第1讲 集合与逻辑

第一讲 集合与逻辑

一、填空题：

1.设{}0,1,2,3U =，{}20A x U x mx =∈+=，若{}1,2U A =e，则实数m =_______ .

2.对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段

必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4

个点集的图形如下（阴影区域及其边界）.

其中为凸集的是 （写出所有凸集相

应图形的序号）.

3.设集合{}2log 1A x x =<, 112x B x x -??

=

, 则

A B = . 4.设全集{U A B x ==∈ *N }lg 1x <，若

{}21

,0,1,2,3,4U A B m m n n ==+= e，则集合B = . 5.(){}

2

137A x x x =-<+，则集合A Z 中有 个元素.

6.若{U n n =是小于9的 正}整数，{A n U n =∈是}奇数，{B n U n =∈是3的}倍数，则

()U A B = e .

7.已知集合{}0,P m =，{}2250,Q x x x x Z =-<∈，若P Q ≠? ，则m 等于 .

8.集合{}2A x x =<的一个非空真子集是 .

9.非空集合G 关于运算⊕满足：①对于任意,a b G ∈，都有a b G ⊕∈；②存在e G ∈，使对一切a G ∈， 都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为融洽集，现有下列集合运算：

（1）G ={非负整数}，⊕为整数的加法，（2）G ={偶数}，⊕为整数的乘法，（3）G ={平面 向量}，⊕为平面向量的加法，（4）G ={二次三项式}，⊕为多项式的加法.其中关于运算⊕的 融洽集有 .

10.设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -?且1k A +?，那么k 是A 的一个“孤 立元”，给定{}1,2,3,4,5,6,7,8S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合

共有 个.

11.已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，s 是r 的必要条件，q 是r 的充分条件，q 是s 的必要 条件.现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④p ?是S ?的必要条件而不是充分条件；⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件. 则正确命题序号是 .

12.某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参 加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同 时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 人.

13.设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b P ∈，都有a b +、a b -、ab 、a

P b ∈（除

札记

数0b ≠），则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域.有下列命题：①数域必含有0，1两个数；②整数集是数域；③若有理数集Q M ?，则数集M 必为数域；④数域必为无限集.其中正

确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号都填上） 二、选择题： 1.已知全集U =R ，则正确表示集合{}1,0,1M =-和{}20N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是（

）

2.“2,4

x k k π=π+∈Z ”是 “tan 1x =”成立的（ ）

（ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分条件 D .既不充分也不必要条件 3.已知A ，B 均为集合{}1,3,5,7,9U =的子集，且{}3A B = ，{}9U B A = e，则A =（ ）

A .{}1,3

B .{}3,7,9

C .{}3,5,9

D .{}3,9

4.已知0a >，则0x 满足关于x 的方程ax b =的充要条件是（ ） A .x ?∈R ，22001122ax bx ax bx -≥- B .x ?∈R ，22

001122ax bx ax bx -≤-

C .x ?∈R ，22001122ax bx ax bx -≥-

D .x ?∈R ，22

001122ax bx ax bx -≤-

5.集合{1A x x a =-<，x ∈}R ，{15B x x =<<，x ∈}R .若A B =? ，则实数a 的取值范围

是（ ） A.{}06a a ≤≤ B.{2a a ≤或}4a ≥

C . {0a a ≤或}6a ≥ D.{}24a a ≤≤

6.设U =R ，{}

0A x x =>，{}

1B x x =>，则U A B = e ( )

A .{

}

01x x ≤< B .{}01x x <≤ C .{}0x x < D .{}

1x x >

7.命题“存在0x ∈R ，0

20x ≤”的否定是（ ）

A .不存在0x ∈R ，020x >

B . 存在0x ∈R ，0

20x ≥

C .对任意的0x ∈R ，020x ≤

D .对任意的0x ∈R ，0

20x >

8.设集合{1A x x a =-<，x ∈}R ，{

2B x x b =->，x ∈}R .若A B ?,则实数,a b 必满足（ ） A.3a b +≤ B.3a b +≥ C.3a b -≤ D .3a b -≥

札记

9.若集合12

1log 2A x x ???

?=≥??????，则R eA =（ ）

A .(]2,0,2??-∞+∞ ? ???

B .2,2??+∞ ? ???

C .(]2,0,2??-∞+∞?????

D .2,2??

+∞?????

10.“1

4

m <”是“一元二次方程20x x m ++=”有实数解的（ ）

A .充分非必要条件

B .充分必要条件

C .必要非充分条件

D .非充分必要条件

11.在集合{},,,a b c d 上定义两种运算⊕和 如下：

⊕

a b c d a a b c d

b b b b b

c c b c b

d d b b d

那么()d a c ⊕= （ ） A .a B .b C .c D .d

12.设非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2

x S ∈.给出如下三个命题：①若1m =，则 {}1S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则2

02

m -≤≤.其中正确命题的个数是（ ）

A.0

B.1

C.2

D.3

13.记实数12,,,n x x x 中的最大数为{}12max ,,,n x x x ，最小数为{}12min ,,,n x x x .已知ABC ?的 三 边边长为a 、b 、()c a b c ≤≤，定义它的倾斜度为max ,,min ,,a b c a b c t b c a b c a ???

?=?????????

，则“1t =” 是“ABC ?为等边三解形”的（ ）

A .充分布不必要的条件

B .必要而不充分的条件

C .充要条件

D .既不充分也不必要的条件

14.若命题“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，则（ ）

A .命题p 和命题q 都是假命题

B .命题p 和命题q 都是真命题

C .命题p 和命题非q 的真值不同

D .命题p 和命题q 的真值不同

15.设M ，P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为{M P x x M -=∈且}x P ?，则()M M P -- 等于（ ）

A .P

B .M P

C .M P

D .M

16.若A 、B 均是非空集合，则A B ≠? 是A B ?的（ ）

A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

C .充要条件

D .即不充分也不必要条件

17.命题“2230ax ax -+>恒成立”是假命题, 则实数a 的取值范围是( )

札记

A .

0a <或

a b c d a a a a a

b a b

c

d c a c c a

d a d a d

3a ≥ B .0a ≤或3a ≥ C .0a <或3a > D .03a << 18.原命题：“设a 、b 、c ∈R ，若a b >，则22ac bc >”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（ ）个.

A .0

B .1

C .2

D .4 三、解答题：

1.设集合{1284,,,M u u m n l m n l ==++∈}Z ，{201612,,,N v v p q r p q r ==++∈}Z . 求证：M N =.

2.已知函数()(2,,f x x ax b a b =++∈)R ，且集合(){}A x x f x ==，(){}

B x x f f x ==????.

（1）求证：A B ?；

（2）当{}1,3A =-时，用列举法表示B ； （3）若A 只含有一个元素，则A B =.

札记