高二下期数学第一次周练(理科)

高二下期数学第一次周练（理科）

1．设复数z 满足()1z i i R +-∈，则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．-1

C ．i

D ．i -

2．若复数2i

z i

=

+，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A

B

C ．25

D ．

1

5

3．在复平面内，复数23

34i i

++的共轭复数对应的点位于（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

4．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且132a ，3

4a ，2a 成等差数列，则20191817

a a a a +=+（ ）

A ．9

B ．6

C ．3

D ．1

5．已知函数23()2ln (0)x

f x x x a a

=

-+>，若函数()f x 在[]1,2上单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．2,5??+∞????

B ．20,5

?? ??

?

C ．(0,1]

D ．[1,)+∞

6．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)

B ．

C ．(0,1)

D ．(0，＋∞)

7．已知抛物线2

4y x =的焦点为F ，过点()2,0P 的直线交抛物线于AB 两点，直线AF ，

BF 分别与抛物线交于点C ，D ，设直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k ，则1

2

k k =（ ） A ．12

-

B ．2

C ．1

D ．

12

8．设函数()(21)x

f x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得

0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）

A ．3,12e ??

-????

B ．33,2e 4??

-????

C ．33,2e 4??????

D ．3,12e ??

??

??

9．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，已知AC EC ⊥，

2AB AF BC ===，4AD DE ==，四边形ADEF 为直角梯形，//AF DE ，

90DAF ∠=?.

（1）证明：平面ABCD ⊥平面ADEF ； （2）求直线BE 与平面EAC 所成角的正弦值. 10．已知函数2()ln (21)f x x ax a x =+++. （1）讨论()f x 的单调性； （2）当0a <时，证明3

()24f x a

≤-

-.

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参考答案

1．B 【分析】

根据复数的运算，化简得到()11(1)z i i a b i +-=+++，根据题意，求得1b =-，即可求得z 的虚部，得到答案. 【详解】

设复数,(,)z a bi a b R =+∈，则()11(1)z i i a b i +-=+++， 因为()1z i i R +-∈，可得10b +=，解得1b =-， 所以复数z 的虚部为1-. 故选：B. 2．B 【分析】

先利用复数的除法运算法则化简复数2i

z i

=+，再利用复数模的公式求解即可. 【详解】 因为()()()21212222555

i i i i z i i i i -+=

===+++-，

所以z ==

， 故选：B. 3．B 【分析】

利用复数的除法运算和虚数单位的性质化简为复数的代数形式的标准形式，根据共轭复数的定义得到其共轭复数，利用复数的几何意义得到所对应点的坐标，进而判定所在象限. 【详解】

2

334i i

++=

()()()3349121612113434252525i i i i i ---=-=--+-， 其共轭复数为1612+2525i -

，在复平面内对应点的坐标为1612,2525??

- ???

，在第二象限， 故选：B.

【点睛】

本题考查复数的运算，共轭复数的概念和复数的几何意义，属基础题，关键在于要熟练掌握复数的除法运算. 4．A 【分析】

易得

22201918171817182

17

a a a q a q a a a a q ++==++，于是根据已知条件求等比数列的公比即可. 【详解】 设公比为q .由

132a ，3

4a ，2a 成等差数列，可得312322

a a a +=， 所以2111322

a a q a q +=

，则2

230q q --=，解1q =-(舍去)或3q =. 所以

222019181718171812

7

9a a a q a q a a a a q ++===++.故选A. 【点睛】

本题考查等比数列、等差数列的基本问题.在等比数列和等差数列中，首项和公比(公差)是最基本的两个量，一般需要设出并求解. 5．D 【分析】

求出()'

f x 由()0f x '

≤得

31

4x a x ≤-，令1()4g x x x

=-，判断出()g x 的单调性并利用单调性可得()g x 的最小值可得答案. 【详解】

31

()4(0)f x x x a x '=

-+>，因为函数()f x 在[]1,2上单调递减， 所以3140x a x -+≤，即314x a x

≤-，

令1()4g x x x =-，由于11

4,y x y x ==-在[]1,2都是增函数，

所以1

()4g x x x

=-在[]1,2单调递增，所以()(1)3g x g ≤=，

所以3

3a ≤，又0a >，解得1a ≥.

故选：D .

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【点睛】

本题考查了利用函数的单调性求参数的范围问题，关键点是令1

()4g x x x

=-并求出最小值，考查了学生分析问题、解决问题的能力. 6．B 【解析】

函数f （x ）=x （lnx ﹣ax ），则f′（x ）=lnx ﹣ax+x （﹣a ）=lnx ﹣2ax+1， 令f′（x ）=lnx ﹣2ax+1=0得lnx=2ax ﹣1，

函数f （x ）=x （lnx ﹣ax ）有两个极值点，等价于f′（x ）=lnx ﹣2ax+1有两个零点， 等价于函数y=lnx 与y=2ax ﹣1的图象有两个交点， 在同一个坐标系中作出它们的图象（如图） 当a=时，直线y=2ax ﹣1与y=lnx 的图象相切，

由图可知，当0＜a ＜时，y=lnx 与y=2ax ﹣1的图象有两个交点． 则实数a 的取值范围是（0，）． 故选B ．

7．D 【分析】

设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，联立直线AF 和抛物线的方程求出韦达定理311x x =，131y y x =-同理42

1

x x =，242y y x =-，再计算得到212k k =得解.

【详解】

易知()1,0F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ， 设直线1:(2)AB y k x =- 直线11:(1)1y AF y x x =

--，直线22:(1)1

y

BF y x x =--， 由112(1)14y y x x y x ?=-?-??=?

得()2

1

22

1

41210x x x x y ---+= 由韦达定理:131x x =，∴31

1x x =

， ∴1311

11

111y y y x x x ??=

-=- ?

-?? 同理:42

1

x x =

，242y y x =- ∴12122112

22112

11y y x x x y x y k x x x x ??

--- ?-+??==

-- ()()21111221

22x k x x k x x x --+-????????

=

-

1121211211

21

22k x x k x k x x k x x x -++-=

-

()

121121

22k x x k x x -=

=-

∴

1212

k k =. 故选：D 【点睛】

关键点睛：解答本题的关键是联立直线和抛物线的方程得到韦达定理，得到31

1x x =

，

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131y y x =-

，42

1

x x =，242y y x =-.再利用这些条件去化简.对于直线和圆锥曲线的位置关系

的问题，经常要联立直线和曲线的方程得到韦达定理，再利用韦达定理去化简，这个技巧要理解并掌握. 8．D 【分析】 设()()21x

g x e

x =-，()1y a x =-，问题转化为存在唯一的整数0

x

使得满足

()()01g x a x <-，求导可得出函数()y g x =的极值，数形结合可得()01a g ->=-且

()3

12g a e

-=-≥-，由此可得出实数a 的取值范围.

【详解】 设()()21x

g x e

x =-，()1y a x =-，

由题意知，函数()y g x =在直线y ax a =-下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，

()()21x g x e x '=+，当12x <-时，()0g x '<；当1

2

x >-时，()0g x '>.

所以，函数()y g x =的最小值为1

2122g e -??

-=- ???

.

又()01g =-，()10g e =>.

直线y ax a =-恒过定点()1,0且斜率为a ， 故()01a g ->=-且()31g a a e -=-≥--，解得3

12a e

≤<，故选D. 【点睛】

本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.

9．（1）见解析（2 【详解】

分析：（1）通过取AD 中点O ，连接CO ，利用1

2

CO AD =

，得到直角；再利用AC EC ⊥可得AC CDE ⊥；而DE ABCD ⊥ , DE ? 平面ADEF ，所以可得面面垂直．

（2）以AD 中点O 建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求得平面CAE 与直线BE 向量，根据直线与法向量的夹角即可求得直线与平面夹角的正弦值．

详解：（1）证明：取AD 的中点O ，连接CM ，2AB AF BC ===，//BC AO ， 由四边形ABCO 为平行四边形，可知1

2

CO AD =

，在ACD ?中，有90ACD ∠=?，∴AC DC ⊥.

又AC EC ⊥，DC

EC C =，∴AC ⊥平面CDE ，

∵ED ?平面CDE ，∴DE AC ⊥.

又DE AD ⊥，AD DE D ?=，∴DE ⊥平面ABCD . ∵DE ?平面ADEF ，∴平面ABCD ⊥平面ADEF .

（2）解：由（1）知平面ABCD ⊥平面ADEF ，如图，建立空间直角坐标系，(B ，

(

C -，()2,4,0E -，()2,0,0A ，

(

3,0,CA =，()4,4,0AE =-，(3,4,BE =-.

设平面CAE 的法向量(),,n x y z =，

则00CA n AE n ??=??=?

，即30

440x x y ?=??

-+=??， 不妨令1x =，得(1,1,3n =.

故直线BE 与平面EAC 所成角的正弦值sin ,BE n BE n BE n

?=

35=

=.

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点睛：本题考查了空间几何体面面垂直的综合应用，利用法向量法求线面夹角的正弦值，关键注意计算要准确，属于中档题． 10．（1）见解析；（2）见解析. 【分析】

（1）先求函数导数(21)(1)

'()(0)ax x f x x x

++=

>，再根据导函数符号的变化情况讨论单

调性：当0a ≥时，'()0f x >，则()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a <时，()f x 在1(0,)2a

-单调递增，在1

(,)2a

-+∞单调递减. （2）证明3()24f x a ≤--，即证max 3()24f x a ≤--，而max 1()()2f x f a

=-，所以需证11

ln()1022a a

-

++≤，设g （x ）=ln x -x +1 ，利用导数易得max ()(1)0g x g ==，即得证. 【详解】

（1）()f x 的定义域为（0，+∞），()()‘1211

)22(1x ax f x ax a x x

++=

+++=. 若a ≥0，则当x ∈（0，+∞）时，’

)(0f x ＞，故f （x ）在（0，+∞）单调递增. 若a ＜0，则当10,2x a ?

?∈-

?

??时，()0f x '＞时；当x ∈1

()2a

∞-+，时，’)(0f x <. 故f （x ）在’

)(0f x ＞单调递增，在1

()2a

∞-

+，单调递减. （2）由（1）知，当a ＜0时，f （x ）在1

2x a

=-

取得最大值，最大值为111

()ln()1224f a a a

-

=---

.

所以3

()24f x a ≤-

-等价于113ln()12244a a a ---≤--，即11ln()1022a a

-++≤. 设g （x ）=ln x -x +1，则’

1(1

)g x x

=

-. 当x ∈（0,1）时，()0g x '>；当x ∈（1，+∞）时，()0g x '<.所以g （x ）在（0,1）单调递增，在（1，+∞）单调递减.故当x =1时，g （x ）取得最大值，最大值为g （1）=0.所以当x ＞0时，g （x ）≤0.从而当a ＜0时，11ln()1022a a

-++≤，即3

()24f x a ≤--.

【点睛】

利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.

（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.