OFDM调制的过程及原理解释-个人笔记

1.OFDM调制/解调

1.1. 概述

1.1.1.OFDM调制基本原理

如图OFDM调制的过程就是将待发送的多个数据分别与多路子载波相乘合成基带复信号s(t)的过程，而OFDM解调的过程就是由复信号s(t)求解傅立叶系数的过程。复信号s(t)是时域信号，而傅立叶系数就是频域的数据。需要明确的是：对于OFDM调制来讲，输入的数据是频域数据，而输出是S(t)就是时域数据；对于OFDM解调来讲，输入的s(t)是时域信号，而输出的数据就是频域数据。当使用IDFT/DFT实现OFDM调制/解调的时候，IDFT 的输入是频域数据，输出是时域数据；DFT的输入是时域数据，输出是频域数据。

基于快速离散傅里叶变换的产生和接收OFDM信号原理：在发射端，输入速率为Rb 的二进制数据序列先进行串并变换，将串行数据转化成N个并行的数据并分配给N个不同的子信道，此时子信道信号传输速率为Rb/N。N路数据经过编码映射成N个复数子符号Xk。(一个复数子符号对应速率为Rb的一路数据)随后编码映射输出信号被送入一个进行快速傅里叶逆变换IFFT的模块，此模块将频域内N个复数子符号Xk变换成时域中2N个实数样值Xk。（两个实数样值对应1个复数子符号，即对应速率为Rb的一路数据）由此原始数据就被OFDM按照频域数据进行处理。计算出的IFFT变换之样值，被一个循环前缀加到

样值前，形成一个循环扩展的OFDM信息码字。此码字在此通过并串变换，然后按照串行方式通过D/A和低通滤波器输出基带信号，最后经过上变频输出OFDM信号。

1.1.

2.OFDM的优缺点

1.1.

2.1. OFDM优点

1.1.

2.1.1.频谱效率高

由于FFT处理使各个子载波可以部分重叠，因为理论上可以接近乃奎斯特极限。以OFDM为基础的多址技术OFDMA（正交频分多址）可以实现小区内各用户之间的正交性，从而避免用户间干扰。这使OFDM系统可以实现很高的小区容量。

1.1.

2.1.2.带宽扩展性强

由于OFDM系统的信号带宽取决于使用的子载波数量，因此OFDM系统具有很好的带宽扩展性。小到几百kHz,大到几百MHz，都很容易实现。尤其是随着移动通信宽带化（将由5MHz增加到最大20MHz）,OFDM系统对大带宽的有效支持，称为其相对于单载波技术的“决定性优势”。

1.1.

2.1.

3.抗多径衰落

由于OFDM将宽带传输转化为很多子载波上的窄带传输，每个子载波上的信道可以看做水平衰落信道，从而大大降低了接收机均衡器的复杂度。相反，单载波信号的多径均衡的复杂度随着宽带的增大而急剧增加，很难支持较大的带宽（如20MHz）。

1.1.

2.1.4.频谱资源灵活分配

OFDM系统可以通过灵活地选择适合的子载波进行传输，来实现动态的频域资源分配，从而充分利用频率分集和多用户分集，以获得最佳的系统性能。

1.1.

2.1.5.实现MIMO技术较简单

由于每个OFDM子载波内的信道可看做水平衰落信道，因为多天线（MIMO）系统带来的额外复杂度可以控制在较低的水平（随着天线数量呈线性增加。）相反，单载波MIMO 系统的复杂度与天线数量和多径数量的乘积的幂成正比，很不利于MIMO技术的应用。

1.1.

2.2. OFDM 缺点

1.1.

2.2.1. OFDM 对系统定时和频率偏移较为敏感

定时偏移会引起子载波相位的旋转，而且相位旋转角度与子载波的频率有关，频率越高，旋转角度越大。如果定时的偏移量与最大时延扩展的长度之和仍小于循环前缀的长度，此时子载波之间的正交性仍然成立，没有ISI 和ICI ，对解调出来的数据信息符号的影响只是一个相位的旋转。如果定时偏移量与最大时延扩展的长度之和大雨循环前缀，这时一部分数据信息丢失了，而且最为严重的是子载波间的正交性破坏了，由此带来ISI 和ICI ，这是影响系统性能的关键问题之一。

1.1.

2.2.2. 存在较高的峰值平均功率比（PAPR ）

多载波系统的输出是多个子信道信号的叠加，如果多个信号相位一致时，所得的叠加信号的瞬时功率会远远高于信号的平均率。因此，可能带来信号畸变使信号的频谱发生变化，同时子信道间正交性遭到破坏从而产生干扰。

1.1.3. 宽带无线信道特征

信号在无线媒体中传输时，会出现两个困难，一个是包络的衰落，以不可预知的方式对信号的强度进行衰减；另一个是色散，它在时域和频域同时改变原始信号的波形。

1.1.3.1. 包络的衰落

表现为接收信号的幅度的波动。主要的原因就是多径反射。假设一个场景，发射信号通过两条信号到达接受机，这两条路径之间的时延忽略。随机散散产生了不同的路径损耗21αα，

即

)()()()()(2121t s t s t s t x αααα+=+=

在这样一种情况下，信道响应可以建模成单一的具有随机包络的冲激。假定21αα是等强度的复高斯随机变量，那么它们的和的包络，21αα+=

r ，

服从瑞利分布：2

2

22

)(σσ

r e

r r p -=，

具有零均值和方差（内容在OFDM 的无线宽带网络设计与优化P15，涉及概率论的几个分布，还未深入研究）。

1.1.3.

2. 时间色散信道

经散射的多径信号的到达时间不可能相同。这些时延是否损坏发射信号取决于信号带宽

与最大时延差扩展的乘积。下图示是一个时间色散信道。

h(t)

t

时间色散（频率选择性）信道及其对窄带和

宽带信号的影响

f

h(t)：多径信道可以表示成一个线性的传输函数h(t)。因为不同的传播时延，新到的脉冲响

应是不同的延时的冲激函数的加权组合：

∑-=-=1

)()(m m m i t t h τδα,对应图示的情

形,m=2。因为多径时延m τ是截然不同的，所以频率响应H （f ）=F{h(t)}表现为幅度上的波动。这种频域中的波动将使宽带信号的波形产生失真。特别是在数字通信系统中，若多径时延相对于符号周期symbol T 是可分辨的，那么信道被认为是频率选择性信道。

另一方面，若信号的带宽非常窄，那么信道的频率响应在信号带宽内近似为常熟。若多径时延相对于符号周期是不可分辨（指相对时延远小于一个符号周期）的，那么无线信号就是平坦的。

1.1.3.3. 频域色散信道

接收信号在时域中短时的波动可以用来发射机、接收机或者环境的移动造成多普勒效应来解释。若信号脉冲响应为线性非时变的，那么多普勒效应在时域中的效果就是二者相乘。 多普勒对接收信号引入两类失真：（i ）信号在时间上的变化；（ii ）展宽的信号频谱。（涉及多普勒效应的原理,信道相干的知识，还未深入学习。）

1.1.3.4. 宽带信道的统计特征

总结：

·包络的衰落影响信号的强度，并且因此在无线系统链路预算的计算中要考虑衰落的余量。功率控制和空间分集技术是对付包络衰落的最有效技术之一。

·频率选择性衰落改变了信号波形，并且因此改变了检测的性能。传统的，信号均衡被用于补偿此影响。作为一种选择，如OFDM ，我们可以通过将宽带信号分割成并行窄带数据流传输来克服此缺陷。

·时间选择性破坏了信号的频谱，并且引入了对功率控制而言非常快的变化。时间交织和分

集技术是对付时间选择性最有效的手段。

1.1.3.5. 多径衰落总结

在时域方面产生时延扩展，接受信号中的一个符号的波形会扩展到其他符号当中去，造成了ISI （符号间干扰）；在频域的角度，多径的时延扩展可以导致频率选择性衰落，针对信号中不同的的频率成分，无线传输信道会呈现出不同的随机响应，由于不同的频率分量的衰落不一致，信号带宽超过无线信道的相干带宽时，造成ISI ，形成频率选择性衰落。

1.2. 基础理论

1.2.1.三角函数的正交性

OFDM 调制利用了之

间的正交性，如下图：

信道

a 1a n a 2a 1a n a 2

b 1

b n

b 2

b 1

b n

b 2

+-+-+-cosw 0t

cos2w 0t

cosnw 0t

sin2w 0t

sinw 0t sinnw t

cosw 0t

cos2w 0t

cosnw 0t

-sin2w 0t

-sinw 0t -sinnw t

S(t)

图中示有N 个子载波，但实际每个子载波包含了正弦和余弦两个载波，承载两个数据。所谓三角函数正交性：

?

??????-------====-==+=2

/2/002

/2/002

/2/002

/2/02/2/002

/2/02/2/000sin sin 20sin cos 20cos cos 21)2cos 1(2sin sin 21)2cos 1(2cos cos 2T T T T T T T T T T T T T T tdt n t m T

tdt n t m T tdt n t m T dt t m T tdt m t m T dt t m T tdt m t m T ωωωωωωωωωωωω左边OFDM 调制后获得的信号累加后在右边利用正交性可以直接分离出对应的载波信息。（图示左边的为各子载波，将数

据信息分开调制到各自的子载波上，再将子载波发送到接收端，接收端利用自己生成的分开子载波分别与收到的叠加的信号相乘后积分，因为除了对应子载波的积分为1后，其它子载波积分为0，即可分离出分开的各路数据信息。）

1.2.2.DFT离散傅里叶变换/IDFT逆离散傅里叶变换

1.2.2.1. 傅里叶级数展开

以及复指数形式：

，。

1.2.2.1.1.欧拉公式

1.2.2.1.2.卷积计算信号相乘

若将信号表示成类似多项式的形式即：

将其表示成多项式的形式后，即：

则两个信号相乘（时域）为：

，又其实其相乘结果的系数可以通过卷积计算多项式的方法计算得出：，

。

观察这个形式，联系傅里叶级数展开的式子：

可以知道将信号变成形式类似于多项式的方法，本质上就是傅里叶级数展开。

1.2.2.1.3.时域相乘等于频域卷积

从上面的描述我们可以得知：为了获得两个信号f(t)和g(t)在时域相乘的结果y(t)=f(t)g(t)我们可以先分析两个信号的频谱f[n],g[n],在对两个信号的频谱做卷积，得到乘积信号的频谱y[n]，将各频谱分量y[n]乘以对应的e jnwt再相加就可以得到时域的乘积新年好∑

]

)(。如下图示例：

yω

[

y

=t jn e

n

t

简单概述就是：时域相乘等于频域卷积。注意我们所说的频域，说的只是频谱，即e jnwt前的系数，不包括e jnwt本身。

1.2.2.2. 傅里叶变换

描述非周期信号x(t)和其频谱的X（f）之间关系的两个式子：

变量f常用 做变量：

1.2.2.3. DFT离散傅里叶变换

离散傅里叶变换是为了便于在计算机及数字信号处理中进行傅里叶分析而引入的，其输入输出如下图所示：

输入N个时域的样点数据，输出N个频域的样点数据。

DFT表达式：

比较DFT和傅里叶变换的式子，可以发现DFT只是对傅里叶变换的积分周期分成N份采样得出的结果。

和傅立叶变换类似，离散傅立叶变换的本质就是将信号的样点序列表示成一系列加权的旋转向量样点序列之和。而逆变换则要求出这一些加权系数。即：

将离散傅里叶变换的表达式拆开成N个式子：

从N个方程中求解N个未知数，这个问题的实质就是求N元一次方程组的解。

若用矩阵运算表示出DFT和IDFT的表达式：

1.2.2.3.1. FFT 快速傅里叶变换

1.2.2.3.1.1. 按时间抽选的基-2 FFT 算法 1.2.2.3.1.2. 按频率抽选的基-2 FFT 算法 1.2.2.3.1.3. 基4 FFT 算法

1.2.2.4. LTE-A 的SC-FDMA 基带信号

?

?

??

∑

-

=-?+?=

-2/2

/)

()2/1(2)

(,)

(,)()(RB

sc UL RB RB

sc UL RB s l CP N N N N k T N t f k j p l

k p l

e

a

t s

π

for ()s ,CP 0T N N t l ?+<≤ where ??2)(RB

sc UL RB N N k k +=-, 2048=N , kHz 15=?f and l k a , is the content of resource element ()l k ,.

一个时隙中的sc-fdma 符号从l =0开始按照l 增序进行传输，其中具体sc-fdma 符号l 从一个时隙中的∑

-=''+10

s ,CP )(l l l T N N 时刻开始（l >0）。

1.2.2.5. LTE-A 的OFDM 基带信号

?

?

??∑

∑

=-?--=-??+

?=

+-2/1

)

(2)(,1

2

/)

(2)

(,)

(,)(,)()(RB

sc DL NB

s l CP RB

sc DL NB s l CP N N k T N t f l j p l

k N N k T N t f k j p l

k p l

e

a

e

a

t s

ππ

for ()s ,CP 0T N N t l ?+<≤ where ??

2RB sc DL RB )(N N k k +=- and ??12RB

sc DL RB

)(-+=+N N k k . The variable N equals 2048 for kHz 15=?f subcarrier spacing and 4096 for kHz 5.7=?f subcarrier spacing.

一个时隙中的OFDM 从0=l 增序进行传输，其中具体OFDM 符号l 在一个时隙中的开始时间是

∑

-=''+10

s ,CP )(l l l T N N .（0>l ）.

另外，当一个时隙中的第一个OFDM 符号是使用常规CP （或者前几个都用常规CP ），而其他符号使用扩展CP 时，使用扩展CP 的OFDM 符合的起始位置等于一个时隙中所有的OFDM 符号使用扩展CP 的情况。这样两个不同的循环前缀区域之前存在一部分未定义传输信号的时间部分。（即使用两种循环前缀的区域之间会存在未定义传输信号的时间间隔）

1.2.2.6. PRACH 随机接入信道的基带信号

∑∑-=-=-?+++-??=10

10

)

())2

1((22,0)()(ZC ZC CP RA ZC

N k N n T t f k K k j N nk j v

u PRACH

e

e n x

t s ?ππβ其中CP SEQ 0T T t +<≤，

?

固定的偏移值，表示资源块中随机接入前导的频域位置

RA f ?，K

为表示随机接入前导与上行数据直接的子载波间隔的差别，存在关系RA f f K ??=。

0k

2

RB

sc UL RB RB sc 0N N N n k RA PRB -=

PRACH β

一个幅值因子

cp T

随机接入前导序列

中CP 的长度

SEQ T

随机接入前导序列中序列部分的长度

k 中间变量 输出参数 说明

S(t)

时间连续随机接入信号

Preamble format RA f ?

?

0-3 1250hz 7 4 7600hz

2

1.2.3.循环前缀

1.2.3.1. 子载波间干扰

为了实现无码间串扰，需要在码元间增加保护间隔，如下图所示：

但这会带来一个问题，因为OFDM 是利用了正交性，如下图，这样的子载波相乘后积分为0：

虽然码元间的间隔避免了码间串扰，却带来了子载波间的干扰，当不同的子载波因为时延而产生如下信号：

1.2.3.2. 循环前缀

下面我们具体看看加了循环前缀之后的相乘积分情况：

在有两个径的情况下，假定其中一个径的时延为0，另外一个径的时延为1/8S，循环前缀长度也是1/8S，则sin2pi t、sin4pi(t-1/8)、及其乘积的波形在积分区间的部分为：

明显其乘积积分为0。

再看一下:有两个径，假定其中一个时延为0，另一个时延为1/16S，循环前缀长度是1/8S，则sin2pi t、sin4pi(t-1/16)、及其乘积的波形在积分区间的部分为：

经计算其乘积部分积分仍然为0。

再假设有3个径，假定其中一个时延为0，一个径的时延为1/8S，另一个时延为1/16S，循环前缀长度是1/8S，则sin2pi t、sin4pi(t-1/16)、sin4pi(t-1/8)及sin2pi t*[sin4pi(t-1/16)+sin4pi(t-1/8)]的波形在积分区间的部分为：

很明显，

sin2pi t*[sin4pi(t-1/16)+sin4pi(t-1/8)]积分仍然为0，可以看出，无论有多少个径，只要循环前缀的长度大于多径时延，子载波间都可以保持正交性。

可能已经注意到了，前面我们描述三个径情况下的子载波间的正交性，第一个径只画了频率为1HZ的信号，第二个径第三个径只画了频率为2HZ的信号，但实际中每个径都应该包含所有频率成分的子载波。即：

时延为0的第一个径的信号成分：

时延为0.0625S的第二个径的信号成分：

时延为0.125S的第三个径的信号成分：

以下直接给出结论：当考虑到一个径中所有的频率信号成分时：

本地首先会根据时延最小，对应信号最强的信号，可以很容易与该径信号实现同步，并在本地产生一组同频同相的本地载波用于解调，如图：

我们知道，该图中1HZ的载波与各路径信号成分中第二个信号均是正交的，而与第一个信号则是时延关系，当进行相乘积分时，得出结果为大于0。在实际中当相乘载波是正交关系时，积分结果为0，不是正交关系时，根据信号分为大于或小于0。