数学分析试题库判断题精品

数学分析题库（1-22章）

三 判断题

1. 数列{}n a 收敛的充要条件是数列{}n a 有界.

( )

2. 若0N ?>, 当n N >时有n n n a b c ≤≤, 且lim lim n n n n a c →∞

→∞

≠, 则lim n n b →∞

不存在. ( )

3. 若00

lim ()lim ()x x x x f x g x →→>, 则存在 00(;)U x δ使当0

0(;)x U x δ∈时,有

()()f x g x >.( )

4. ()f x 为0x x →时的无穷大量的充分必要条件是当0

0(;)x U x δ∈时,()f x 为无界函

数.( ) 5. 0x =为函数

sin x

x

的第一类间断点. ( ) 6. 函数()f x 在[,]a b 上的最值点必为极值点. ( )

7. 函数21,0,()0,

0x e x f x x -??

≠=??=?在0x =处可导. ( )

8. 若|()|f x 在[,]a b 上连续, 则()f x 在[,]a b 上连续. ( )

9. 设f 为区间I 上严格凸函数. 若0x I ∈为f 的极小值点，则0x 为f 在I 上唯一的极小值点. ( )

10. 任一实系数奇次方程至少有两个实根. ( )

11. 2200011lim sin

lim limsin 0x x x x x x x

→→→=?=. （ ） 12. 数列{}n a 存在极限?对任意自然数p , 有lim ||0n p n n a a +→∞

-=. （ ）

13. )(lim 0

x f x x →存在的充要条件是)(lim 0

x f x x +→与)(lim 0

x f x x -→均存在.

（ ）

14.

.0)2(1lim )1(1lim 1lim )2(1)1(11lim 222222=++++=?????

?++++∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n ΛΛ（ ）

15. ,lim a a n n =∞

→ 若0,0>>a a n , 则 1lim lim

==∞

→∞

→n n n

n n a a . （ ）

16. 设)(),(x g x f 为定义于D 上的有界函数, 且)()(x g x f ≤,D x ∈, 则)(inf )(inf x g x f D

x D

x ∈∈≤.

（ ）

17. 发散数列一定是无界数列. （ ）

18. 0x =是函数1

()sin

f x x x

=的第二类间断点. （ ）

19. 若()f x 在[,]a b 连续，在内(,)a b 可导，且()()f a f b ≠，则不存在(,)a b ξ∈，使

()0f ξ'=.（ ）

20. 若()f x 在点0x 既左可导又右可导，则()f x 在0x 连续.

（ ）

21．定义在关于原点对称的区间上的任何函数f(x)均可表示为一个偶函数和一个奇函数之和.( ）

22．设函数f(x)在0x x =处的导数不存在，则曲线y=f(x)在()()00,x f x 处无切线.（ ）

23．若f(x)与g(x)均在0x x =处取得极大值，则f(x)g(x)在0x x =处也取得极大值.（ ）

24.lim ()x f x b →Λ=

(b 为常数,Λ可以是000,,,,,x x x -

+

∞+∞-∞之一)，则

，

是变化时的无穷小量( ) 25.函数()f x 在(a,b)单调增加，则

时，函数的左、右极限

都存在，且

( )

26. 设 ， 为有理数集，则

( )

27.若函数

在

连续，则

也在

连续 ( )

28．设

)(x f 在],[b a 上连续，M 与m 分别是)(x f 的最大值和最小值，则对于

任何数)(M c m

c ≤≤，均存在],[b a ∈ξ，使得c f =)(ξ. ( )

29．设(),()f x g x 在),(b a 内可导，且)()(x g x f >，则)(')('x g x f >.

( )

30．设

}{n x 的极限存在，}{n y 的极限不存在，则}{n n y x +的极限未必不存在.

( )

31．如是函

0x x =数)(x f 的一个极点，则0)('0=x f . ( )

32．对于函数x x x cos +，由于)sin 1(lim ')'

cos (lim x x x x x x -=+∞→∞→不存在，根据洛必达法制，当x 趋于无穷大时，x x x cos +的极限不存在. ( )

33．无界数列必发散. ( )

34．若对ε?>0，函数f 在[εε-+b a ,]上连续，则f 在开区间（b a ,）内连续. ( ) 35．初等函数在有定义的点是可导的. ( )

36．?ψ=f ，若函数?在点0x 可导，ψ在点0x 不可导，则函数f 在点0x

必不可导 . ( ) 37．设函数f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可导，但)()(b f x f ≠，

则对),(b a x ∈?，有0)('≠x f . ( )

38．设数列}{n a 递增且 （有限）. 则有}sup{n a a =. ( )

39．设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义. 若对)(0x U x n ο

∈?,当

0x x n →时, 数列)}({n x f 都收敛于同一极限. 则函数)(x f 在点0x 连续. ( )

40．设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义. 若存在实数A ,使0→?x 时,

),()()(00x x A x f x x f ?=?--?+ο则)(0x f '存在且A x f =')(0. ( )

41．若),(0)( ,0)()(2121x f x f x f x f ''<<''='='则有).()(21x f x f >( ) 42．设

??+=+=c x G dx x g c x F dx x f )()( ,)()(. 则当)()(x G x F ≠时,

有)()(x g x f ≠. ( ) 43．设

)(),(t g x f 在),(b a 内可导，且)()(x g x f >，则)(')('x g x f >.

( ) 44．存在这样的函数，它在有限区间中有无穷多个极大点和无穷多个极小点. ( )

45．()x f 在[]b a ,上可积,但不一定存在原函数. ( )

46．利用牛顿一来布尼兹公式可得

211111

12-=--=?-x x

. ( ) 47．任意可积函数都有界,但反之不真. ( ) 48．级数

∑∞

=1

n n

a

,若

∑∞

=≠1

0n n

a

,则∑∞

=1

n n a 必发散. ( )

49．若级数

∑∞

=1

n n

a

收敛,则

∑∞

=1

2n n

a

亦收敛. ( )

50．若在[a,b]上收敛.且每项都连续,则()().lim

lim dx x f dx x f b

a

n n n b

a

n ??

∞

→∞→=( )

51．若

∑∞

=1n n

u

一致收敛,则0lim =∞

→n n u .( )

52．若

∑∞

=1

n n

u

在I 上一致收敛,则

∑∞

=1

n n

u

在I 上绝对收敛. ( )

53．函数()x f 的傅里叶级数不一定收敛于()x f .( ) 54．设)(x f 在],[b a 上可积，记?

∈?=Φx

a

b a x dt t f x ,],[)()(则)(x Φ在],[b a 上可导，

且).()(x f x =Φ'( )

55．],[b a 上有界函数)(x f 可积的充要条件是：,0>?ε有对],[b a 的一个分法0T ，使

.)()(00ε<-T s T S ( )

56．部分和数列}{n S 有界，且,0lim =∞

→n n u 则

∑∞

=1

n n

u

收敛. ( )

57．若

∑∞

=1

||n n

u

收敛，则一定有∑∞

=1

n n u 收敛. ( )

58．若幂级数

∑∞

=-1

)1(n n n

x a

在1-=x 处收敛，则在3=x 处也收敛. ( )

59．若)(),,()

(x f r r x n -∈?存在)21Λ，，（=n ，则)(x f 在),(r r -上可展成x 的幂级数.

( )

60．在区间套]},{[n n b a 内存在唯一一点,ξ使得.,2,1]

,[Λ=∈n b a n n ξ( )

61.函数列(){}

n f x 在[],a b 上一致收敛是指：对0ε?>和[],x a b ?∈，?自然数N ，当m n N >>时，有()()n m f x f x ε-<. ( )

62.若(){}

n f x 在[],a b 上一致收敛于()f x ，则

(){}n

f

x 在[],a b 上一致收敛于()f x .

( )

63.若函数列(){}

n f x 在[],a b 上一致收敛，则(){}

2n f x 在[],a b 上一致收敛. ( ) 64. 若函数列(){}

n f x 在(),a b 内的任何子闭区间上都一致收敛，则(){}

n f x 在(),a b 上一致收敛. ( ) 65.若函数项级数

()1

n

n u x ∞=∑在[],a b 上一致收敛，则()1

n

n u x ∞

=∑在[],a b 上也一致收敛. ( )

66.任一幂级数都有收敛点，它的收敛域是一个区间。 （ ） 67.任一幂级数在它的收敛区间内是绝对收敛的。 （ ） 68.幂级数的收敛区间就是它的收敛域。 （ ） 69.任一个n 次多项式()n p x 都可展成幂级数。 （ ）

70.任一幂级数在它的收敛区间内总可逐项求导。 （ ） 71．若)(x f 是以π2为周期的连续函数 , 在] , [ππ-上按段光滑,且 则)(x f 的Fourier 级数在) , (∞+∞-内收敛于)(x f . （ ）

72. 设以π 2为周期的函数f 在区间] , [ππ-上按段光滑, 则在每一点∈x ] , [ππ-,

f 的Fourier 级数收敛于f 在点x 的左、右极限的算术平均值.

（ ）

73. 若)(x f 是以π2为周期的连续的奇函数，则)(x f 的傅立叶系数的计算公式是 );,2,1(sin )(1

),,2,1,0(00

ΛΛ==

==?

n xdx x f b n a n n π

π （ ）

74. 若函数 ),(y x f 在),(00y x 连续，则其二重极限必存在。 （ ） 75. 若),(0y x f 在 0x 和),(0y x f 在0y 都连续，则 ),(y x f 在点),(00y x 处必连续. （ ） 76. 点列{}),(n n n y x P 收敛于),(000y x P 的充要条件是0lim x x n n =∞

→, 0lim y y n n =∞

→. （ ）

77. 平面上的有界无限点列必存在收敛的子列。 （ ） 78. 若函数 ),(y x f 在 点),(00y x 处的两个累次极限都不存在，则二重极限必不存在. （ ）

79. 若函数 ),(y x f 在 点),(00y x 处的两个累次极限都存在且相等，则二重极限必存在.

（ ） 80. 若函数 ),(y x f 在),(00y x 处存在偏导数，则),(y x f 在),(00y x 处一定可微. （ ） 81. 若函数 ),(y x f 在 ),(00y x 处存在偏导数，则),(y x f 在),(00y x 处一定连续. （ ） 82. 函数的极值点一定是它的稳定点。 （ ） 83. 若函数 ),(y x f 在 点),(00y x 处的方向导数存在，则函数在该点一定可微. （ ）

84. 函数 ),(y x f 在 点),(00y x 处的方向导数存在，则函数在该点一定连续. （ ） 85. 若函数 ),(y x f 在 点),(00y x 处取得极值，则当固定0y y =时，一元函数),(0y x f 必定在0x x =取得相同的极值. （ ） 86.()1 L

x y ds +=?, 其中L 是以O ) 0 , 0 (、A ) 0 , 1 (和B ) 1 , 0 (为顶点的三角形；

（ ） 87.||4 L

y ds =?

， 其中L 为单位圆周 122=+y x . （ ）

88.

?

++L

ds z y x 222)()42(3

222222b a b a ππ

++=

，L 为螺旋线.t a x cos =，

t a y sin =，bt z =，π20≤≤t . （ ）

89.2

313

L

x ds a π=?, 其中L 为球面2222a z y x =++和平面0=++z y x 的交线. （ ） 90.

2222()()2 L

x y dx x y dy ++-=?

, 其中L 是以点A ) 0 , 1 ( 、B ) 0 , 2 (、C ) 1 , 2 (和

D ) 1 , 1 (为顶点的正方形 ，方向为逆时针方向. （ ） 91.

2

()D

x y dxdy +≥????+D

dxdy y x 3

)(, D 为X 轴、Y 轴与直线1=+y x 所围区域.（ ） 92.0()1D xy x y dxdy ≤+≤??, D 为闭矩形 ] 1 , 0 [] 1 , 0 [?. ( )

93.3

23(3)2D

x

x y y dxdy ++=??, D 为闭矩形] 1 , 0 [] 1 , 0 [?. ( )

94.?

?b

a

x

a dy y x f dx

),(??=b a b

y dx y x f dy

),() (b a <. （ ）

95.

?

?

π

2 0

sin

0 ),(x

dy y x f dx ??

-

=1 0

arcsin -

arcsin ),(x

x dx y x f dy π?

?

-0

1

arcsin -2

arcsin - ),(x

x dx y x f dy ππ.（ ）

96.4

2

2

()()2S

a y x z dydz x dzdx y xz dxdy -+++=??，其中S 为由

a z y x z y x ======,0六个平面所围的立方体表面并取外侧为正向. （ ）

97.

??+++++S

dxdy x z dzdx z y dydz y x )()()(=-8，其中S 是以原点为中心，边长为2的

立方体表面并取外侧为正向.（ ） 98.

??++S

xzdxdy yzdzdx xydydz 1

8=，其中S 是由平面1,0=++===z y x z y x 所围的四面体面并取外侧为正向. （ ） 99.

??S

yzdzdx 4

π

=

,其中S 是球面12

22=++z y x 的上半部分并取外侧为正向. （ ）

100.

??++S

dxdy z dzdx y dydz x 2223

7()3R a b c π=++，其中S 是由球面 2222)()()(R c z b y a x =-+-+-，并取外侧为正向. （ ）