外接球与内切球的定心方法
外接球与内切球的定心方法
【法一】长方体与球的中心对称性质（长方体的对称中心即为球心）-------长方体（或可补形为长方体的柱体、锥体）的体对角线就是其外接球直径。
【补形方法】分别以上、下底面直角三角形的两条直角边为临边构造上、下矩形底面。
【法二】球的集合定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半。
图（1）图（2）图（3）
于图（1），OA=OB=OC=OP 对=12PB; 对于图（2），OA=OB=OC=OP=12
PC; 对于图（3）, ,,,PA ABC PA AC PA BC AB BC PA
AB A ⊥?⊥⊥⊥=面又,,t t BC PAB BC PB R PBC R PAC ∴⊥⊥面从而在与中，OA=OB=OC=OP=12
PC. 根据球的集合定义可知，O 为三棱锥P-ABC 的外接球球心。
【法三】射影长定理（射影线段等长?斜线段等长）-------分别过几何体的两个相交平面多边形的外接圆圆心作各自平面的垂线，二垂线的交点即为外接球的球心，特别地，当一个平面（多边形）的外心恰好在另一个（下指第二个）与其相交的平面（多边形）的垂线（垂线过第二个平面多边形的外心）上时，则该外心即为几何体的外接球球心。
【法四】过几何体的某个面的外接圆圆心作该平面的垂线与和该平面相交的某条棱的中垂线的交点即为几何体的外接球球心。
［注］法四是法三的升级版，应用法四须使二垂线共面（否则，二垂线异面，没有交点）。
【法 五】构造以底面外接圆直径为一条直角边，底面的垂线为另一条直角边的直角三角形，则其斜边即为该几何体的外接球直径。
［注］法五是法二的升级版，应用了直径所对的圆周角是直角定理。
【证明】根据作法可得，L ’M ⊥ML,由PL ⊥面LMN,得PL ⊥L ’M,PL ⊥LL ’,又PL
ML=L,∴L ’M ⊥面PML,∴L ’M ⊥PM,于是，
''PLL PML 与均为直角三角形，连结OM 、OL,则OM=OL=OL ’=OP=12
PL ’=R,因此，点O 即为三棱锥P-LMN 的外接球球心。
【例1】已知三棱锥S-ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，AB=4，SA=SB=SC=4，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离为（ ）。
A.23
B.23
C.2
D.33 【例2】四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB=2，BC=CD=1，60BCD ∠=?,AB ⊥面BCD,则球O 的表面积为（ ）。
A.8π
B.82π
C.83π
D.163
π
【例1解析】SA=SB=SC ?顶点S 在底面ABC 内的射影是底面的外心。取Rt ABC 斜边AB 的中点D.连结SD 则SD ⊥面ABC.所以SD ⊥AB.所以SAB 的外心O 在SD 上，从而O 即为球心，R 球=OS=OB.由R 2=(3R )2+4解得R=33
。 【例2解析】法一：过底面正ABC 的外心（重心）G 作GH ⊥面BCD,过棱AB 的中点F 作FO BG 交GH 于点
O ，则O 为球心，FO 垂直平分棱AB.
2R 球=OB 2=OG 2+BG2=222122411sin 60=2333AB BE ??????+=+??? ? ? ???????，所以球O 的表面积S=42163
R ππ=. 法二：如图，作正
ABC 的外接圆直径BE,则AE 即为球直径。
2222164=3AE R AB BE ∴=+=球,解得2R 球=43。故球O 的表面积为163π。
【练习题】1.2的正方形ABCD 沿对角线AC 折成一个直二面角B-AC-D.则四面体ABCD 的内切球的半径为（ D ）。
A.1
B.223 21 D.23
2.已知三棱锥A-BCD 的所有顶点都在球O 的球面上，AB 为球O 的直径，若该三棱锥的体积
为3
，BC=4，,90CBD ∠=?，则球O 的表面积为（ ）。 A.11π B.20π C.23π D.35π
3.已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，AB=2，AC= 60ABC ∠=?，且棱锥O-ABC 的体
，则球O 的表面积为（ D ）。 A.10π B.24π C.36π D.48π
4.将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥D ’-ABC 的外接球的半径为则三棱锥D ’-ABC 的体积为（ B ）。
A. B.3 C. D.3
5.已知点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，，若四面体ABCD ，球心O 恰好在棱DA 上，则这个球的表面积为（ D ）。 A.254
π B.4π C.8π D.16π 6.已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为
43π的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（ C ）。
A. B. C. D.7.在三棱锥P-ABC 中，底面ABC 是等边三角形，侧面PAB 是直角三角形，且PA=PB=2，当三棱锥P-ABC 表面积最大时，该三棱锥外接球的表面积为（ A ）。
A.12π
B.8π
C.
D.323
π
8.已知边长为ABCD 中，60A ∠=?,现沿对角线BD 折起，使得二面角A-BD-C 为
120?,此时点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，则该球的表面积为（C ）
。 A.20π B.24π C.28π D.32π
9.已知底面为正方形的四棱锥O-ABCD,各侧棱长均为16，以O 为球心，2为半径作一个球，则这个球与四棱锥O-ABCD 相交部分的体积为（ C ）。 A.2
9π B.89π C.169π D.43
π 10.设A 、B 、C 是半径为2的球的球面上的三个不同的点，且OA ⊥BC,BC=3，120BAC ∠=?,则三棱锥O-ABC 的体积为（ A ）。
A.4
B.2
C.4
11.如图，直三棱柱ABC-A ’B ’C ’的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB=AC,侧面BCC ’B ’是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB ’A ’的面积为（ C ）。
A.2
B.1 D.2
12.已知球的直径SC=4，A,B 是该球球面是的两点，AB=2，45ASC BSC ∠=∠=?,则棱锥S-ABC 的体积为（ C ）。
A.3
B.3
C.3
D.3
13.已知圆柱的高为2这个球的表面积等于（ D ）。
A.4π
B.163
π C.323π D.16π 14.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，60DAB ∠=?,E 为AB 的中点，
将ADE BEC 与分别沿ED 、EC 折起，使得A,B 重合于点P ,则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（ B ）。
A.27
B.2
C.8
D.24
15.已知三棱锥P-ABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，ABC 是边长为4的等
边三角形，三棱锥P-ABC 的体积为
163
，则该三棱锥的外接球的表面积为（ D ）。 A.163π B.403π C.643π D.803π