这条边上的高为h （cm ）， ⑴求h 关于a 的函数解析式及自变量a 的取值范围； ⑵ h 关于a 的函数是不是反比例函数？如果是，请说出它的比例系数k ⑶求当边长a=25cm 时，这条边上的高.
一、知识点回顾 k 1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y= k（k≠0）．其解析式有三种表示方法： x k ①y= （k0）；②y=kx-1（k0）；③xy=k x k 2 ．反比例函数y= k（k≠0）的性质 x （1）当k>0 时函数图像的两个分支分别在第一，三象限内在每一象限内，y 随x 的增大而减小． （2）当k<0 时函数图像的两个分支分别在第二，四象限内在每一象限内，y 随x 的增大而增大． k （3）在反比例函数y=k中，其解析式变形为xy=k，故要求k 的值（也就是求其图像 x 上一点横坐标与纵坐标之积）. k （4）若双曲线y= k图像上一点（a，b）满足a，b是方程Z2－4Z－2=0的两根，求x 双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k，∴k=－2，故双曲线的解析式是-2 y= ． x （5）由于反比例函数中自变量x和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势． 二、新知讲解与例题训练 模型一： 如图，点 A 为反比例函数y = k图象上的任意一点，且AB垂直
S OAB |k| 2 于x轴，x 则有
m 例1：如图Rt ABC的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=m在第一象限的交点，且S AOB =3,（1）求m的值（2）求ABC的面积 变式题 1、如图所示，点A1, A2, A3在x 轴上，且O A1= A1A2 = A2A3,分别过A1, A2, A3作y 轴平 8 行线，与反比例函数y= 8（x>0）的图像交于点B1,B2,B3，分别过点B1,B2,B3作x轴的平 x 13 2、如图，点A在双曲线y = 1上，点B在双曲线y = 3上，且AB∥x轴，C、D在x轴 上，xx 若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 . 行线，分别与y 轴交于点C1,C2,
反比例函数常见模型 一、知识点回顾 1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=k x （k≠0）．其解析式有三种表示方法：①x k y = （0≠k ）；②1-=kx y （0≠k ）；③k xy = 2．反比例函数y=k x （k≠0）的性质 （1）当k>0时?函数图像的两个分支分别在第一，三象限内?在每一象限内，y 随 x 的增大而减小． （2）当k<0时?函数图像的两个分支分别在第二，四象限内?在每一象限内，y 随x 的增大而增大． （3）在反比例函数y= k x 中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积). （4）若双曲线y= k x 图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2 －4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=2 x -． （5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势． 二、新知讲解与例题训练 模型一： 如图，点A 为反比例函数x k y =图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴， 则有2||k S OAB = ?
例1：如图ABC Rt ?的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y= x m 在第一象限的交点，且3=?AOB S ,（1）求m 的值 （2）求ABC ?的面积 变式题 1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y= x 8 (x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________ 2、 如图，点A 在双曲线1y x = 上，点B 在双曲线3 y x =上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 . 模型二： 如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k x k y 任意不重合的两点，直线AB 交x 轴于M 点，交y 轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF 两点，则有：AB DF ||且BM ＝AN D F A B D F M N x y O
支付宝首页搜索“933314”领红包，每天都能领。付款前记得用红包反比例函数图象中的等角模型及其在中考题中的 应用 原先自己研究反比例函数图象，得到了以下三条结论，当时以为解决反比例函数图象难题，用好这三条就足够了。 三条结论分别是： 结论一：过反比例函数一支上两点分别向x轴和y轴作垂线段，则垂足连线与原两点连线平行。如图，即AB∥CD。 证明：根据平行线带来的等面积转换，S△ACD=S△ACO=∣k∣/2=S△BDO=S△BDC，即 A，B两点到直线CD的距离相等，且位于CD同侧，故AB∥CD。
结论二：三顶点分别在原点、x轴上，y轴上的矩形，若反比例函数图象经过其两边，则两边被分出的两条线段之比对应相等。 如图，即EA：AC=EB：BD
证明：连AB，CD，由结论一有AB∥CD，根据相似知识显然结论二成立。 结论三：过双曲线一支上两点作直线与坐标轴相交，则每点与其相邻坐标轴交点构成的线段长相等。如图，即AE=BF
证明：过A作y轴垂线段垂足为C，过B作x轴垂线段垂足为D。连接CD，由结论一有AB∥CD，则四边形ACDF与BDCE均为平行四边形，得到AC=DF，CE=DB，再通过全等得到△ACE≌△FDB，AE=BF。 至于设点坐标用代数证，一来略超纲，二来繁琐，最重要是没有美感，反正我没有这个习惯。 这三个结论还有一些小的变形，比如一支上的两点变两支上的两点，作垂线的顺序改变等，基本都是结论相同，证明类似，且这些不是今天要讲的重点内容而只是铺垫，因此不再赘述只是给出几张图。
今天要讲的内容：后来才发现，反比例函数图象还有一些模型和结论，不能由前三个结论直接解决，但可以以前三个结论为基础推出结果间接解决。有如下结论（个人称为等角模型）： 结论四：双曲线一支上任取两点A，B，在围着双曲线该支所在象限的坐标轴上再取两点C，D，使ABCD构成平行四边形。则有：∠DCO=∠BCx，∠CDO=∠ADy
反比例函数常见几何模 型94169 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
反比例函数常见模型 一、知识点回顾 1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=k x （k≠0）．其解析式有三种表示方法：①x k y = （0≠k ）；②1-=kx y （0≠k ）；③k xy = 2．反比例函数y=k x （k≠0）的性质 （1）当k>0时?函数图像的两个分支分别在第一，三象限内?在每一象限内，y 随x 的增大而减小． （2）当k<0时?函数图像的两个分支分别在第二，四象限内?在每一象限内，y 随x 的增大而增大． （3）在反比例函数y=k x 中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积). （4）若双曲线y=k x 图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y= 2x -． （5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势． 二、新知讲解与例题训练 模型一：
如图，点A 为反比例函数x k y =图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，则有 2||k S OAB = ? 例1：如图ABC Rt ?的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y= x m 在第一象限的交点，且3=?AOB S ,（1）求m 的值 （2）求ABC ?的面积 变式题 1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过 1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y= x 8 (x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为 __________
反比例函数的模型 1、一个圆柱的侧面展开图是一个面积为4平方单位的矩形，那么这个圆柱的母线长ι和底面半径r 之间的函数关系是（ ） A 、正比例函数 B 、反比例函数 C 、一次函数 D 、二次函数 2、向高层建筑屋顶的水箱注水，水对水箱底部的压强P 与水深h 的函数关系的图象是下图中的（水箱能容水的最大深度为H ）（ ） 3、如果矩形的面积为6cm 2 ，那么它的长y cm 与宽x cm 之间的函数关系用图象表示大致（ ） 4、受力面积S （米2）（S 为常数，0S ≠）的物体，所受的压强P （帕）与压力F （牛）的函数关系为F P S =，则这个函数的图象是（ ） 5、某变阻器两端的电压为220伏，则通过变阻器的电流()I A 与它的电阻()R Ω之间的函数关系的图象大致为（ ） x 7、已知圆柱的侧面积是100πcm 2，若圆柱底面半径为r （cm 2），高线长为h （cm ），则h 关于r 的函数的图象大致是（ ） 8、当路程s 一定时，速度v 与时间t 之间的函数关系是（ ） A 正比例函数 B 反比例函数 C 一次函数 D 二次函数 P （帕） F （牛） Ｏ P （帕） F （牛） Ｏ P （帕） F （牛） Ｏ P （帕） F （牛） Ｏ Ａ Ｂ C D Ｏ y Ｏ x y Ｏ x y Ｏ x y Ａ Ｂ Ｃ Ｄ o y x y x o y x o y x o
9、某气球内充满了一定质量的气球,当温度不变时,气球内气球的压力p(千 帕)是气球的体积V(米2)的反比例函数,其图象如图所示(千帕是一种压强单 位) （1）写出这个函数的解析式； （2）当气球的体积为0.8立方米时,气球内的气压是多少千帕？ （3）当气球内的气压大于144千帕时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体 积应不小于多少立方米？ 10、在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)与电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R=5欧姆时，电流I=2安培。 （1）求I与R之间的函数关系式 （2）当电流I=0.5安培时，求电阻R的值；
反比例函数中的模型（讲义）一、知识点睛 与反比例函数相关的几个结论，在解题时可以考虑调用． ①y y= C B k x y y= D k x C O A x A x O B 结论：S矩形2S | k | 结论：S OCD S ABCD △梯形 ABCO ABO △ y y ② A A B k O y= C x D D x B C x O 结论：AB=CD ③y y= k x y B A C D A P
D B O x E x O C 结论：B D∥CE 二、精讲精练 1. 如图，已知点A，B在双曲线y k x （x>0）的图象上，AC⊥x 轴于点C，BD⊥y 轴于点D，AC 与 BD相交于点P，且P是AC的中点．若△ABP的面积为3，则k=________． 2. 如图，A，B是双曲线y k x （k>0）上的点，且A，B两点的横坐标分别为a，2a，线段AB的延 长线交x 轴于点C．若S△AOC=6，则k=________．
y y A A B B O C x O C x 第 2 题图 第 3 题图 3. 如图，直线 4 y x 与双曲线 3 y k x （x>0）交于点 A ．将直线 4 y x 向右平移 3 9 2 个单位后，与双曲 线 y k x AO （x> 0）交于点 B ，与 x 轴交于点 C ，若 2 BC ，则 k=________． 4. 如图，平行四边形 AOBC 中，对角线交于点 E ，双曲线 形 AOBC 的面积为 18， y k x （k>0）经过 A ，E 两点．若平行四边 则k=________． y y y A E C A O B C D x B C A D O x x O B 第 4 题图 第 5 题图 5. 如图，已知函数 y x 1的图象与 x 轴、y 轴分别交于 C ，B 两点，与双曲线 点．若 AB+CD=B ，C 则 k 的值为________． y k x 交于 A ，D 两 6. 已知：如图，直线 3 y x 6与双曲线 4 y k x （x<0）相交于 A ，B 两点，与 x 轴、y 轴分别交于 D ， C 两点，若 AB=5，则 k=_________． 3 7. 如图，直线 y x b 3 AB AC 4， 与 y 轴交于点 A ，与双曲线 k y 在第一象限交于 B ，C 两点，且 x 则k=_______
第3课时建立反比例函数的模型解决实际问题 某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（） A. R I 2 = B. R I 3 = C. R I 6 = D. R I 6 - = 2.某空调厂的装配车间计划组装9000台空调,从组装空调开始,每天组装的台数m(单位:台/天)与生产的时间t(单位:天)之间的函数关系是。原计划用2个月时间(每月以30天计算)完成,由于气温提前升高,厂家决定这批空调提前十天上市,那么装配车间每天至少要组装台空调。 3.一场暴雨过后，一洼地存雨水20米3，如果将雨水全部排完需t分钟，排水量为a米3/分，且排水时间为5～10分钟 （1）试写出t与a的函数关系式，并指出a的取值范围； （2）请画出函数图象 （3）根据图象回答：当排水量为3米3/分时，排水的时间需要多长？ 4.某单位为响应政府发出的“全民健身”的号召，打算在长和宽分别为20米和11米的矩形大厅内修建一个60平方米的矩形健身房ABCD。该健身房的四面墙壁中有相邻两面沿用大厅的旧墙壁，已知装修旧墙壁的费用为20元/平方米，新建（含装修）墙壁的费用为80元/平方米，设该健身房的高为3米，一面旧墙壁
AB的长为x米,修建健身房墙壁的总投入为y元。 （1）求y与x的函数关系式 （2）为了合理利用大厅,要求自变量x必须满足8≤x≤12,当投入资金为800元时,问利用旧墙壁总长度为多少米? 5.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气体体积V（立方米）的反比例函数，其图像如图所示（千帕是一种压强单位）（1）写出这个函数的解析式； （2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？ （3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起 见，气球的体积应不小于多少立方米？ 6.某单位为响应政府发出的全民健身的号召，打算在长和宽分别为20米和11米的矩形大厅内修建一个60平方米的矩形健身房ABCD. 该健身房的四面墙壁中有两侧沿用大厅的旧墙壁（如图为平面示意图），已知装修旧墙壁的费用为20元/平方米，新建（含装修）墙壁的费用为80元/平方米. 设健身房的高为3米，一
9.1 反比例函数 【教学目标】 知识与能力：（1）理解反比例函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否是函数关系，进而识别反比例函数； （2）能根据已知条件确定反比例函数的表达式； 过程与方法：经历从实际问题中概括出反比例函数模型的过程，体会反比例函数来源于实际问题。 情感、态度与价值观：（1）经历反比例函数的形成过程，使学生体会到函数是描 述变量间对应关系的重要数学模型。 （2）通过学习反比例函数，培养学生合作交流和探索的能 力。 【教学重难点】 重点：根据已知条件确定反比例函数的表达式. 难点：理解反比例函数的意义. 【教学过程】 一、创设情境，引入新课 同学们，你们还记得在小学里学过的，两个变量满足什么条件时成反比例关系吗？你能写出下列例子中的等式吗？ 1.当路程s 一定时，时间t 与速度v的关系 2.当矩形面积S一定时，长a与宽b的关系 3.当三角形面积S 一定时，三角形的底边y 与高x的关系 学生通过回忆已学知识回答：如果两个量x和y满足xy=k（k为常数, k ≠0）那么x、y就成反比例关系. 现在我们来看生活中的例子。 活动一汽车从南京出发开往上海（全程约300km），全程所用的时间t（h）随着速度v（km/h）的变化而变化。 （1）你能用含v的代数式表示t吗?
（2）利用（1）的关系式完成下表： 随着速度的变化，全程所用时间发生怎样的变化？ （3）时间t是速度v的函数吗？ （4）时间t是速度v的一次函数吗？是正比例函数吗？ 引导学生回忆函数、一次函数、正比例函数有关的概念，引出新知：反比例函数. 二、引导学生探索反比例函数的概念和表达式 活动二用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系: 1.一个面积是64002 m的长方形的长a(m)随宽b(m)的变化而变化，则a与b的关系式为＿＿＿＿＿. 2.京沪线铁路全程为1463 km，某列车平均速度为v（km／h），全程运行时间为t（h），则v与t的关系式为＿＿＿＿＿ 3.已知三角形的面积是8,它的底边长y与底边上的高x之间的关系式为＿＿＿＿＿ 4.实数m与n的积是—200,m与n的关系式为＿＿＿＿＿ 【讨论、交流】 1. 函数关系式 6400 a b =、 1463 v t =、 16 y x =、 200 m n =-具有什么共同特征？ 2它们与正比例函数关系式有什么不同？ 3.你能仿照y=kx的形式表示一下上面函数的一般形式吗? 结论：反比例函数的定义: 一般的,形如 (k为常数,k ≠0)的函数称为反比例函数.其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数。 注：(1)有时反比例函数也写成y=1 kx-或k=xy的形式. (2)反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
万能解题模型(一)反比例函数中的面积问题 前言： “一学就会，一考就废？”，正是因为考试后缺少了这个环节 从小学到初中，学生们经历了无数次考试。通过考试可以检测同学们对知识的理解、掌握情况，提高应试能力。但对待考试，部分同学只关注自己的分数，而对试卷的分析和总结缺乏重视。结果常常出现一些题在考试中屡次出现，但却一错再错的情况。这样，学生们无法从考试中获益，考试也就失去了它的重要意义。做好试卷分析和总结是十分有必要的。那么，怎样做好试卷分析呢？我认 为，应从下面两点做起： 一．失分的原因主要有如下四方面： （1）考试心理：心理紧张，马虎大意； （2）知识结构：知识面窄，基础不扎实； （3）自身能力：审题不清，读不懂题意； （4）解题基本功：答题规范性差。只有查出、找准原因，才能对症下药，从弱项方面加强训练，以提高成绩。 二．“扭转乾坤”的方法做题的过程中对每一道题要试图问如下几个问题？ （1）怎样做出来的？——想解题方法； （2）为什么这样做？——思考解题原理； （3）怎样想到这种方法？——想解题的基本思路； （4）题目体现什么样的思想？——揭示本质，挖掘规律； （5）是否可将题目变化？——一题多变，拓宽思路； （6）题目是否有创新解法？——创新、求异思维。 转变，让我们从一轮复习开始。按照上面两点认真完成后面练习题。希望每一位同学经过一轮复习后，能够扭转“一考就废”的局面，最后决胜中考。
类型1 单支双曲线上一点一垂直形成的三角形的面积 S △AOP ＝12|k| S △ABC ＝12|k| S △ABC ＝1 2 |k| 1．(2019·枣庄)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A ，B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上， ∠ABC ＝90°，CA ⊥x 轴，点C 在函数y ＝k x (x ＞0)的图象上．若AB ＝1，则k 的值为(A) A ．1 B.22 C. 2 D ．2 类型2 单支双曲线上一点两垂直形成的矩形面积 S 四边形PMON ＝|k| S 四边形ACDE ＝S 四边形EFGB 2．如图，A ，B 两点在双曲线y ＝4 x 上，分别经过A ，B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，已知S 阴影＝1，则S 1＋S 2 ＝(D) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 类型3 双曲线上不在同一象限上两点一垂线形成的三角形的面积
6O 8x(min)y(mg) 建立反比例函数模型解实际问题 教学目标： 1、能利用反比例函数的相关的知识分析和解决一些简单的实际问题 2、能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式。 3、在解决实际问题的过程中，进一步体会和认识反比例函数是刻画现实世界中数量关系的一种数学模型。 教学重点、难点： 重点：能利用反比例函数的相关的知识分析和解决一些简单的实际问题 难点：根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式 教学过程： 一、情景创设： 为了预防“非典”,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒, 已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例.药物燃烧后,y 与x 成反比例(如图所示),现测得药物8min 燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6mg,请根据题中所提供的信息,解答下列问题: (1)药物燃烧时,y 关于x 的函数关系式为: ________, 自变量x 的取值范围是:_______,药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为_______. (2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6mg 时学生方可进教室,那 么从消毒开始,至少需要经过______分钟后,学生才能回到教室; (3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3mg 且持续时间不低于10min 时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么? 二、新授： 例1、小明将一篇24000字的社会调查报告录入电脑，打印成文。 （1）如果小明以每分种120字的速度录入，他需要多少时间才能完成录入任务？ （2）录入文字的速度v （字/min ）与完成录入的时间t(min)有怎样的函数关系？ （3）小明希望能在3h 内完成录入任务，那么他每分钟至少应录入多少个字？ 例2某自来水公司计划新建一个容积为43410m ?的长方形蓄水池。 （1）蓄水池的底部S ()3m 与其深度()h m 有怎样的函数关系？ （2）如果蓄水池的深度设计为5m ，那么蓄水池的底面积应为多少平方米？ （3）由于绿化以及辅助用地的需要，经过实地测量，蓄水池的长与宽最
反比例函数中的模型（作业） 1. 如图，已知在直角梯形 AOBC 中，AC ∥OB ，CB ⊥OB ，OB =18， BC =12，AC =9，对角线 OC ，AB 交于点 D ，点 E ，F ，G 分别是 CD ，BD ，BC 的中点．以 O 为原点，直线 OB 为 x 轴建立平面直角坐标系，则 G ，E ，D ，F 四个点中与点 A 在同一反比例函数图象上的是（ ） A ．点 G B ．点 E C ．点 D D ．点 F 第 1 题图 第 2 题图 2 . 如图，点 A ，B 在反比例函数 y = k （ k > 0 ， x > 0 ）的图象 x 上，过点 A ，B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 M ，N ，延长线段AB 交 x 轴于点 C ．若 OM =MN =NC ，△AOC 的面积为 6，则k 的值为 ． 3. 如图，梯形 ABCO 的底边 AO 在 x 轴上，BC ∥AO ，AB ⊥AO ， 过点 C 的双曲线 y = k 交 OB 于点 D ，且 OD :DB =1:2．若 x △OBC 的面积等于 3，则 k 的值为 ． 第 3 题图 第 4 题图 4. 如图，双曲线 y = k （ k > 0 ）经过矩形 OABC 的边 BC 的中 x 点 E ，交 AB 于点 D ．若梯形 ODBC 的面积为 3，则双曲线的解析式为（ ） A. y = 1 x B. y = 2 x C. y = 3 x D. y = 6 x
5 5 . 如图，直线y =kx - 2 （k > 0 ）与双曲线y = k 在第一象限 x 内的交点为R，与x 轴的交点为P，与y 轴的交点为Q．作RM⊥x 轴于点M，若△OPQ 与△PRM 的面积之比为4:1，则k= ． 第5题图第6题图 6.如图，A，B 是双曲线y = k （k > 0 ）上的两点，线段AB x 的延长线交x 轴于点 C ．若3AB=AC ，S △AOC =6 ，则k= ． 7.已知：如图，直线y = 1 x + 3 与双曲线y = k （x < 0 ）交于A， 2 x B 两点，与x 轴、y 轴分别交于D， C 两点，若AB= ，则 k= ． 第7题图第8题图 8.如图，正方形ABCD 的边AB 在x 轴的正半轴上，C(2，1)， D(1，1)．反比例函数y = k （x > 0 ）的图象与边BC 交于点 x E，与边CD 交于点F．若BE:CE=3:1，则DF:FC= ．9.已知：如图，双曲线y = k （x > 0 x 经过Rt△OAB 的斜边OB 的中点 D，与直角边AB 交于点C．若 △OBC 的面积为3，则k=
欢迎共阅 反比例函数中的模型（讲义） 一、知识点睛 与反比例函数相关的几个结论，在解题时可以考虑调用． 结论：2||ABO ABCO S S k ==△矩形 结论：OCD ABCD S S =△梯形 结论：AB =CD 结论：BD ∥CE 二、精讲精练 1. AC 与BD 2. AB 的延 3. 线y = 4. 形则k 5. 两点， 6. B 两点， 与x 7. 如图，直线b x y +- =33与y 轴交于点A ，与双曲线x k y =在第一象限交于B ，C 两点，且4AB AC ?=， 则k =_______ 8.2y 上的任意一点A 作x 轴的平行线，交过点A 作x 轴的垂线，交1y 于点D ，交x 轴于点E ，连接BD ，CE ，则BD CE 第10题图
欢迎共阅 9. 如图，双曲线2 y x = （x >0）经过四边形OABC 的顶点A ，C ，∠ABC =90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴．将△ABC 沿AC 翻折后得△AB ′C ，且点B ′恰好落在OA 上，则四边形OABC 的面积为__________． 10. 如图，双曲线k y x =经过Rt △OMN 斜边上的点A ，与直角边MN 相交于点B ，已知OA =2AN ，△OAB 的面积为5，则k 的值是__________． 11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数x k y =（k 为常数，且>0k ）在第一象限的图象交于点E ，F ．过点E 作EM ⊥y 轴于M ，过点F 作FN ⊥x 轴于N ，直线EM 与FN 交于点C ．若BE :BF =1:m （m 为大于1的常数）．记△CEF 的面积为S 1， △OEF 12. B ，C （2 代入得b ???解得将B 得k 2∴1k ?（2）过点过点则BG 又∵∴AG 设B (m ，2k m )，则C ( _____，_____ )， ∴AG =_______，GH =_______， ∴23k m -=______， ∴m =_____， ∴B ( ， )． 把B ( ， )代入y =k 1x +3， 得____________， ∴12k k ?=________．
1.1建立反比例函数模型 【学习目标】： 1.能说出反比例函数的概念并能写出实际问题中的成反比例关系的函数表达式. 2.会判断哪些函数是反比例函数，并能够运用反比例函数的定义求函数的表达式及函数值. 3.综合正比例函数和反比例函数的概念，加深对待定系数法的认识. 【体验学习】： 一、新知探究 阅读教材第2、3页的内容，自主探究，回答下列问题： 1.回忆一次函数和正比例函数的概念？画出它们的图象，并结合图象写出它们的性质？ 2.类比一次函数和正比例函数的定义写出反比例函数的定义，并写出它的意义？ 3.书上给出的反比例函数的表达形式是k y x =（k 为常数，0k ≠），请你通过变形写出反比例函数其他的表达形式. 二、基础演练 根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果： 1.当路程400=s m ，所花时间)(s t 与速度)/(s m v 的函数关系为_________. 2.学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为24平方米的矩形饲养场．设它的一边长为x （米），则另一边的长y （米）与x 的函数关系是__________________. 3.下列关系式中，表示y 是x 的反比例函数的有（ ） ①2 2y x = ；②2x y =；③12y x =+；④1y x =-；⑤12y x =+；⑥1 3 1--=x y . A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 4.关于x 、y 的函数4 1-=k x y 是反比例函数，则=k ___________. 5.在函数x k y = 中，当2=x 时，3-=y ，则此函数的表达式为 ，当6x =时，y =_______. 6.当m 为何值时，函数()2 1--=m x m y 是反比例函数，并求出其函数表达式．
反比例函数知识点梳理二 1. 定义：形如y ＝x k （k 为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值是不等于0的一切实数。 说明：1）y 的取值范围是一切非零的实数。 2）反比例函数的解析式也可以写成xy=k ；1-=kx y ；x k y 1=（k 为常数，k≠0） 2. 用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数y ＝x k 只有一个待定系数，因此只需要知道一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定其解析式。 3. 反比例函数的画法： 1）列表；2）描点；3）连线 注：（1）列表取值时，x ≠0，因为x ＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性， 可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反 数，这样也便于求y 值 （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点， 这样便于连线，使画出的图象更精确 （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线 （4）由于x ≠0，k ≠0，所以y ≠0，函数图象永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴 4. 图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心 对称图形。有两条对称轴：直线y=x 和 y= －x ；对称中心是：原点 5. 性质:： 反比例函数 y ＝ x k （k 为常数，k≠0） k 的取值 k ＜0 k ＞0 图像
性质 a) x 的取值范围是x ≠0；y 的取值范围是y ≠0; b) 函数的图像两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而增大。 a) x 的取值范围是x ≠0； y 的取值范围是y ≠0; b) 函数的图像两支分别 位于第一、第三象限， 在每个象限内y 值随x 值的增大而减小。 说明：1）反比例函数的增减性不连续，在讨论函数增减问题时，必须有“在每一个象限内”这一条件。 2）反比例函数图像的两个分只可以无限地接近x 轴、y 轴，但与x 轴、y 轴没有交点。 6. 反比例函数y ＝x k （k≠0）中的比例系数k 的几何意义 表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。 如图，过双曲线y ＝x k （k≠0）上的任意一点P （x , y ）做x 轴、y 轴的垂线PA 、PB ，所得矩形 OBPA 的面积S=PA ·PB =∣xy ∣=∣k ∣。 推出：过双曲线上的任意一点做坐标轴的垂线，连接原点，所得三角形的面积为2k 7. 经典例题考察： 1）反比例关系与反比例函数的区别和联系：如果xy=k （k≠0），那么x 与y 这两个量成反比例的关系，这里的x 、y 可以表示单独的一个字母，也可以代表多项式或单项式。 例如y －1与x+1成反比例，则11+= -x k y ；若y 与x 2 成反比例，则2x k y =成反比例关系，x 和y 不一定是反比例函数；但反比例函数x k y =（k≠0）必成反比例关系。
湘教版九年级上册数学导学案 1.1 建立反比例函数的模型 【学习目标】 1．使学生理解并掌握反比例函数的概念 2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式 3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想 重点难点 重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式 难点：理解反比例函数的概念 【预习导学】 阅读教材P2-3完成下列问题 1．当路程一定时，速度与时间成什么关系？当一个长方形面积一定时，长与宽成什么关系? 2．如果两个变量y与x的关系可表示成（k为常数，k0）的形式,那么称是 的反比例函数，自变量x不能为，常数称为反比例函数的比例系数. 3．若xy=2,则可写成y=,此时y是x的. 【探究展示】 (一)合作探究 1．如何解教材第2页“动脑筋”中的问题？ （1）当s=3000m时，速度v（m/s）和时间t(s)之间的关系式是 （2）利用（1）的关系式完成下表： （3）平均速度v是所用时间t的函数吗？为什么？ 2．归纳总结反比例函数的概念：
教师强调：（1） (二)展示提升 1．如图，已知菱形ABCD 的面积为180，设它的两条对角线AC,BD 的长分别为x,y.写出变量y 与x 之间的函数 表达式，并指出它是什么函数. 2．下列函数是不是反比例函数？若是，请写出它的比例系数. （1）y=3x -1 （2） （3）（4） 【知识梳理】 1.反比例函数的的定义是什么？怎样判断一个给定的函数是否为反比例函数？ 2.反比例函数的定义中，我们应该注意哪些问题？ 3.怎样根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式？ 【当堂检测】 1．写出下列问题中两个变量之间的函数关系式，并判断其是否为反比例函数. 如果是，指出比例系数k 的值. （1）底边为5cm 的三角形的面积y （cm 2）随底边上的高x （cm ）的变化而变化； （2）某村有耕地面积200ha ，人均占有耕地面积y （ha ）随人口数量x （人）的变化而变化； （3）一个物体重120N ，物体对地面的压强p （N/m 2）随该物体与地面的接触面积S （m 2）的变化而变化. 2．下列哪些关系式中的y 是x 的反比例函数？如果是，比例系数是多少？ （1）y ＝23x ； （2）y ＝23x ； （3）xy ＋ 2＝0；
初中数学11建立反比例函数模型 1.1 建立反比例函数的模型 【学习目标】 1．使学生理解并掌握反比例函数的概念 2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式 3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想 重点难点 重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式 难点：理解反比例函数的概念 【预习导学】 阅读教材P2-3完成下列问题 1．当路程一定时，速度与时间成什么关系？当一个长方形面积一定时，长与宽成什么关系? 2．如果两个变量y与x的关系可表示成（k为常数，k0）的形式,那么称是 的反比例函数，自变量x不能为，常数称为反比例函数的比例系数. 3．若xy=2,则可写成y=,此时y是x的. 【探究展示】 (一)合作探究 1．如何解教材第2页“动脑筋”中的问题？ （1）当s=3000m时，速度v（m/s）和时间t(s)之间的关系式是 （2）利用（1）的关系式完成下表：
（3）平均速度v是所用时间t的函数吗？为什么？ 2．归纳总结反比例函数的概念： 一般地，如果两个变量y与x的关系可以表示成的形式，那么称y是x的反比例函数，其中是自变量，自变量不能为，y是x的函数，是比例系数. 反比例函数y＝的变式有：，. 教师强调：（1） (二)展示提升 1．如图，已知菱形ABCD的面积为180，设它的两条对角线AC,BD的长分别为x,y. 写出变量y与x之间的函数表达式，并指出它是什么函数. 2．下列函数是不是反比例函数？若是，请写出它的比例系数. （1）y=3x-1 （2） （3）（4） 【知识梳理】 1.反比例函数的的定义是什么？怎样判断一个给定的函数是否为反比例函数？ 2.反比例函数的定义中，我们应该注意哪些问题？ 3.怎样根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式？ 【当堂检测】 1．写出下列问题中两个变量之间的函数关系式，并判断其是否为反比例函数. 如果是，指出比例系数k的值. （1）底边为5cm的三角形的面积y（cm2）随底边上的高x（cm）的变化而变化； （2）某村有耕地面积200ha，人均占有耕地面积y（ha）随人口数量x（人）的变化而变化； （3）一个物体重120N，物体对地面的压强p（N/m2）随该物体与地面的接触面积S（m2）的变化而变化. 2．下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？如果是，比例系数是多少？