全国卷3理科数学试题及答案解析
2017年全国卷3理科数学试题及答案解析
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷3
理科数学
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A=
{}
2
2(,)1x y x y +=│，B=
{}(,)x y y x =│
，则A I
B 中元素的个数为 A ．3 B ．2
C ．1
D ．0
2．设复数z 满足(1+i)z=2i ，则∣z ∣=
A ．12
B
．
C
D ．2
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加
C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为 A ．-80
B ．-40
C ．40
D ．80
5．已知双曲线C ：222
21x y a b -= (a ＞0,b ＞0)
的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C
的方程为
A ．22
1810x y -= B ．22
145x y -= C ．22
154x y -= D ．22
143x y -=
6．设函数f(x)=cos(x+3π
)，则下列结论错误的是
2017年全国卷3理科数学试题及答案解析
A ．f(x)的一个周期为?2π
B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π
对称
C ．f(x+π)的一个零点为x=6π
D ．f(x)在(2π
,π)单调递减
7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．π
B ．3π4
C ．π2
D ．π4
9．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{}n a 前6项的和为
A ．-24
B ．-3
C ．3
D ．8
10．已知椭圆C ：22
221x y a b +=，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为
A
．3
B
．3
C
．3
D ．13
11．已知函数
211
()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a= A ．1
2-
B ．13
C ．12
D ．1
12．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP u u u r =λ AB u u u r +μAD u u u r
，则λ
+μ的最大值为 A ．3
B ．
C
D ．2
13．若x，y满足约束条件
y0
20
x
x y
y
-≥
?
?
+-≤
?
?≥
?，则z34
x y
=-
的最小值为__________．
14．设等比数列{}
n
a
满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________．
15．设函数
10
()
20
x
x x
f x
x
+≤
?
=?
>
?
，，
，，
则满足
1
()()1
2
f x f x
+->
的x的取值范围是_________。
16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所称角的最小值为45°；
④直线AB与a所称角的最小值为60°；
其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
cosA=0，
,b=2．
（1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC,求△ABD的面积．
18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值．
20．（12分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程．
21．（12分）已知函数()f x =x ﹣1﹣alnx ． （1）若()0f x ≥ ，求a 的值；
（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，
2111
1++1+)
222n K ()(1)(﹤m ，求m 的最小值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，直线l1的参数方程为2+,,x t y kt =??=?（t 为参数），直线l2的参数方程为2,,x m m m y k =-+???
=??（为参数）．设
l1与l2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．
（1）写出C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)
，M 为l3与C 的交点，求M 的极径．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=│x+1│–│x–2│． （1）求不等式f （x ）≥1的解集；
（2）若不等式f （x ）≥x2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围．
2017年全国卷3理科数学答案解析
一、选择题
1.B
2.C
3.A
4.C
5.B
6.D
7.D
8.B
9.A 10.A 11.C 12.A 二、填空题13. -1 14.
-8 15.
∞1
（-，+）4 16. ②③
三、解答题17.解：（1）由已知得
tanA=
π
2A=
3在 △ABC 中，由余弦定理得
2222844cos
+2-24=03
c 6c c c c c π
=+-=-，即解得（舍去），=4 （2）有题设可得
π
π
∠∠=∠-∠=
=
，所以2
6CAD BAD BAC CAD
故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为π
=g g g 1sin 2611
2AB AD AC AD
又△ABC
的面积为??∠=?1
42sin 2BAC ABD
18.解：（1）由题意知，X 所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知 ()2162000.290P X +===()363000.490P X ===()2574
5000.4
90P X ++===.
X ⑵由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200500n ≤≤ 当300500n ≤≤时，
若最高气温不低于25，则Y=6n -4n=2n 若最高气温位于区间
[)20，,25，则Y=6×300+2（n -300）-4n=1200-2n;
若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n -200）-4n=800-2n;
因此EY=2n×0.4+（1200-2n ）×0.4+(800-2n) ×0.2=640-0.4n 当200300n <≤时，若最高气温不低于20，则Y=6n -4n=2n; 若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n -200）-4n=800-2n; 因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n
所以n=300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元。
19.解：（1）由题设可得，,ABD CBD AD DC ???=从而
又ACD ?是直角三角形，所以0
=90ACD ∠取AC 的中点O ，连接DO,BO,则DO ⊥AC,DO=AO 又由于ABC BO AC ?⊥是正三角形，故所以DOB D AC B ∠--为二面角的平面角 2222222220,Rt AOB BO AO AB AB BD BO DO BO AO AB BD ACD ABC
?+==+=+==∠⊥在中，又所以
，故DOB=90所以平面平面
（2）由题设及（1）知，OA,OB,OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA u u u r
的方向为x 轴正方向，
OA
u u u r 为单位长，建
立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则
-(1，0，0),
(0，3，0),(1，0，0),(0，0，1)
A B C D
由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的1
2，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离
的12，即E 为DB 的中点，得E
10，2?? ? ???.故 ()()11，0，1，2，0，0，1，，22AD AC AE ??
=-=-=- ? ???u u u r u u u r u u u r
设
()
=x,y,z n 是平面DAE 的法向量，则
00，即1
00，22x z AD x y z AE -+=??=??
??-++==????
u u u r g u u u r g n n 可取
113=,,??
? ?
??n 设m 是平面AEC 的法向量，则0，0，AC AE ?=?
?=??u u u r
g u u u
r g m m 同理可得(01,=-m
则
7
cos ,=
=g n m n m n m 所以二面角D -AE -C 的余弦值为7
20.解（1）设
()()11222
A x ,y ,
B x ,y ,l :x my =+
由222x my y x =+??=?
可得212240则4y my ,y y --==-又()22212121212==故=224y y y y x ,x ,x x =4
因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212-4==-14y y x x g 所以OA ⊥OB 故坐标原点O 在圆M 上.
（2）由（1）可得
()2121212+=2+=++4=24
y y m,x x m y y m +
故圆心M 的坐标为
()
2+2，m m ，圆M 的半径
r =
由于圆M 过点P （4，-2），因此0AP BP =u u u r u u u r
g ,故()()()()1
21244220x x y y --+++=
即
()()121212124+2200
x x x x y y y y -++++=由（1）可得
1212=-4，=4
y y x x ，
所以2
210m m --=，解得
1
1或2m m ==-
.
当m=1时，直线l 的方程为x -y -2=0，圆心M 的坐标为（3,1），圆
M 的半径为，圆M 的方程为
()()
22
3110
x y -+-=当
12m =-
时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91，-42??
???，圆
M 的半径为
，圆M 的方程为2
2
9185++4216x y ????-= ? ??
??? 21.解：（1）()f x 的定义域为()0，+∞.①若0a ≤，因为11
=-+2＜0
22f a ln ?? ???，所以不满足题意；②若＞0a ，由
()1a x a f 'x x x -=-
=知，当()0x ,a ∈时，()＜0f 'x ；当()，+x a ∈∞时，()＞0f 'x ，所以()f x 在()0,a 单调
递减，在
()，+a ∞单调递增，故x=a 是()f x 在()0，+x ∈∞的唯一最小值点.由于()10f =，所以当且仅当a=1时，
()0
f x ≥.故a=1
（2）由（1）知当()1，+x ∈∞时，1＞0x ln x --令1=1+2n x 得
11
1+＜22n n
ln ?? ???，从而 2211111
111++1+++1+＜+++=1-＜1
2222222n n n ln ln ln ???????????? ? ? ??????? 故2111
1+1+1+＜222
n e ????????? ??? ???????而231111+1+1+＞2222?????? ???????????，所以m 的最小值为3.
22.解：（1）消去参数t 得l1的普通方程
()
12l :y k x =-；消去参数m 得l2的普通方程
()21
2l :y x k =
+设P （x,y ）,
由题设得()()212y k x y x k ?=-??=+??，消去k 得()2240x y y -=≠.
所以C 的普通方程为
()2240x y y -=≠
（2）C 的极坐标方程为
()()2
2240＜＜2cos sin ,r
q
q q p q p
-=≠
联立()(
)222
4+cos sin cos sin
r q q r q q ?-=??
??得()=2+cos sin cos sin q q q q -.
故13tan q =-
，从而2291
=，=
1010cos sin q q
代入
()2
2
2
-=4cos sin r
q q 得2
=5r
，所以交点M
.
23.解：
（1）
()3＜121123＞2
,x f x x ,
x ,x --??
=--≤≤???当＜1x -时，
()1
f x ≥无解；
当12x -≤≤时，由()1
f x ≥得，211x -≥，解得12x ≤≤当＞2x 时，由
()1
f x ≥解得＞2x .所以
()1
f x ≥的解
集为
{}1x x ≥.
（2）由
()2f x x x m
≥-+得
212m x x x x
≤+---+，而
222
12+1+235=--+
2454
x x x x x x x x
x +---+≤--+?
? ???≤
且当
32x =
时，2512=4x x x x +---+.故m 的取值范围为5-，4??∞ ???
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试题类型：
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷3
理科综合
考试时间：____分钟
单选题（本大题共18小题，每小题____分，共____分。）
1．下列关于真核细胞中转录的叙述，错误的是( )
A. tRNA、rRNA和mRNA都从DNA转录而来
B. 同一细胞中两种RNA合成有可能同时发生
C. 细胞中的RNA合成过程不会在细胞核外发生
D. 转录出的RNA链与模板链的相应区域碱基互补
2．下列与细胞相关的叙述，错误的是( )
A. 动物体内的激素可以参与细胞间的信息传递
B. 叶肉细胞中光合作用的暗反应发生在叶绿体基质中
C. 癌细胞是动物体内具有自养能力并快速增殖的细胞
D. 细胞凋亡是由基因决定的细胞自动结束生命的过程
3．植物光合作用的作用光谱是通过测量光合作用对不同波长光的反应（如O2的释放）来绘制的。下列叙述错误的是( )
A. 类胡萝卜素在红光区吸收的光能可用于光反应中ATP的合成
B. 叶绿素的吸收光谱可通过测量其对不同波长光的吸收值来绘制
C. 光合作用的作用光谱也可用CO2的吸收速率随光波长的变化来表示
D. 叶片在640~660 nm波长光下释放O2是由叶绿素参与光合作用引起的
4．若给人静脉注射一定量的0.9%NaCl溶液，则一段时间内会发生的生理现象是( )
A. 机体血浆渗透压降低，排出相应量的水后恢复到注射前水平
B. 机体血浆量增加，排出相应量的水后渗透压恢复到注射前水平
C. 机体血浆量增加，排出相应量的NaCl和水后恢复到注射前水平
D. 机体血浆渗透压上升，排出相应量的NaCl后恢复到注射前水平
5．某陆生植物种群的个体数量减少，若用样方法调查其密度，下列做法合理的是（）
A. 将样方内的个体进行标记后再计数
B. 进行随机取样，适当扩大样方的面积
C. 采用等距取样法，适当减少样方数量
D. 采用五点取样法，适当缩小样方的面积
6．下列有关基因型、性状和环境的叙述，错误的是（）
A. 两个个体的身高不相同，二者的基因型可能相同，也可能不相同
B. 某植物的绿色幼苗在黑暗中变成黄色，这种变化是由环境造成的
C. O型血夫妇的子代都是O型血，说明该性状是由遗传因素决定的
D. 高茎豌豆的子代出现高茎和矮茎，说明该相对性状是由环境决定的
7．化学与生活密切相关。下列说法错误的是（）
A. PM2.5是指粒径不大于2.5 μm的可吸入悬浮颗粒物
B. 绿色化学要求从源头上消除或减少生产活动对环境的污染
C. 燃煤中加入CaO可以减少酸雨的形成及温室气体的排放
D. 天然气和液化石油气是我国目前推广使用的清洁燃料
8．下列说法正确的是（）
A. 植物油氢化过程中发生了加成反应
B. 淀粉和纤维素互为同分异构体
C. 环己烷与苯可用酸性KMnO4溶液鉴别
D. 水可以用来分离溴苯和苯的混合物
9．下列实验操作规范且能达到目的的是（）
A. A
B. B
C. C
D. D
10．N A为阿伏加德罗常数的值。下列说法正确的是（）
A. 0.1 mol 的中，含有0.6N A个中子
B. pH=1的H 3PO4溶液中，含有0.1N A个
C. 2.24 L（标准状况）苯在O2中完全燃烧，得到0.6N A个CO2分子
D. 密闭容器中1 mol PCl3与1 mol Cl2反应制备PCl5（g），增加2N A个P-Cl键
11．全固态锂硫电池能量密度高、成本低，其工作原理如图所示，其中电极a常用掺有石墨烯的S8材料，电池反应为：16Li+x S8=8Li2S x（2≤x≤8）。下列说法错误的是（）
A. 电池工作时，正极可发生反应：2Li2S6+2Li++2e-=3Li2S4
B. 电池工作时，外电路中流过0.02 mol电子，负极材料减重0.14 g