《正切函数的性质与图象》教学反思

林秋林

2009.12.08

一、设计背景

本节课的主要内容是讲解“正切函数的性质与图象”。在这之前我们已经用了四节课的时间学习了“正弦函数和余弦函数的图象与性质”。函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式，我希望通过教案的设计、课件的运用，能使学生顺利掌握本节课的重点与难点。

二、设计思路

为了强调数形结合，我在设计课堂过程的时候有意识的对教材进行了调整，先从画正切函数的图象入学，结合图象研究正切函数的性质。由于学生刚学过正弦曲线的画法，对于正切函数的图象，我注意循序渐进，首先从复习研究正弦函数的图象入手，很自然的将本节课要研究的问题显现了出来，其次我将正切函数的图象由“几何画板”画出，而学生则根据画出的图象，总结出相应的性质，然后运用这些重要的性质来解决一些简单的问题。

三、教学任务

1.教学目标：

通过对于“正切函数的性质”的研究，注重培养学生“类比思想”的养成，以及培养学生综合运用新旧知识的能力。学会通过对图象的观察来整理相应的知识点，学会运用数学思想解决实际问题的能力。

2．教学重点：正切函数的图象形状及其主要性质。

3．教学难点：正确作出正切函数的图象，认识正切函数的性质和图象特点。

4．教学手段：多媒体、网上资料与课件。

四、教学过程

(一)复习与引入

在单位圆中复习正切线（AT）的定义；

1、回忆正弦函数图象的作法（几何法）；

2、由前面的知识可知：一个周期函数的作图问题，只需作出它在一个周期内的函数图象，然后通过左右扩展即可得到它在整个定义域内的图象。如果正切函数也是周期函数的话，我们就可以这么做，那么正切函数是周期函数吗？如果是，最小正周期又是多少呢？（二）新课

1、正切函数的图象

①.由诱导公式，sin()sin tan()tan cos()cos x x x x x x

πππ+-+===+-，这说明正切函数是周期函数，π是它的一个周期，我们还可以证明，π就是它的最小正周期。

②．说明等式成立的前提条件是)(2Z k k x ∈+≠ππ

③．讨论先作哪个区间的图象，解释为何不先作()π,0上的图象，而后利用正弦线在??

? ??-2,2ππ内作出正切函数的图象。（事先作好辅助PPT ） ④．根据正切函数的周期性，把上述（在??

? ??-2,2ππ内的）图象向左右扩展，即可得到正切函数R x x y ∈=,tan 且)(2Z k k x ∈+≠ππ

的图象，并把它叫做正切曲线。

⑤.介绍正切函数在??? ?

2,2ππ上的图象的简单画法：三点两线法。 2、正切函数的性质由正切曲线可以看出，它是被互相平行的直线)(2Z k k x ∈+=ππ

所隔开的无数多支

曲线组成的，这些直线我们成为渐进线。也正是由此，我们得到了正切函数许多独特的性质。 ①．定义域：},2|{Z k k x x ∈+≠ππ

②．值域：R

说明：

i.由图象可观察出值域；

ii.由图象说明tan x 趋向于正无穷大，趋向于负无穷大是，x 无限接近于渐进线。

③．周期性：π

④．奇偶性：tan()tan x x -=-，奇函数；正切曲线关于原点对称。 ⑤．单调性：在开区间Z k k k ∈??

? ??++-,2,2ππππ内都是增函数。

说明：

i.正切函数在整个定义域内是增函数吗？为什么？（反例：

6π与45π） ii.正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？

⑥.渐近线方程：Z k k x ∈+=,2π

π。 ⑦对称中心：Z k k ∈??? ??,0,2π,无对称轴。

3、例题讲解

例1、比较下列每组数的大小。

(1) 173tan 167tan 与 (2) )513tan()411tan(ππ--

与例2、求函数)4tan(π

+=x y 的定义域说明：i ．由函数x y tan =的定义域知，将4π

+x 看作一个整体；

ii ．单调性如何？（整体来看：化复杂（)4tan(π

+=x y ）为简单（x y tan =）） iii.进一步：奇偶性如何？由定义判断它是非奇非偶函数

例3、求函数x y 3tan =的周期。

说明：由此总结出函数)tan(?ω+=x A y 的周期是|

|ωπ=T 。 4、作业

（三）小结

五、教学反思

本次教学过程的引入比较合理，对于正切函数图象选用哪个区间作为代表区间加以讨论解释，在课堂上，充分体现了“教师为主导，学生为主体”的教学规律。从讲课的情况来看，我能始终抓住以类比思想主线。我让学生在巩固原有知识的基础上，通过类比，对新知识进行分析，定义，猜想，证明，使新旧知识点有机的结合在一起，学生对新知识也较易接受；同时强调数形结合，通过多媒体教学，使学生通过对图象的观察，对知识点的理解更加直观、形象，提高了学生的学习兴趣，达到良好的教学效果。这使我对今后的教学

更有信心。我将坚持以学生为本，以学生的实际情况为教学出发点，通过各种数学思想的渗透，合理运用各种教学课件，逐步培养学生养成两方面能力：学会通过对图象的观察来整理相应的知识点，学会运用数学思想解决实际问题的能力。这样既加强了类比这一重要数学思想的培养，也有利学生综合运用能力的提高了，有利于学生把新旧知识前后联系，融会贯通，提高教学效果。

不足之处：

1、在多媒体操作过程中还不熟练，利用计算机作正切函数图象时没有把PPT和几何画板有机结合在一起以至作图部分重复讲了一遍。

2、还应多注意语言表达的准确性，严谨性。

3、课堂上时间掌握不到位，以至于例题部分讲得比较匆忙，无法让学生更加深刻地理解。