格林公式、高斯公式、斯托克斯公式的应用

Green公式、Stokes公式、Gauss公式在专业学科中

的应用

摘要

格林（Green）公式，斯托克斯（Stokes）公式和高斯（Gauss）公式是多元函数积分学中的三个基本公式，它们分别建立了曲线积分与二重积分、曲面积分与三重积分、曲线积分和曲面积分的联系。它们建立了向量的散度与通量、旋度与环量之间的关系，除了在数学上应用于计算多元函数积分，在其他领域也有很多重要的应用。本文将主要从这三个公式与物理学之间的联系展开介绍它们的其他应用，其中包括应用于GPS面积测量仪，确定外部扰动重力场，应用于保守场以及推证阿基米德定律和高斯定理等，帮助人们加深对格林公式、斯托克斯公式和高斯公式的理解，从而能够更准确地应用此三个公式。

关键词：格林公式斯托克斯公式高斯公式散度旋度应用

一、引言

格林（Green ）公式，斯托克斯（Stokes ）公和高斯（Gauss ）公式是多元函

数积分学中的三个基本公式，它们分别建立了曲线积分与二重积分、曲面积分

与三重积分、曲线积分和曲面积分的联系。它们有很强的物理意义即建立了向

量的散度与通量、旋度与环量之间的关系，因此它们有许多重要的应用，在数

学上它们主要用来简化某些多元函数积分的运算，而在其他各个专业领域它们

也有很多重要的应用。接下来将一一介绍它们在不同专业中的应用。

二、格林（Green ）公式的应用

（一）格林公式的定义

Green 公式反映了第二型平面线积分与二重积分的联系。

1、单连通区域的概念设D 为平面区域，如果D 内任一闭曲线所围的部分区域都属于D ，则D 称为平面

单连通区域；否则称为复连通区域.

通俗地讲，单连通区域是不含"洞"(包括"点洞")与"裂缝"的区域.

2、区域的边界曲线的正向规定

设L 是平面区域D 的边界曲线，规定L 的正向为：当观察者沿的这个方向行走

时，平面区域(也就是上面的D)内位于他附近的那一部分总在他的左边.

简言之：区域的边界曲线的正向应符合条件：人沿曲线走，区域在左边，人走

的方向就是曲线的正向。

3、陈述设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数()()y x Q y x P ,,及在D 上具有一阶连续

偏导数，则有

(1) ???+=???? ????-??L D Qdy Pdx y Q x P

其中L 是D 的取正向的边界曲线.公式⑴叫做格林(green ）公式.格林公式沟通

了二重积分与对坐标的曲线积分之间的联系，因此其应用十分地广泛[1].

(二)格林公式的物理原型

在工科的“高等数学”教材中,格林公式这部分都是先给出定理,然后加以

证明、应用。讲这部分内容时,总有学生询问同一问题,即人们怎样想到这个公

式,怎样想到曲线积分与重积分会有这样的数值上的联系?能否将格林公式的来

源即物理原型加入教材呢?在教学中,试着加入这部分内容，并对公式作了简单

的符号记法,简化了公式,降底了出错率,并对应用总结了几个类型。多年的实践

证明,效果是很好的,下面就将加入的内容介绍如下[2]:

1、物理原型

在流体物理学中,称满足下述三个条件的“流速场”为“平面稳定流动”。

（1）场中每一点的速度都不随时间改变,只是位t 的函数即

j y x Q i y x P V ρρρ),(),(+=

（2）所论流体介于两个互相平行的平面之间(为方便,不妨设平面间距离为l 个

单位)其中之一称为底面(往往底面即为xoy 坐标面)。

（3）垂宜于底面的直线上的各点流速相等, 并平行于底面。

在这种“ 平面稳定流动” 中,我们来计算单位时间内流过曲线C 的流体体积即

流t 密度( 其实是流过以C 为准线、高为l 的柱体的流体体积; 简单用面积表

示) 其中C 是平面上一个闭的、无重点, 光滑曲线。无重点, 是指曲线

)(),(t Y t X ψ?==,当))(),(())(),((221121t t t t t t ψ?ψ?与时，点≠总是相异的。

2、计算方法

（1）在C 上任取一小段弧线△S,在△t 时间内流过△S 的流体面积,近似于一个

平行四边形的面积,它的一个边长是△S 另一个相邻边长是流程t V ??ρ 因此面积为[]

t n V s n V t V s ?????=?????)()cos(ρρρρρ 其中n ρ是C 的单位法向量

单位时间内流体面积为：()

s n V ???ρρ 由曲线积分定义有总的流体面()βαμcos ,cos ;0

=?=?n C l ds n V l

ρρρ的全长，设为则()ds Q P l

?+=0cos cos βαμ 设l 为点(x,y)处的切线，与x 轴夹角τβταcos cos ,sin cos -==

()??-=-=∴Qdx Pdy ds Q P l

0cos sin ττμ （2）μ的计算可以从另一个角度来计算,那就是先算出流过场内每一个微dxdy

在单位时间内散发出去的流体的面积，然后求其总和。

设上述曲线C 所围平面区城为G,在G 内任取一个微元dxdy

显然在单位时间内从左边流进(x 轴方向)这个微元的流体面积近似于Pdy ,而从

右边流出的面积近似于(),'dy xdx P P =（xdx P '为偏增量的近似)。因此这个微元

在单位时间内沿x 方向(净)散发出去流体面积近似于

()xdxdy P Pdy dy xdx P P ''=-=。同理沿y 方向（净）散出去的流体面积近似于

ydxdy Q '，所以总的和为()dxdy y Q x P ''+ 由重积分的定义得：dxdy y Q x P c ?????

? ????+??=μ 有（1）、（2）可得：dxdy y Q x P Qdx Pdy c ??????? ?

???+??=- 这是场论中最根本的公式，即格林公式的原型。

（三）格林公式与GPS 面积测量仪

格林公式作为多元微积分中联系平面曲线积分与二重积分的一个重要公式，

不仅给出了一个有效计算平面曲线积分的方法，而且给出了一种已知边界曲线

方程的平面区域面积的计算方法．在这部分的教学内容中，传统应用主要局限

于纯几何与物理问题的解决，很少应用于生活实际问题的讨论．本文在基于微

元法的基础上，讨论了GPS 面积测量仪测量平面区域面积的数学原理，并在教

学实践中，将其以引入性问题和课程探索性实验的形式作为曲线积分教学内容

的扩充，实现了抽象的数学理论与方法和生活实际的有效结合[3]．

1.应用曲线积分计算平面区域面积

设D 为xOy 平面上的闭区域，其边界?D 由光滑或分段光滑闭曲线组成，函

数P(x ，y)和Q （x ，y ）在D 上有连续的一阶偏导数，则有

(,)(,)()L D Q P P x y dx Q x y dy dxdy x y ??+=-??????

(1) 其中D 的方向为关于区域D 的正方向．曲线正方向的确定使用“左手法则”，

即当一个人沿着该方向行走的时候，区域位于左手一侧．式(1)对于平面单连通

区域或多连通区域都成立．

当式(1)中的二重积分被积函数为常数时，可以使用左端关于坐标的曲线积

分计算封闭曲线围成的平面区域的面积．即若

Q P A x y

??-=?? 则有 1(,)(,)D L S P x y dx Q x y dy A =+??

（2）因此，只要构造合适的P(x, y)和Q(x ，y)，就可以通过封闭曲线?D 上的第二类

曲线积分计算其围成的平面区域D 的面积．则

12D L L L S ydx xdy ydx xdy =

-+=-=???蜒? （3）

2.GPS 面积测量仪的数学原理

利用格林公式或二重积分方法计算平面区域的面积时，一般需要知道其边

界曲线方程，而在实际生活中，这样的边界曲线方程是很难知道的，因此无法

直接使用它们来完成对面积的精确计算．GPS 面积测量仪则给出了比较好的平面

区域面积的近似计算方法．只要手持测量仪绕行测量区域一周．仪器就可以通

过自动记录行进路线的坐标，计算所围绕区域的近似面积．

设由边界曲线3D 围成的区域和使用GPS 测量仪记录的平面坐标为

(,)(1,2...,)i i i P x y i n =

图1 目标区域与记录点位置

由式(2)可知，在闭曲线方程已知的情况下，对其围成的封闭区域面积的计

算可以转换为曲线积分计算．假设闭曲线方程未知，则根据积分的存在性，借

助于微元法思想，封闭曲线可以近似为由有向线段的并，其中其中11n P P +=，

即12231...n D PP P P P P ?=???u u u u r u u u u r u u u u r (4)

从而有

[]1111(,)()(,)()n

D i i i i i i i i i S P x y x x Q x y y y A ++=≈-+-∑

（5）其中11n x x +=，11n y y +=.

3.实验结果

下面以参数方程

x=4sint-sin4t （6）

y=4cost-cos4t

确定的封闭曲线为例，在Mathematica 中进行数学实验验证。

由于该封闭曲线方程已知，所以由公式(3)，利用第二类曲线积分的直接计

算方法，可得所围封闭区域面积为20π≈62．832．取参数增量分别为

,,,,,6122448480

t πππππ

?=-----依次在曲线上取点，计算得到的结果分别为53．196，60．086，62．122，62．653，62．830．若取P(x, y)=-y ，Q(x, y)=0,

或者P(x, y)=0,Q(x, y)=x 虽然在近似计算形式上看似有所差别，但是在

Mathematica 中以默认精度进行计算时，每个结果可以保持在小数点后13位一

直相同，并且随着分割的细化，结果逼近直接计算得到的精确结果。

4.进一步讨论

使用边界点坐标方法计算区域的面积还有借助于微元法思想和辛普森公式

容易验证的公式．对任一个平面凸区域D(即过该区域能做一组与区域边界曲线

交点不多于两个的平行直线的区域)，设正好夹住平面区域的两平行直线的距离

为b ．在两平行直线之间做n-2(偶数)条距离为b/n ，平行于这两条直线的一组

直线，各条直线夹在闭曲线?D 围成的区域D 范围内的线段长度记作 (i=1,2，

?，n-1)。

图2 平面凸区域面积近似方法

通过坐标系旋转或者存在有一组平行于Y轴的直线，b即为区域在z轴上投影区间的长度，这样实际上也就是由微元法构造定积分模型的形式．该方法思想简单，在实际计算中相对来说约束较多。除了以上借助于曲线上点坐标近似计算平面区域面积之外，另外也可以通过已知点列坐标，利用插值、拟合的方法获取近似边界分段曲线方程，然后利用二重积分或者第二类曲线积分计算面积．同时，这种近似计算的思想也适用于求曲线的弧长，比如椭圆周长的近似计算与一些不可积函数的积分计算。

（四）应用格林积分直接以地面边值确定外部扰动重力场

1.扰动重力位的地面边值问题

确定地球外部重力场和大地水准面是大地测量学的主要任务之一。确定地球外部重力场和大地水准面的斯托克斯理论需要将地面观测的重力异常归算至大地水准面，再采用调和函数球面边值的解式(如Stokes 公式)求得大地水准面及其外部的扰动重力位。归算将涉及对大地水准面。至地面的质量迁移,对大地水准面产生间接影响，而且由于归算对质量进行了调整，改变了外部扰动重力场,因此归算到大地水准面上的重力异常用以确定外部扰动重力位会导致结果的歪曲。直接以地面重力异常为边值的Molodensky问题从理论上避免了归算的困难,成为近代外部重力场研究的理论基石。然而，由于地球表面的复杂性，给这一问题的求解带来极大难度[4]。

Molodensky 基于基本积分方程的小参数解法得到地面扰动位的级数解式。.提出将地面重力异常解析地延拓到一点的水准面上,再采用球面的Stokes 积分得到地面扰动位,其结果同样是级数的形式。也研究得到类似的级数解.。则提出将地面重力异常调和地延拓到一个内部球面上,再由球面边值问题解逼近外部扰动位,其调和延拓需要求解Poisson积分方程。尽管这些理论解的途径有所不同，但在一定前提下它们是等价的。虽然经过线性化和地球椭球作球近似后的所谓简单Molodensky 问题的研究已得到几近完美的理论结果，但它们的实现仍具有相当大的困难。由于受到数据和高阶项计算稳定性的限制，目前在实际上通常只能考虑到一阶项。对于确定地球外部扰动重力场问题，上述解在应用上受到一定的限制。像Molodenky 解通常应用于地面，Moritz 的解析延拓解和Bjeharmmar 解虽然可以拓展到外部空中，但边值的延拓仍是一个较复杂的过程。本文侧重于应用的需要，讨论直接由地面边值确定外部扰动位的方法。

2.地面边值问题的格林公式表示

确定地球外部扰动重力位T 归结为下面的边值问题。

0T ?= 在地面∑的外部

|BT f =∑ 在地面∑上式中222

222x y z

????=++???为Laplace 算子，B 代表某一泛函算子，f 为已知泛函. 由位理论知，T 作为调和函数可以由格林第三恒等式表示为

11[()]4p T T T d l n n l π??=-∑??∑??。式中，l 是计算点p 至地面Σ上面元d Σ的空

间距离。n 是相对于调和空间的边界面外法线方向。取局部北东天坐标系,求法线方向导数得T T x T y T z n x n y n z n

???????=++??????? 根据位理论(

,,)(,,)x y z T T T x y z δδδ???=???为扰动重力矢量(,,)(cos ,cos ,cos )x y z n n n αβγ???=???为法线的方向余弦。,因此可知n T n

δ?=?即为扰动重力在法线方向的分量，如图所示

图3 内法线方向示意图

对于所谓的简单Molodensky 问题,即将地球椭球近似为球面时,上述各元

素的几何关系见下图。由距离公式2222cos p p l r r r r ψ=+-式中l 为P 点与d Σ 单

元处的距离；p r 为P 点的

球心距离；r 为d Σ单元处的球心距离;ψ为P 点到d Σ单元处的极距求导可知,

211cos(,)l n n l l ?=-?，因此可得2

11cos(,)[]4p T l n T T d l n l π

∑?=-∑???。

图4 球近似下各元素的几何关系

应用格林公式可以在实际地球表面上计算外部扰动位.其条件是需要同时具

有地面上的扰动位和扰动重力矢量的观测值.这在实际应用中是有困难的.一方

面,所需的边值条件很难满足.另一方面地球表面非常复杂,这就使得在地表起

伏较大地区该式中的法线方向变化剧烈,其计算相当困难.尽管如此,格林公式

提供了不需作任何边值的归算或延拓而以地球自然表面上的边值条件确定外部

扰动重力场的唯一可能的解析形式。

三、Stokes 公式的应用

（一）Stokes 公式简介

Green 公式给出了平面上沿闭曲线(C)的第二型线积分与(C)所围成平面区域

上二重积分之间的关系。现在把它推广到空间，考察沿空间闭曲线(C)的第二型

线积分与(C)上所张曲面的面积分之间的关系。

设区域))((,,,)()1(3G C R Q P R G ∈?,(C)为(G)内一条分段光滑的有向简单闭

合曲线，(S)是以(C)为边界且完全位于(G)内的任一分片光滑的有向曲面，(C)

的方向与(S)的法向量符合右手螺旋法则，则

?????-??+??-??+??-??=++)()()()(dx S C dxdy y

P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R Rdz Qdy P ）（

称为Stokes 公式。

设A=(P,Q,R)，根据nabla 算子?的定义，Stokes 公式可写成向量形式：

????????=???=?)()()

()()(C S S dS n e A dS A ds A 如果A 为一平面场(P,Q)，(C)为一平面闭曲线，(C)所围成区域为)(σ,这时，

Stokes 公式1就蜕化为Green 公式，可见，Stokes 公式是Green 公式的推广[1]。

（二）环量与环量密度

类似于平面向量场沿平面闭曲线)(c 的环量，空间向量场沿空间闭曲线)(c 的

线积分

z)dz y,x,R z)dy y,x,Q )dx z y,P(x,((),,()

()(++=???C C z y x ds A 称为A(x,y,z)沿闭曲线)(c 的环量，它同样表示了A 绕)(c 旋转趋势的大小。

以n 为法向量，过点M 作任一微小曲面)(S ?，它的边界曲线记为)(C ?。并

选取)(C ?的正向使与n 复合右手螺旋法则。当)(S ?很小时，A 沿)(C ?的环量?Γ

与小曲面)(S ?的面积之比，

???=)

(c ds A ΔS 1ΔS ΔΓ 近似的反映出A 点在M 点附近绕方向n 的旋转趋势大小。让小曲面（）在

保持n 为其法向量的前提下任意缩向点M ，若上述比值的极限存在，则称此极限

值为A 在M 点沿n 方向的环量密度，记作dS

d Γ，即 ??→→??=??Γ=Γ)

(1c S S dS d ds A lim lim M (Δs)M (Δs) （三）环量的应用

1.开尔文定理

流体动力学中的一个著名的定理。内容是：在无粘性、正压流体中（见正

压流体），若外力有势，则沿由相同流体质点组成的封闭曲线的速度环量在随体

运动过程中恒不变。

在流体力学中，沿封闭曲线的速度环量定义为线积分：

??=ΓL

dr v 式中Γ 为速度环量；v 为速度矢量；dr 为封闭曲线L 的线段元矢量。速度

环量和涡通量（见涡旋）通过下列斯托克斯公式联系起来：

??=?s

L QdS dr v 式中S 是张在封闭曲线L 上的曲面；Ω和dS 分别为涡旋矢量和面积元矢量。

2.开尔文定理的推论

由开尔文定理可推出反映涡旋保持性的涡旋不生不灭定理：假设流体是无

粘性和正压的，且外力有势，若初始时刻在某部分流体内无旋，则在此时刻以

前或以后的任一时刻中，这部分流体皆无旋。反之，若初始时刻该部分流体有

旋，则在以前或以后的任一时刻，这一部分流体皆有旋。因为若初始时刻某区

域内的流体运动无旋，则根据斯托克斯公式（2）,该区域内沿任一封闭曲线的

速度环量为零。设过一时刻此区域内的流体运动到一新区域，从开尔文定理易

见，在新区域内沿任一可能的封闭曲线的速度环量也为零。换言之，线积分与

积分路径无关,它只是时间t 以及变动点B 的坐标r 和固定点A 的坐标r0的标

量函数，可记为

故Φ?=v ，即存在速度势Φ(r ，t)。由0)(=Φ???=??v ，推出整个流动

是无旋的。

),(),(dr v 0A t r t r B

?Φ-Φ=? 对于在重力场作用下的无粘性不可压缩均质流体，考察均匀来流定常绕流

和从静止起动的流体运动。显然，两种情形都满足流体无粘性、正压和外力有

势三个条件。流场中任一流体质点都来自无穷远处或初始的静止流体。因无穷

远处均匀来流和静止流体都是无旋的，根据涡旋的不生不灭可以看出，整个流

场都是无旋的。由此得到开尔文定理的一个重要推论：对于在工程实际中大量

遇到的无粘性不可压缩均质流体在重力作用下的均匀来流定常绕流问题和静止

起动问题，整个流体运动时时处处都是无旋的。由于无旋运动有些特殊性质，

处理这类流动可作许多数学上的简化（见拉普拉斯无旋运动）。

3.升力

升力，也就是向上的力大于向下的力，其合力可以使物体上升。这个力

就是升力。升力的成因较复杂，因为要考虑实际流体的粘性、可压缩性等诸多

条件。目前大多用的是库塔儒可夫斯基定理，它是工程师计算飞机升力最精确

的方法。具体内容就是由绕翼环流导致升力，产生了上下压力差，这个压力差

就是升力 (Y)，升力和向后的诱导阻力（d ）合成为空气动力（R ）。流过各个剖

面升力总合就是机翼的升力。升力维持飞机在空中飞行。

（1）升力的来源

升力来源于机翼上下表面气流的速度差导致的气压差。但机翼上下表面速

度差的成因解释较为复杂，通常科普用的等时间论和流体连续性理论均不能完

整解释速度差的成因。航空界常用二维机翼理论，主要依靠库塔条件、绕翼环

量、库塔-茹可夫斯基定理和伯努利定理来解释。

（2）库塔条件

在真实且可产生升力的机翼中，气流总是在后缘处交汇，否则在机翼后缘

将会产生一个气流速度很大的点。这一条件被称为库塔条件，只有满足该条件，

机翼才可能产生升力。

（3）库塔如茹可夫斯基方程式

由满足库塔条件所产生的绕翼环量导致了机翼上表面气流向后加速，由伯

努利定理可推导出压力差并计算出升力，这一环量最终产生的升力大小亦可由

库塔-茹可夫斯基方程计算（适用于不可压缩流体）：

物体单位长度上所受到的升力：

环量值）流速（气体密度（升力）??Γ=v L ρ

其中环量是流体的速度沿着一条闭曲线的路径积分。如果v 是流体的速度，

ds 是沿着闭曲线C 的单位向量，那么：

??=ΓC ds

环量的量纲是长度的平方除以时间。这一方程同样可以计算马格努斯效应的气动力。不过以上理论仅适用于亚音速（更准确地说是Ma 小于0.3），在超声

速飞行时由于空气是可压缩的，伯努利定理不成立，此时无环流运动，升力主

要靠机翼上下表面的激波所导致的压力差。当飞机以一定迎角在超声速流中飞

行时上表面前端处与来流成一个凸面，形成膨胀波，气流流过膨胀波时压力下

降，而下表面与来流形成一个凹面，导致激波，气流流过激波时压力增加。因

此上表面压强小，下表面压强大，产生升力。

（四）旋度

若在场A(M)中一点M 处存在这样一个向量，其方向为使A 在点M 环量密度

最大的方向，其模等于环量密度的最大值，则称此向量为场A(M)在点M 的旋度，

记做rotA.则

γβαcos )(cos )(cos )(d y

P x Q x R z P z Q y R dS ??-??+??-??+??-??=Γ 为旋度的计算公式。

利用旋度，还可将Stokes 公式写成下列形式

????=?）（）（S C A dS rot ds A

（五）旋度的应用

1.平面矢量场的旋度

旋度最早是通过研究水流的涡旋建立起来的概念[5]。河水流动时，由于水有

内摩擦力，因而靠两岸速度较小，河中间速度较大。故漂在水面上的救生圈一

边顺流而下，一边还会旋转，这说明水中有涡旋，如下图所示。

图5 速度分布和涡旋特征

2.环流量是区域S ?内有无漩涡的量度

在平面流速场),(y x V →中作有向封闭曲线L ，则流速场V 沿L 的环流(图3）

?????→→→→→→→→→→?+?+?+?=?a d

d c c b b a L l V l V l V l V l V d d d d d 002+-+=??d c b a dl dl V

cd V ab V ?-?=12

0≠

在均匀流速场),(y x V →中，由于21v v =，所以→

V 沿L 的环流 0=??→

→L l d V 环流不等于零，在区域S ?内无涡旋。由特殊到一般，对于任一平面矢量场)

,(y x A →

如果 0≠??→

→L l d A 说明在区域S ?内有涡旋;如果

0=??→

→L l d A 说明在区域S ?内无涡旋。因此环流是平面矢量场A 在区域S ?内有无涡旋的量

度。

3.旋度是矢量场某点漩涡强度的量度

环流的大小与封闭曲线L 所包围的面积△s 有关，所以不能用环流的大小来

量度涡旋的强弱。而用环流与面积△S 之比，即平均涡旋强度?→→??L l d V S

1来量度△S 区域内的涡旋强度。当0→?S ，且收缩到P 点时，用极限?→→→???L

S l d V S 1lim 0来量度p 点处的涡旋强度。此极限称为平面流速场V 在p 点的旋度，用→

??V 表示，

即

?→→→?→??=??L S l d V S V 1lim 0 可见，旋度是环流对面积的变化率。

特殊到一般，任一平面矢量场直在p 点的旋度

?→→→?→

??=??L S l d A S A 1lim 0 在直角坐标系中，平面矢量场),(y x A →

在),(y x P 点的旋度

→??-??=??k y

A x A y A x y

)(,x ）（ 4.空间矢量场的旋度

例1 水池中的水漏掉时，会形成涡旋，如下图所示。

图6 水池中的涡旋

以p 点为回心，作两个圆周L1和L2，两圆周面积相等，均为S ?,它们的法

线→1n ,→2n 的方向与L1和L2的绕向符合右手螺旋法则。显然??→→→→??21L L l d V l d V ＞

除以S ?，得

??→→→→????2111L L l d V S l d V S ＞

可见，同一点p 绕→1n 方向的平均涡旋强度大于绕→2n 方向的平均涡旋强度。为了

量度场中任意一点的涡旋强度，必须把S ?取得很小，同时为了能比较不同点的

涡旋强度，应使L 的空间取向能得瓢最大的环流。在图6中，流速场→V 沿Ll 的

环流最大。现在，可以得到任一空间矢量场→A 旋度的定义:矢量场→A 在p 点的旋

度→??A 是一个矢量，其大小为当面积S ?趋于零时单位面积上→

A 的最大环流，其

方向为当面积S ?的取向使得环流为最大时该面积S ?的法线方向(法线方向的

单位矢量→n ，的方向与不的绕向符合右手螺旋法则)，即

)(1lim 0?→→→→???=??L S l d A n S

A 在直角坐标系中，矢量场）（z y,x,→A 在）（z y,x,→

P 点的旋度 z y x A A A z y x

k j i

z y A ??????=??→→→→）（,,x

→→→??-??+??-??+??-??=k y A A i x A A i z A A x z y )x ()z ()y (y x z 例2绕定轴Z 转动的刚体的角速度为→

ω。如图.求刚体上任一点P 的线速度→V 的旋度.

图7 绕定轴Z 转动的刚体

解:点p 的位置用位置矢量→r 来确定角速度→→→→→→=++=k

z j y i x ωωr

由力学知，点P 的线速度