碎石运输方案设计

碎石运输方案设计

摘要：

本文对运输碎石的方案设计建立数学模型。这是一个道路改造项目中安排石料运输的规划问题，目标是在给定的条件下寻求使碎石运输总费用最少的规划方案。问题的关键是给出两个石料供应点的运量，恰当选择铺设临时道路的路线，确定设置码头的数量及位置。注意到通过水运运输碎石时，必须有装有卸，所有如果需要建临时码头，码头数应不小于2。由于S2处离河道处太远，又由于桥的造价很高，所以S2处运的碎石全部通过陆地运输。

为了使总费用在17亿元左右，我们在S1附近建设一个装碎石码头M

，可能

建设装碎石码头M

1、M

2

、M

3

，从码头M

1

修建的临时道路与AB路的交点为L

1

，从

码头M

3修建的临时道路与AB路的交点为L

2

。从S2处铺设临时道路到临界点Q

1

。

可能在点C处铺设临时道路到临界点Q

2

。路线图为

关键词：最优解 lingo软件

一、问题重述

在一平原地区要进行一项道路改造项目，在A ，B 之间建一条长200km ，宽15m ，平均铺设厚度为0.5m 的直线形公路。为了铺设这条道路，需要从S1，S2两个采石点运碎石。1立方米碎石的成本都为60元。（S1，S2运出的碎石已满足工程需要，不必再进一步进行粉碎。）S1，S2与公路之间原来没有道路可以利用，需铺设临时道路。临时道路宽为4m ，平均铺设厚度为0.1m 。而在A ，B 之间有原来的道路可以利用。假设运输1立方米碎石1km 运费为20元。此地区有一条河，故也可以利用水路运输：顺流时，平均运输1立方米碎石1km 运费为6元；逆流时，平均运输1立方米碎石1km 运费为10元。如果要利用水路，还需要在装卸处建临时码头。建一个临时码头需要用10万元。建立一直角坐标系，以确定各地点之间的相对位置：A （0,100），B （200,100），s1(20,120)，s2(180,157)。河与AB 的交点为m4(50,100) （m4处原来有桥可以利用）。河流的流向为m1→m7，m4的上游近似为一抛物线，其上另外几点为m1(0,120)，m2(18,116)，m3(42,108)；m4的下游也近似为一抛物线，其上另外几点为m5(74,80)，m6(104,70)，

m7(200,50)。桥的造价很高，故不宜为运输石料而造临时桥。此地区没有其它可以借用的道路。为了使总费用最少，如何铺设临时道路（要具体路线图）；是否需要建临时码头，都在何处建；从s1，s2所取的碎石量各是多少；指出你的方案的总费用。

二、符号说明

w ：修路的总花费；

000(,)M x y ：卸碎石码头0M 的坐标；

(,)i i i M x y ：第i 个装碎石码头i M 的坐标，1,2,,i k = ；

(,100)i i L l ：从码头i M 修建的临时道路与AB 路的交点i L 的坐标，1,2,,i k = ； (,100)Q q ：AB 上的一点（我们称它为临界点）

，修建它左边的道路需要的碎石取

自S1, 修建它右边的道路需要的碎石取自S2；

(,100)i i Q q ：从2S 修建的临时道路与AB 路的交点i Q 的坐标，1,2,,i t = ； 1s ：临时道路的横截面面积，等于620.410km -?；

2s ：正式铺设的AB 道路的横截面面积，等于627.510km -?；

L ：AB 直线形公路的总长度；

1b ：从采石点S1运出的仅用于修建AB 公路的碎石数；

2b ：从采石点S2运出的仅用于修建AB 公路的碎石数。

三、问题假设

1）河有足够的跨度，可以满足在两岸都修建码头； 2）假设每个码头通向AB 的临时道路只有一条； 3）除水路外，假设所有的运输道路均为直线型； 4）把河流的上游和下游分别看作两条抛物线的一部分； 5）不考虑题目所涉及范围以外的其他不确定因素产生的费用。

四、模型准备

考虑到在运输方案设计的数学模型中涉及大量的计算公式，为了方便，我们首先用一个示意图表示运输线路，并且逐步依次对各种量的表达式进行讨论。

总费用w =码头建设费0w +铺设道路的碎石成本费1w +碎石运输费2w 。

1）码头建设费w 0：

修建一个码头的费用为105

元，修建K 个码头的费用为w 0=k105

2）碎石成本费1w =铺设AB 的碎石成本费10w +铺设临时道路的碎石成本费11w ：

铺设AB 的碎石成本费：10w =922006010s ???元 铺设临时道路的碎石成本费：

11w =901122121[(1)(222)]6010k k t s M M L M L M L s Q s Q s Q s ++++++++??? 其中，6210.410km s -=?

，01s M =

11,M L =

k k M L =

12s Q =

,2t s Q = 而20001

2512008

x y y =-+-,

211112512008x y y =-+-,22

2223312650,,126505050

k k k x y y x y y =-+=-+ .

3）碎石运输费2w =铺设临时道路的碎石运输费21w +铺设AB 的碎石运输费20w :

首先计算铺设临时道路的碎石运输费20011k t w f f f r r =++++++ ：

下面依次计算各段道路的运输费。 从S1出发的临时路段的碎石运费计算：

为计算修建01s M 段道路的运输费，第一步，计算把碎石从s1运到M 0的运费。如果把碎石分成无数小份，则每一份的运费与其将来被铺设的位置与采石点之间的距离成正比，所以这段路的运费可以用一个积分式求出来：

192901010201010110s M f x s dx s M s =

????=????

，

修建11M L 段道路需要的碎石要经过M0运到M 1的河流，由于

(1

ln ]2

a b

a

b

dy y =+，

利用第一型曲线积分可以计算这段河的长度为：

01

111100[(100)2ln ]84y y y y y c dy y ?-==?-+ ??其他河段的长度i c 可以类似计算：

i

y i y c dy dy =

+?

?

. 这里，我们假定了M 2在下游抛物线上。

所以，修建11M L 段道路需要的碎石运费为：

929101111111(2016)101010;f s M c M L s M L s =?+????+???

同样得到修建22M L 段道路需要的碎石运费为：

929202221221(2016)101010;f s M c M L s M L s =?+????+???

,

929011(2016)101010;k k k k k k f s M c M L s M L s =?+????+???

从S2出发的临时路段的碎石运费计算：

2911110210;r s Q s =???2929221110210;;10210t t r s Q s r s Q s =???=???

其次计算铺设AB 的碎石运输费2121222221k t w f f f r r =++++++ ，即：

21w 等于铺设1211,,,,,,,k t t L L L Q Q Q - 点左右两边各段道路需要的碎石运输费之和。则

2929

21212101111212(201620)()101010;22l l l l f s M c M L l s l s ??--??=?+?+??+??+?+???? ??????

?

2299

3232212122022222(201620)()101010;

2222l l l l l l l l f s M c M L s s ??----????=?+?+??+??+?+???? ? ????????

?

,

2299

112022(201620)()101010;

2222k k k k k k k k k k l l q l l l q l f s M c M L s s --??----????=?+?+??+??+?+???? ? ????????

?

22

9911222202()101010;2222t k t t t k t t

t t q l q q q l q q r s Q s s --??----????=??+??+?+???? ? ?????????

,

22992323121222222202()101010;2222q q q q q q q q r s Q s s ??----????=??+??+?+????

? ????????

? ()2299

12112211212200202()101020010;222q q q q q r s Q s q s ??---??=??+??+?+-???? ???????

点(,100)Q q 中的q 为：

22

t k k t

k q l l q q l -+=+

=. 1b 是从采石点S1运出的仅用于修建AB 公路的碎石数：12b s q =?；

2b 是从采石点S2运出的仅用于修建AB 公路的碎石数：22(200)b s q =?-.

五、模型的建立与求解

由上可以知道，为了完成AB 道路的修建工程，在假定修建1k +个码头，1k t ++条临时道路的情况下，总修建费用为：

w =0w +1w +2w

其中：W 0=(K+1)105；

1w =922006010s ???+901111[(1)(22)]6010k k t s M M L M L s Q s Q s ++++++??? ； 2w =21w +20w ，而

20011k t w f f f r r =++++++ ，2121222221k t w f f f r r =++++++ . 具体的计算表达式如上节，其他的约束条件为：

01231050;050;50;;200;k k k k x x x x x x l l -≤≤≤≤≤<<<<

12311221050;50;.;200;

k k t t t t l l l l l q q q q q q ---≤≤≤<<<<<<≤

至此，我们已经成功建立了一个关于碎石运输的优化规划数学模型，要求的就是

w 在上述约束条件下的最小值. 用Lingo 求解得：

具体程序参见附录。

结论：3码头2道路最优方案总费用为16.8亿元，各有关数据为：

00112212313220.2,115;50;73.3,19.6;178.5,147.6;132.3;930480 569520;

x y x l x y q q q b m b m ===========

六、模型的评价与模型的改进

模型主要优点：

1) 考虑问题比较全面，我们建立的模型可以对不确定因素的各种情况都进行讨论;

2) 问题描述逐层深入，每个独立部分的模型建立与求解比较简洁； 3) 得到较好的结果，误差主要依赖于Lingo 程序及计算机计算的精确度。

模型缺点：

没有建立一个全局动态的模型，不能直接求解出全局的最优结果。比如可以考虑从某条临时道路的中间位置建设另外一条临时道路，建立更科学的网络优化模型。

七、参考文献

[1]姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型. 北京：高等教育出版社，2003.8.

[2]姜启源，薛毅. 优化建模与LINDO/LINGO软件. 北京：清华大学出版社，2005.7.

[3]刘光灿，刘简达. 道路改造项目中碎石运输的数学模型. 长沙大学学报，2007年9月，第21卷第5期，1-4.

附录一：

MODEL:

Title road;

data:

sets:

LL/

l0=@sqrt((20-x0)^2+(120-y0)^2);

l1=@sqrt((L(1)-x1)^2+(100-y1)^2);

!..;

lk=@sqrt((L(k)-xk)^2+(100-yk)^2);/

endsets

sets:

QQ/

q1=@sqrt((180-Q1)^2+(157-100)^2);

!..;

qt=@sqrt((180-Qt)^2+(157-100)^2);/

endsets

sets:

X/

x1=(-1/8)*y1^2+25*y1-1200;

x2=(3/20)*y2^2-12*y2+650;

!..;

xk=(3/20)*yk^2-12*yk+650;/

endsets

w11=[@sum(L(i):l(i))+@sum(Q(i):q(i))]*s1*60*10^9;

s1=0.4*10^-6;

f0=10*l0^2*s1*10^9;

sets:

C/

c1=[(1/8)*(-100+y0)*@sqrt(((-1/4)*y0+25)^2+1)-2*@log((100-y0)/4+@sqrt (((-1/4)*y0+25)^2+1)]-[(1/8)*(-100+y1)*@sqrt(((-1/4)*y1+25)^2+1)-2*@l og((100-y1)/4+@sqrt(((-1/4)*y1+25)^2+1)];

c2={[(1/8)*(-100+y0)*@sqrt(((-1/4)*y0+25)^2+1)-2*@log((100-y0)/4+@sqr t(((-1/4)*y0+25)^2+1)]-[2*@log(@sqrt(((-1/4)*100+25)^2+1)]}+;/ endsets

sets:

F/

f1=(20*l0+6*c1)*l1*s1*10^9+10*l1^2*s1*10^9;

f2=(20*l0+6*c2)*l1*s2*10^9+10*l2^2*s1*10^9;

f3=(20*l0+6*c3)*l1*s3*10^9+10*l3^2*s1*10^9;

f4=(20*l0+6*c4)*l1*s4*10^9+10*l4^2*s1*10^9;

!..;

fk=(20*l0+6*ck)*l1*sk*10^9+10*lk^2*s1*10^9;/

endsets

sets:

F2/

f21=(20*l0+6*c1+20*l1)*(L(1)+(L(2)-L(1))/2)*s2*10^9+10*[L1^2+@sqr((L( 2)-L(1))/2)]*s2*10^9;

f22=(20*l0+6*c2+20*l2)*((L(2)-L(1))/2+(L(3)-L(2))/2)*s2*10^9+10*[@sqr ((L(2)-L(1))/2)+@sqr((L(3)-L(2))/2)]*s2*10^9;

f23=(20*l0+6*c3+20*l3)*((L(3)-L(2))/2+(L(4)-L(3))/2)*s2*10^9+10*[@sqr ((L(3)-L(2))/2)+@sqr((L(4)-L(3))/2)]*s2*10^9;

f2k=(20*l0+6*ck+20*lk)*((L(k)-L(k-1))/2+(q-L(k))/2)*s2*10^9+10*[@sqr( (L(k)-L(k-1))/2)+@sqr((q-L(k))/2)]*s2*10^9;/

endsets

sets:

R/

r1=10*q1^2*s1*10^9;

r2=10*q2^2*s1*10^9;

r3=10*q3^2*s1*10^9;

r4=10*q4^2*s1*10^9;

!..;

rt=10*qt^2*s1*10^9;/

endsets

sets:

R2/

r2t=20*qt*((Q(t)-L(k))/2+(Q(t-1)-Q(t))/2)*s2*10^9+10*[((Q(t)-L(k))/2) ^2+((Q(t-1)-Q(t))/2)^2]*s2*10^9;

r22=20*q2*((Q(2)-Q(3))/2+(Q(1)-Q(2))/2)*s2*10^9+10*[((Q(2)-Q(3))/2)^2 +((Q(1)-Q(2))/2)^2]*s2*10^9;

r21=20*q1*((Q(1)-Q(2))/2+(200-Q(1))/2)*s2*10^9+10*[((Q(1)-Q(2))/2)^2+ ((200-Q(1))^2]*s2*10^9/

endsets

enddata

[obj] min w=w0+w1+w2;

w0=(1+k)*2*10*10^4;

w1=200*s2*60*10^9+[@sum(LL(i):l(i))+@sum(QQ:q(i))]*s1*60*10^9;

w2=w21+w20;

w20=@sum(F(i):f(i))+@sum(R(j):r(j));

w21=@sum(F2(i):f2(i))+@sum(R2(j):r2(j));

q=(L(k)+Q(t))/2;

b1=s2*q;

b2=s2*(200-q);

0<=l1<=50<=l2

0<=x1<=50<=x2<..

END

附录二：

data:

s1=0.4e-6;

s2=7.5e-6;L0=@sqrt((x0-20)^2+(y0-120)^2)

L1=@sqrt((l1-x1)^2+(100-y1)^2)

L2=@sqrt((l2-x2)^2+(100-y2)^2))

Q1=@sqrt((180-q1)^2+(157-100)^2))

enddata

[obj]

min=(1+k)*2*10*10^4+200*s2*60*10^9+(L0+L1+Q1)*s1*60*10^9+

10*(L0)^2*s1*10^9+(20*L0+6*c1)*L1*s1*10^9+10*(L1)^2*s1*10^9+

((20*L0*+6*c2)*L2*s1*10^9+10*(L2)^2*s1*10^9+(20*L0+6*c1+20*L1)*(l1+(l 2-l1)/2)*s2*10^9+

(20*L0+6*c1+20*L2)*((l2-l1)/2*(l3-l2)/2)*s2*10^9+10*(l2-l1)/2)

c1=[(1/8)*(-100+y0)*@sqrt(((-1/4)*y0+25)^2+1)-2*@log((100-y0)/4+@sqrt (((-1/4)*y0+25)^2+1)]-[(1/8)*(-100+y1)*@sqrt(((-1/4)*y1+25)^2+1)-2*@l og((100-y1)/4+@sqrt(((-1/4)*y1+25)^2+1)];

b1+b2=1500000;

1000*x200*h1*d1=b1;

x10>0;

x20>x10;

x20<50;

y20>100;

y20

x10=-0.125*y10^2+25*y10-1200;

x20=-0.125*y20^2+25*y20-1200;

b1>0;

b2>0;

x00<200;

x00>x200;

y00=100;

x2

x2>0;

x2<50;

y2=100;

d1=15;

h1=0.5;

c1=60;

d2=4;

h2=0.1;

c2=20;

c3=6;

c4=10;

end

附录三：

min=(1+k)*2*10*10^4+200*7.5*60*10^9+[((x0-20)^2+(y0-120)^2)^0.5+((l1-x1)^2+(100-y1)^2)^0.5

+((l2-x2)^2+(100-y2)^2)^0.5+((180-q1)^2+(157-100)^2)^0.5+((180-q2)^2+ (157-100)^2)^0.5]*0.4*60*10^9+

10*[(x0-20)^2+(y0-120)]*s1*10^9+((20*((x0-20)^2+(y0-120)^2)^0.5+6*c1) *[(l1-x1)^2+(100-y1)^2)]^0.5

*s1*10^9+10*(l1-x1)^2+(100-y1)^2)s1*10^9+((20*((x0-20)^2+(y0-120)^2)^ 0.5+6*c1)*(l2-x2)^2+(100-y2)^2)^0.5]*

s1*10^9+10*((l2-x2)^2+(100-y2)^2)s1*10^9+10*((180-q1)^2+(157-100)^2)* s1*10^9+x0-20)^2+(20*(y0-120)^2)^0.5

+6*c1+20*((l1-x1)^2+(100-y1)^2)^0.5)

s1=0.4;

b1+b2=1500000;

1000*x200*h1*d1=b1;

x10>0;

x20>x10;

x20<50;

y20>100;

y20

x10=-0.125*y10^2+25*y10-1200;

x20=-0.125*y20^2+25*y20-1200;

b1>0;

b2>0;

x00<200;

x00>x200;

y00=100;

x2

x2>0;

x2<50;

y2=100;

d1=15;

h1=0.5;

c1=60;

d2=4;

h2=0.1;

c2=20;

c3=6;

c4=10;

附录四：

min=(1+1)*2*10*10^4+200*s2*60*10^9+(s1M0+M1L1+s1Q1)*s1*60*10^9+

10*(s1M0)^2*s1*10^9+(20*s1M0+6*c1)*M1L1*s1*10^9+10*(M1L1)^2*s1*10^9+ (20*s1M0+6*c1+20*M1L1)*(l1+(l2-l1)/2)*s2*10^9+

20*s2Q1((q1-q2)/2+(200-q1)/2)*s2*10^9+10*[((q1-q2)/2)^2+(200-q1)^2]*s 2*10^9

s1=0.4e(-6);

s2=7.5e(-6);

s1M0=((x0-20)^2+(y0-120)^2)^0.5

M1L1=（(l1-x1)^2+(100-y1)^2)）^0.5

s2Q1=（(180-q1)^2+(157-100)^2)）^0.5

c1=[(1/8)*(-100+y0)*@sqrt(((-1/4)*y0+25)^2+1)-2*@log(((100-y0)/4+@sqr t(((-1/4)*y0+25^2+1)]-[(1/8)*(-100)+y1)*@sqrt(((-1/4)*y1+25)^2+1)-2*@ sqrt((100-y1)/4+@sqrt(((-1/4)*y1+25)^2+1)]

x1>0;

x2>x1;

x2<50;

y2

x0=-0.125*y0^2+25*y0-1200; x1=-0.125*y2^2+25*y2-1200;