江苏省历年高等数学竞赛试题(打印版)

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）

一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )

lim

sin x x x x

→-=

2.2

ln(1x y x =+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21x

x e dx x

-=? 5.4

2

1

1dx x

+∞

=-?

6.圆222

222042219x y z x y z x y z +-+=??

?++--+≤??的面积为 7.(2,)x

z f x y y

=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz

==

8.级数1

1(1)!

2!n n

n n n ∞

=+-∑的和为 . 二.（10分）

设()f x 在[],a b 上连续，且()()b

b

a

a

b f x dx xf x dx =??，求证：存在点(),a b ξ∈，使得

()0a

f x dx ξ

=?

.

三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.

四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

五（12分）求二重积分()22cos sin D

x y dxdy +??，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥

六、（12分）求()()21x

x y e dx x y dy Γ++++?，其中Γ为曲线22201

212x x x y x x ?≤≤?+=≤≤?

从()0,0O 到()1,1A -.

七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-L

()2,3,,n =L 记1

n n

x a =，判别级数1n n x ∞

=∑的敛散性.

2008年江苏省普通高等学校非理科专业

一、填空题（每小题5分，共40分）

1）___,____a b ==时，2lim arctan .2

x ax x x bx x π→∞+=--

2）11

lim __________.(3)n

n k k k →∞==+∑

3）设()(1)(2)(100),f x x x x x =---L L 则(100)_______.f '=

4）___,____a b ==时，

2()1x

f x ax x bx =++

+在0x →时关于x 的无穷小的阶数最高.

5）2320

sin cos _______.

x xdx π

?=?

6）

2

22

1

_______.

(1)x dx x +∞

=+?

7）设

,

x z x y =-则(2,1)

_________.

n n

z y ?=?

8）设D 为,0,1y x x y ===所围区域，则arctan _________.

D ydxdy =??

二、（8分） 设数列{}n x

为：111,(1,2)

n x x n +===L L ，求证：数列{}n x 收敛，并求其极限

三、（8分） 设函数()f x 在[,]a b 上连续(0),()0,

b

a a f x dx >=?求证：存在(,),

a b ξ∈使得()().

a

f x dx f ξ

ξξ=?

四、（8分） 将xy 平面上的曲线

222

()(0)x b y a a b -+=<<绕直线3x b =旋转一周得到旋转曲面，求此旋转曲面所围立体的体积.

五、（8分）

设

2

42

,(,)(0,0);

(,)

0,(,)(0,0).

x y

x y

f x y x y

x y

≠

=+

?=

?讨论(,)

f x y在(0,0)处

的连续性、可偏导性、可微性.

六、（10分）已知曲面

222

441

x y z

+-=与平面0

x y z

+-=的交线在xy平面上

的投影为一椭圆，求此椭圆面积.

七、（8分）求

2

40

1

lim sin().

t t

x

t

dx y dy t+

→

??

八、（10分）求

1,

D

dxdy

这里

22

:,0.

D x y y x

+≤≤≤

2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科一、二级）

一.填空（每题5分，共40分） 1.()3

x f x a =，()()()4

1lim ln 12n f f f n n →∞=????L 2. ()()

2

5001lim 1x

tx x e dt x

-→-=? 3.

()

1

2

2arctan 1x

dx x =+?

4.已知点()4,0,0,(0,2,0),(0,0,2)A B C --,O 为坐标原点，则四面体OABC 的内接球面方程为

5. 设由y z x ze +=确定(,)z z x y =，则()

,0e dz

=

6.函数()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件 时，

()1,0f -为其极大值.

7.设Γ是sin (0)y a x a =>上从点()0,0到(),0π的一段曲线，a = 时，曲线积分()()

2

22y x y dx xy e dy Γ

+++?取最大值.

8.级数(

)

1

1

1n n ∞

+=-∑条件收敛时，常数p 的取值范围是

二.（10分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅通，若开车的最大速度为100公里/小时，求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于200-公里/小时3

三.（10分）曲线Γ的极坐标方程为1cos 02πρθθ?

?=+≤≤ ???，求该曲线在4πθ=所对

应的点的切线L 的直角坐标方程，并求切线L 与x 轴围成图形的面积.

四（8分）设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的有界函数，()()1f x f x '-≤， 求证：()()1.,f x x ≤∈-∞+∞

五（12分）本科一级考生做：设锥面22233(0)z x y z =+≥被平面40x -+=截下的有限部分为∑.（1）求曲面∑的面积；（2）用薄铁片制作∑的模型，

(2,0,(A B -为∑上的两点，O 为原点，将∑沿线段OB 剪开并展成平面

图形D ，以OA 方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出D 的边界的极坐标方程. 本科二级考生做：设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x x =++截下的有限部分为

∑.为计算曲面∑的面积，用薄铁片制作∑的模型，()(1,0,5),(1,0,1),1,0,0A B C --为∑上的三点，将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ，建立平面在极坐标系，使D 位于x 轴正上方，点A 坐标为()0,5，写出D 的边界的方程，并求D 的面积.

六（10分）曲线220x z

y ?=?=?绕z 轴旋转一周生成的曲面与1,2z z ==所围成的立体区域

记为Ω，

本科一级考生做222

1

dxdydz x y z

Ω

++???

本科二级考生做()222x y z dxdydz Ω

++???

七（10分）本科一级考生做1）设幂级数21n n n a x ∞

=∑的收敛域为[]1,1-，求证幂级数

1

n

n n a x n ∞

=∑的收敛域也为[]1,1-；2）试问命题1）的逆命题是否正确，若正确给出证明；若不正确举一反例说明. 本科二级考生做：求幂级数()2112

n

n

n n x ∞

=+∑的收敛域与和函数

2004年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）

一.填空（每题5分，共40分）

1. ()f x 是周期为π的奇函数，且在0x =处有定义，当0,2x π??

∈ ???

时，

()sin cos 2f x x x =-+，求当,2x ππ??

∈ ???

时，()f x 的表达式 .

2. ()

2tan 2

lim sin x

x x π

→

=

3. 2

222lim 14n n

n n n n n n →∞??+++= ?+++??

L 4. ()()2ln 1,2f x x x n =->时()()0n f = 5.

()

()

2

1x x e x dx x e -=-?

6.(

)112n

n n

n ∞

==+∑

. 7.设(),f x y 可微，()()()1,22,1,23,1,24x y f f f ''===，()()(),,2x f x f x x ?=， 则()1?'= .

8. 设()()010

x x f x g x ≤≤?==??其他，D 为,x y -∞<<+∞-∞<<+∞，则

()()D

f y f x y dxdy +=?? .

二．（10分）设()f x 在[],a b 上连续，()f x 在(),a b 内可导，(),f a a =，

()()2

212

b

a

f x dx b a =

-?

,求证： (),a b 内至少存在一点ξ使得()()1f f ξξξ'=-+

三.（10分）设22:4,,24D y x y x x y -≤≥≤+≤，在D 的边界y x =上任取点P ,设P 到原点距离为t ，作PQ 垂直于y x =，交D 的边界224y x -=于Q 1）试将,P Q 的距离PQ 表示为t 的函数； 2）求D 饶y x =旋转一周的旋转体的体积

四（10分）已知点(1,0,1),(3,1,2)P Q -,在平面212x y z -+=上求一点M ，使

PM MQ +最小

五（10分）求幂级数()

(

)

11

32n n

n n x n ∞

=+-∑

的收敛域。

六（10分）设(),f x y 可微，()()()1,22,1,22,1,23x y f f f ''===，

()()()(),2,2,2x f f x x f x x ?=，求()1?'.

七（10分）求二次积分()2

220

2

1d e d ππ

ρθθθρ-??

2002年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）

一.填空（每题5分，共40分）

1.()0lim 0x k

x e c c x →-=≠，则k = ，c =

2. 设()f x 在[)1,+∞上可导，下列结论成立的是 A. 若()lim 0x f x →+∞

'=，则()f x 在[)1,+∞上有界

B. 若()lim 0x f x →+∞

'≠，则()f x 在[)1,+∞上无界

C. 若()lim 1x f x →+∞

'=，则()f x 在[)1,+∞上无界

3. 设由()1y e x y x x -+-=+确定()y y x =，则()0y ''=

4.()arcsin arccos x x dx -=?

5. 曲线2222

2z x y x y y ?=+?+=?

，在点()1,1,2的切线的参数方程为 6.设(),sin x y z f g e y x ??

=+ ???

，f 有二阶连续导数，g 有二阶连续偏导数，

则2z x y

?=?? 7. 交换二次积分的次序()21

30

,x

x

dx f x y dy -=?? .

8.幂级数11

112n n x n ∞

=??+++ ??

?∑L 的收敛域

二.（8分）设()f x 在[)0,+∞上连续，单调减少，0a b <<， 求证0

()()b

a

a f x dx

b f x dx ≤??

三.（8分）设()f x 在[],a b 上连续，()()0b b

x a

a

f x dx f x e dx ==??，求证: ()f x 在()

,a b 内至少存在两个零点.

四.（8分）求直线

1211

x y z

-==-绕y 轴旋转一周的旋转曲面方程，求求该曲面与0,2y y ==所包围的立体的体积.

五.（9分）设k 为常数，试判断级数()()

2

21ln n

k n n n ∞

=-∑的敛散性，何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？

六.（9分）设(

)()()()()

arctan ,0,0,0,0,0y x y f x y x y ?

≠?

=?

?=?

讨论(),f x y 在点()0,0处连

续性，可偏导性？可微性.

七.（9分）设()f u 在0u =可导，()22200,:2f x y z tz =Ω++≤， 求()2225

1

lim t f x y z dxdydz t +

→Ω

++???

八.（9分）设曲线AB 的极坐标方程为1cos 22π

πρθθ??=--≤≤ ???

，一质点P 在力F u r 作

用下沿曲线AB 从()0,1A -运动到()0,1B ，力F u r

的大小等于P 到定点()3,4M 的距离，其方向垂直于线段MP ，且与y 轴正向的夹角为锐角，求力F u r

对质点P 做得功.