第七章参数估计(概率论)
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概率论与数理统计 第七章习题附答案
习题7-1 1. 选择题 (1) 设总体X 的均值μ与方差σ2都存在但未知, 而12,,,n X X X 为来自X 的样本, 则均值μ与方差σ2的矩估计量分别是( ) . (A) X 和S 2 . (B) X 和21 1()n i i X n μ=-∑ . (C) μ和σ2 . (D) X 和 21 1 ()n i i X X n =-∑. 解 选(D). (2) 设[0,]X U θ , 其中θ>0为未知参数, 又12,,,n X X X 为来自总体X 的样本, 则θ的矩估计量是( ) . (A) X . (B) 2X . (C) 1max{}i i n X ≤≤. (D) 1min{}i i n X ≤≤. 解 选(B). 3. 设总体X 的概率密度为 (1),01, (;)0, x x f x θθθ+<<=???其它. 其中θ>-1是未知参数, X 1,X 2,…,X n 是来自X 的容量为n 的简单随机样本, 求: (1) θ的矩估计量； (2) θ的极大似然估计量. 解 总体 X 的数学期望为 1 10 1 ()()d (1)d 2 E X xf x x x x θθθθ+∞ +-∞ +==+= +? ?. 令()E X X =, 即12 X θθ+=+, 得参数θ的矩估计量为 21?1X X θ-=-. 设x 1, x 2,…, x n 是相应于样本X 1, X 2,… , X n 的一组观测值, 则似然函数为 1(1),01,0, n n i i i x x L θθ=?? ?+<0且 ∑=++=n i i x n L 1 ln )1ln(ln θθ, 令 1 d ln ln d 1 n i i L n x θ θ== ++∑=0, 得
概率论与数理统计浙大四版习题答案第七章
第七章 参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σ μ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）???>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==-Λ为未知参数。 解：（1）X θc θθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θn n n i i x x x c θ x f θL Λ 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL
概率论与数理统计教程第七章答案
. 第七章 假设检验 设总体2(,)N ξμσ~，其中参数μ，2σ为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设： （1）0:0,1H μσ==； （2）0:0,1H μσ=>； （3）0:3,1H μσ<=； （4）0:03H μ<<； （5）0:0H μ=. 解：（1）是简单假设，其余位复合假设 设1225,,,ξξξL 取自正态总体(,9)N μ，其中参数μ未知，x 是子样均值，如对检验问题0010:,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥L ，试决定常数c ，使检验的显着性水平为 解：因为(,9)N ξμ~，故9 (,)25 N ξμ~ 在0H 成立的条件下， 000 53(||)(||)53 521()0.05 3c P c P c ξμξμ-≥=-≥? ?=-Φ=??? ? 55( )0.975,1.9633 c c Φ==，所以c =。 设子样1225,,,ξξξL 取自正态总体2 (,)N μσ，20σ已知，对假设检验0010:,:H H μμμμ=>，取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>L ， （1）求此检验犯第一类错误概率为α时，犯第二类错误的概率β，并讨论它们之间的关系； （2）设0μ=，20σ=，α=，n=9，求μ=时不犯第二类错误的概率。 解：（1）在0H 成立的条件下，2 00(, )n N σξμ~，此时 00000()P c P ξαξ=≥=
10 αμ-= ，由此式解出010c αμμ-= + 在1H 成立的条件下，2 0(, )n N σξμ~，此时 1010 10 ()(P c P αξβξμ-=<==Φ=Φ=Φ- 由此可知，当α增加时，1αμ-减小，从而β减小；反之当α减少时，则β增加。 （2）不犯第二类错误的概率为 10 0.9511(0.650.51(3) 0.2 1(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ-=-Φ- =-Φ-=Φ= 设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为()f x 的母体，对()f x 考虑统计假设： 0011101 201 :():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤??==? ??? 其他其他 试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足2min αβ+=，并求其最小值。 解 设检验函数为 1()0x c x φ∈?=?? 其他（c 为检验的拒绝域）
概率统计第七章参数估计参考答案
概 班级 姓名 学号 任课教师 第七章 参数估计 教学要求： 一、理解点估计的概念，了解矩估计法和极大似然估计法； 二、了解无偏性、有效性、一致性等估计量的评判标准； 三、理解区间估计的概念，会求单个正态总体均值与方差的置信区间，会求两个正态总体均值差与方差比的置信区间． 重点：极大似然估计法、矩估计法． 难点：置信区间的定义及求法． 习题一 点估计 1.随机抽取8只活塞环，测得它们的直径（单位：mm ）为： 74.001， 74.005， 74.003， 74.001， 74.000， 73.998， 74.006， 74.002 试求总体均值μ与总体方差2σ的矩估计值，并求样本方差2 s ． 解：总体的一、二阶原点矩分别为： ()μ=X E ， () ()()[]222 2μσ+=+=X E X D X E ； 样本的一、二阶中心矩分别为： X X n A n i i ==∑=111， ∑==n i i X n A 1 2 21； 由矩估计法有 ()X A X E ===∧ ∧ 1μ, ()22 2 2 A X E =+=∧∧ ∧ μσ , 即 X =∧ μ， () ∑∑==∧∧ -=-=-=n i i n i i X X n X X n A 12 2122 22 11μσ 由题中所给数据得 001.74=∧ μ， 52 10388.1-∧?=σ
2.设总体X 的密度函数为，()??? ??≤>=-;0, 0,0,1x x e x f x θθ 其中θ0>是未知参数，求θ的矩 估计． 解：因为 ()θθ θ=== - ∞ +∞ +∞ -? ? dx e x dx x xf X E x 1 )( 则 X =∧ θ. 3.设总体X 服从泊松分布，其分布律为λλ-==e x x X P x ! }{， ,2,1=x ．试求未知参 数λ)0(>λ的矩估计． 解：因为 λλλλλλλ λ λ λ =-=-=? =? =∑∑ ∑∑∞ =---∞ =-∞ =∞ =-1 1 11 )!1()! 1(! ! )(x x x x x x x x x e e x e x x x e x X E ， 故 X =∧ λ. 4.设总体X 的密度函数为：σ σ x e x f -=21)( ，)(+∞<<-∞x 求参数σ)0(>σ的最大似然估计． 解：似然函数为 ()σ σσσ σ∑=∏==---=n i i i x n x n i e e L 1 221)(1， σ σσ∑=- -=n i i x n L 1 )2ln()(ln ， 对σ求导得似然方程 01 )(ln 1 2 =+-=∑=n i i x n d L d σ σσσ 求得σ的最大似然估计为 ∑=∧ =n i i ML x n 1 1σ. 5.已知某种白炽灯泡的使用寿命服从正态分布，其分布参数均未知．在某个星期所生产的这种灯泡中随机抽取10只，测得其寿命（单位：小时）为： 1067， 919， 1196， 785， 1126， 936， 918， 1156， 920， 948. 试用最大似然估计法估计这个星期中生产的灯泡能使用1300小时以上的概率．
第七章参数估计练习题
第七章参数估计练习题 一．选择题 1. 估计量的含义是指（） A. 用来估计总体参数的统计量的名称 B. 用来估计总体参数的统计量的具体数值 C. 总体参数的名称 D ?总体参数的具体取值 2．一个95%的置信区间是指（） A. 总体参数有95%的概率落在这一区间内 B. 总体参数有5%的概率未落在这一区间内 C. 在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间包含该总体参数。 D. 在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间不包含该总体参数。 3.95%的置信水平是指（） A. 总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率是95% B ?在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为95% C.总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率是5% D ?在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为5% 4. 根据一个具体的样本求出的总体均值的95%的置信区间（） A .以95%的概率包含总体均值 B .有5%的可能性包含总体均值 C.一定包含总体均值 D ?要么包含总体均值，要么不包含总体均值 5. 当样本量一定时，置信区间的宽度（） A .随着置信水平的增大而减小 B. .随着置信水平的增大而增大 C.与置信水平的大小无关D。与置信水平的平方成反比 6. 当置信水平一定时，置信区间的宽度（） A?随着样本量的增大而减小 B..随着样本量的增大而增大 C.与样本量的大小无关D。与样本量的平方根成正比 7. 在参数估计中，要求通过样本的统计量来估计总体参数，评价统计量的标准之一是使它与 总体参数的离差越小越好。这种评价标准称为（） A .无偏性 B.有效性C. 一致性D.充分性 8. 置信水平（1-a）表达了置信区间的（） A .准确性 B.精确性C.显著性D.可靠性 9. 在总体均值和总体比例的区间估计中，边际误差由（） A .置信水平决定 B.统计量的抽样标准差确定 C. 置信水平和统计量的抽样标准差 D. 统计量的抽样方差确定 10. 当正态总体的方差未知，且为小样本条件下，估计总体均值使用的分布是（） A.正态分布 B. t分布 C. x 2分布 D. F分布
概率论与数理统计参数估计
第六章 参数估计 在实际问题中, 当所研究的总体分布类型已知, 但分布中含有一个或多个未知参数时, 如何根据样本来估计未知参数，这就是参数估计问题. 参数估计问题分为点估计问题与区间估计问题两类. 所谓点估计就是用某一个函数值作为总体未知参数的估计值；区间估计就是对于未知参数给出一个范围，并且在一定的可靠度下使这个范围包含未知参数. 例如, 灯泡的寿命X 是一个总体, 根据实际经验知道, X 服从),(2σμN , 但对每一批灯泡而言, 参数2,σμ是未知的,要写出具体的分布函数, 就必须确定出参数. 此类问题就属于参数估计问题. 参数估计问题的一般提法: 设有一个统计总体, 总体的分布函数为),(θx F , 其中θ为未知参数(θ可以是向量). 现从该总体中随机地抽样, 得一样本 n X X X ,,,21 , 再依据该样本对参数θ作出估计, 或估计参数θ的某已知函数).(θg 第一节 点估计问题概述 内容分布图示 ★ 引言 ★ 点估计的概念 ★ 例1 ★ 评价估计量的标准 ★ 无偏性 ★ 例2 ★ 例3 ★ 有效性 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 相合性 ★ 例7 ★ 例8 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-1 ★ 返回 内容要点： 一、点估计的概念 设n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本, n x x x ,,,21 是相应的一个样本值. θ是总体分布中的未知参数, 为估计未知参数θ, 需构造一个适当的统计量 ),,,,(?2 1 n X X X θ 然后用其观察值 ),,,(?21n x x x θ 来估计θ的值. 称),,,(?21n X X X θ为θ的估计量. 称),,,(?21n x x x θ为θ的估计值. 在不致混淆的情况下, 估计量与估计值统称为点估计,简称为估计, 并简记为θ?. 注: 估计量),,,(?21n X X X θ是一个随机变量, 是样本的函数，即是一个统计量, 对不同的样本值, θ的估计值θ?一般是不同的. 二、评价估计量的标准 从例1可见,参数点估计的概念相当宽松, 对同一参数,可用不同的方法来估计, 因而得到不同的估计量, 故有必要建立一些评价估计量好坏的标准. 估计量的评价一般有三条标准:
概率论与数理统计浙大四版习题答案第七章
第七章参数估计 1.［ 一］ 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以 求总体均值卩及方差b 2的矩估计，并求样本方差 S 2。 n 2 6 (X i x) 6 10 i 1 S 2 6.86 10 6。 ln L(e ) nln(e ) n e inc (1 e ) In d 寫⑹ (1) f (x) e c e x (e 1},x c 0,其它 其中c >0为已知， e >1, e 为未知参数。 (2) f(x) 、e x e 1,0 x 1 0,其它. 其中e >0, e 为未知参数。 (5) P(X x) m p x (1 p)m x ,x 0,1,2, ,m,0 p 1, p 为未知参数。 解： （ 1) E(X) xf(x)dx c e c e x e dx e c e c e 1 e 1 e c 令 e c X e 1, 令 e 1 X X c (2) E(X) xf (x)dx e x e dx - 丄匚,令- '-e X ,We ( X )2 2.［二］设X , X ,…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律 中的未知参数的矩估计量。 得e 1 e (5) -e 1 解：（1）似然函数 n L (e ) f (人)e n c n e (x 1 x 2 i 1 X n ) mm 计) 解：U,b 2的矩估计是 X 74.002 E （X ） = mp 令 mp = X ,解得?莖 m 3.［三］求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计 量。 ln x i 0
（解唯一故为极大似然估计 量） In X i nln c i 1 ⑵ L(B ) n n _ f (X i ) e 2(X 1X 2 X n ) 0 1 ,ln L(B ) n 2~ n ln( 0) (0 1) In X i i 1 dI nL(0) n d 0 2 1 0 1 n In X i 0, i 1 ? （n In x i ）2 0 （解唯一）故为极大似然 估 2.一 0 计量。 n m m n X i n mn 召 (5) L(p) P{X X i } p i1 (1 p) i1 , i - 1 X 1 X n n n n In L(p) In m X i x i In p (mn X i )l n(1 p), i 1 i 1 i 1 i 1 n mn x i i 1 0 1 p n X i d In L(p) i 1_ dp p n Xi - 解得 p q — —,（解唯一）故为极大似然估计量。 mn m 4.［四（2）］设X , X,…，X.是来自参数为入的泊松分布总体的一个样本，试求入 的极大似然估计量及矩估计量。 解：（1）矩估计 X ~ n 入）,E （ X ）=入，故*= X 为矩估计量。 （2）极大似然估计L （入） n P(X i ；入) 1 n X i *1 X 1 !X 2! X e n *, In L(入) i X i In In X i ! d In L(入) d 入 n X i i 1 入 0 ,解得* X 为极大似然估计 量。
第七章 参数估计
第七章 参数估计 §7.1 参数的点估计 §7.2 估计量的评选标准 一、 填空题 1．矩估计法是通过 参数 与 总体矩 的联系，解出参数，并用 样本矩 代替 总体矩 而得到参数估计的一种方法； 2．极大似然估计法是在 总体分布形式 已知情况下的一种点估计方法； 3．设n X X X 2,1是正态总体),(2σμN 的一个样本，则μ的极大似然估计为 =μ? ∑=n i i X n 11 ；总体方差的矩估计为=σ2 ? ∑=-n i i X X n 1 2)(1 ； 4.设()12?,,,n X X X θ 为未知参数θ的估计量，若() ?E θθ=，则称?θ为θ的无偏估计量； 5．设n X X X 2,1为总体X 的一个样本，则总体均值)(X E 的无偏估计为 ∑==n i i X n X 11 ；总体方差)(X D 的无偏估计为 ∑=--=n i i X X n S 1 22 )(11 ； 6.设总体X 服从二项分布(),,B N p N 已知，()12,,,n X X X 是来自X 的样本，则p 的极大似然估计量为 X N ； 解 {}() 1i i i N x x x i N P x x C p p -==-， ()()11 1111n n i i i i i i i i n n x N x nN x x x x N N i i L C p p C p p ==--==∑??∑=-=- ??? ∏∏， ()111ln ln ln ln 1i n n n x N i i i i i L C x p nN x p ===?????? =++-- ? ? ??? ????∑∑∏， 令11ln 11 0,1n n i i i i d L x nN x dp p p ==????=--= ? ?-????∑∑得到1n i i x X p nN N ===∑。 7.在天平上重复称量一重为a 的物品，假设各次称量结果相互独立且服从正态分布 ()2,0.2N a ，若以n X 表示n 次称量结果的算术平均值，则为使{} 0.10.95n P X a -<≥，n 的最小值应不小于自然数16。 解 ()()2 2 0.2,n n E X a D X n n σ===，所以20.2,n X N a n ?? ???
概率论与数理统计练习题第七章答案
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第七章 参数估计（一） 一、选择题： 1矩估计必然是 [ C ] （A ）无偏估计 （B ）总体矩的函数 （C ）样本矩的函数 （D ）极大似然估计 2．设12,X X 是正态总体(,1)N μ的容量为2的样本，μ为未知参数，μ的无偏估计是 [ D ] （A ） 122433X X + （B ）121244X X + （C ）123144X X - （D ）122355 X X + 3．设某钢珠直径X 服从正态总体(,1)N μ（单位：mm ），其中μ为未知参数，从刚生产的一大堆钢珠抽出9个，求的样本均值31.06X =，样本方差2 2 90.98S =，则μ的极大似然估计值为 [ A ] （A ）31.06 （B ）(- , 31.06 + 0.98) （C ）0.98 （D ）9×31.06 二、填空题： 1．如果1?θ与2?θ都是总体未知参数θ的估计量，称1?θ比2?θ有效，则1?θ与2 ?θ的期望与方差一定满 足 1212????,E E D D θθθθ=< 2．设样本1230.5,0.5,0.2x x x ===来自总体1 ~(,)X f x x θθθ-=，用最大似然法估计参 数θ时，似然函数为()L θ= 31(0.05)θθ- 3．假设总体X 服从正态分布2 12 (,),,,(1)n N X X X n μσ>为X 的样本， 1 2 211 ()n i i i C X X σ-+==-∑是2σ的一个无偏估计，则C = 12(1) n - 三、计算题： 1．设总体X 具有分布律，其中(01)θθ<<为未知参数， 已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，试求θ 2．设12,,,n X X X 是来自于总体10~()0x X f x θθ ?≤≤? =???其它 (0)θ>的样本, 试求：（1）θ的一个无偏估计1θ；（2）θ的极大似然估计2.θ 456()2(1)22.5')1(0.6 L L θθθθθθθθ=?-=-==解：该样本的似然函数.为 令得三 、 ??()2,()2()22 2 2(1)E X X X E E X θθθ θθ==?===?= 、
第七章 参数估计-含答案
第七章参数估计 一、单项选择题 1.区间X 2.58x S的含义是（）。 A. 99%的总体均数在此范围内 B. 样本均数的99%可信区间 C. 99%的样本均数在此范围内 D. 总体均数的99%可信区间 答案：D 2.以下关于参数估计的说法正确的是（）。 A. 区间估计优于点估计 B. 样本含量越大，参数估计准确的可能性越大 C. 样本含量越大，参数估计越精确 D. 对于一个参数只能有一个估计值 答案：B 3.假定抽样单位数为400，抽样平均数为300和30，相应的变异系数为50%和20%，试以0.9545的概率来确定估计精度为（）。 A.15和0.6 B.5%和2% C.95%和98% D.2.5%和1 答案：C 4.根据10%抽样调查资料，甲企业工人生产定额完成百分比方差为25，乙企业为49。乙企业工人数四倍于甲企业，工人总体生产定额平均完成率的区间（）。 A. 甲企业较大 B. 乙企业较大 C. 两企业一样 D. 无法预期两者的差别 答案：A 5.对某轻工企业抽样调查的资料，优质品比重40%，抽样误差为4%，用多大的概率才能确信全及总体的这个指标不小于32%（）。 A.0.6827 B.0.9545 C.0.9973 D.2.00 答案：B 6.根据抽样调查的资料，某城市人均日摄入热量2500千卡，抽样平均误差150千卡，该市人均摄入热量在2350千卡至2650千卡之间的置信度为（）。 A.0.9545 B. 0.6827 C.1 D. 0.90 答案：B 7.对进口的一批服装取25件作抽样检验,发现有一件不合格。概率为0.9545时计算服装不合格率的抽样误差为7.3%。要使抽样误差减少一半,必须抽（）件服装做检验。 A.50 B.100 C.625 D.25 答案：B 8.根据以往调查的资料，某城市职工平均每户拥有国库券和国债的方差为1600，为使极限抽样误差在概率保证程度为0.9545时不超过4元，应抽取（）户来进行调查。 A.I600 B.400 C.10 D.200 答案：B
概率论与数理统计 第7章参数估计习题及答案
第7章 参数估计 ----点估计 一、填空题 1、设总体X 服从二项分布),(p N B ，10<
α是未知参数， n X X X ,,21为一个样本，试求参数α的矩估计和极大似然估计. 解：因? ?++=+= 10 1 1α1α1αdx x dx x x X E a )()()(2 α1 α2α1α102++= ++= +|a x 令2α 1α ++==??)(X X E X X --=∴112α ?为α的矩估计 因似然函数1212 (,, ;)(1)()n n n L x x x x x x ααα=+ ∑=++=∴n i i X n L 1α1αln )ln(ln ，由∑==++=??n i i X n L 1 01ααln ln 得， α的极大似量估计量为)ln (?∑=+-=n i i X n 1 1α 2、设总体X 服从指数分布 ,0 ()0,x e x f x λλ-?>=?? 其他 ，n X X X ,,21是来自X 的样本，（1）
第七章、参数估计
第七章、参数估计 一、选择题： 1．若12,,,n X X X 是取自总体X 的样本，且DX = 2 σ，又X 与2 S 分别是样本均值与样本方差，则必有 （ ） A ．2 S 是2 σ的矩法估计量 B ．2 S 是2σ的最大似然估计量 C ．2()()E S E X = D ．22()E S σ= 2．若总体X 在（0，θ）上服从均匀分布，θ>0，12,,,n X X X 是取自总体X 的样本，则θ的矩法估计量为 （ ） A ．X B ．2X C ．S D ．2S 3．若总体X 的分布律为 {},0,1,2 ! x e P X x x x λ λ-== = 而1，2，5，7，8是X 的样本观测值，则λ的最大似然估计值为 （ ） A ．4 B ．5 C ．23/5 D ．3 4．若总体2 ~(,)X N μσ ，已知σ2 =σ20 ，则未知参数μ的置信区间为 （ ） A. 22 001 122122()(),n n i i i i x x x x ααμμ==- ?? --? ? ??? ???? ? ∑∑ B. 22 2 2122(1)(1),n s n s x x α α -? ? --???????? C. 2 2,x x αασσ? ?- + ??? ? D. 22,s s x x αα??- +??? ? 5．若总体2 ~(,)X N μσ ，未知σ2，则未知参数μ的置信区间为 （ ） A. 22001 122122()() ,n n i i i i x x x x ααμμ==- ?? --?? ??? ???? ? ∑∑ B. 22 2 2122(1)(1),n s n s x x α α -? ? --????????
第七章参数估计讲解
第七章 参数估计 参数估计是数理统计研究的主要问题之一. 假设总体X ~N （μ，σ2），μ，σ2是未知参数，X 1，X 2，…，X n 是来自X 的样本，样本值是x 1，x 2，…，x n ，我们要由样本值来确定μ和σ2的估计值，这就是参数估计问题，参数估计分为点估计（Point estimation ）和区间估计(Interval estimation). 第一节 点估计 所谓点估计是指把总体的未知参数估计为某个确定的值或在某个确定的点上，故点估计又称为定值估计. 定义7.1 设总体X 的分布函数为F （x ，θ），θ是未知参数，X 1，X 2，…，X n 是X 的一样本，样本值为x 1，x 2，…，x n ，构造一个统计量（X 1，X 2，…，X n ），用它的观察值 （x 1，x 2，…，x n ）作为θ的估计值，这种问题称为点估计问题.习惯上称随机变量（X 1，X 2，…，X n ）为θ的估计量,称（x 1，x 2，…，x n ）为的估计值. 构造估计量（X 1，X 2，…，X n ）的方法很多，下面仅介绍矩法和极大似然估计法. 1.矩法 矩法（Moment method of estimation ）是一种古老的估计方法.它是由英国统计学家皮尔逊（K .Pearson ）于1894年首创的.它虽然古老，但目前仍常用. 矩法估计的一般原则是：用样本矩作为总体矩的估计，若不够良好，再作适当调整. 矩法的一般作法：设总体X ~F （X ；θ1,θ2，…，θl ）其中θ1,θ2,…,θl 均未知. （1） 如果总体X 的k 阶矩μk =E (X k ) (1≤k ≤l)均存在，则 μk =μk (θ1,θ2,…,θl )，（1≤k ≤l ）. (2) 令?? ?????. ),,,(,),,,(, ),,,(212 2121211l l l l l A A A θθθμθθθμθθθμ 其中A k （1≤k ≤l ）为样本k 阶矩. 求出方程组的解,?,,?,?21l θθθ 我们称),,,(??21n k k X X X θθ=为参数θk (1≤k ≤l )的矩估计量, ),,,(??21n k k x x x θθ=为参数θk 的矩估计值. 例7.1 设总体X 的密度函数为： f （x ）=???-><<+., 0), 1(,10,)1(其他αααx x 其中α未知，样本为（X 1，X 2，…，X n ），求参数α的矩法估计. 解 A 1=X .由μ1=A 1及
浙大版概率论与数理统计答案---第七章
第七章 参数估计 注意： 这是第一稿（存在一些错误） 1、解 由θ θθμθ 2 ),()(0 1===? d x xf X E ，204103)(2 221θθθ=-==X D v ，可得θ的矩估计量为X 2^ =θ，这时θθ==)(2)(^X E E ，n n X D D 5204)2()(2 2 ^ θθθ= ? ==。 3、解 由)1(2)1(2)1(2)(21θθθθμ-=-+-==X E ，得θ的矩估计量为： 3 2 62121^ =-=- =X θ。 建立关于θ的似然函数：482232)1(4)1())1(2()()(θθθθθθθ-=--=L 令014 8))1ln(4ln 8()(ln =--=?-+?=??θ θθθθθθL ， 得到θ的极大似然估计值：32^=θ 4、解：矩估计： ()1012122μθλθλθλ=?+?+?--=--， ()()()()2 2 2 2222121νθλθθλλθλθλ=--++-++--, 11A =, 23 4 B = , 故()()()( ) 22 2 ??221,3??????????222121.4 θ λθλθθλλθλθλ?--=??--++-++--=?? 解得1?,43?.8λθ?=??? ?=?? 为所求矩估计。 极大似然估计： (){}()3 3214526837,0,2,11L P X X X X X X X X θλθλθλ==========--， ()()(),ln ,3ln 2ln 3ln 1l L θλθλθλθλ==++--，
()(),33 0,1,230.1l l θλθθθλθλλλθλ??=-=???--???=-=??--?解得3?,81?.4 θλ?=????=??即为所求。 5、解 由33)1(3)1(3)(222+-=-+-+=p p p p p p X E ，所以得到p 的矩估计量为 ^ p = = 建立关于p 的似然函数：32 10)1()2 )1(3()()2)1(( )(22n n n n p p p p p p p L ---= 令0)(ln =??p p L ，求得到θ的极大似然估计值：n n n n p 222 10^++= 6、解：(1)()1 1 12 EX x x dx θθθθ+= += +? ， 由?1?2X θθ +=+得21?1X X θ-=-为θ的矩估计量。 ()()()11 1,01, ,,0,n n n i i i i x x L f x θ θθλθ==?+∏<
浙江大学 概率论与数理统计 第七章数理统计习题__偶数答案
注意： 这是第一稿（存在一些错误） 第七章数理统计习题__偶数.doc 4解：矩估计： ()1012122μθλθλθλ=?+?+?--=--， ()()()()2 2 2 2222121νθλθθλλθλθλ=--++-++--, 11A =, 234 B = , 故() () ()( ) 2 2 2 ??221,3?? ????????222121. 4 θλ θλθθλ λ θλθλ? --=?? --++-++--=?? 解得1?, 43?. 8 λθ?=?? ? ?=?? 为所求矩估计。 极大似然估计： (){}()3 3 2 14526837,0,2,11L P X X X X X X X X θλθλ θλ==========--， ()()(),ln ,3ln 2ln 3ln 1l L θλθλθλθλ==++--， ()(),33 0,1,230.1l l θλθθθλθλλλθλ??=-=? ??--???=-=??--?解得3?,8 1?.4 θλ?=????=??即为所求。 6解：(1)()10 112 E X x x dx θ θθθ+= += +? ， 由 ?1 ?2 X θθ+=+得21 ?1X X θ-=-为θ的矩估计量。 ()()()1 1 1, 01,,,0,n n n i i i i x x L f x θ θθλθ==?+∏<
()()()1 ln 1ln , 01,,ln ,0,n i i n x x l L θθθλθλ=? ++<
第7章参数估计习题与答案
第7章 参数估计 ----点估计 一、填空题 1、设总体X 服从二项分布),(p N B ，10<
α是未知参数， n X X X Λ,,21为一个样本，试求参数α的矩估计和极大似然估计. 解：因? ?++=+= 10 1 1α1α1αdx x dx x x X E a )()()(2 α1 α2α1α102++= ++= +|a x 令2α 1α ++==??)(X X E X X --=∴112α ?为α的矩估计 因似然函数1212(,,;)(1)()n n n L x x x x x x α αα=+L L ∑=++=∴n i i X n L 1 α1αln )ln(ln ，由∑==++=??n i i X n L 101ααln ln 得， α的极大似量估计量为)ln (?∑=+-=n i i X n 1 1α 2、设总体X 服从指数分布 ,0 ()0, x e x f x λλ-?>=??其他 ，n X X X Λ,,21是来自X 的样本，（1）
概率论与数理统计教程(魏宗舒)第七章答案
. 第七章 假设检验 7.1 设总体2(,)N ξμσ~，其中参数μ，2σ为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设： （1）0:0,1H μσ==； （2）0:0,1H μσ=>； （3）0:3,1H μσ<=； （4）0:03H μ<<； （5）0:0H μ=. 解：（1）是简单假设，其余位复合假设 7.2 设1225,, ,ξξξ取自正态总体(,9)N μ，其中参数μ未知，x 是子样均值，如 对检验问题 001:,:H H μμμμ =≠取检验的拒绝域： 12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥，试决定常数c ，使检验的显著性水平为0.05 解：因为(,9)N ξμ~，故9 (,)25 N ξμ~ 在0H 成立的条件下， 000 53(||)(||)53 521()0.05 3c P c P c ξμξμ-≥=-≥? ?=-Φ=??? ? 55( )0.975,1.9633 c c Φ==，所以c =1.176。 7.3 设子样1225,, ,ξξξ取自正态总体20(,)N μσ，2 σ已知，对假设检验0010:,:H H μμμμ=>，取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>， （1）求此检验犯第一类错误概率为α时，犯第二类错误的概率β，并讨论它们之间的关系； （2）设0μ=0.05，2 0σ=0.004，α=0.05，n=9，求μ=0.65时不犯第二类错误 的概率。 解：（1）在0H 成立的条件下，2 0(, )n N σξμ~，此时
00000()P c P ξαξ=≥=≥ 10 αμ-= ，由此式解出010c αμ-= + 在1H 成立的条件下，2 0(, )n N σξμ~，此时 101000 10 ()(P c P αξβξμ-=<=<=Φ=Φ=Φ- 由此可知，当α增加时，1αμ-减小，从而β减小；反之当α减少时，则β增加。 （2）不犯第二类错误的概率为 10 0.9511(0.650.51(3) 0.2 1(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ- -=-Φ- =-Φ-=Φ= 7.6 设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为()f x 的母体，对()f x 考虑统计假设： 0011101 201 :():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤??==? ? ??其他其他 试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足2min αβ+=，并求其最小值。 解 设检验函数为 1()0x c x φ∈?=? ?其他 （c 为检验的拒绝域）
概率论与数理统计(理工类-第四版)吴赣昌主编课后习题答案第七章
写在前面：由于答案是一个个复制到word中，比较耗时耗力，故下载收取5分，希望需要的朋友给予理解和支持！ PS：网上有一些没经我同意就将我的答案整合、转换成pdf，放在文库里的，虽然是免费的，但是窃取了我的劳动成果，希望有心的朋友支持我一下，下载我的原版答案。 第七章假设检验 7.1 假设检验的基本概念 习题1 样本容量n确定后，在一个假设检验中，给定显著水平为α，设此第二类错误的概率为β，则必有(). (A)α+β=1;(B)α+β>1;(C)α+β<1;(D)α+β<2. 解答： 应选(D). 当样本容量n确定后，α,β不能同时都很小，即α变小时，β变大；而β变小时，α变大. 理论上，自然希望犯这两类错误的概率都很小，但α,β的大小关系不能确定，并且这两类错误不能同时发生，即α=1且β=1不会发生，故选(D). 习题2 设总体X～N(μ,σ2),其中σ2已知，若要检验μ,需用统计量U=Xˉ-μ0σ/n. (1)若对单边检验，统计假设为 H0:μ=μ0(μ0已知),H1:μ>μ0, 则拒绝区间为； (2)若单边假设为H0:μ=μ0,H1:μ<μ0,则拒绝区间为(给定显著性水平为α,样本均值为Xˉ,样本容量为n,且可记u1-α为标准正态分布的(1-α)分位数). 解答： 应填(1)U>u1-α;(2)U