量子物理的数学和哲学基础

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量子物理的数学和哲学基础（鲁学星2016/12/30）

研究工作进行一年了，有很多基本的进展。我们主要在四个方面取得进展。前三个进展都是紧紧围绕着费曼图或者箭图（quiver）的自然的数学和物理意义展开的。第四个进展是关于量子基础方面的，具体的讲，就是提出了一种改进惠勒的延迟选择实验的思路，并可能用来实现新的量子通信方案（未来光子通信）。前三个方面的进展分别是universal 弦网凝聚，费曼流形的表示以及upward平面图的组合与拓扑理论。其中前两个进展都是关于图嵌入技巧的数学理论，我们可以分别用图嵌入技巧来研究张量范畴（或者费曼流形）和阿贝尔范畴。用图嵌入技巧研究规范理论并且把它代数化，我们得到了universal弦网凝聚理论。用图嵌入技巧研究阿贝尔范畴，我们获得了对于阿贝尔范畴上的非交换辛几何的一个概念性理解，包括几何表示论和代数表示论的一些核心构造（阿贝尔/三角/DG范畴上的内蕴对称性/Ringel-Hall Hopf代数，Quiver的表示理论，量子群及其表示的几何实现，motivic技术，范畴化，几何朗兰兹对偶），以及08年康塞维奇-苏泊曼提出的公理化穿墙公式（wall crossing formula）,超对称场论中的BPS结构和可积系统的之间的关系。这一理论我们认为是一个正确的费曼流形的表示理论（详见后文分析）。前两个理论的最关键的机制在于图嵌入技巧背后的函子性，这种函子性是我们最想揭示的内容。我们强调这些问题都联系于量子场论的数学定义，需要一种严格的数学方法处理无限维的数学对象（比如：联络模空间，张量范畴，Hall stack，阿贝尔范畴），图嵌入技巧和Kan扩张提供了处理无穷维问题的新思路。第三个方面的进展，即upward平面图的组合和拓扑理论，它的研究也会对理解quiver 上的拓扑序有重要意义。

在数学上，universal弦网凝聚理论是关于张量范畴和张量流形的几何

理论；在物理上（目前的讨论，主要都是在formal的层次上），它是关于非微扰规范理论的理论，和格点规范理论，圈量子引力和弦网凝聚理论，以及时空和物质的演生有关。

在数学上，费曼流形的表示理论是关于阿贝尔范畴的微分几何理论，它联系于Hall stack，K群，量子对称性，辫子群的表示，Auslander–Reiten Quiver，（derived）ext quiver，coalgebra enrichment，cluster代数，模空间的量子化；物理上，它是关于超对称规范理论中的BPS结构的理论，它联系于各种超对称场论（超对称量子力学，超对称规范理论，超弦理论，超引力，M理论）中的BPS态的研究，场论中的紧化（克鲁扎-克莱因机制），quiver规范理论等等。

Baez的图嵌入技巧[J.Baez,Spin networks in gauge theory, advances in mathematics117,253-272(1996)]是一种特殊的投射技术（Projective Techniques）。投射技术一个研究无穷维空间上的拓扑和测度的（数学上严格的）常用技术。最早数学家用这个方法来发展无穷维局部凸拓扑线性空间上的测度理论，后来圈量子引力学家发展了相应的非线性版本的理论，并用来发展非微扰规范理论。Baez则把这一方法具体化为图嵌入技巧，从数学上严格的解释了罗威利和斯莫林在圈量子引力方面的奠基性工作，即自旋网络构成了圈量子引力的一组自然的标准正交基（也是几何谱）。

鉴于整个框架比较庞大，涉及的范围比较广，而且理论的很多细节还有待揭示，我们要特别强调最核心的想法，也是其中最稳健的数学机制，那就是：

自旋网络和quiver量子力学的函子性以及Kan扩张。

我们也注意到，沿着推广自旋网络和图上规范理论的方向，已经有两项工作在具体内容上推广了Baez的工作，它们分别是：Marcolli-Suijlekom，Gauge networks in noncommutative geometry,Journal of Geometry and Physics75(2014)71-91,和Meusburger-Wise，Hopf algebra gauge theory on a ribbon graph，arXiv:1512.03966。他们分别把Baez的紧群的表示范畴换成有限维代数的双模范畴和霍普夫代数的表示范畴，但是他们没有意识到图嵌入技巧的函子性。他们的工作可以作为实例来说明了图嵌入技巧的稳健性和普适性。

下面我们对四个方面的进展进行详细的阐述。

一、Universal弦网凝聚

受到因子化同调的启发，我们找到了描述Baez的图嵌入技巧的准确数学语言，即Kan extension。这一发现丰富了我们的基于自旋网络的范畴化非交换几何，是一个重要的发现，之前我们已经认识到这种机制的重要性，但一直没有找到合适的数学语言来描述它。具体来讲，我们发现了弦网凝聚和粗粒化代数（张量流形）的一种新的联系，也给出了文小刚的弦网凝聚理论的一个背景无关的描述。弦网凝聚和粗粒化代数的关系完全平行于拓扑场

论和small disk代数的关

系，是一种整体和局部的关

系。而波函数重整化和图嵌

入的Kan扩张的关系刚好

平行于局部拓扑场论和因

子化同调（整体的拓扑场

论）的关系，如右图所示：

任意给定一个李群或者霍普夫代数或者张量范畴或者粗粒化代数，我们都可以用图嵌入技巧和Kan扩张定义从流形范畴到希尔伯特空间范畴的一个函子，我们称为universal弦网凝聚，这一过程完全平行于因子化同调。反过来，如果流形是一个点，universal弦网凝聚限制在一个点上就可以得到一个粗粒化代数或者局部拓扑序。这一事实也可以解读为Baez的图嵌入技巧和文小刚的波函数重整化之间的一个伴随，如下图所示，细节我不详述，基本就是Baez工作的直接翻译：

由于这一伴随是一个非常稳健的并且严格的数学构造，我们引入了量子流形的定义，它是一种具有局域结构的希尔伯特空间。正如用光滑的坐标覆盖去定义一个流形，量子流形也是具有“局域”坐标覆盖的希尔伯特空间，只不过它的局部坐标覆盖是由自旋网络给出的（这一观念完全是受图嵌入技巧的启发）。量子流形的概念可以认为是对Baez的图嵌入技巧的概念化，是背景无关的弦网凝聚系统，是抽象的整体拓扑序。正如流形上的几何结构是在坐标变换下不变的结构，量子流形上的坐标变换下（粗粒化）不变的结构则是抽象的拓扑序。这一思路丰富了并且具体化了范畴化非交换几何，为演生时空提供了一个稳健的数学框架。

我们用下图来说明量子流形和经典流形的相似性。

我们下一步的计划就是在此框架下，从量子流形重构经典时空，实现我们理解费曼几何，非交换几何和经典几何的关系的目标。我们为了用Kan 扩张描述Baez的图嵌入技巧，我们要把流形换成它的道路范畴，并把联络解释称为道路空间上的函子。为了刻画道路范畴，我们发现了类似于路径积分的构造，即与一般的范畴相比较，道路范畴有一定的特殊性，它有一种我们称之为良序因子化的结构（是单位区间所有的有限划分关于其加细关系构成的偏序，是公理化道路范畴的核心结构）。进一步的分析这个良序因子化结构对于从量子流形重构经典流形是必要的。我们发现这一研究可能会和Kapranov的非交换傅里叶变换有关

[M.Kapranov,Noncommutative geometry and path integrals, Algebra,Arithmetic,and Geometry,Volume270of the series Progress in Mathematics pp49-87,2010]，而且还可能和陈国才的一些开创性工作有关[K.-T.Chen,Integration of paths–a faithful representation of paths by noncommutative formal power series,Trans.AMS,89(1958),395-407.]

把图嵌入技巧和流形的坐标覆盖进行类比是非常基本的一个观念，是

universal弦网凝聚理论的核心思想。这一观念自然的导致量子流形这一概念的提出，是我们从概念上理解费曼流形和演生时空的关系的基础。

二、费曼流形的表示理论,非交换辛几何和非线性Hodge理论

如果说universal弦网凝聚理论探讨的是用图嵌入技巧研究纯规范理论的数学理论，那么费曼流形的表示理论则是关于用图嵌入技巧研究带有物质场的规范理论的数学理论。数学上，物质场的自由度对应于规范场自由度的表示。正如处于universal弦网凝聚核心地位的数学对象是自旋网络和张量网络（张量网络是自旋网络的粗粒化），处于费曼流形表示理论核心地位的数学对象则是物理学家所称的quiver量子力学（或者quiver规范理论）或者数学家所研究的quiver表示理论。但是，这两个理论的关系目前还没有被明确的被揭示出来。费曼流形的表示理论比较复杂，很多深刻的关系有待澄清，下面我们分几个方面来阐述这个理论的大致框架。

1.阿贝尔范畴的正交几何，组合和量子不变量

阿贝尔范畴的公理是格罗滕迪克（1957年左右）引入的（独立于David Buchsbaum，1955年左右）用来统一当时已知的代数同调理论和拓扑空间的的同调的理论的一个重要概念，目前被认为是同调代数的最一般框架。但是，把阿贝尔范畴本身作为研究对象的理论自此以后没有什么根本性的发展。我们把代数的模范畴称为来自代数的阿贝尔范畴，把空间上的模层范畴称为来自几何的阿贝尔范畴，把quiver的表示范畴称为来自组合的阿贝尔范畴，而把描述超对称量子场论的BPS态的阿贝尔范畴称为来自物理的阿贝尔范畴。既然阿贝尔范畴有这么多不同的来源，一个自然的问题就是：有没有一个关于阿贝尔范畴的一般理论来统一这些不同领域，不同方向和不同动机的研究？或者说，是否存在一个仅仅

关于阿贝尔范畴的理论框架，使得来自不同领域的问题转化为仅仅是关于阿贝尔范畴这种结构的内蕴的问题，而不用考虑问题本身的来源和具体背景？这个情形就相当于格罗滕迪克的概形理论，它把代数几何和代数数论等领域的很多具体问题统统转化成关于概形及模层的结构，构造，分类和上同调的问题。

可能最早的比较明显的朝这个方向努力的工作就是Joyce的文章Configurations in abelian categories I-IV（03-05年）以及Kontsevich和Soibelman的文章Stability structures,motivic Donaldson-Thomas invariants and cluster transformations, arXiv:0811.2435.特别的，康塞维奇和苏泊曼在他们的这篇文章以及后面的几篇文章中，发展了一个一般的模型无关的数学框架来描述广义当纳森-托马斯不变量以及它们的穿墙公式。这个框架综合了当时数学和物理中的很多新结果，比如阿贝尔范畴和三角范畴上的稳定性结构(Bridgeland,Stability conditions on triangulated categories)，Hall stack（Joyce，Configurations in abelian cateogories,etc），广义当纳森-托马斯不变量，Wall crossing formula (Bridgeland-Toledano Laredo,Stability conditions and Stokes factors)，BPS代数(Harvey,Moore,On the algebras of BPS states)，cluster代数和cluster簇，quiver的表示理论，等等。这个框架的一个新奇的重要特点就是：穿墙公式可以“几何地”编码成为一个具有cluster代数结构的（量子）泊松流形(Kontsevich-Soilbelman,Wall-crossing structures in Donaldson-Thomas invariants,integrable systems and Mirror symmetry,arXiv:1303.3253).我们把康塞维奇-苏泊曼的这一框架称为非交换Hodge理论(Hodge type theory for

non-commutative varieties with polarization in Kontsevich-Soilbelman,Stability structures,motivic Donaldson-Thomas invariants and cluster transformations, arXiv:0811.2435)或者稳定性Hodge理论(Ludmil Katzarkov, Victor Przyjalkowski,Landau–Ginzburg models—old and new)。我们把康塞维奇-苏泊曼的wall crossing结构看做非交换流形的一种非微扰量子不变量。

但是通过对这一框架的考察，我们得到了一个基本的看法，那就是目前对于阿贝尔范畴的结构还缺乏一个清晰完整的理解。我们需要一个全新的观点来理解阿贝尔范畴，在这种观点下康塞维奇-苏泊曼的框架会有更加自然的解释。我们把这种有待发掘的观念称为非线性Hodge理论。非线性Hodge理论不仅可以吸收康塞维奇苏泊曼的非交换Hodge理论中的很多观念，但与之相比，非线性Hodge理论更加地不依赖于弦论背景，更加的背景无关，更加强调结构的完整性，内蕴性，普适性和几何意义，特别的更加强调quiver的重要性。在这一新的观念下，我们更加关心阿贝尔范畴本身的结构和解释。我们知道阿贝尔范畴是一个完备的正规的加法范畴。对于加法范

畴，一个重要的组合不变量就是

它的Auslander-Reiten箭

图。而对于具有适当的有限性条

件（如，有限的/遗传的/克鲁尔

-施密特）的阿贝尔范畴，更加

精细的不变量则有K群，欧拉形

式，Hall代数和Ext箭图。右

图列举了阿贝尔范畴相关的结

构和不变量：

如何把这些结构定义到一般的阿贝尔范畴上去是一个很基本的问题。而这些推广，最基本的困难就是无穷维空间的问题，这一困难和量子场论中路径积分的严格定义的困难类似。为了解决这个问题，我们要用新的观念（后面我要说明这种观念有着很稳健的数学机制和物理背景）和新的技巧（quiver嵌入技巧）。在新的观念下，阿贝尔范畴被视为一种（无穷维的）光滑的非交换辛流形，稳定性条件则相当于一种莫尔斯函数，蛇形引理相当于德拉姆外微分。在这一观念下，如果说阿贝尔范畴相当于一般的流形，那么三角范畴或DG范畴则相当于超/阶化流形或者DG流形（我们正在构思阿贝尔范畴的有理同伦理论/阿贝尔范畴的HKR 定理，大致框架为：导出范畴相当于阿贝尔范畴的切空间，它的ext箭图上的某种结构相当于流形上的微分形式（包括如何应用coalgebra enrichment，coalgebra也适合研究无穷维的结构，因为任何一个coalgebra都是它的有限维子余代数的并），希望这一框架可以解释或者联系于康塞维奇关于泊松流形形变量子化的工作中图复形的应用）。这一观念的最简单原型就是关于莫尔斯函数的维腾形变理论（其背后的物理模型则是超对称量子力学的BPS态理论），与其对应的经典的一般框架则是BV formalism（odd辛几何）以及它的导出代数几何解释。当然，其derived版本的原型则是拓扑共形场论（卡拉比-丘A无穷范畴的形变理论和低能有效理论）。之所以把阿贝尔范畴理解为一种非交换的光滑流形，主要原因在于阿贝尔范畴的公理（特别是它的正规公理）保证它具有正合结构和正交因子化结构，正因为如此，人们认为阿贝尔范畴是同调代数的一个恰当框架。正是有了正合结构，才可以定义Ext 函子（描述对象和态射的无穷小形变），正是因为如此，我们才把正合结构理解为一种微分结构。而Yoneda乘积和同调函子的universal性质则说明这种categorical的微分结构是大范围定义的。在微分几何中，

最基本的观念就是局部坐标覆盖。同样的，在universal弦网凝聚和非线性Hodge理论中，相当于局部坐标的东西就是Baez的图嵌入技巧，具体的实现就分别是自旋网络和quiver量子力学。

下面我们描述具体实现这种新的几何观念的方法：

一个有限quiver Q在一个阿贝尔范畴A中的表示范畴Rep（Q，A）则被视为该阿贝尔范畴的一个局部坐标卡。需要注意的一个重要的事实就是阿贝尔范畴的Hall stack具有函子性。正如保持单位的环同态总是把可逆元映为可逆元，一个函子总是把一个可逆的态射映为一个可逆的态射（范畴是多对象的环）。因此，阿贝尔范畴之间的加法函子总是诱导它们的相伴群胚之间的函子，即诱导它们的Hall stack的同态。Q 在A中的表示就是A中的一个类型为Q图表，通过取极限和余极限，我们可以得到两个函子Lim，Colim：Rep（Q，A）——》A，从而利用上面的事实，我们得到Rep（Q，A）的Hall stack到A的hall stack 的两个同态。为了保证Q是一个光滑坐标卡，我们可以要求Lim和Colim 都是正合函子（正合函子诱导K群的同态），从而会保持Hall stack 的卷积结构和余乘法结构（甚至保持量子环面，Hopf代数结构，Wall crossing结构甚至cluster代数结构）。我们也注意到在论文An introduction to Hall algebra---a categorification of quntum groups（2014）中，其作者Sjoerd Beentjes也讨论了Hall代数的函子性。一个需要检查的条件就是稳定性条件的函子性，或者可能需要适当的定义稳定性条件使得限制在所有的光滑坐标卡上得到好的稳定性条件。这样，我们就可以用图嵌入技巧研究一般的阿贝尔范畴。

阿贝尔范畴相比于一般的范畴，其特殊性在于它们具有Ext stack（即所有短正合列构成的群胚）。给定阿贝尔范畴A，它的Ext stack记为

Ext（A），它的Hall stack记为Hall（A）=Iso（A），在它们之间有一个自然的2-Segal space结构：Hall（A）×Hall(A)《——Ext(A)——》Hall(A),具体就是把一个短正合序列分别映为它的首尾项和中间项，即（X，Y）《——{0—>X—>E—>Y—>0}——》E。注意到Hall stack （特指阿贝尔范畴的相伴群胚）有一个自然的格罗滕迪克群的阶化，而此2-Segal space结构和格罗滕迪克群的阶化相容。如果有适当的稳定性条件或者紧化条件，我们可以用路径积分的方式（积分变换，超对称局部化技巧，WKB逼近）量子化Hall(A)（数学上量子化Hall stack 就是指定义恰当版本的广义Ringel-Hall代数，它在物理上的对应是BPS代数。几何上，Ringel-Hall代数可以理解为Hall stack上可构造函数/反常层/motive形成的卷积代数/量子Hall范畴。）。由于量子化和格罗滕迪克群的阶化相容，最后我们得到的其实是一个量子多体系统，可能有非平凡的拓扑序（并伴有辫子群的作用）或者等价于一个量子可积系统。我们把这种联系于稳定性条件或者紧化条件的量子可积系统或拓扑序称为阿贝尔范畴的量子不变量，而其观测量代数则称为广义BPS代数。当阿贝尔范畴是来自于几何的情况，我们把其关联函数称之为广义当纳森-托马斯不变量。我们强调，利用和格罗滕迪克群的阶化相容的Ext stack来量

子化Hall stack的思路是和

我们后面将要介绍的超对称

量子场论的BPS结构是非

常一致的，这也是这一框架

的稳健性的证据之一。右图

所示的是这一框架在数学和

物理上的对应关系：

在这里我们要强调另外一种研究阿贝尔范畴的光滑结构的思路。我们认为Ext stack是一种刻画阿贝尔范畴的光滑结构的external方式（描述两个对象如何合成出第三个对象）。相反的，另外一种刻画阿贝尔范畴结构的方式就是利用Hall stack上的“operadic”结构，侧重于每个对象的单因子和合成序列结构，这一结构首先被Joyce所强调，其方法体现在他的系列文章中：Configurations in abelian categories I-IV（03-05年）。他首先提出阿贝尔范畴中的configuration（我们给翻译成因子化构型）的概念，用组合的方式研究How an object in an abelian category breaks up in subobjects,并用configuration来研究稳定性条件和Hall stack的结构。从组合或者代数的角度，稳定性结构就是阿贝尔范畴上的一种满足特殊性质的偏序结构（比如具有Harder-Narasimhan性质，可参考 A.Rudakov, Stability for abelian category,Journal of algebra 197,231-245,1997。从场论和BPS态的角度，我们愿意把稳定性结构满足的条件和莫尔斯函数临界点的非退化条件做类比。当然，从Brindgeland的角度，所有的稳定性条件构成一个复流形是一个非常重要的定理，在这里我们并不强调这一个事实的重要性），使得关于稳定对象阿贝尔范畴具有弱的诺特和阿廷性质。我们认为Joyce的方法是研究Hall stack的一种internal方法（研究对象的单因子结构），对于研究广义当纳森-托马斯不变量的cluster代数结构，整性质，可积系统结构是重要的。鉴于Joyce的configuration概念适用于所有的阿贝尔范畴，我们猜测它们背后有一个更加基本的operad结构（称之为Rongel-Hall operad或者configuration operad），来刻画阿贝尔范畴中合成序列的嫁接，分裂和替换。研究这些构造和Yoneda乘积，Hall代数的乘积的关系是一个有意思的问题。这一现象可以类比于

Ginzburg，Kapranov（Koszul duality for Operads）把operad 解释为稳定曲线模空间上的层这一事实。

除了上面提到的利用Ext stack上的路径积分来量子化Hall stack，我们还猜测有Hall stack的代数量子化以及范畴化，我们猜测可能和Ringel-Hall李代数的构造以及可积系统中的余伴随轨道方法（Lax 对）有关（李代数的泛包络代数是李代数对偶空间上泊松代数的量子化）。

Quiver的表示理论有成熟的框架，特别是有Lusztig，Nakajima等人用同调方法（构造函数，反常层，相交同调）来几何实现量子群和它们的表示的工作，我们希望用图嵌入技巧，可以把对于Quiver成立的结果推广到一般的阿

贝尔范畴上去。

一旦我们把阿贝尔

范畴和Hall stack

确定为主要的研究

对象，并且注意到

Hall stack的函子

性，一个有意思的模

式就出现了。我们用

右图来概括：

我们把hall stack

作为一个几何对象

（groupoid），它

上面的可构造或反

常层范畴称为量子Hall范畴，可以认为范畴化了Hall代数，自然的是一个非对称张量阿贝尔范畴（具有convolution张量积），这个构造有函子性。另一方面，Hall stack上的层范畴称为（经典）Hall范畴，有自然的对称张量积，且保持阿贝尔范畴结构，这一构造也有函子性。更加深入的研究这些函子性构造的关系是一个基本的问题。

关于这个问题，David Ben-Zvi在Hall algebras are Grothendieck groups,Secret Blogging Seminar和Hall algebras and Donaldson-Thomas invariants I，Secret Blogging Seminar后有精彩的评论。正如他所评论的，这个框架可能适合于讨论几何朗兰兹对偶/几何Satake对应（一种范畴化的非交换傅里叶变换，Hall代数中的元素相当于Heck算子？）。

模掉一些技术性因素，在阿贝尔范畴和群胚之间的伴随可以和代数范畴和群范畴之间的伴随来类比，其中左伴随函子是群代数函子，右伴随函子是代数的可逆元群函子，即Hom（k[G],A）=Hom(G,A*)。我们感觉这是一个普遍的模式，那就是局部对称性（群胚）和整体的定向性（子对象格，quiver，不可逆性，态射的因子化结构）的深刻联系（虽然已经很明显，但这一联系的本质我们认为还没有被明确的揭示出来。我们注意到Walker的论文A categorification of Hall algebras(2011)用群胚范畴化的思路讨论Hall代数是一个有意思的方向。在后面讨论关于自旋网络和quiver量子力学的关系时，我们会看到更加明显的关系）。我们注意到在文章The Ausland bijection:How morphisms are determined by modules(arXiv:1301.1251)中，Ringel也强调了局部对称和整体定向的可分离性。与Joyce的工作类似，把对阿贝尔范畴的研究分为组合/整体定向部分（A-R箭图，ext箭图configuration等）和几何/群胚部分（Auslander varieties，Quiver

varieties，configuration stack）。

2.BPS结构，克鲁扎-克莱因机制和quiver量子力学

BPS结构是数学物理中最普适，研究最多最成熟的一种结构。BPS结构广泛存在于许多超对称量子系统中，是在微扰量子场论框架下研究场论的非微扰效应和对偶性的主要的模型试验内容，在数学上是微扰量子场论联系几何，拓扑和代数的主要桥梁和机制。最近几年来，BPS结构已经被提炼成从时空角度研究BPS态的一个非常稳健的数学框架，并且深刻联系于很多重要的数学结构（Andrew Neitzke,What is a BPS state?,2012；Kontsevich-Soibelman,Stability structures, motivic Donaldson-Thomas invariants and cluster transfor-mations,arXiv:0811.2435；Motivic Donaldson-Thomas invari-ants:summary of results,arxiv:0910.4315）。当然从拓扑弦的角度，这一框架是非常自然的，但我们要强调的是它是一个普适的框架，不仅对弦理论有效，而且对超对称规范理论，超引力，M理论同样有效，甚至可以看做是维腾用超对称量子力学解释莫尔斯理论的整个数学框架的自然推广，因此我们也喜欢称之为范畴化的莫尔斯理论，其中阿贝尔范畴或者三角范畴相当于流形，稳定性条件相当于莫尔斯函数，稳定性条件的改变相

当于维腾形变。

我们用下图简

要说明BPS结

构的普遍性以

及与代数，几何

中相应结构的

对应。

在经典超对称场论中，BPS态是一类特殊的经典真空，在数学上比较重要的原因有很多，最主要的就是它们是模空间（数学上很多有意思的模空间都可以解释成某个场论的经典真空的模空间）的一类稳定对象，和模空间的紧化，量子化有关。在超对称量子场论，量子BPS态是一类特殊的最低能量态（是物质场/费曼场的低能拓扑激发），一方面，在历史空间和路径积分局部化的角度，它们和相应的模空间的同调有关（例如在莫尔斯理论和维腾形变，模空间就是底流形），另一方面，从时空的有效量子力学的角度，BPS态的衰变和融合可以有效的描述为时空中粒子的一种特殊的散射过程，可以很好的用Quiver和阿贝尔范畴中的ext结构描述（BPS代数）。

量子BPS态是一类非常特殊的束缚态，它们之间通常有非局域的强关联，但它们在时空上的有效理论可以近似为粒子的散射理论，是一个弱关联理论，因此这个现象表现为强弱对偶。我们用下图简要描述我们对其数学结构的理解。

为了更进一步解释自旋网络（联系与universal弦网凝聚）和quiver

量子力学（联系于非交换辛几何

和quiver表示理论）的关系，

我们需要介绍一种代数版本的克

鲁扎-克莱因机制并说明它是

抽象BPS结构的“物理解释”。

我们从分析右图的对应开始：

右图展示的是规范理论和微扰超

弦理论在数学结构上的相似性。

主丛的纤维相当于卡拉比-丘空

间，结构群相当于卡丘空间的自

同构群（在拓扑弦情形，是映射类群）。规范理论的微扰激发谱可以用规范群的表示范畴描述，而弦理论的微扰激发是共形场论，是VOA的表示范畴或者D膜范畴。规范理论中的非微扰激发是自旋网络，而弦理论的非微扰对象是D模系统，在时空上的有效描述是（时空中）quiver 上的多体量子系统。

克鲁扎-克莱因机制是一种分析纤维丛上的场论和底空间上有效场论的关系的一个基本的模型无关的框架，也是一种常用的紧致化时空的方案，在物理中有很多应用。数学上，可以和场论的时空约化和对称破缺机制相似，都是模型无关的导出有效理论的普适机制。显然，规范理论可以看做是平凡的克鲁扎-克莱因机制，它的理论本身就是定义在时空上的。除了对于超弦理论，克鲁扎-克莱因机制分析（做足够多的数学和物理上的简化）还可以应用到超引力理论和M理论（一般的p膜理论）上，它们的非微扰对象在时空上的低能有效理论都可以用quiver上的多体量子系统描述，这一普遍现象，我们称为BPS结构。我们要强调的是BPS

结构可以抽象出来（康塞维奇-苏泊曼的穿墙公式），并且我们可以用克鲁扎-克莱因机制去思考它的“物理意义”。

Universal弦网凝聚理论是一种非微扰规范理论（不包含普朗克常数），从量子理论到经典理论的过渡不是像微扰场论中那样取经典极限，而是通过Levin-Wen的弦网凝聚机制。Universal弦网凝聚的数学框架是代数的，具体的，我们用道路范畴代替流形。一个流形的道路范畴，其对象是流形中的点，两个对象间的态射是连接两点的道路，映射的复合由道路的复合给出。结构群被换做其主右齐性空间的范畴，称为主纤维群胚，其对象是结构群的右齐性空间，态射为右齐性空间之间的同构。规范场被定义为从流形的道路范畴到主纤维群胚的函子（刻画了开道路上的威尔逊圈，是联络的水平提升描述），规范变换是规范场之间的自然变换（因为规范场）。在这个框架下，不需要纤维丛的概念，规范场的函子定义同时包含了纤维丛的结构（在对象的层次）和联络结构（在态射的层次），而这似乎更加复合规范场的物理意义。规范场的模空间就是规范场在自然同构下的等价类。在这个框架下，可以把流形的道路范畴换成一般的小范畴或者quiver。在Quiver的情形，quiver上的一个规范场就是在每一顶点上放置一个主齐性空间，每一条边上放一个结构群中的元素，规范群中的一个元素就是在每个顶点处放一个结构群中的元素。对quiver上的联络模空间量子化就得到自旋网络空间。

与之相对应的是，在费曼流形的表示理论(或者非交换辛几何)中，quiver 上的一个经典BPS态（或者quiver上的物质场），就是quiver在一个阿贝尔范畴（BPS态所生成的范畴，或者理解成D膜的范畴）上的表示，或者说是从quiver生成的自由范畴到阿贝尔范畴的一个函子，具体的就是在每一个顶点放一个阿贝尔群范畴中的对象，每一条边上放一个

态射。两个非微扰BPS位形称为等价的，如果它们之间存在一个规范变换。与前面的情况类似，一个规范变换就是quiver在阿贝尔范畴上的表示的同构，或者是作为函子，是它们之间的自然等价，具体的就是，在quiver的每一个顶点处放置一个该顶点处两个对象的同构(和前面的情形比较，只是每一个顶点处放置的对象可以不同，因此不同顶点处的同构也不同，换句话说，在universal凝聚的情形，quiver的表示（规范场）的维数向量都一样，因为所有的主齐性空间都一样)。对quiver上的经典BPS态的模空间量子化就得到阿贝尔范畴的Hall代数中的元素。

现在我们解释为什么要把非交换辛几何叫做费曼流形的表示理论：首先，两个理论的数学框架是一样的。前面我们已经看到，quiver 上的规范场和物质场都是quiver上的一个函子，规范变换都是在每个顶点上都联系一个可逆态射，是顶点所对应的对象之间的同构。不同的是，在第一种情况，我们考虑的是主纤维范畴，在第二种情况，我们考虑的是阿贝尔范畴。在量子化之后，第一种情况得到的是自旋网络，是结构群的表示范畴（是一个张量范畴）中的diagram；在第二种情况，（通过前面说明的图嵌入技巧，可以把quiver的Hall代数嵌入到阿贝尔范畴的Hall代数）得到的是阿贝尔范畴的Hall代数中的元素（或者Hall stack上的可构造函数/反常层/量子Hall范畴的特征层（格罗滕迪克的函数-层对应））。

其次，主纤维范畴的非线性程度高于阿贝尔范畴，两者的差异类似于群的范畴和向量空间的范畴。

最后，前者联系于圈量子引力，是量子时空理论；而后者是关于物质的理论（BPS态理论）。

在各种场论中的BPS态中，通常假设它们可以有子对象，并且允许不同对象的融合以及系统的衰变，描述BPS谱的结构的数学对象是阿贝尔范畴，对象的融合和衰变适合用extension结构描述。对象的（拓扑）可以用阿贝尔范畴的K群去描述。Hall stack描述了经典BPS谱，量子BPS谱（经典BPS谱的量子化）可以用Hall代数描述，BPS谱的自由部分可以用Hall stack上的等变相交理论描述，相互作用部分可以用Hall stack上的量子等变相交理论描述。这一点类似于格洛莫夫维腾不变量和经典的相交理论的关系（GW invariant are deformed cup product of quantum cohomology，or more precisely,GW invariants,which count curves connected with some manifolds representing cohomology classes,appear as coefficients in expansions of the quantum cup product）。

3.穿墙公式，可积系统和非线性Hodge理论

康塞维奇-苏泊曼的穿墙结构是非常稳健的数学结构，和具有cluster代数结构的可积系统有很好的对应关系，可以看做是范畴化的Hodge理论，我们不详述其细节，

只给出大致的对应关

系。广义当纳森托马斯

不变量是一种计算量子

BPS态个数的理论，我

们可以把维腾的超对称

量子力学看成特殊的

BPS态理论，可以把贝

蒂数看做广义DT不变

量。