1.复数与复变函数

《复变函数》(西安交大 第四版)

第一章 复数与复变函数

§1．复数及其代数运算

复数：

iy x z +=， 1-=

i ——虚数单位． )Re(z x =——实部， )Im(z y =——虚部．

两复数相等是指实部、虚部分别相等．复数间不能比较大小． 复数的代数运算：, 111y i x z += 222 y i x z +=．

加法：)( )(212121y y i x x z z +++=+； 减法：)( )(212121

y y i x x z z -+-=-；

乘法：

)(x )(2112212121y x y i y y x x z z ++-=?；

除法：

0)(z ,

222

22

211222

2

2

21212

2212

1≠+-+++=

=y

x y x y x i y

x y y x x z z z z z z ．

复数的运算满足交换律、结合律和分配律． 共轭复数：

iy

x z +=，

iy

x z -=． 满足：

(1)

212121212121z

z z , ,z z z z z z z z z =

???? ???=±=±； (2)

z

z =；

(3) 2

2

y

x z z +=?； (4) x z z 2=+， y i z z 2=-．

例1．设 i

i i z --

-=

1 31，求 )Im( ),Re(z z 与

z

z ? ．

解：i i i i i i i i i i z 21

23232

3)1)(1()

1( 3)

( ))(1(-=??? ??+--=+-+-

---=

，

2

3)Re(=

z ， 2

1)Im(-=

z ， 2

54

14

9 =

+

=

z z ．

§2．复数的几何表示

1．复平面

平面上建立直角坐标系xoy ，这样 (1)

) ,( y x iy x z ???→←+=应

对一一． x 轴——实轴，

y 轴——虚轴． 两轴所在平面称为复平面． (2) 复数

iy x z +=可用从原点指向点 (x, y ) 的向量表示．

z 的摸：

2

2

y

x r z +=

=．

2

2

z

z

z z ==． 辐角：当 0≠z 时，向量 z 与x 轴正向的交角θ， 记

θ

=Argz ．

x

y A r g z tg =)(．

辐角主值：Argz

的主值

0arg θ=z ，满足 π

θπ≤<-0．这样，

Z)(k ,2arg ∈+=πk z Argz ．

注：当

0=z 时，辐角不定．

复数的加减法运算与向量的加减法法则一致． (3) 三角表示法：Argz

,z r ),sin (cos ==+=θθθi r z

．

(4) 指数表示法：Argz

,z r ,===θθ

i re z ，

1sin cos sin cos e

2

2i =+=

+=θθθθθ

i ．

例1．将 3

1i z -= 化成三角表示式和指数表示式．

解：3

argz ,3rgz) tg(a ,231π-=

-==+==z r

．

∴ 3

2e z ,3

sin 3cos 2i i z πππ-=??

? ?

?

-+-=． 平面曲线0) ,(=y x F 可用复数形式的方程表示，且一些常见曲线用复数形式表示时形式简单． 例2．将直线方程

32=-y x 化为复数形式．

解：

)(i

21y ),(2

1z z z z x -=

+=

，

代入方程得：6

) 21() 21(=-++z i z i ．

例3．求下列方程所表示的曲线： (1)

11=--i z ；

(2)

4)Im(=+z i ．

解：(1) y i x z +=，方程变为：1)1()1(=-+-i y x ． 即 1)1()1(2

2

=-+-y x ——圆． (2) 设y i x z

+=，则 41])1(Im[)Im(=-=-+=+y i y x z i

3-=y ——直线．

3

2．复球面 （略）．

§3．复数的乘幂与方根

设 1

11111)sin (cos θθθi e

r i r z =+=， 2

22222)s i n (c o s θθθ

i e r i r z =+=， 则

)

(

212121212

1

θθθθ+=?=i i i e

r r e

r e

r z z ；

)

(2

1212

1

212

1θθθθ-=

=

i i i e

r r e

r e r z z ．

若 θ

θθi re

i r z =+=)sin (cos ， z 的n 次幂：

θ

n i n

n

e

r z =；

又

)

2()]2sin()2[cos(πθπθπθk i re

k i k r z +=+++=， z 的n 次方根：

n

k i n

n

n

k e

r n

k i n

k r z w )

2( 2sin

2cos πθπθπ

θ+=??

?

??

?+++=

=

， )1n , 1, ,0(-= k ．

例1．求 10

)

1(i -．

解：4

i

e

21π－=

-i ，

10

)

1(i -()

i 32e

32e

22

i

4

i

1010

-===

--ππ．

例2．求 3

1i

-．

解：

)]4isin(2k 4[cos(2k 21π

ππ

π-

+-

=

-i ，

∴

)]4

2(3

1sin )4

2(3

1[cos 216

3

π

ππ

π-+-=

-k i k i ， ) 2 1, ,0(=k ．

即 12

sin

12

(cos

26

0π

π

i w -=， )12

7sin

12

7(cos

26

1ππi w +=

， )12

15sin

12

15(cos

26

2ππi w +=

．

§4．区 域

1．区域 邻域：0)

( } {) ,(00><-∈=δδδz z C z z U

；

去心邻域：} 0 {) ,?(00δδ<-<∈=z z C z z U ； 区域：连通的开集称为区域．

区域D 的边界点P 、边界D ?．区域的边界可能由几条曲线和一些孤立点所组成． 邻域、区域 闭区域D ：区域D 连同它的边界D ?．

??

??中．

不能包含于任何一个圆

无界点集：；

有界点集： R) ,U(z E 0E . 2．单连域与多连域

平面曲线C ：b)t (a )

()

(≤≤??

?==t y y t x x 可改写成：b)t (a ),()()(≤≤+==t iy t x t z z ．(复数形式) 称C 为连续曲线，若)()(t y t x 、连续； 称C 为光滑曲线，若

)()(t y t x ''、连续、且不同时为0；

称C 为分段光滑曲线，若C 由几段光滑曲线连接而成．

称连续曲线C 为（简单）闭曲线，若C 是一条无重点（除端点外）的闭曲线．

??

?有洞区域．：非单连域的区域，即

多连域，即无洞区域．

部均属于内任一简单闭曲线的内是区域，且：单连域D B B B B

单连域B

§5．复 变 函 数

1．复变函数

定义：设C G ?．若存在一确定的法则，对于每个G

iy x z

∈+=，按此法则，总有一个或几个相应的复数iv

u w +=与z 对应，则称w 是z 的函数，记

G

z ),(∈=z f w ．

G ——定义域； {}G z z f G

∈= )(*

——值域．

?

?

?==为多值函数．多值函数：否则，称为单值函数；

值，称值对应一个单值函数：每个)( )( z f w z f w w z 例：2

z

w = 是单值函数；

z

w = 是多值函数．

iv u w += 与 iy x z += 的对应关系 )(z f w = 等价于关系：?

??==),,(),,(y x v v y x u u

（两个二元实函数）．

例：12xy v ,x u ),12()(2

2

2

2

2

+=-=++-=+=y xy i y x i z w 故． 2．映射

复变函数在几何上表示映射．选择两个复平面：z 平面和w 平面．?

z f

z ——原象； w ——象．

Z W

例1：函数

z w =

的映射．

此映射将Z 平面上的图形映射成关于x 轴对称的图形．称为对称映射． 复变函数的反函数：*

→=G

G z f w :)(，反函数：G G w w f

z →==*

?

-:)( )(1

?．

由)(w z ?=构成的映射称为逆映射． 显然，

*

∈?=G w )],([w f w ?； G z )],([∈?=z f z ?．

§6．极限和连续性

1．极限 定义：设)(z f w

=在) ,?(0r z

U 内有定义．若有常数C A ∈， 使得：0 0, >?>?δε， 当 r

<<-<δ0z z 0时，

ε

<-A z f )(， 称为当

z z →时

)(z f 的极限是A ， 记作

A z f z z =→)(lim 0

．

定理一．设

) ,() ,()(y x iv y x u z f +=，00iv u A +=，000iy x z +=． 则

00 )y ,(lim )y ,(lim )(lim 0

0000

v x v u x u A z f y y x x y y x x z z ==?=→→→→→，．

证：2

02

00)

()(z z y y x x -+-=- ， 2

020)()(A f(z)v v u u -+-=

-．

000y y x x 0z z →→?→-∴及； 00v v u u 0A f(z)→→?→-及．

例1．求 z

z i

z ++→1 lim 1 ．

解：22222

2

11111)(y x y i y x x y

x iy x z

z

z z f +-???? ?

?++=+-+

=+

=+=

．2222 v ,1y x y

y x x u +-=???? ??++=， i 1z 0+=． 由于 2

3)y ,(lim 1

1

=

→→x u y x ， 2

1)y ,(lim 1

1

-=→→x v y x ， i i

z 2

12

3 f (z )

lim 1 -

=∴+→．

由定理一，可得极限的四则运算法则． 定理二．若

A z f z z =→)(lim 0

，B

z g z z =→)(lim 0

， 那么：

(1) B A z g z f z z ±=±→)]()([lim 0

； (2) AB z g z f z z =→)]()([lim 0

；

(3)

0)

(B ,)

()(lim

≠=

→B

A z g z f z z ．

2．连续性 定义：若 )()(lim

0 0

z f z f z z =→，则称)(z f 在0z 处连续． 若)(z f 在区域D 内处处连续，则称)(z f 在D 内连续．

定理三．函数) ,() ,()(y x iv y x u z f += 在

000iy x z +=

处连续的充要条件为：

)

,(y x u 、

) ,(y x v 在

)y ,(00x 处连续．

证：) ,() ,()(lim )(000000 00

y x iv y x u iv u z f z f A z z +=+===→．

例．

)ln()()(2

2

xy i y x z f ++=，这里

2

2y

x u +=处处连续， 0 xy )ln(>=在xy v 处连续， 所以

)(z f 在 0xy > 处连续．

由定理二、三可得如下结果．

定理四．两个连续函数的和、差、积、商（分母不等于0）仍然是连续函数；连续函数的复合函数仍为连续函数． 例：(1) 复多项式 n

n z

a z a z a a z P w ++++== 2

210)( 处处连续；

(2) 有理函数 m

m n n z

b z b z b b z a z a z a a z Q z P w ++++++++=

=

22102

210)

()( 在分母不等于0处连续．

注：若 )

()(lim 0 0

z f z f C

z z z =∈→， 则称)(z f 在曲线C 上0z 点处连续． .

结论：若C 是一条闭曲线或包括端点的曲线，而)(z f 在C 上连续， 则)(z f 在C 上有界：) C (z ,)(∈≤M z f ．