人教版初二数学下册《18.2.1 第2课时 矩形的判定》教案

第2课时 矩形的判定

1．掌握矩形的判定方法；(重点)

2．能够运用矩形的性质和判定解决实际问题．(难点)

一、情境导入

我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形．这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是矩形．除此之外，我们能否找到其他的判定矩形的方法呢？

矩形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：

1．两条对角线相等且互相平分；

2．四个内角都是直角．

这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？

二、合作探究

探究点一：有一个角是直角的平行四边形是矩形

如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的高，AE 是△BAC 的外角平分线，DE ∥AB 交AE 于点E .求证：四边形ADCE 是矩形．

解析：首先利用外角性质得出∠B ＝∠ACB ＝∠F AE ＝∠EAC ，进而得到AE ∥BC ，即可得出四边形AEDB 是平行四边形，再利用平行四边形的性质得出四边形ADCE 是平行四边形，再根据AD 是高即可得出四边形ADCE 是矩形．

证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB .∵AE 是△BAC 的外角平分线，∴∠F AE ＝∠EAC .∵∠B ＋∠ACB ＝∠F AE ＋∠EAC ，∴∠B ＝∠ACB ＝∠F AE ＝∠EAC ，∴AE ∥BC .又∵DE ∥AB ，∴四边形AEDB 是平行四边形，∴AE 平行且等于BD .又∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝DC ，∴AE 平行且等于DC ，故四边形ADCE 是平行四边形．又∵∠ADC ＝90°，∴平行四边形ADCE 是矩形．

方法总结：平行四边形的判定与性质以及矩形的判定常综合运用，解题时利用平行四边形的判定得出四边形是平行四边形再证明其中一角为直角即可．

探究点二：对角线相等的平行四边形是矩形

如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，延长OA 到N ，ON ＝OB ，再延长OC 至M ，使CM ＝AN .求证：四边形NDMB 为矩形．

解析：首先由平行四边形ABCD 可得OA ＝OC ，OB ＝OD .若ON ＝OB ，那么ON ＝OD .而CM ＝AN ，即ON ＝OM .由此可证得四边形NDMB 的对角线相等且互相平分，即可得证．

证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AO ＝OC ，OD ＝OB .∵AN ＝CM ，ON ＝OB ，∴ON ＝OM ＝OD ＝OB ，∴MN ＝BD ，∴四边形NDMB 为矩形．

方法总结：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．

探究点三：有三个角是直角的四边形是矩形

如图，?ABCD 各内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H .求证：四边形EFGH 是矩形．

解析：利用“有三个内角是直角的四边形是矩形”证明四边形EFGH 是矩形．

证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DAB ＋∠ABC ＝180°.∵AH ，

BH 分别平分∠DAB 与∠ABC ，∴∠HAB ＝12∠DAB ，∠HBA ＝12

∠ABC ，∴∠HAB ＋∠HBA ＝12(∠DAB ＋∠ABC )＝12

×180°＝90°，∴∠H ＝90°.同理∠HEF ＝∠F ＝90°，∴四边形EFGH 是矩形．

方法总结：题设中隐含多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．

探究点四：矩形的性质和判定的综合运用

【类型一】 矩形的性质和判定的运用

如图，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 上的点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH .

(1)求证：四边形EFGH 是矩形；

(2)若E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，且DG ⊥AC ，OF ＝2cm ，求矩形ABCD 的面积．

解析：(1)证明四边形EFGH 对角线相等且互相平分；(2)根据题设求出矩形的边长CD 和BC ，然后根据矩形面积公式求得．

(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD .∵AE ＝BF ＝CG ＝DH ，∴AO －AE ＝OB －BF ＝CO －CG ＝DO －DH ，即OE ＝OF ＝OG ＝OH ，∴四边形EFGH 是矩形；

(2)解：∵G 是OC 的中点，∴GO ＝GC .∵DG ⊥AC ，∴∠DGO ＝∠DGC ＝90°.又∵DG ＝DG ，∴△DGC ≌△DGO ，∴CD ＝OD .∵F 是BO 中点，OF ＝2cm ，∴BO ＝4cm.∵四边形ABCD 是矩形，∴DO ＝BO ＝4cm ，∴DC ＝4cm ，DB ＝8cm ，∴CB ＝DB 2－DC 2＝43cm ，∴S 矩形ABCD ＝4×43＝163(cm 2)．

方法总结：若题设条件与这个四边形的对角线有关，要证明一个四边形是矩形，通常证这个四边形的对角线相等且互相平分．

【类型二】 矩形的性质和判定与动点问题

如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝24cm ，BC ＝26cm ，动点P 从点A 出发沿AD 方向向点D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿着CB 方向向点B 以3cm/s 的速度运动．点P 、Q 分别从点A 和点C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．

(1)经过多长时间，四边形PQCD 是平行四边形？

(2)经过多长时间，四边形PQBA 是矩形？

解析：(1)设经过t s 时，四边形PQCD 是平行四边形，根据DP ＝CQ ，代入后求出即可；

(2)设经过t ′s 时，四边形PQBA 是矩形，根据AP ＝BQ ，代入后求出即可．

解：(1)设经过t s ，四边形PQCD 为平行四边形，即PD ＝CQ ，所以24－t ＝3t ，解得t ＝6；

(2)设经过t ′s ，四边形PQBA 为矩形，即AP ＝

BQ ，所以t ′＝26－3t ′，解得t ′＝132

. 方法总结：①证明一个四边形是平行四边形，若题设条件与这个四边形的边有关，通常证这个四边形的一组对边平行且相等；②题设中出现一个直角时，常采用“有一角是直角的平行四边形是矩形”来判定矩形．

三、板书设计

1．矩形的判定

有一角是直角的平行四边形是矩形；

对角线相等的平行四边形是矩形；

有三个角是直角的四边形是矩形．

2．矩形的性质和判定的综合运用

在本节课的教学中，不仅要让学生掌握矩形判定的几种方法，更要注重学生在学习的过程中是否真正掌握了探究问题的基本思路和方法．教师在例题练习的教学中，若能适当地引导学生多做一些变式练习，类比、迁移地思考、做题，就能进一步拓展学生的思维，提高课堂教学的效率．