8年级数学(人教版)培优竞赛训练—8、分式的概念、分式的基本性质
8、分式的概念、分式的基本性质
【知识精读】
分式的概念要注意以下几点：
（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；
（2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母； （3）分式有意义的条件是分母不能为0。 分式的基本性质类似于分数的基本性质，是分式的符号变换法则、约分和通分的理论基础。在运用分式的基本性质时，要抓住对性质中的“都”与“同”两个字的理解，并注意法则中M “不为零”的条件。
下面我们通过习题进一步理解分式的有关概念。 【分类解析】
例1. 已知a b ，为有理数，要使分式a
b
的值为非负数，a b ，应满足的条件是（ ） A. a b ≥≠00， B. a b ≤<00，
C. a b ≥>00，
D. a b ≥>00，，或a b ≤<00，
分析：首先考虑分母b ≠0，但a 可以等于0，由
a
b
≥0，得a b ≥>00，，或a b ≤<00，，故选择D 。
例2. 当x 为何值时，分式
||x x -+5
5
的值为零？ 分析：分式的值为零必须满足两个条件：（1）分子为零；（2）分母不为零。 解：由题意得，得||x x -==±505，，而当x =-5时，分母x +5的值为零。 ∴当x =5时，分式5
5
||+-x x 的值为零。
例3. 已知113a b -=，求
2322a ab b
a a
b b ----的值（ ） A. 12 B. 23 C. 9
5
D. 4
分析：Θ11311
3a b b a
-=∴-=-，，将分式的分母和分子都除以ab ，得
2322223
1122333295a ab b a ab b b a b a
----=----=⨯----=()，故选择C 。
例4. 已知x y -=20，求x xy y x xy y
22
22
323-++-的值。 分析：根据已知条件，先消元，再化简求值。 解：Θx y x y -=∴=202
∴原式=-⋅+⋅+-()()2322223222
222y y y y y y
=-=-y y
22
71
7
例5. 已知：x x 2
10--=，求x x 4
4
1
+
的值。 解一：由x x 210--=得x ≠0，等式两边同除以x 得：
x x --
=110，即x x -=11 x x x x
444
41122+=+-+
=-+=-++=-+++=--++=+=()[()()]()()()[()]x x x x x x
x x x x x x x x 222222221211
2
11
22
11
42
527
解二：由已知得：x x -=11，两边平方得：x x
221
3+= 两边平方得：x x
4
41
7+=
中考点拨： 1.若代数式
()()
||x x x -+-211
的值为零，则x 的取值范围应为（ ）
A. x =2或x =-1
B. x =-1
C. x =±2
D. x =2
解：由已知得：()()||x x x -+=-≠⎧⎨⎪⎩⎪210
10
解得：x =2 故选D
简析：在求解分式值为零的题目时，考虑到分子为零，但不要忽略了分母不为零这一条
件。 2. 已知：
x y z
346
0++≠，求
x y z x y z +--+的值。 解：设x y z
k 346
0++=≠，则x k y k z k ===346，， ∴
+--+=+--+=x y z x y z k k k k k k 3463461
5
题型展示： 1. x 为何值时，||x x x x -+-=+1231
3
2
成立？ 解：Θ
||||
()()
x x x x x x -+-=-+-1231312
当x ≠1且x ≠-3时，分式
x x x -+-1232
与1
3
x +都有意义。 当||x x -=-11时，由分式的基本性质知：
||()()()()x x x x x x x -+-=-+-=+1311311
3
解不等式组：x x x -≥≠≠-⎧⎨⎪⎪
⎩⎪⎪1013
得：x >1 ∴当x >1时，
x x x x -+-=+1231
3
2
说明：利用分式的基本性质解决恒等变形问题是基本性质的灵活运用，注意分式的基本性质所适用的条件是分式有意义，做题时应考虑分母不为零的条件。
2. 把分式188248
3222a b ab a b
++++化为一个整式和一个分子为常数的分式的和，并且求出
这个整式与分式的乘积等于多少？
解：原式=++++291248
3222()a ab b a b
=
+++=++
+2328322328322()()a b a b a b a b
∴+⋅
+=2328
3216()a b a b
说明：利用因式分解、分式的基本性质可以化简分式。
【实战模拟】 1. 在下列有理式221121a x x m n x y x y y
a b ，，，，++-+-()()中，分式的个数是（ ） A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2. 如果分式a a a 224
26
---的值为零，则a 的值为（ ）
A. 2
B. -2
C. a =2且a =-2
D. 0
3. 填空题： （1）
x y x y x y x y x y -+=-+=-+=--+()()()()
（2）当a =_______时，分式
a a a -+1
32
的值等于零； 当a =_______时，分式a a a
-+1
32
无意义。 4. 化简分式：x x x x x x 3232539
6512
++-++-
5. 已知：x y y y +=--=22402
，，求y x
y
-的值。 6. 已知：a b c ++=0， 求a b c b c a c a b
()()()111111
3+++
+++的值。
【试题答案】
1. 简析：判断一个有理式是否为分式，关键在于看分母中是含有字母，故选D 。
2. B
说明：分式值为0的条件：分子为分母不为0
⎧⎨
⎪⎩⎪ 3. （1）
x y x y y x x y y x x y x y x y -+=--+=--+=---+()()()
()
（2）当a =1时，
a a a
-+1
32
的值为0。 当a =0或a =-1时，a a a
-+1
32
无意义。 4. 解：原式=-+-+--+-+-()()()
()()()
x x x x x x x x x x 3223226699771212
=
-++-++=
-+-++=
++()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x x 1691712131343
4
222
说明：利用因式分解把分子、分母恒等变形，再约分。 5. 解：Θx y x y +=∴=-22， Θ2402
202
2
y y y y
--=∴-
-=， ∴-=-=--=+-y x y y x y y y y y y y
22222
()
=
-
-+=y y y y 2223
232
说明：变形已知条件，先消元，再化简求值。
6. 解：Θa b c ++=0
∴+=-+=-+=-a b c b c a c a b ，， ∴原式=
++++++a b a c b a b c c a c b
3
=
++++++=
-+-+-+=---+=b c a a c b a b
c a a b b c c
3311130
试题使用说明
各位使用者:
本试题均是经过精心收集整理，目标是为广大中小学教师或家长在教学或孩子教育上提供方便！
附：如何养成良好的数学学习习惯
“习惯是所有伟人的奴仆，也是所有失败者的帮凶．伟人之所以伟大，得益于习惯的鼎力相助，失败者之所以失败，习惯的罪责同样不可推卸．”由此可知，良好的数学学习习惯是提高数学成绩的制胜法宝．良好的数学学习习惯有哪些呢？初中数学应该从课堂学习、课外作业和测试检查等方面养成良好的学习习惯．
一、课堂学习的习惯
课堂学习是学习活动的主要阵地．课堂学习习惯主要表现为：会笔记、会比较、会质疑、会分析、会合作．
1．会笔记 上课做笔记并不是简单地将老师的板书进行抄写，而是将学到的知识点、一些类型题的解题一般规律和技巧、常见的错误等进行整理．做笔记实际是对数学内容的浓缩提炼．要经常翻阅笔记，加强理解，巩固记忆．另外，做笔记还能使你的注意力集中，学习效率更高．
2．会比较 在学习基础知识（如概念、定义、法则、定理等）时，要运用对比、类比、举反例等思维方式，理解它们的内涵和外延，将类似的、易混淆的基础知识加以区分．如找出“同类项”和“同类二次根式”，“正比例函数”和“一次函数”，“轴对称图形”和“中心对称图形”，“平方根”和“立方根”，“半径”和“直径”，等概念的异同点，达到合理运用的目的．
3．会质疑 “学者要会疑”，要善于发现和寻找自己的思维误区，向老师或同学提问．积极提问是课堂学习中获得知识的重要途径，同时也要敢于向老师同学的观点、做法质疑，锻炼自己的批判性思维．学习中哪怕有一点点的问题，也要大胆提问，不能留下知识上的“死角”，否则问题就会积少成多，为后续学习设置障碍．
4．会分析一是要认真审题：先弄清楚题目给出的条件和要解答的问题，把一些已知条件填在图形上，并将一些关键词做好标记，达到显露已知条件，同时又挖掘隐含条件的目的．如做几何体时，将已知的相等的角、线段、面积及已知的角、线段、位置关系等在图形中做好标记，避免忘记．再如做应用题时，象“不超过”“不足”等字眼，就暗示着存在不等量关系．只有弄清楚已知条件和所要解答的问题才能有目的、有方向地解题；二是要认真思索：依据题目中题设和结论，寻找它们的内在联系，由题设探求结论，即“由因求果”，或从结论入手，根据问题的条件找到解决问题的方法，即“由果索因”，或将两种方法结合起来，需找解题方法．要注意“一题多解”、“一题多变”、“一图多用”、“一法多题”等，拓展思路，训练自己的求异思维．
5．会合作英国著名剧作家萧伯纳曾经说过“你给我一个苹果，我给你一个苹果，我们每人只有一个苹果；你给我一个思想，我给你一个思想，我们每人就有两个思想了”，这足以说明合作、交流的学习方式的重要性．我们主要的学习方式是自主学习，在独立思考的基础上，要适时地和同桌交流意见．在小组学习期间，要积极发表自己的观点和见解，倾听他人的发言，并作出合理的评判，以锻炼自己的表达能力和鉴别能力．
二、课外作业的习惯
课外作业是数学学习活动的一个组成部分，它包括：复习、作业等．
1．复习及时复习当天学过的数学知识，弄清新学的内容、重点内容及难于理解和掌握的内容．首先凭大脑的追忆，想不起来再阅读课本及笔记．在最短的时间内进行复习，对知识的理解和运用的效果才能最好，相隔时间长了去复习，其效果不明显，“学而时习之”就是这个道理．同时，要坚持每天、每周、每单元、每学期进行复习，使复习层层递进、环环紧扣，这样才能在正确理解知识的基础上，熟练地运用知识．
2．作业会学习的同学都是当天作业当天完成，先复习，后做作业．一定要独立完成，决不能依赖别人．书写一定要整洁，逻辑一定要条理．对作业要自我检查，及时改正存在的错误，
三、测试、检查的习惯
1．认真总结
测试、检查前，可以借助于笔记，把某一阶段的知识加以系统化、深化，弥补知识的缺陷，进一步掌握所学知识．
2．认真反思
测试、检查后，通过回顾反思，查清知识缺陷和薄弱环节，寻找失误的原因，改进学习方法，明确努力方向，使以后的测试、检查取得成功．
良好的学习习惯是提高我们学习成绩的决定因素，但必须持之以恒．
2022年人教版八年级下册数学培优训练——《分式》全章复习与巩固(基础)知识讲解
《分式》全章复习与巩固（基础） 【学习目标】 1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件. 2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则． 3．掌握分式的四则运算． 4．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想． 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、分式的有关概念及性质 1．分式 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B 叫做分式.其中A 叫做分子，B叫做分母. 要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即 当B≠0时，分式A B 才有意义. 2.分式的基本性质 （M为不等于0的整式）. 3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点二、分式的运算 1．约分 利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 2．通分 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
3．基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算 a b a b c c c ±±= ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （2）乘法运算 a c ac b d bd ⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 a c a d ad b d b c bc ÷=⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. （4）乘方运算 分式的乘方，把分子、分母分别乘方. 4.分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的. 要点三、分式方程 1．分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根. 要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解. 要点四、分式方程的应用 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解. 【典型例题】 类型一、分式及其基本性质 1、在m a y x xy x x x x 1,3,3,)1(,21,12+++π中，分式的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C ；
初中数学竞赛指导：《分式》竞赛专题训练(含答案)
《分式》竞赛专题训练 1 分式的概念 分母中含有字母的有理式叫做分式.分式的分母不能为零;只有当分式的分母不为零，而分式的分子为零时，分式的值为零. 经典例题 (1)当x 为何值时，分式22211x x --有意义? (2)当x 为何值时，分式22211x x --的值为零? 解题策略 (1) 要使分式22211x x --有意义，应有分母不为零这个分式有两个分母x 和11x -，它们都不为零，即0x ≠且110x -≠，于是当0x ≠且1x ≠时，分式22211x x --有意义， (2) 要使分式22211x x --的值为零，应有2220x -=且110x -≠，即1x =±且1x ≠，于是当1x =-时，分式22211x x --的值为零 画龙点睛 1. 要使分式有意义，分式的分母不能为零. 2. 要使分式的值为零，应有分式的分母不为零，而分式的分子等于零，以上两条，缺一不可. 举一反三 1. (1)要使分式 24 x x -有意义的x 的取值范围是( ) (A)2x = (B) 2x ≠ ( C)2x =- (D)2x ≠- (2)若分式的的值为零，则x 的值为( ) (A)3 (B)3或3- (C) 3- (D)0 2. (1)当x 时，分式23 (1)16x x -+-的值为零;
(2) 当x 时，分式 2101 x x +≥- 3. 已知当2x =-时，分式x b x a -+无意义;当4x =时，分式的值x b x a -+为零，求a b +. 融会贯通 4. 0≤，求a 值的范围. 2 分式的基本性质 分式的基本性质是:分式的分子和分母都乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变.分式的基本运算，例如改变分子、分母或分式的符号以及通分、约分等，都要用到这个性质.本节主要讲解它在解答一些分式计算综合题时的应用. 经典例题 若2731 x x x =-+，求2421x x x ++的值 解题策略 因为 2731 x x x =-+，所以0x ≠ 将等式2731x x x =-+的左边分子、分母同时除以x ，得1713x x =-+，所以有 1227x x += 因此24222221114911221435 1()1()17 x x x x x x x ====+++++-- 画龙点睛 对于含有1x x +形式的分式，要注意以下的恒等变形: 22211()2x x x x +=++ 22211()2x x x x -=+- 2211()()4x x x x +--= 举一反三 1. (1)不改变分式的值，使分式的分子和分母的系数都化为整数;
八年级数学上 分式的基本性质
一. 教学内容： 1. 分式的基本性质． 2. 分式的乘除． 二. 知识要点： 1. 分式 （1）分式的概念 一般地，A 、B 表示两个整式，A ÷B 表示成A B 的形式，如果B 中含字母，式子A B 就叫做分 式． （2）分式有意义的条件 分式的分母不能等于0，分母等于0时，分式没有意义． （3）分式值为零的条件 分式值为零必须在分式有意义的条件下，即保证分母不等于0，同时，还必须使分子等于0． 2. 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示是：A B ＝A ×M B ×M ，A B ＝A ÷M B ÷M （M 为整式，M ≠0）． 说明： （1）运用分式的基本性质对分式进行变形时，只能进行乘、除两种运算，并且分子与分母乘都乘、除都除． （2）运用分式的基本性质时，同时乘或除以的必须是同一个整式． （3）运用分式的基本性质时，乘或除以的整式一定保证不等于0． 3. 分式的约分 根据分式的基本性质，把分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． 4. 分式的乘法法则 分式乘以分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．用式子表示是：b a ·d c ＝bd ac ． 5. 分式的除法法则 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示是：b a ÷d c ＝ b a · c d ＝bc ad ． 三. 重点难点： 本讲的重点内容是分式的基本性质和分式的乘除法法则，难点是分式值为零必须在分式有意义的条件下，即保证分母不等于0，同时，还必须使分子等于0． 【典型例题】
例1. 下列式子中，哪些是分式？ －3x ，3x ，x 2y －xy 23，5＋3y ，x x －y ，2π ． 分析：区分分式与整式的唯一标准是看分母中是否含有字母，有字母即为分式． 解：分式有：3x ，5＋3y ，x x －y ． 评析：掌握分式与整式的本质区别：分母中含字母，同时注意“π”是一种符号，而非字 母． 例2. 填空题： （1）若分式2x －4 x ＋1 的值为0，则x 的值为__________． （2）若一个分式含有字母m ，且当m ＝5时，它的值为12，则这个分式可以是__________．（写出一个．．即可） （3）写出一个含有字母x 的分式（要求：不论x 取何数，该分式都有意义）__________． 分析：（1）若分式2x －4 x ＋1的值为0，必须满足两个条件：2x －4＝0且x ＋1≠0．由此可以 得出x ＝2．（2）这样的分式有很多，写出一个比较简单的．假如分母是m ，当m ＝5时，分式 的值是12，则分子为12×5＝60，所以这个分式可以是60 m ．（3）分式有意义的条件是分母不为 0，当然分母中必须含有字母x ，含有字母x 且不为0的整式很多，如：x 2＋1，x 4＋2等． 解：（1）2（2）60m （答案不唯一）（3）：1 x 2＋1 （答案不唯一） 评析：对于（2）（3）题这样开放型的题目，在解答时，尽量选择较为简单的答案． 例3. 下列分式的恒等变形是否正确，为什么？ （1）y x ＝yg xg ；（2）a －b a ＋b ＝a 2－b 2(a ＋b )2 ． 分析：分式恒等变形主要是应用分式的基本性质，正确与否的关键是判断所乘（除）的整 式是否可以保证不等于0． 解：（1）由左边到右边的变形是将分子分母同时乘以字母“g ”，而作为字母“g ”有可能为零．故第（1）个变形不正确． （2）由左边到右边的变形是将分子、分母同时乘以（a ＋b ）得到，而在分式a －b a ＋ b 中可以 保证a ＋b ≠0，故第（2）个变形正确． 例4. 约分： （1）－4m 3n 22m 3n 6；（2）a 2＋ab a 2＋2ab ＋b 2 ． 分析：约分主要应用分式的基本性质，约去公因式即可．
八年级数学分式
八年级数学分式 一、分式的概念 分式是不同于整式的另一类式子，它与整式相区别的是分母中含有字母。在数学中，分式通常被定义为两个整式相除的商，即分子和分母都是整式，而分母中含有一个或多个字母。 二、分式的性质 分式作为一种重要的数学工具，具有其独特的性质。以下是分式的基本性质： 1、分式的值与分母的值有关，而与分子的值无关。 2、当分式的分母为零时，分式没有意义。 3、当分式的分子为零，而分母不为零时，分式的值为零。 4、分式的基本性质是分式约分和通分的依据。 三、分式的约分和通分 1、分式的约分：将分子和分母中的公因式约去，将分式化为最简形式。例如，将分子和分母同时除以2，得到一个新的分式。
2、分式的通分：将不同的分母变为相同的分母，使分式在形式上得到简化。例如，将两个分数的分母分别变为10和20，使它们都成为20的分数。 四、分式的运算 1、分式的加减法：将不同的分式相加减，得到一个新的分式。例如，将和相加，得到。 2、分式的乘除法：将一个分式的分子乘以另一个分式的分子，再将所得的积除以两个分母的积，得到一个新的分式。例如，将乘以，再除以，得到。 3、分式的乘方：将一个分式的分子或分母自乘若干次，得到一个新的分式。例如，将的分子自乘3次，得到。 4、分式的加减乘除混合运算：按照运算顺序逐步进行，注意括号内的运算优先进行。例如，计算，可以先算括号内的加法，再算括号外的乘法。 五、分式方程的应用 在解决实际问题时，常常会遇到一些需要用方程来解决的情况。在这
些情况下，如果用整式方程难以解决，就可以考虑使用分式方程来解决。例如，在计算一些比例问题、时间问题、速度问题等时，常常需要使用分式方程来解决。 八年级数学分式练习题 一、选择题 1、下列分式中，有括号的一项是（） A. （x - y）/（x + y） B. （2x - 3y）/（x + y） C. x - （y/2） D. x + （y/2） 2、下列分式中，与的值不相等的是（） A. x - （y/2） B. x + （y/2） C. （x + y）/2 D. （3x - y）/2 3、下列分式中，与x的取值无关的是（） A. （2x + 1）/（3x - 2） B. （1 - x）/（3x - 2） C. （1 + x）/（x - 1） D. （3x - 1）/（x - 1） 4、下列分式中，属于最简分式的是（） A. （3x + 2）/（3x - 2） B. （4x - 6）/（2x + 3）
8年级数学(人教版)培优竞赛训练—8、分式的概念、分式的基本性质
8、分式的概念、分式的基本性质 【知识精读】 分式的概念要注意以下几点： （1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用； （2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母； （3）分式有意义的条件是分母不能为0。 分式的基本性质类似于分数的基本性质，是分式的符号变换法则、约分和通分的理论基础。在运用分式的基本性质时，要抓住对性质中的“都”与“同”两个字的理解，并注意法则中M “不为零”的条件。 下面我们通过习题进一步理解分式的有关概念。 【分类解析】 例1. 已知a b ，为有理数，要使分式a b 的值为非负数，a b ，应满足的条件是（ ） A. a b ≥≠00， B. a b ≤<00， C. a b ≥>00， D. a b ≥>00，，或a b ≤<00， 分析：首先考虑分母b ≠0，但a 可以等于0，由 a b ≥0，得a b ≥>00，，或a b ≤<00，，故选择D 。 例2. 当x 为何值时，分式 ||x x -+5 5 的值为零？ 分析：分式的值为零必须满足两个条件：（1）分子为零；（2）分母不为零。 解：由题意得，得||x x -==±505，，而当x =-5时，分母x +5的值为零。 ∴当x =5时，分式5 5 ||+-x x 的值为零。 例3. 已知113a b -=，求 2322a ab b a a b b ----的值（ ） A. 12 B. 23 C. 9 5 D. 4 分析：Θ11311 3a b b a -=∴-=-，，将分式的分母和分子都除以ab ，得 2322223 1122333295a ab b a ab b b a b a ----=----=⨯----=()，故选择C 。
新人教版八年级数学上册《分式》知识点归纳
分 式 一、概念： 定义1：整式A 除以整式B ，可以表示成B A 的形式。如果除式．．B ．中含有分母．．．．． ，那么称B A 为分式。（对于任何一个分式，分母不为0。如果除式B 中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。分式：分母中含有字母。整式：分母中没有字母。而代数式则包含分式和整式。） 定义2：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。 定义3：分子和分母没有公因式的分式称为最简分式。（化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式。） 定义4：化异分母分式为同分母分式的过程称为分式的通分。 定义5：分母中含有未知数的方程叫做分式方程 定义6：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种解通常称为增根。 二、基本性质： 分式的基本性质：分式的分子与分母都．乘以（或除以）同．一个不等于零．．．．的整式，分式的值不变。 三、运算法则： 1、分式的乘法的法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积 的分母;（用符号语言表示：b a ﹒d c =bd ac ） 2、分式的除法的法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. （用符号语言表示： b a ÷d c =b a ﹒c d =bc ad ） 分式乘除法的运算步骤： 当分式的分子与分母都是单项式时： (1)乘法运算步骤是：①用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；②把分式积中的分子与分母分别写成分子与分母的分因式与另一个因式的乘积形式，如果分子(或分母)的符号是负号，应把负号提到分式的前面；③约分。(2)除法的运算步骤是：把除式中的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，其它与乘法运算步骤相同。 当分式的分子、分母中有多项式，①先分解因式；②如果分子与分母有公因式，先约分再计算.③如果分式的分子(或分母)的符号是负号时，应把负号提到分式的前面. 最后的计算结果必须是最简分式或整式. 3、同分母分式加减法则是：同分母的分式相加减。分母不变，把分子相加减。（表达式为： c a ± c b =c b a ±） 4、异分母的分式相加减法则是：先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。（表达式为： b a ±d c =bd ad ±db bc =bd bc ad ±） 怎样确定最简公分母：我们在进行异分母的分式加减时，最先要考虑的是找到几个异分母的最简公分母，然后进行通分。怎样确定最简公分母呢？ （1）、算式中只有一项是分式，最简公分母就是这个分式的分母。如算式1 1 1++ -a a 的最简公分母就是
初中数学培优：分式的概念、分式的基本性质(含答案)
分式的概念及性质 一、基本知识 分式包括分式的概念、分式的基本性质、分式的运算、简单的分式方程等主要内容． 分式的基本性质：,A A M A A M B B M B B M ⨯÷==⨯÷ 分式的运算规律：,b d bc ad b d bd a c ac a c ac ±±=⋅=；b d b c bc a c a d ad ÷=⋅=；()n n n b b a a = 从整式到分式，我们可以形象地说是从“平房”到了“楼房”．在脚手架上活动，无疑增加了难点，体现在：解分式问题总是在分式有意义的前提下进行的，因此必须考虑字母取值范围；分式运算中的通分和约分是技巧性较强的工作，需要灵活处理． 分式的运算与分数的运算相似，是以分式的基本性质、运算法则、通分和约分为基础，是以整式的变形、因式分解为工具．分式的加减运算是分式运算的难点，突破这一难点的关键是能根据问题的特点恰当地通分，常用通分的策略与技巧有： 1．化整为零，分组通分； 2.步步为营，分步通分； 3．减轻负担，先约分再通分； 4．裂项相消后通分等 学习分式时，应注意： (1)分式与分数的概念、性质、运算的类比； (2)整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不是分式的特殊情形； （3）分式需要讨论字母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在． 二、典型例题 例1. 若分式2|2|169 x x x ---+的值为0，则2x -的值为 11.1.1.1.19 9A B C D --或或 例2 要使分式11|| || x x -有意义，则x 的取值范围是 ． 例3 已知122 4 32+--=--+x B x A x x x ，其中A 、B 为常数，则4A －B 的值为（ ） A ．7 B ．9 C ．13 D ．5 例4.已知4,12x y xy +==-,求 1111 y x x y +++++的值
八年级数学分式的基本性质及运算基础练习(含答案)
八年级数学分式的基本性质及运算基础练习 试卷简介:本试卷共五道题，考察同学们对分式的基本性质，及加减乘除混合运算的掌握，分式是八年级下册的重要知识，也是中考的常考题型，需要好好掌握学习建议:先预习一下分式的定义，性质及加减乘除运算法则 一、单选题(共5道，每道20分) 1.当x满足下列选项中的哪个时，分式有意义（） A. B. C. D. 答案：D 解题思路：分式有意义，只需要分母不为0即可，因此|x|-5≠0，即 易错点：不清晰分式有意义的要求 试题难度：三颗星知识点：分式有意义的条件 2.已知当x=-2时，分式无意义，x=4时，此分式的值为0，则a+b的值为（） A.6 B.2 C.-2 D.-6 答案：B 解题思路：当x=-2时，分式无意义，说明当x=-2时，x-a=0，即a=-2；x=4时，此分 式的值为0，说明x=4时，x-b=0，即b=4，所以a+b=-2+4=2 易错点：混淆分式有意义与分式值为0，对分式中分子分母的要求。 试题难度：三颗星知识点：分式的值为零的条件 3.A、B两地相距s千米，小明从A地到B地每小时走a千米，从B地到A地每小时走b千米，则他往返的平均速度是（） A. B.
C. D. 答案：C 解题思路：从A地到B地所用时间为，从B地到A地所用时间为，往返平均速度为 易错点：平均速度=总路程÷总时间 试题难度：四颗星知识点：列代数式（分式） 4.计算：=（） A. B.0 C. D. 答案：A 解题思路： 易错点：异分母分式相加减，先通分，化为同分母分式，然后再按照同分母分式加减的法则进行. 试题难度：三颗星知识点：分式的加减法 5.下列各式计算正确的是( ) A.
八年级数学同步练习之分式的基本性质练习题及答案
八年级数学同步练习之分式的基本性质练习题及答案 八年级数学同步练习之分式的基本性质练习题及答案 大部分同学在学过新知识之后，都觉得自己对这部分知识没有问题了，但是一做题就遇到很多问题，为了避免这种现象，店铺整理了这篇八年级数学同步练习之分式的基本性质练习题，希望大家练习! 一、选择 1.下面是分式方程的是（） A. B. C. D. 2.若得值为-1，则x等于( ) A. B. C. D. 3.一列客车已晚点6分钟，如果将速度每小时加快10千米，那么继续行驶20千米便可正点运行，如果设客车原来行驶的速度是x千米/小时，可列出分式方程为（） A. B. C. D. 4.分式方程的解为（） A.2 B.1 C.-1 D.-2 5.若分式方程的解为2，则a的值为（） A.4 B.1 C.0 D.2 6.分式方程的解是（） A.无解 B.x=2 C. x=-2 D. x=2或x=-2 7.如果关于x的方程无解，则m等于（） A.3 B. 4 C.-3 D.5 8.解方程时，去分母得( ) A.（x-1）（x-3）+2=x+5 B. 1+2（x-3）=（x-5）(x-1) C. (x-1)(x-3)+2(x-3)=(x-5)(x-1) D.(x-3)+2(x-3)=x-5 二、填空 9.已知关于的分式方程的根大于零，那么a的取值范围是 .
10.关于的分式方程有增根 =-2，那么k= . 11.若关于的方程产生增根，那么m的值是 . 12.当m= 时，方程的解与方程的解互为相反数. 13.为改善生态环境，防止水土流失，某村拟定在荒坡地上种植960棵树，由于青年团员的支援，每日比原计划多种20课，结果提前4天完成任务，原计划每天种植多少棵树？设原计划每天种植x棵树，根据题意列方程为 . 14.如果，则A= ；B= . 三、解答题 15.解分式方程 16.已知关于的方程无解，求a的值？ 17.已知与的解相同，求m的值？ 18.近年来，由于受国际石油市场的.影响，汽油价格不断上涨．下面是小明与爸爸的对话： 小明：“爸爸，听说今年5月份的汽油价格上涨了不少啊！” 爸爸：“是啊，今年5月份每升汽油的价格是去年5月份的倍，用元给汽车加的油量比去年少升.” 小明：“今年5月份每升汽油的价格是多少呢？” 聪明的你，根据上面的对话帮小明计算一下今年5月份每升汽油的价格？ 19.武汉一桥维修工程中，拟由甲、乙两各工程队共同完成某项目，从两个工程队的资料可以知道，若两个工程队合作24天恰好完成，若两个工程队合作18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成，请问： ⑴甲、乙两工程队完成此项目各需多少天？ ⑵又已知甲工程队每天的施工费用是0.6万元，乙工程队每天的施工费用是0.35万元，要使该项目总的施工费用不超过22万元，则乙工程队至少施工多少天？ 参考答案 一、选择
人教版八年级分式及分式的基本性质同步练习题
人教版八年级分式及分式的基本性质同步练习题 分式及分式的基本性质同步练习 1.当_____时,分式无意义. 2.当______时,分式有意义. 3.当_______时,分式的值为1. 4.当______时,分式的值为正. 5.当______时分式的值为负.6、分式，的最简公分母是（）。 A、12abc B、-12abc C、24a2b4c2 D、12a2b4c27、在分式中，a、b的值都扩大到原来的3倍，则分式的值（）。 A、扩大3倍 B、缩小3倍 C、扩大6倍 D、不变 8、对于分式，当x=-a时，下列结论正确的是（）。 A、分式无意义 B、分式的值为0 C、当a≠-时，分式的值为0 D、当a≠时，分式的值为0.9、分式有意义，则x应满足条件是（）。 A、x≠1 B、x≠2 C、x≠2且x≠3 D、x≠2或x≠3.10、若的值为0，则x的值为（）。 A、3或-3 B、3 C、-3 D、以上都不对。 11、若=1，则x的取值范围为（）。Ａ、ｘ≥０Ｂ、ｘ≤０
Ｃ、ｘ＞０Ｄ、ｘ＜０ 12.若分式有意义，则（）。Ａ、ａ≠１Ｂ、ａ≠－１Ｃ、ａ≠±１Ｄ、ａ为任何数 13、若分式的值是负数，则x的取值范围是。 14、若=，则a的取值范围是。 15、不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都是整数：=。 16、已知：2+=22×，3+=32×，4+=42×，…若10+=10×（a、b是正 整数），求：分式的值。 17、如果-5＜x＜3，那么的值是多少？ 第十六章 分式 从分数到分式 知识领航：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．对分式的概念的理解要注意以下两点：（1）分母中应含有字母；（2）分母的值不能为零．分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当时，分式才有意义；当B=0时，分式无意义.由于只有在分式有意义的条件下，才能讨论分式的值的问题，因此，要分式的值为零，需要同时满足两项条件：（1）分式的分母的值不等于零；（2）分子的值等于零． 1、当x取什么值时，下列分式有意义．（1），（2）.◆仔细读题，选择最佳答案 1、式子① ② ③ ④中，是分式的有（）A．①② B.③④ C.①③ D.①②③④
数学人教版八年级上册分式的基本性质练习题及答案.1.2 分式的基本性质练习(含答案)
16.1.2分式的基本性质 课前自主练 1．分数的基本性质为：______________________________________________________． 2．把下列分数化为最简分数：（1）8 12=________；（2） 125 45 =_______；（3） 26 13 =________． 3．把下列各组分数化为同分母分数: （1）1 2 ， 2 3 ， 1 4 ；（2） 1 5 ， 4 9 ， 7 15 ． 4．分式的基本性质为：______________________________________________________．用字母表示为：______________________． 课中合作练 题型1：分式基本性质的理解应用 5．（辨析题）不改变分式的值，使分式11 510 11 39 x y x y - + 的各项系数化为整数，分子、分母应 乘以（• ） A．10 B．9 C．45 D．90 6．（探究题）下列等式：① () a b c -- =- a b c - ;② x y x -+ - = x y x - ;③ a b c -+ =- a b c + ; ④ m n m -- =- m n m - 中,成立的是（） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 7．（探究题）不改变分式 2 3 23 523 x x x x -+ -+- 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正 确的是（• ） A． 2 3 32 523 x x x x ++ +- B． 2 3 32 523 x x x x -+ +- C． 2 3 32 523 x x x x +- -+ D． 2 3 32 523 x x x x -- -+ 题型2：分式的约分 8．（辨析题）分式43 4 y x a + ， 2 4 1 1 x x - - ， 22 x xy y x y -+ + ， 2 2 2 2 a ab ab b + - 中是最简分式的有（）
八年级上册数学-分式的概念及性质
第十五章分式 第22讲分式的概念及性质 知识导航 1．分式的意义 形如A B （A，B为整式），其中B中含有字母的式子叫分式． 当分式为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没有意义．2．分式的性质 （1）分式的基本性质：A A M A M B B M B M ⨯÷ == ⨯÷ （其中M是不为零的整式）． （2）约分和通分 【板块一】分式的基本概念题型一分式的概念 【例1】代数式1 x ， 3 a b + ， 3 π ， 1 b a +， 2 4 m n - 中，哪些是分式？ 【练1】（1）＿＿＿＿和＿＿＿＿统称为有理式； （2） 1 8 -， 1 1 a +， 2 a b + ， 2 1 a- ， 3 2 x π ， 3 x y x - ， x x 中有＿＿＿个分式． 题型二分式有意义的条件 【例2】当x取何值时，下列式子有意义？ （1） 1 1 x- ；（2） 2 2 1 67 x x x - -- ；（3 ． 【练2】（1）若分式 21 2 x x m -+ 不论x取何值，分式都有意义，则m的取值范围是（）．A．m≥1B．m＞1 C．m＜1 D．m≤1 （2）使代数式 32 34 x x x x ++ ÷ -- 有意义的x的值是＿＿＿＿＿＿． （3）x＿＿＿＿＿时，分式 1 1 1 1x + + 有意义．
题型三 分式的值为零 【例3】当取何值时，下列分式的值为零？ （1）224x x --； （2）22123 x x x -+- 【练3】1．当x 取何值时，下列分式的值为零？ （1）211 x x -+； （2）237x x ++； （3）2231 x x x +--； 2．当x ＿＿＿时，分式48x -的值为正数；当＿＿＿时，分式48x x --的值为负数． 3．当x ＿＿＿时，分式212 x x +-的值为正数． 4．若分式33x -的值为整数，则整数x 的值是＿＿＿＿；若分式33 x x +-的值为整数，则整数x 的值是＿＿． 【板块二】分式的基本性质 题型一 分式的基本性质 【例4】（1）将分式2 x x y +中的x ，y 的值同时扩大3倍，则扩大后分式的值（ ） A ．扩大3倍 B ．缩小3倍 C ．保持不变 D ．扩大9倍 【练4】将分式 x y xy +中的x ，y 都扩大为原来的5倍，则分式的值＿＿＿＿． 题型二 约分 【例5】约分（1）3232430x y x y -； （2）26231 x x x ++； 【练5】约分：23812ab b ＝＿＿＿；323222x x y x y xy --；393x x x -+＝＿＿＿＿； 2239 x x x --＝＿＿＿＿． 题型三 通分 【例6】通分：（1） 2(1)x x x +-，21x x -，2221x x -+；（2）1()()a b a c --，1()()b c b a --，1()()c a c b --； 【练6】（1） 223b a c ，2c ab -，25a b c 的最简公分母为＿＿＿＿，三个分式通分后为＿＿＿＿＿＿； （2）2155x x --，21910 x x --的最简公分母为＿＿＿＿，两个分式通分后为＿＿＿＿＿＿．
人教初中数学八上《分式的基本性质练习
15.1.2 分式的基本性质 要点感知1 分式的分子与分母乘(或除以)同一个______，分式的值不变.即：M B M A B A ⨯⨯=，M B M A B A ÷÷=(M ≠0)，其中A 、B 、M 都是整式. 预习练习1-1 根据分式的基本性质填空(__) 422,(__)33b a a b a y x -=-=. 要点感知2 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母中的公因式约去，叫做分式的_____.经过约分后，分子与分母没有公因式的分式，叫做_____. 预习练习2-1 约分：(1)mn m 62=_____； (2)2)())((b a b a b a ++-=_____. 要点感知3 根据分式的基本性质，把分子、分母同时乘以适当的整式，不改变分式的值，把这几个异分母分式分别化成与原来分式相等的同分母的分式，叫做分式的_____.为了通分，取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，它叫做_____公分母. 预习练习3-1 (1)分式 c a ab 2235,1的最简公分母是_____，通分为_____； (2)分式a a a --222,11的最简公分母是_____，通分为_____. 知识点1 分式的基本性质 1.(钦州中考)如果把y x x +5的x 与y 都扩大10倍，那么这个代数式的值( ) A.不变 B.扩大50倍 C.扩大10倍 D.缩小为原来的10 1 2.根据分式的基本性质填空： (1)(__) 212822c b a c a =；(2)x x x x 3(__)322+=+. 3.不改变分式的值使下列分式的分子和分母都不含“-”号： (1)y x --3；(2)b a a --2；(3)232n m -；(4)b a 3-. 知识点2 约分 4.约分： (1)4 3 22016xy y x -； (2)(崇左中考)a 2b ＋ab 22a 2b 2； (3)y xy x 242+-； (4)9 9622-++a a a . 知识点3 通分
第一节 分式的基本概念及性质(含答案)...八年级数学 学而思
第一节 分式的基本概念及性质 1. 分式的概念 形如B A 的式子叫做分式，其中A 、 B 是整式，且分母B 中必须含有字母，这是分式与整式的区别，对于式子A ，可以含有字母，也可以不合有字母． 注：①分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用，如b a n m ++表示为);()( b a n m +÷+ ②分式的分母必须含有字母；③分式的分母的值不为0；④判断分式时需要看最初的形式， 2. 有理式 整式和分式统称为有理式． 3．分式有意义的条件 分母的值不为0． 4．分式的基本性质 M B M A B A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=;（M 是不等于零的整式） 注：①在应用分式的基本性质时，应注意考察基本性质中的M 的值是否为0，例如 =y x ,2y xy 由于已知分式,y x 可以知道,0=/y 因此可以用y 去乘以分式的分子分母，因而并不特别需要强调0= /y 这个条件，再如1 121122-++=-+y y y y y 是在已知分式的分子分母都乘以+y 1得到的，是在条件01=/+y 下才能进行的，所以，01=/+y 这个条件需要强调， ②分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．（分式的变号法则是运用除法法则，分式的基本性质推导出来的．） ③在分式的基本性质中：“分式的值不变”的意义是：利用分式的基本性质对一个分式进，行的变形是一种恒等变形，其内在意义是：当等式两边的字母取同一数值时，变形前后的分式的值不变， 5.约分 把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分， 注：①分式的分子与分母是单项式时，约分可直接进行，约去分子、分母的公因式，即约去分子、分母系数最大 公约数，然后约去分子、分母相同因式的最低次幂， ②分式的分子与分母是多项式时，约分时，先把分子与分母按一个字母降幂排列，再分解因式，然后约分，
新人教版八年级上册数学[分式的概念和性质(提高)知识点整理及重点题型梳理]
新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练习 重难点突破 课外机构补习优秀资料 分式的概念和性质（提高） 【学习目标】 1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件. 2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算. 【要点梳理】 【403986 分式的概念和性质知识要点】 要点一、分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B 叫做分式.其中A 叫做分子，B叫做分母. 要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分 母中都不含字母. （2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况. （3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个 常数，不是字母，如a π 是整式而不能当作分式. （4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式 不能先化简，如 2 x y x 是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式， 不能看化简的结果. 要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零. 2.分式无意义的条件：分母等于零. 3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零. （2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零. （3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值. 要点三、分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做 分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A M B B M B B M ⨯÷ == ⨯÷ ，（其中M是不等于零的整式）. 要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着
八年级数学分式的基本概念与计算
分式的基本概念 知识点一、分式的基本概念与性质 【知识梳理】 1.分式的定义： 如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式。注意分母B 的值不能为零，否则分式没有意义。分式值为零的条件分子为零且分母不为零。 注：判断一个代数式是否是分式，主要看分式的分母是否含有未知数。另外不能把原式变形（如约分 等）后再进行判断，而只能根据它的本来面目进行判断。例如：对于y y 32来说， 332y y y =，我们不能因为3 y 是整式，就判断y y 32也是整式，事实上y y 32是分式。 2.最简分式： 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。 注：如果分子分母有公因式，要进行约分化简。 3.分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性 质，用式子表示是：（M 为不等于零的整式）。 【例题精讲】 题型一、考查分式的定义 1、列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是整式？哪些是分式？ (1）甲每小时做x 个零件，则他8小时做零件 个，做80个零件需 小时。 （2）轮船在静水中每小时走a 千米，水流的速度是b 千米/时，轮船的顺流速度是 千米/时，轮船的逆流速度是 千米/时。 (3) x 与y 的差与4的商是 。 2、 将下列式子表示为分式：（1）(2)x y +÷ （2） 2 (22)(1)x x +÷+ （3）2x : (1)y +
6、不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“—”号： （1） 5 6 b a - - ；（2） 3 x y - ；（3） 2m n - 知识点二、分式的运算 【知识梳理】 1.基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: ； 2.零指数 任何一个不等于零的数的零次幂等于1。 3.负整数指数 4.约分 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。 注：（1）约分的主要步骤：先把分式的分子，分母分解因式，然后约去分子分母中的相同因式的最低次幂，同时把分子分母中系数的最大公约数约去； （2）约分的依据是分式的基本性质； （3）若分式的分子、分母中有多项式，则要先分解因式，再约分。 （4）当分式的分子与分母的因式只差一个符号时，要先处理好符号再约分，因式变号规则如下： （其中n为自然数）。
八年级数学人教版上册同步练习分式的基本性质(解析版)
15.1.2分式的基本性质 一、单选题 1．下列约分计算结果正确的是 （ ） A ．22 a b a b a b +=++ B ．a m m a n n +=+ C ．1a b a b -+=-- D ．632a a a = 【答案】C 【分析】利用因式分解，确定分子，分母的公因式，后约分化简，计算即可． 【详解】∵22a b +与a +b 没有公因式， ∴22 a b a b ++无法计算， ∴22 a b a b a b +=++的计算是错误的， ∴选项A 不符合题意； ∵a +m 与a +n 没有公因式， ∴ ++a m a n 无法计算， ∴a m m a n n +=+的计算是错误的； ∴选项B 不符合题意； ∵-a +b = -(a +b )与a +b 的公因式是a +b ， ∴()1a b a b a b a b -+--==---， ∴选项C 符合题意； ∵6 42a a a =， ∴6 32a a a =的计算是错误的； ∴选项D 不符合题意； 故选C ． 【点评】本题考查了分式的化简，同底数幂的除法，熟练掌握化简计算的要领是解题的关键． 2．下列分式中，属于最简分式的个数是（ ）
①42x ，②221x x +，③211x x --，④11x x --，⑤22y x x y -+，⑥2222x y x y xy ++． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】B 【分析】根据最简分式的定义判断即可． 【详解】①422x x =，③21111x x x -=-+，④111x x -=--，⑤22y x y x x y -=-+，可约分，不是最简分式； ②221x x +，⑥2222x y x y xy ++分子分母没有公因式，是最简分式，一共有二个； 故选：B ． 【点评】本题考查了最简分式，解题关键是明确最简分式的定义，准确判断分子分母是否含有公因式． 3．下列命题中的真命题是（ ） A ．多项式x 2－6x ＋9是完全平方式 B ．若∠A ∶∠B ∶∠ C ＝3∶4∶5，则△ABC 是直角三角形 C ．分式211 x x +-是最简分式 D ．命题“对顶角相等”的逆命题是真命题 【答案】A 【分析】根据完全平方公式、直角三角形性质、分式化简、和对顶角相等的逆命题进行判断即可． 【详解】∵x 2－6x ＋9=（x －3）2，故A 选项是真命题； ∵∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5， ∴∠A =45°，∠B =60°，∠C =75°，故B 选项是假命题； ∵21111 x x x +=--，故C 选项是假命题； “对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，故D 选项是假命题； 故选：A 【点评】本题考查了分式的性质、完全平方公式、直角三角形性质、逆命题，解题关键是熟练掌握相关知识，准确进行判断． 4．化简 211x x --的结果是（ ） A ．11x -+ B ． 11x - C ．11x + D ．11x -
人教版同步教参数学八年级-分式：分式的基本概念和性质
分式 第 1 节 分式的基本概念和性质 【知识梳理】 1．分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是B A 的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． 2．分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 3．分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 4．分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． 3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．5．约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：有约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 6．通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． （3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式．7．最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 8．最简公分母 （1）最简公分母的定义： 通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． （2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．