10.matlab求解线性方程组

10. 如何求解线性方程组？

当一个方程组Ax=b 有唯一解时可用指令A\b 直接求解，其中，A 是线性方程组的系数矩阵，b是方程组的右端向量。例如给定线性方程组

[121?2 253?2

?2?235 1323][

]=[

]

可以先输入系数矩阵和右端向量，然后直接求解，在MATLAB中键入

A=[1 2 1 -2； 2 5 3 -2；-2 -2 3 5； 1 3 2 3]；

b=[4；7；-1；0]；

x=A\b

计算机执行后，将显示数据结果

x= 2 -1 2 -1

由此得知方程组的解为

x1 = 2，x2 = -1，x3 = 2，x4 = -1

上面这一种方法非常适用于方程组有唯一解的情形，在处理实际问题时，有些方程组有无穷多组解，这时可用另一条指令rref([A b]) 化简方程组的增广矩阵，然后利用线性代数的方法得出方程组的通解。当方程组有唯一解时，仍然可以用这一指令，例如求解上面例子

在MATLAB中键入

A=[1 2 1 -2； 2 5 3 -2；-2 -2 3 5； 1 3 2 3]；

b=[4；7；-1；0]；

rref([A b])

计算机执行后，屏幕将显示数据结果

这一矩阵与增广矩阵等价(4 个非零行5 列)，由此写出与原方程等价的方程组，即

x1 = 2，x2 = -1，x3 = 2，x4 = -1

如果用rref([A b])命令得到最后的矩阵中非零行数小于列数减1，则可求出线性方程组的通解。有关线性方程组的通解和基础解系的概念请参考线性代数教材。

MATLAB代码解线性方程组的迭代法

解线性方程组的迭代法 1.rs里查森迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=rs(A,b,x0,eps,M) if(nargin==3) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值elseif(nargin==4) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1; %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-A)*x0+b; n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x; if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 2.crs里查森参数迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=crs(A,b,x0,w,eps,M) if(nargin==4) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值 elseif(nargin==5) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1; %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-w*A)*x0+w*b; n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x;

if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 3.grs里查森迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=grs(A,b,x0,W,eps,M) if(nargin==4) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值 elseif(nargin==5) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1;%前后两次迭代结果误差 %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-W*A)*x0+W*b;%迭代公式 n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x; if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 4.jacobi雅可比迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=jacobi(A,b,x0,eps,varargin) if nargin==3 eps=1.0e-6; M=200; elseif nargin<3 error return elseif nargin==5 M=varargin{1}; end D=diag(diag(A));%求A的对角矩阵 L=-tril(A,-1);%求A的下三角阵

MatLab求解线性方程组

MatLab解线性方程组一文通当齐次线性方程AX=0,rank(A)=r

c 解线性方程组的几种方法

//解线性方程组 #include #include #include //----------------------------------------------全局变量定义区 const int Number=15; //方程最大个数 double a[Number][Number],b[Number],copy_a[Number][Number],copy_b[Number]; //系数行列式 int A_y[Number]; //a[][]中随着横坐标增加列坐标的排列顺序,如a[0][0],a[1][2],a[2][1]...则A_y[]={0,2,1...}; int lenth,copy_lenth; //方程的个数 double a_sum; //计算行列式的值 char * x; //未知量a,b,c的载体 //----------------------------------------------函数声明区 void input(); //输入方程组 void print_menu(); //打印主菜单 int choose (); //输入选择 void cramer(); //Cramer算法解方程组 void gauss_row(); //Gauss列主元解方程组 void guass_all(); //Gauss全主元解方程组 void Doolittle(); //用Doolittle算法解方程组 int Doolittle_check(double a[][Number],double b[Number]); //判断是否行列式>0,若是,调整为顺序主子式全>0 void xiaoqu_u_l(); //将行列式Doolittle分解 void calculate_u_l(); //计算Doolittle结果 double & calculate_A(int n,int m); //计算行列式 double quanpailie_A(); //根据列坐标的排列计算的值,如A_y[]={0,2,1},得sum=a[0][ A_y[0] ] * a[1][ A_y[1] ] * a[2][ A_y[2] ]=a[0][0]*a[1][2]*a[2][1]; void exchange(int m,int i); //交换A_y[m],A_y[i] void exchange_lie(int j); //交换a[][j]和b[]; void exchange_hang(int m,int n); //分别交换a[][]和b[]中的m和n 两行 void gauss_row_xiaoqu(); //Gauss列主元消去法 void gauss_all_xiaoqu(); //Gauss全主元消去法 void gauss_calculate(); //根据Gauss消去法结果计算未知量的值 void exchange_a_lie(int m,int n); //交换a[][]中的m和n列 void exchange_x(int m,int n); //交换x[]中的x[m]和x[n] void recovery(); //恢复数据 //主函数 void main() { int flag=1;

MATLAB解线性方程组的直接方法

在这章中我们要学习线性方程组的直接法，特别是适合用数学软件在计算机上求解的方法. 3.1 方程组的逆矩阵解法及其MATLAB 程序 3.1.3 线性方程组有解的判定条件及其MATLAB 程序判定线性方程组A n m ?b X =是否有解的MATLAB 程序 function [RA,RB,n]=jiepb(A,b) B=[A b];n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0, disp('请注意：因为RA~=RB ，所以此方程组无解.') return end if RA==RB if RA==n disp('请注意：因为RA=RB=n ，所以此方程组有唯一解.') else disp('请注意：因为RA=RB> A=[2 3 -1 5;3 1 2 -7;4 1 -3 6;1 -2 4 -7]; b=[ 0; 0; 0; 0]; [RA,RB,n]=jiepb(A,b) 运行后输出结果为请注意：因为RA=RB=n ，所以此方程组有唯一解. RA = 4,RB =4,n =4 在MATLAB 工作窗口输入 >>X=A\b, 运行后输出结果为 X =(0 0 0 0)’. (2) 在MATLAB 工作窗口输入程序 >> A=[3 4 -5 7;2 -3 3 -2;4 11 -13 16;7 -2 1 3];b=[ 0; 0; 0; 0]; [RA,RB,n]=jiepb(A,b)

利用MATLAB求线性方程组

《MATLAB语言》课成论文利用MATLAB求线性方程组姓名：郭亚兰学号：12010245331 专业：通信工程班级：2010级通信工程一班指导老师：汤全武学院：物电学院完成日期：2011年12月17日

利用MATLAB求解线性方程组（郭亚兰 12010245331 2010 级通信一班）【摘要】在高等数学及线性代数中涉及许多的数值问题，未知数的求解，微积分，不定积分，线性方程组的求解等对其手工求解都是比较复杂，而MATLAB语言正是处理线性方程组的求解的很好工具。线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。【关键字】线性代数MATLAB语言秩矩阵解一、基本概念 1、N级行列式A：A等于所有取自不同性不同列的n个元素的积的代数和。 2、矩阵B：矩阵的概念是很直观的，可以说是一张表。 3、线性无关：一向量组（a1,a2,…,an）不线性相关，既没有不全为零的数 k1,k2,………kn使得：k1*a1+k2*a2+………+kn*an=0 4、秩：向量组的极在线性无关组所含向量的个数成为这个向量组的秩。 5、矩阵B的秩：行秩，指矩阵的行向量组的秩；列秩类似。记：R(B)

Matlab线性方程组求解(Gauss消去法)

Matlab线性方程组求解 1. Gauss消元法： function x=DelGauss(a,b) % Gauss消去法 [n,m]=size(a); nb=length(b); det=1; %存储行列式值 x=zeros(n,1); for k=1:n-1 for i=k+1:n if a(k,k)==0 return end m=a(i,k)/a(k,k); for j=k+1:n a(i,j)=a(i,j)-m*a(k,j); end b(i)=b(i)-m*b(k); end det=det*a(k,k); %计算行列式 end det=det*a(n,n); for k=n:-1:1 %回代求解 for j=k+1:n b(k)=b(k)-a(k,j)*x(j); end x(k)=b(k)/a(k,k);

end Example: >> A=[1.0170 -0.0092 0.0095;-0.0092 0.9903 0.0136;0.0095 0.0136 0.9898]; >> b=[1 0 1]'; >> x=DelGauss(A,b) x = 0.9739 -0.0047 1.0010 2. 列主元Gauss消去法： function x=detGauss(a,b) % Gauss列主元消去法 [n,m]=size(a); nb=length(b); det=1; %存储行列式值 x=zeros(n,1); for k=1:n-1 amax=0; %选主元 for i=k:n if abs(a(i,k))>amax amax=abs(a(i,k));r=i; end end if amax<1e-10 return; end if r>k %交换两行 for j=k:n

总结求线性方程组的方法

总结求线性方程组的方法-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

华北水利水电大学总结求线性方程组的方法课程名称：线性代数专业班级：成员组成：联系方式： 2014年12月31日

摘要：线性方程组的求解是当代代数学中的一个重要组成部分。它广泛应用在数学以及其他领域。它与矩阵、线性变换、行列式、向量组的线性相关性，二次型，这些型之间有着相当密切的联系。线性方程组是线性代数中一个相当基础的内容必须要学会以及熟悉内容。本文章主要说明和讨论线性方程组的基本结构，然后应用克拉莫法则，高斯消元法来来求解。关键词：线性方程组、高斯消元法、克拉莫法则； Summary for the method of liner equations Abstract: Solution of the system of linear equations is an important component part of algebra. It is widely used in mathematics and other areas. It and determinant, matrix, linear transformation, linear correlation vector group, quadratic form, has the close relation. System of linear equations is a very basic content in linear algebra must grasp and familiar with the content. This article mainly explain and discuss the basic structure of system of linear equations, then apply law of kramer, gauss elimination method to solve.

第一章-第四讲-n元线性方程组求解

第四讲 n 元线性方程组求解上一讲我们介绍了当n 元一次线性方程组的系数矩阵A 可逆时，可求出方程组解1X A b -=，实际上这也是方程组的唯一解。如果方程组系数矩阵A 不可逆或A 不是方阵时，该如何来讨论方程组的解？这一讲将通过矩阵的初等变换来研究n 元一次线性方程组（齐次、非齐次）在什么条件下有解、如何求解以及各种解的表达形式等. n 元一次线性方程组是指形如 ???????=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ22112 22221211 1212111 ... ...（4.1）令 111212122212 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ?= ? ???L L L L L L L ，12n x x X x ?? ? ?= ? ???M ，12m b b b b ?? ? ?= ? ??? M 则方程组的矩阵方程形式AX b =.其中：A 称为方程组（4.1）的系数矩阵，°()A A b =称为方程组（4.1）的增广矩阵。当b O ≠时，称（4.1）式为一元线性非齐次线性方程组; 当b O =时，称 (4.2 ) 式为一元线性齐次线性方程组，其矩阵形式AX O =. 111122121122221122000 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=??+++=?? ??+++=?L L L L L L L L L L L L L L L ... ...(4.2) 显然X O =是（4.2）式的当然解。所以说，齐次线性方程组的解只有两种情况：唯一解(零解)和无穷多解(非零解)。把非齐次线性方程组（4.1）式的每个方程右边的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组。（即：（4.2）是（4.1）的导出组）在第二讲的例2.12中，非齐次方程组的解是通过对方程组的增广矩阵实施初等行变换得到的. 那么，这种求解方法是不是对任意的线性方程组都适用？答案是肯定的。下面我们就给出理论证明. 定理4.1 若将非齐次线性方程组AX b =的增广矩阵°()A A b =用初等行变换化为

线性方程组求解matlab实现

3.1 方程组的逆矩阵解法及其MATLAB 程序 3.1.3 线性方程组有解的判定条件及其MATLAB 程序判定线性方程组A n m ?b X =是否有解的MATLAB 程序 function [RA,RB,n]=jiepb(A,b) B=[A b];n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0, disp('请注意：因为RA~=RB ，所以此方程组无解.') return end if RA==RB if RA==n disp('请注意：因为RA=RB=n ，所以此方程组有唯一解.') else disp('请注意：因为RA=RB> A=[2 3 -1 5;3 1 2 -7;4 1 -3 6;1 -2 4 -7]; b=[ 0; 0; 0; 0]; [RA,RB,n]=jiepb(A,b) 运行后输出结果为请注意：因为RA=RB=n ，所以此方程组有唯一解. RA = 4,RB =4,n =4 在MATLAB 工作窗口输入 >>X=A\b, 运行后输出结果为 X =(0 0 0 0)’. (2) 在MATLAB 工作窗口输入程序 >> A=[3 4 -5 7;2 -3 3 -2;4 11 -13 16;7 -2 1 3];b=[ 0; 0; 0; 0]; [RA,RB,n]=jiepb(A,b) 运行后输出结果请注意：因为RA=RB> A=[4 2 -1;3 -1 2;11 3 0]; b=[2;10;8]; [RA,RB,n]=jiepb(A,B) 运行后输出结果请注意：因为RA~=RB ，所以此方程组无解. RA =2,RB =3,n =3 (4)在MATLAB 工作窗口输入程序

线性方程组的解法

线性方程组的解法 1 引言在科学研究和大型工程设计中出现了越来越多的数学问题，而这些问题往往需要求数值解。在进行数值求解时，经离散后，常常归结为求解形如Ax= b的大型线性方程组。而如插值公式，拟合公式等的建立，微分方程差分格式的构造等，均可归结为求解线性方程组的问题．在工程技术的科学计算中，线性方程组的求解也是最基本的工作之一．因此，线性方程组的解法一直是科学和工程计算中研究最为普遍的问题，它在数值分析中占有极其重要的地位。20世纪50年代至70年代，由于电子计算机的发展，人们开始考虑和研究在计算机上用迭代法求线性方程组Ax =b的近似解，用某种极限过程去逐渐逼近精确解，并发展了许多非常有效的迭代方法，迭代法具有需要计算机存储单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点。例如Jacobi方法、Gauss—Seidel 方法、SOR方法、SSOR 方法，这几种迭代方法是最常用的一阶线性定常迭代法。 2 主要算法 20世纪50年代至70年代，人们开始考虑和研究用迭代法求解线性方程组。 Ax = b (1) 的近似解，发展了许多有效的方法，其中有Jacobi方法、Gauss—Seidel方法，SOR方法、SSOR方法，这几种迭代方法均属一阶线性定常迭代法，即若系数矩阵A的一个分裂：A =M-N ；M 为可逆矩阵，线性方程组(1)化为： (M－N)X =b； →M X = NX + b； →X= M -1NX+ M-1b 得到迭代方法的一般公式： X（k+1）=HX（k）+d （2）其中：H =MN-1，d=M-1b，对任意初始向量X（0）一阶定常迭代法收敛的充分必要条件是: 迭代矩H的谱半径小于1，即ρ(H) < 1；又因为对于任何矩阵范数恒有ρ(H)≤‖H‖，故又可得到收敛的一个充分条件为：‖H‖< 1。 2.1 Jacobi迭代法若D为A的对角素构成的对角矩阵，且对角线元素全不为零。系数矩阵A的一个分解：A =

Maab求解线性方程组非线性方程组

M a a b求解线性方程组非线性方程组 The latest revision on November 22, 2020

求解线性方程组solve，linsolve例：A=[5 0 4 2;1 -1 2 1;4 1 2 0;1 1 1 1];%矩阵的行之间用分号隔开，元素之间用逗号或空格B=[3;1;1;0]X=zeros(4,1);%建立一个4元列向量 X=linsolve(A,B)diff（fun，var，n）：对表达式fun中的变量var求n阶导数。例如：F=sym（'u(x,y)*v(x,y)'）; %sym（）用来定义一个符号表达式diff(F); %matlab区分大小写pretty(ans) %pretty（）：用习惯书写方式显示变量；ans是答案表达式非线性方程求解 fsolve(fun,x0,options) 其中fun为待解方程或方程组的文件名； x0位求解方程的初始向量或矩阵； option为设置命令参数建立文件： function y=fun(x) y=[x(1)*sin(x(1))*cos(x(2)), ... x(2) - *cos(x(1))+*sin(x(2))]; >>clear;x0=[,];fsolve(@fun,x0,optimset('fsolve'))注：...为续行符m文件必须以function 为文件头，调用符为@；文件名必须与定义的函数名相同；fsolve（）主要求解复杂非线性方程和方程组，求解过程是一个逼近过程。 Matlab求解线性方程组AX=B或XA=B在MATLAB中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符“/”和“\”。如：X=A\B表示求矩阵方程AX＝B的解；X＝B/A表示矩阵方程XA=B 的解。对方程组X＝A\B，要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数等于矩阵A 的列数，方程X＝B/A同理。如果矩阵A不是方阵，其维数是m×n，则有：m＝n 恰定方程，求解精确解；m>n 超定方程，寻求最小二乘解；m

实验一用matlab求解线性方程组

实验1.1 用matlab 求解线性方程组第一节线性方程组的求解一、齐次方程组的求解 rref （A ） %将矩阵A 化为阶梯形的最简式 null （A ） %求满足AX ＝0的解空间的一组基，即齐次线性方程组的基础解系【例１】求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并写出通解：我们可以通过两种方法来解：解法1： >> A=[1 -1 1 -1;1 -1 -1 1;1 -1 -2 2]; >> rref(A) 执行后可得结果： ans= 1 -1 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 由最简行阶梯型矩阵，得化简后的方程 ??? ??=+--=+--=-+-0 22004321 43214321x x x x x x x x x x x x

取x2，x4为自由未知量，扩充方程组为即提取自由未知量系数形成的列向量为基础解系，记所以齐次方程组的通解为解法2： clear A=[1 -1 1 -1;1 -1 -1 1;1 -1 -2 2]; B=null(A, 'r') % help null 看看加个‘r’是什么作用, 若去掉r ，是什么结果？执行后可得结果： B= 1 0 1 0 0 1 0 1 ?? ?=-=-0 04321x x x x ?????? ?====4 4432221x x x x x x x x ??? ??? ??????+????????????=????? ???????1100001142 4321x x x x x x , 00111????? ? ??????=ε, 11002????? ???????=ε2 211εεk k x +=

线性方程组解的判定

1 / 3 第四节线性方程组解的判定从本节开始,讨论含有n 个未知量、m 个方程的线性方程组的解. 11112211211222221122n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++= ? (13—2）主要问题是要判断出方程组（13-2）何时有解？何时无解?有解时解有多少?如何求出方程组的解。线性方程组有没有解，以及有怎样的解，完全决定于方程组的系数和常数项。因此，将线性方程组写成矩阵形式或向量形式，以矩阵或向量作为讨论线性方程组的工具,将带来极大的方便。方程组（13-2)中各未知量的系数组成的矩阵111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ??????=?????? 称为方程组（13-2）的系数矩阵.由各系数与常数项组成的矩阵，称为增广矩阵，记作A ，即 11121121 222212n n m m mn m a a a b a a a b A a a a b ??????=?????? 方程组(13-2)中的未知量组成一个n 行、1列的矩阵（或列向量）,记作X ；常数项组成一个m 行、1列的矩阵（或列向量），记作b ，即12n x x X x ??????=??????,12m b b b b ??????=?????? 由矩阵运算,方程组（13—2)实际上是如下关系111212122212 n n m m mn a a a a a a a a a ????????????12n x x x ????????????=12m b b b ???????????? 即 AX=b

Matlab求解线性方程组非线性方程组

求解线性方程组 solve，linsolve 例： A=[5 0 4 2;1 -1 2 1;4 1 2 0;1 1 1 1]; %矩阵的行之间用分号隔开，元素之间用逗号或空格 B=[3;1;1;0] X=zeros(4,1);%建立一个4元列向量 X=linsolve(A,B) diff（fun，var，n）：对表达式fun中的变量var求n阶导数。例如：F=sym（'u(x,y)*v(x,y)'）; %sym（）用来定义一个符号表达式 diff(F); %matlab区分大小写 pretty(ans) %pretty（）：用习惯书写方式显示变量；ans是答案表达式非线性方程求解 fsolve(fun,x0,options) 为待解方程或方程组的文件名；fun其中 x0位求解方程的初始向量或矩阵； option为设置命令参数建立文件fun.m： function y=fun(x) y=[x(1)-0.5*sin(x(1))-0.3*cos(x(2)), ... x(2) - 0.5*cos(x(1))+0.3*sin(x(2))]; >>clear;x0=[0.1,0.1];fsolve(@fun,x0,optimset('fsolve')) 注： ...为续行符 m文件必须以function为文件头，调用符为@；文件名必须与定义的函数名相同；fsolve（）主要求解复杂非线性方程和方程组，求解过程是一个逼近过程。Matlab求解线性方程组 AX=B或XA=B 在MATLAB中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符“/”和“\”。如： X=A\B表示求矩阵方程AX＝B的解；的解。XA=B表示矩阵方程B/A＝X．对方程组X＝A\B，要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数等于矩阵A的列数，方程X＝B/A同理。如果矩阵A不是方阵，其维数是m×n，则有： m＝n 恰定方程，求解精确解； m>n 超定方程，寻求最小二乘解； m

解线性方程组的直接解法

解线性方程组的直接解法一、实验目的及要求关于线性方程组的数值解法一般分为两大类：直接法与迭代法。直接法是在没有舍入误差的情况下，通过有限步运算来求方程组解的方法。通过本次试验的学习，应该掌握各种直接法，如：高斯列主元消去法，LU分解法和平方根法等算法的基本思想和原理，了解它们各自的优缺点及适用范围。二、相关理论知识求解线性方程组的直接方法有以下几种： 1、利用左除运算符直接求解线性方程组为b x\ =即可。 A Ax=，则输入b 2、列主元的高斯消元法程序流程图：输入系数矩阵A，向量b，输出线性方程组的解x。根据矩阵的秩判断是否有解，若无解停止；否则，顺序进行；对于1 p :1- =n 选择第p列中最大元，并且交换行；消元计算；回代求解。（此部分可以参看课本第150页相关算法） 3、利用矩阵的分解求解线性方程组（1）LU分解调用matlab中的函数lu即可，调用格式如下： [L,U]=lu（A）注意：L往往不是一个下三角，但是可以经过行的变换化为单位下三角。（2）平方根法

调用matlab 中的函数chol 即可，调用格式如下： R=chol （A ）输出的是一个上三角矩阵R ，使得R R A T =。三、研究、解答以下问题问题1、先将矩阵A 进行楚列斯基分解，然后解方程组b Ax =(即利用平方根法求解线性方程组，直接调用函数)： ??????? ??--------=19631699723723312312A ，?????? ? ??-=71636b 解答：程序： A=[12 -3 2 1;-3 23 -7 -3;2 -7 99 -6;1 -3 -6 19]; R=chol(A) b=[6 3 -16 7]'; y=inv(R')*b %y=R'\b x=inv(R)*y %x=R\y 结果： R =3.4641 -0.8660 0.5774 0.2887 0 4.7170 -1.3780 -0.5830 0 0 9.8371 -0.7085 0 0 0 4.2514 y =1.7321 0.9540 -1.5945 1.3940 x =0.5463 0.2023 -0.1385 0.3279 问题 2、先将矩阵A 进行LU 分解，然后解方程组b Ax =（直接调用函数）： ?????????? ??----=8162517623158765211331056897031354376231A ，????????? ? ??-=715513252b

线性方程组解题方法技巧与题型归纳

线性方程组解题方法技巧与题型归纳题型一线性方程组解的基本概念【例题1】如果α1、α2是方程组 123131233231 2104 x x ax x x x ax x --=?? -=??-++=? 的两个不同的解向量，则a 的取值如何解：因为α1、α2是方程组的两个不同的解向量，故方程组有无穷多解，r(A)= r(Ab)＜3，对增广矩阵进行初等行变换： 21131132031022352104002314510a a a a a a a ----???? ? ?-→-- ? ? ? ?-----???? 易见仅当a=-2时，r(A)= r(Ab)=2＜3，故知a=-2。【例题2】设A 是秩为3的5×4矩阵， α1、α2、 α3是非齐次线性方程组Ax=b 的三个不同的解，若α1+α2+2α3=（2，0，0，0）T , 3α1+α2= （2，4，6，8）T ,求方程组Ax=b 的通解。解:因为r(A)= 3，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由4- r(A)= 1个向量构成，又因为（α1+α2+2α3）-（3α1+α2） =2（α3-α1）=（0，-4，-6，-8）T , 是Ax=0的解，即其基础解系可以是（0，2，3，4）T , 由A （α1+α2+2α3）=Aα1+Aα2+2Aα3=4b 知1/4

（α1+α2+2α3）是Ax=b 的一个解，故Ax=b 的通解是 ()1,0,0,00,2,3,42T T k ?? + ??? 【例题3】已知ξ1=（-9，1，2，11）T ，ξ2=（1，- 5，13，0）T ，ξ3=（-7，-9，24，11）T 是方程组 12234411223441 234432332494x a x x a x d x b x x b x x x x c x d +++=?? +++=??+++=?的三个解，求此方程组的通解。分析：求Ax=b 的通解关键是求Ax=0的基础解系，判断r(A)的秩。解：A 是3×4矩阵， r(A)≤3，由于A 中第2，3两行不成比例，故r(A)≥2，又因为 η1=ξ1-ξ2=（-10，6，-11，11）T , η2=ξ2-ξ3= (8,4,-11,-11)T 是Ax=0的两个线性无关的解向量，于是4- r(A)≥2，因此r(A)=2，所以ξ1+k 1η1+k 2η2是通解。总结：不要花时间去求方程组，太繁琐，由于ξ1-ξ2，ξ1-ξ3或ξ3-ξ1，ξ3-ξ2等都可以构成齐次线性方程组的基础解系，ξ1，ξ2，ξ3都是特解，此类题答案不唯一。题型2 线性方程组求解

线性方程组的解法及其应用

线性方程组的解法及其应用 The solution of linear equation and its application 专业：测控技术与仪器班级： 2010-1班作者：刘颖学号： 20100310110105

摘要线性方程组是线性代数的一个重要组成部分，也在现实生产生活中有着广泛的运用，在电子工程、软件开发、人员管理、交通运输等领域都起着重要的作用。在一些学科领域的研究中，线性方程组也有着不可撼动的辅助性作用，在实验和调查后期利用线性方程组对大量的数据进行处理是很方便简捷的选择。本文主要围绕如何解线性方程组来进行讲解，对于不同类型的线性方程组的不同方法，并简述线性方程组的一些实际应用。关键词：齐次线性方程组，非齐次线性方程组，克莱姆法则，消元法，矩阵，矩阵的秩，特解，通解。

Abstract Linear equations linear algebra is one of the important component parts, and in real life has extensive production use，and it plays an important role in electronic engineering, software development, personnel management, transportation, etc. In some discipline study, it also has the reigns of linear equations of the auxiliary function.In experiment and survey using the linear equations of the late on the data processing is very convenient simple choice. This article, focusing on how to solve linear equations to explain, for different types of linear equations of different methods, and briefly introduces some of the practical application of linear equations. Keywords: Homogeneous linear equations, Non homogeneous linear equation,Clem’s law,Elimination method,Matrix,Rank of matrix,Special solution,General solution.

求解线性方程组

《线性方程组求解》实验报告实验名称：线性方程组求解成绩：___________ 专业班级：数学与应用数学1202班姓名：张晓彤学号：2012254010227 实验日期： 2014年11月21日实验报告日期： 2014年11月21日一、实验目的（1）掌握四种求解线性方程组的直接左除法、LU分解法、QR分解法以及Cholesky 分解法. （2）掌握求解线性方程组过程中的基本理论思想. （3）能够熟练使用matla软件对线性方程组进行不同方式的求解. （4）能够区分四种求解方法的不同，以及每种方法的特点和优劣. 二、实验内容 2 .1（验证性实验）验证求解线性方程组的直接左除法、LU分解法、QR分解法以及Cholesky分解法.给出相关例题进行验证.

例三：用QR 分解法求解线性方程组1231231 234543727105x x x x x x x x x -+=??-+=??++=?，要求写出分解出的矩阵L 和U. 例四：用Cholesky 分解法求解线性方程组Ax b =，给出A 和b 分别为： 211121113A ?? ?=- ? ?-??，634b ?? ?= ? ??? 2.2借用实例来区分四种方法的不同三、实验环境该实验应用matlab2014来进行实验的验证和设计. 四、实验步骤和结果

b=[8;6;5;1]; [L,U]=lu(A) x=U\(L\b) 得到方程组的解为： L = 1.0000 0 0 0 -0.3000 -0.0400 1.0000 0 0.5000 1.0000 0 0 0.2000 0.9600 -0.7742 1.0000 U = 10.0000 -7.0000 0 1.0000 0 2.5000 5.0000 -1.5000 0 0 6.2000 2.2400 0 0 0 4.9742 x =

线性方程组求解Matlab程序(精.选)

线性方程组求解 1.直接法 Gauss消元法： function x=DelGauss(a,b) % Gauss消去法 [n,m]=size(a); nb=length(b); det=1;%存储行列式值 x=zeros(n,1); for k=1:n-1 for i=k+1:n if a(k,k)==0 return end m=a(i,k)/a(k,k); for j=k+1:n a(i,j)=a(i,j)-m*a(k,j); end b(i)=b(i)-m*b(k); end det=det*a(k,k); end

det=det*a(n,n); for k=n:-1:1 %回代 for j=k+1:n b(k)=b(k)-a(k,j)*x(j); end x(k)=b(k)/a(k,k); end Example: >> A=[1.0170 -0.0092 0.0095;-0.0092 0.9903 0.0136;0.0095 0.0136 0.9898]; >> b=[1 0 1]'; >> x=DelGauss(A,b) x = 0.9739 -0.0047 1.0010 列主元Gauss消去法： function x=detGauss(a,b) % Gauss列主元消去法

[n,m]=size(a); nb=length(b); det=1;%存储行列式值 x=zeros(n,1); for k=1:n-1 amax=0;% 选主元 for i=k:n if abs(a(i,k))>amax amax=abs(a(i,k));r=i; end end if amax<1e-10 return; end if r>k %交换两行 for j=k:n z=a(k,j);a(k,j)=a(r,j);a(r,j)=z; end z=b(k);b(k)=b(r);b(r)=z;det=-det; end