直角三角形的性质讲义

直角三角形的性质

一、知识点讲解

1、直角三角的性质：

（1）直角三角两个锐角；

（2）直角三角形两直角边的平方和等（勾股定理）；

（3）直角三角形斜边的中线等于；

（4）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于。

二、典例分析

题型一：直角三角形斜边的中线是斜边一半性质的运用

例1 如图，在△ABC 中，CF ⊥AB 于点F ，BE ⊥AC 于点E ，M 、N 分别是BC 、EF 的中点，求证：MN ⊥EF 。

变式练习：

1、如图，△ABC 在正方形网格中，小正方形的边长为1，点D 是边AB 的中点，则线段CD 的长为（）

A 、13

B 、26

C 、22

D 、262

第1题第2题第3题

2、如图，公路AC ，BC 互相垂直，公路AB 的中点M 与点C 被湖隔开．若测得AM 的长为1.2km ，则M ，C 两

求证：（1）∠AEC =∠C ；（2）BD =2AC 。

题型二：30°所对的直角边是斜边的一半的运用

例2 如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠BAC =2∠B ，E 是BC 边上的一点，ED ⊥AB 于点D ，且ED =EC 。求证：BE =2EC 。

变式练习：

1、如图，△ABC 是等边三角形，AB =4cm ，则BC 边上的高AD 等于cm 。

第1题第2题第3题第4题

2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 是AB 边上的高，∠A =30°，AB =4，则BD =。

3、如图中，∠BOP =∠AOP =15°，PC ∥OB ，PD ⊥DB 于点D ，PC =2，则PD 的长度为。

4、如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =8cm ，D 为AB 的中点，DE ⊥AC 于E ，∠A =30°，求BC ，CD 和DE 的长。

反馈练习基础夯实

1、如图，△ABC 中，AB =AC =6，BC =8，AE 平分∠BAC 交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连接DE ，则△BDE 的周长是（）

A 、57+

B 、10

C 、524+

D 、12

第1题第2题第3题第5题第6题

2、如图，在△ABC 中，∠A =45°，∠B =30°，CD ⊥AB ，垂足为D ，CD =1，则AB 的长为（）

A 、2

B 、22

C 、13

3+D 、13+ 3、如图，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的矩形纸带边沿上，别一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板最大边的长为（ )

A 、3cm

B 、6cm

C 、23cm

D 、26cm

4、在Rt △ABC 中，∠B =30°，AB =12，AC =6,则BC =。

5、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点E ，，交BC 的延长线于点F ，若∠F =30°，DE =1，则BE 的长是。

6、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 是斜边AB 的中点，DE ⊥AC ，垂足为E ，若DE =2，CD =52，则BE 的长为。

7、如右图，在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AD 平分∠CAB ，

交BC 于点D ，若CD =1，则BD = ．

8、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，∠B=30°，AB=6，CD=3，求AD、AC的长。

9、如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，F为BC边上的中点，点E在AB边上，若EF=DF，判断CE与AB的位置关系，并说明理由。

能力提升

10、将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=14cm，则阴影部分的面积是cm2。

第10题第112题第12题第13题

11、一块直角三角板ABC按如图放置，顶点A的坐标为（0，1），直角顶点C的坐标为（﹣3，0），∠B=30°，则点B的坐标为．

12、一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示，正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A=30°，∠B=90°，BC=6燮，当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE=米时，有DC2=AE2+BC2。

13、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为。

14、如图，，某船由西向东航行，在点A测得小岛O在北偏东60°处，船航行了10海时后到达点B，这时测得小岛O在北偏东45°处，船继续航行到点C时，测得小岛O恰好在船的正北方，求此时船到小岛的距离。

14、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，求EB：EA的值。

15、如图，在R t△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D。

（1）如果∠A=60°，求证BD=3AD；（2）如果BD=3AD，求证：∠A=60°。

16、如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边BD，AC 的中点。

（1）求证：MN⊥AC；（2）当AC=8cm，BD=10cm时，求MN的长。

直角三角形性质应用(讲义)

直角三角形性质应用 ? 课前预习 1. 根据图中给出的边长及角度信息，在横线上补全下列直角三角形的边长． 1 1 45° 30° 2 30° 45° 23 2. 下列是不完整的弦图结构，请补全弦图． ? 知识点睛直角三角形性质梳理：

1. 从边与角的角度来考虑 ①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______． ②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____；勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形． 2. 添加一些特殊的元素（中线或30°角） ①直角三角形斜边上的中线等于______________；如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形． ②30°角所对的直角边是_____________________；在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于_____________． 3. 特殊的直角三角形 A C B 45° 1 130° 2 3 4 2 1 1 C A B C A B C A 4. 垂直（多个） ①等面积法 a 2+ b 2=c 2 C B A C B A β α C A A B C A B C C B A 2m m A B C 30°

ab=ch D h C B A c b a h h=h 1+h 2+h 3 h 3 h 2h 1 A C B ②弦图结构外弦图（赵爽弦图）内弦图（毕达哥拉斯图） ? 精讲精练 1. 如图，在Rt △ABE 中，∠B =90°，延长BE 到C ，使EC =AB ，分别过点C ，E 作 BC ，AE 的垂线，两线相交于点D ，连接AD ．若AB =3，DC =4，则AD 的长为___________． E D C B A A E D C B 第1题图第2题图 2. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 边上，若DE =m ，BC =n ，且∠EBC 与∠DCB 互余，则BD 2+CE 2=__________（用含m ，n 的式子表示）． 3. 如图，在△ABC 中，∠C =2∠B ，点D 是BC 上一点，AD =5，且AD ⊥AB ，点E 是BD 的中点，AC =6.5，则AB 的长为______．

四年级下册--三角形讲义

辅导讲义一、提升目标 1、熟悉三角形的概念，以及它的物理特性，边的特性 2、能利用三角形内角和来解决三角形的问题 3、可以用三角形来拼成一些图形二、学习内容 1、三角形的概念以及它的特性 2、三角形的内角和 3、图形的拼组三、课堂表现及学习效果四、请家长监督孩子完成当天作业！长确认：_________________

三角形【三角形的特性】例题：画一个三角形。说一说三角形有几条边？几个角？几个顶点？由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形 ①三角形的高：从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段 ②三角形的底：这条对边叫做三角形的底用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，这个三角形可以表示成三角形ABC 三角形的性质：①物理特性：三角形具有稳定性（不易变形） ②边的特性：三角形任意两边的和大于第三边做一做 1、由三条围成的图形(每的端点相连)叫做三角形，三角形具有性。 2、一个三角形最多可以画（）条高。 A、一 B、二 C、三 D、四 3、下面各组中的三条线段，可以围成一个三角形的是（） A、2、4、6 B、2、5、5 C、2、2、5 D、3、4、7 4、已知一个三角形的两条边是7厘米和8厘米，则第三条边不可能是（）

A、2厘米 B、3厘米 C、14厘米 D、1厘米 5、一个三角形有两条边分别长6厘米和4厘米，它的另一边一定（） A、等于10厘米 B、小于10厘米 C、大于10厘米 D、以上没答案 6、一个三角形的周长是24厘米，那么它的任意一条边一定（）12厘米。 A、等于 B、小于 C、大于 D、以上没答案【三角形的分类】例：给三角形分类三角形（按角来分）锐角三角形：三个角都是锐角的三角形直角三角形：有一个角是直角的三角形钝角三角形：有一个角是钝角的三角形三角形（按边来分）三边不等三角形：三条边都不相等等腰三角形：有两条边相等等边三角形（正三角形）：三条边都相等

三角形--讲义

三角形讲义一、基础知识（一）与三角形有关的线段 1三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相连所组成的图形叫做三角形。 2三角形的边：组成三角形的三条线段是三角形的边。 3三角形的角：在三角形中，相邻两边组成的角叫三角形的内角，简称三角形的角。 4三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边。 5三角形的高、中线、角平分线的定义及性质。 6三角形具有稳定性。（二）与三角形有关的角 1三角形的内角和等于（180°） 2三角形的外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 3三角形的外角和（360°）。 4.直角三角形的两个锐角互余。（三）多边形及其内角和 1多边形：一般地，由n 条不在同一直线上的线段首尾顺次相连所组成的平面图形称为n 边形，又叫多边形。 2正多边形：像正方形这样，各个角都相等，各条边也向等的多边形叫正多边形。 3多边形的对角线：在多边形中，连接两个不相邻角顶点的线段叫多边形的对角线，每个多边形有 )3(2 1 n n 条对角线。 4多边形的内角和：n 边形的内角和等于（（2）?180°） 5四边形内角的特殊性：如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补。 6多边形的外角和：从多边形每个内角相邻的两个外角中，分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和。任意多边形的外角和等于（360°）。（四）三角形的分类按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分类：不等边三角形、等腰三角形（包含底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形）（五）镶嵌 1、平面镶嵌：从数学角度看，用不重叠在一起的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面或平面镶嵌。 2、用相同的正多边形镶嵌

著名机构讲义秋季18-8年级数学拓展版--直角三角形的判定、性质和推论-课后作业学生版

【作业1】下列命题中，正确的有( )个（1）腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等（2）有一直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等（3）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【作业2】（1）直角△ABC 中，∠C =90°，CD ⊥AB ，点E 是AB 的中点，∠ACD=25°，则∠ECB =__________；（2）直角△ABC 中，∠C =90°，CD ⊥AB ，点E 是AB 的中点，∠DCE=10°，则∠B =______________．【作业3】如图，ABC ?中，AB AC =，DB DC =，DE AC ⊥，2AC AD =，8AB =，则AD =________，AE =____________．【作业4】（1）等腰三角形底角是75°，腰长为9，则此三角形的面积是_______；（2）等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角的度数是_____________．【作业5】已知：AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，点E 在BC 上，且AE =AD ，AB =BC ，求证：CE =CD ．直角三角形的全等判定及性质 D A B C E A B C D E

【作业6】已知：如图，△ABC 中，∠B =40°，∠C =20°，DA ⊥CA ，求证：CD=2AB ．【作业7】如图，已知：△ABC 中，AB =AC ，∠A=60°，BD =CD ，BE ∥AC ，DE ⊥BE ，求证：4BE=AC . 【作业8】在等腰直角△ABC 中，D 是斜边AB 的中点，E 、F 分别在直线AC 、BC 上，且AE =CF ，联结DE 、DF 、EF ，试判断△DEF 的形状，并加以证明． A B C D E A B C D A B C D E C E F

直角三角形性质应用(讲义及答案).

直角三角形性质应用（讲义）课前预习 1.根据图中给出的边长及角度信息，在横线上补全下列直角三角形的边长． 2.下列是不完整的弦图结构，请补全弦图．

知识点睛直角三角形性质梳理： 1.从边与角的角度来考虑 ①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______． ②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____；勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形． 2.添加一些特殊的元素（中线或30°角） ①直角三角形斜边上的中线等于______________；如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形． ②30°角所对的直角边是_____________________；在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于_____________． 3.特殊的直角三角形

4.垂直（多个）①等面积法 ②弦图结构外弦图（赵爽弦图）内弦图（毕达哥拉斯图）精讲精练 1.如图，在Rt △ABE 中，∠B =90°，延长BE 到C ，使EC =AB ，分别过点C ，E 作BC ，AE 的垂线，两线相交于点D ，连接AD ．若AB =3，DC =4，则AD 的长为___________．第1题图第2题图2.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 边上，若DE =m ， BC =n ，且∠EBC 与∠DCB 互余，则BD 2+CE 2=__________（用含m ，n 的式子表示）．

直角三角形性质应用(讲义及答案)

直角三角形性质应用（讲义） ? 课前预习 1. 根据图中给出的边长及角度信息，在横线上补全下列直角三角形的边长． 1 1 45° 30° 2 30° 45° 23 2. 下列是不完整的弦图结构，请补全弦图．

? 知识点睛直角三角形性质梳理： 1. 从边与角的角度来考虑 ①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______． ②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____；勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形． 2. 添加一些特殊的元素（中线或30°角） ①直角三角形斜边上的中线等于______________；如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形． ②30°角所对的直角边是_____________________；在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于_____________． 3. 特殊的直角三角形 A C B 45° 1130° 2 3 4 2 1 1 B C A B C A B C A a 2+ b 2=c 2 C B A C B A β α C A A B C A B C C B A 2m m A B C 30°

4. 垂直（多个） ①等面积法 ab=ch D h C B A c b a h h=h 1+h 2+h 3 h 3 h 2h 1 A C B ②弦图结构外弦图（赵爽弦图）内弦图（毕达哥拉斯图） ? 精讲精练 1. 如图，在Rt △ABE 中，∠B =90°，延长BE 到C ，使EC =AB ，分别过点C ，E 作BC ， AE 的垂线，两线相交于点D ，连接AD ．若AB =3，DC =4，则AD 的长为___________． E D C B A A E D C B 第1题图第2题图 2. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 边上，若DE =m ，BC =n ，且∠EBC 与∠

沪教版八年级上19.3 直角三角形知识讲解讲义

直角三角形（提高）【学习目标】 1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边||，直角边”（即“HL”）. 2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等. 3. 能应用直角三角形的性质解题. 【要点梳理】要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知||，对于两个直角三角形||，满足一边一锐角对应相等||，或两直角边对应相等||，这两个直角三角形就全等了||。这里用到的是“AAS”||，“ASA”或“SAS”判定定理. 要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边||，直角边定理在两个直角三角形中||，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的||，一般三角形不具备. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等||，由于其中含有直角这个特殊条件||，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、 HL.证明两个直角三角形全等||，首先考虑用斜边、直角边定理||，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件||，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 要点三、直角三角形的性质定理1：直角三角形的两个锐角互余. 定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 推论1：在直角三角形中||，如果一个锐角等于30°||，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 推论2：在直角三角形中||，如果一条直角边等于斜边的一半||，那么这条直角边所对的角等于30°. 要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”||，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一||，通常用于证明边的倍数关系. 【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL” 1、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等||，不全等的画“×”||，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）（2）一个锐角和斜边对应相等；（）（3）两直角边对应相等；（）（4）一条直角边和斜边对应相等．（）【答案】（1）全等||，“AAS”；（2）全等||，“AAS”；（3）全等||，“SAS”；（4）全等||，“HL”. 【解析】理解题意||，画出图形||，根据全等三角形的判定来判断.

八年级数学直角三角形(教师讲义带答案)资料

直角三角形一、直角三角形的性质重点：直角三角形的性质定理及其推论： ①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半; ②推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半; （2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°. 难点： 1.性质定理的证明方法. 2.性质定理及其推论在解题中的应用. 二、直角三角形全等的判断重点：掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）难点：创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题。三、角平分线的性质定理 1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4， ∵ OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，且CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，∴ CF＝DF. 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 2.关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、 ∠ ABC、∠ACB的平分线，那么： ① AP、BQ、CR相交于一点I； ②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）. 3.关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形. 图4

三角形讲义--角

第二讲三角形的角一、教学内容 1.理解三角形内角、外角的概念； 2.探索并证明三角形的内角和定理； 3.探索并掌握直角三角形的两个锐角互余，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形； 4.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 5.能够运用三角形内角和定理解决简单问题. 二、思维导图三、知识重难点考点：三角形内角、外角的概念. 重难点：能够运用三角形内角和、外角和定理解决简单问题. 易错点：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，但每个顶点处只算一次，因此三角形共有三个外角．

模块一三角形的内角一、教学内容 1、三角形的内角三角形的内角： 2、三角形的内角和三角形内角和定理．直角三角形中，．二、例题精讲【例1-1】如图，△ABC 中，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C 等于（）A．100°B．80° C．60°D．40° 【例1-2】△ABC 的三个内角∠A，∠B，∠C 满足∠A：∠B：∠C=2：3：7，则这个三角形是（） A.锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形【例1-3】在△ABC 中，∠A=2∠B=80°，则∠C 等于（） A. 45° B. 60° C. 75° D. 90° 练1-1．下列图形中的x＝．练1-2．在△ABC 中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则∠C 等于（） A．45°B．60°C．75°D．90° 练1-3. 在△ABC 中，∠A+∠B=130°，∠A－∠B=30°，则△ABC 中最大角等于（）A.50° B. 60° C.70° D. 80°

练1-4. 如图，AC⊥BD，∠1＝∠2，∠D＝40°，则∠BAD 的度数是（）A．85°B．90° C．95°D．100° 【例2】如图，△ABC 为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2 等于（） A．90°B．135° C．150°D．270° 练2-1. 如图，将直角三角形沿虚线截去顶角后，则∠1+∠2 的度数为（）A．225°B．235° C．270°D．300° 练2-2. 如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=( ) A.360° B.250° C.180° D.140° 【例3-1】如图，在△ABC 中，∠B、∠C 的角平分线BE，CD 相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，求∠BFC 的度数

初中奥数讲义_直角三角形的再发现附答案

直角三角形的再发现直角三角形是一类特殊三角形，有着丰富的性质：两锐角互余、斜边的平方是两直角边的平方和、斜边中线等于斜边一半、30°所对的直角边等于斜边一半等，在学习了相似三角形的知识后，我们利用相似三角形法，能得到应用极为广泛的结论．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，则有： 1．同一三角形中三边的平方关系：AB2=AC2+BC2， AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2． 2．角的相等关系：∠A=∠DCD，∠B=∠ACD． 3．线段的等积式：由面积得 AC×BC=AB×CD；由△ACD∽△CBD∽△ABC，得CD2=AD×BD，AC2=AD×AB，BC2=BD×AB．以直角三角形为背景的几何问题，常以下列图形为载体，综合了全等三角形、相似三角形、等腰三角形，特殊四边形等丰富的知识．注直角三角形被斜边上的高分成的3个直角三角形相似，由此导出的等积式的特点是：一线段是两个三角形的公共边，另两条线段在同一直线上，这些等积式广泛应用于与直角三角形问题的计算与证明中．例题求解【例1】等腰三角形ABC的底边长为8cm，腰长5cm，一动点P在底边上从B向C以0．25cm／秒的速度移动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间为． (江苏省常州市中考题) 思路点拨为求BP需作出底边上的高，就得到与直角三角形相关的基本图形，注意动态过程．【例2】如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形ABCD=40cm2，S△ABE：S△DBA=1：5，则AE的长为( ) A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm (青岛市中考题)

思路点拨从题设条件及基本图形入手，先建立AB 、AD 的等式．【例3】如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，DB 为BC 的中点，E 为AC 上一点，点G 在BE 上，连结DG 并延长交AE 于F ，若∠FGE=45°． (1)求证：BD ×BC ＝BG ×BE ； (2)求证：AG ⊥BE ； (3)若E 为AC 的中点，求EF ：FD 的值．（盐城市中考题）思路点拨发现图形中特殊三角形、基本图形、线段之间的关系是解本例的基础．(1)证明△GBD ∽△CBE ；(2)证明△ABG ∽EBA ；(3)利用相似三角形，把求FD EF 的值转化为求其他线段的比值．【例4】如图，H 、Q 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，且BH=BQ ，过B 作HC 的垂线，垂足为P ．求证：DP ⊥PQ ． (“祖冲之杯”邀请赛试题) 思路点拨因∠BPQ+∠QPC=90°，要证DP ⊥PQ ，即证∠QPC+∠DPC=90°，只需证∠BPQ=∠DPC ，只要证明△BPQ ∽△CPD 即可．注题设条件有中点，图形中有与直角三角形相关的基本图形，给我们以丰富的联想，单独应用或组合

直角三角形性质应用(讲义及习题).

直角三角形性质应用（讲义）知识点睛直角三角形性质梳理： 1. 从边与角的角度来考虑 ①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______． ②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____；勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形． 2. 添加一些特殊的元素（中线或30°角） ①直角三角形斜边上的中线等于______________；如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形． ②30°角所对的直角边是_____________________；在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于_____________． 3. 特殊的直角三角形 A C B 45° 1 1 30° 2 3 42 1 1 A B A B C A 4. 垂直（多个） ①等面积法 ab=ch D h C B A c b a h h=h 1+h 2+h 3 h 3 h 2h 1 A C B ②弦图结构 a 2+ b 2=c 2 C B A C B A β α C A A B C A B C C B A 2m m A B C 30°

外弦图（赵爽弦图）内弦图（毕达哥拉斯图）精讲精练 1. 如图，在Rt △ABE 中，∠B =90°，延长BE 到C ，使EC =AB ，分别过点C ，E 作BC ，AE 的垂线，两线相交于点D ，连接AD ．若AB =3，DC =4，则AD 的长为___________． E D C B A A B C D E 第1题图第2题图 2. 如图，在△ABC 中，∠C =2∠B ，点D 是BC 上一点，AD =5，且AD ⊥AB ，点E 是BD 的中点， AC =6.5，则AB 的长为______． F E C B A 4 3 2 4 3 2 第3题图第5题图 3. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点E 为AB 的中点，点D 在BC 上，且AD =BD ，AD ，CE 相交于点F ．若∠B =20°，则∠DFE 等于（） A ．70° B ．60° C ．50° D ．40° 4. 已知△ABC 的周长是24，M 是AB 的中点，MC =MA =5，则△ABC 的面积是__________． 5. 在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2，4，3，则原直角三角形纸片的斜边长是（） A ．10 B ．C ．10 或 D ．10 或 6. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点D 在AC 上，若 ∠CBD =30°，则AD DC =_________． 7. Rt △ABC 和Rt △DEF 按如图方式放置，A ，B ，D 在同一直线上，EF ∥AD ， ∠CAB =∠EDF =90°，∠C =45°，DE =8，EF =16，则BD =__________． D C B A

北师大版七年级下册第三章三角形讲义

三角形 1．认识三角形 1、它的三个顶点分别是，三条边分别是，三个内角分别是。 2、分别量出这三角形三边的长度，并计算任意两边之和以及任意两边之差。你发现了什么？结论：三角形任意两边之和大于第三边三角形任意两边之差小于第三边例：有两根长度分别为5cm 和8cm 的木棒，用长度为2cm 的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm 的木棒呢？长度为7cm 的木棒呢？二、巩固练习： 1、下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？为什么？（单位：cm ）（1） 1， 3， 3 （2） 3， 4， 7 （3） 5， 9， 13 （4） 11， 12， 22 （5） 14， 15， 30 2、已知一个三角形的两边长分别是3cm 和4cm ，则第三边长X 的取值范围是。若X 是奇数，则X 的值是。这样的三角形有个；若X 是偶数，则X 的值是，这样的三角形又有个 3、一个等腰三角形的一边是2cm ，另一边是9cm ,则这个三角形的周长是 cm 夯实基础 1、填空：（1）当0°＜α＜90°时，α是角；（2）当α＝ °时，α是直角；（3）当90°＜α＜180°时，α是角；（4）当α＝ °时，α是平角。 2、如右图， ∵AB ∥CE ，（已知） ∴∠A ＝，（） ∴∠B ＝，（）（第2题）二、探索练习：根据知道三角形的三个内角和等于180°，那么是否对其他的三角形也有这样的一个结论呢？（提出问题，激发学生的兴趣）结论：三角形三个内角和等于180°（几何表示）练习1： 1、判断：（1）一个三角形的三个内角可以都小于60°；（）（2）一个三角形最多只能有一个内角是钝角或直角；（） 2、在△ABC 中， A B C a b c A B C D E 123

2014初中数学基础知识讲义—直角三角形与勾股定理

考点1 直角三角形的概念、性质与判定考点2 ：勾股定理及逆定理类型一：利用勾股定理求线段的长度命题角度：1. 利用勾股定理求线段的长度；2. 利用勾股定理解决折叠问题．例1：（2013年佛山市）如图，若∠A =60°，AC =20m ，则BC 大约是(结果精确到0.1m)( ) A ．34.64m B ．34.6m C ．28.3m D ．17.3m 例2：一张直角三角形的纸片，如图1所示折叠，使两个锐角的顶点A 、B 重合，若∠B=30°，AC=3，求DC 的长。初中数学基础知识讲义—直角三角形与勾股定理 A C B

类型之二实际问题中勾股定理的应用命题角度：1. 求最短路线问题； 2. 求有关长度问题．例1：（2013鄂州）小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高．小明说：“这楼起码20层！”小华却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能明白！”小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选A 、B 两点，测量数据如图，其中矩形CDEF 表示楼体，AB=150米，CD=10米，∠A=30°，∠B=45°，（A 、C 、D 、B 四点在同一直线上）问：（1）楼高多少米？（2）若每层楼按3米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请说明理由．（参考数据：≈1.73，≈1.41，≈2.24） 1、（2013黔西南州）一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为 A 、5 B C D 、5 2、（2013柳州）在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD 平分∠BAC 交BC 于D ，则BD 的长为（） A 、 B 、 C 、 D 、 3、（2013湘西州）如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于E ，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE 的长；（2）求△ADB 的面积．图

直角三角形的边角关系教案上课讲义

直角三角形的边角关系教案

第一章直角三角形的边角关系 §1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起教学目标 1、经历探索直角三角形中边角关系的过程 2、理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明 3、能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比 4、能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算教学重点和难点重点：理解正切函数的定义难点：理解正切函数的定义教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质。这一章，我们继续学习直角三角形的边角关系。二、师生共同研究形成概念 1、梯子的倾斜程度在很多建筑物里，为了达到美观等目的，往往都有部分设计成倾斜的。这就涉及到倾斜角的问题。用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。但在很多实现问题中，人们无法测得倾斜角，这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度，这个比值就是我们这节课所要学习的——倾斜角的正切。 1）（重点讲解）如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值越大，则梯子越陡； 2）如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值越小，则梯子越陡； 3）如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值越大，则梯子越陡；通过对以上问题的讨论，引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法，以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。 2、想一想（比值不变） ☆想一想书本P 3 想一想通过对前面的问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。这一比值只与倾斜角的大小有关，而与直角三角形的大小无关。收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

勾股定理及其逆定理(讲义)

勾股定理及其逆定理（讲义） ?课前预习 1.请你回顾直角三角形的性质：边：直角三角形斜边长______任意一条直角边长；角：直角三角形两锐角_________； 2.请同学们计算并背诵下列数的平方： 112=_______，122=_______，132=_______，142=_______，152=_______，162=_______，172=_______，182=_______，192=_______． 3.想一想：如图是由边长为1的正方形组成的网格，直角三角形的顶点在网格的格点上．分别以直角三角形的三边为边，向外作正方形，请你分别求出这三个正方形的面积S A，S B，S C，并思考S A，S B，S C之间的数量关系． C A B ?知识点睛 1.勾股定理：如果用a，b和c 2.勾股定理的验证：

3. 勾股定理逆定理：如果__________________________________________________．如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2形． 4. 勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．常见勾股数有 _____________；______________；________________；________________；________________；_________________． 5. 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．如果一个定理的逆命题是真命题，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理． ? 精讲精练 1. 一个直角三角形两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（） A ．斜边长为25 B ．三角形的周长为25 C ．斜边长为5 D ．三角形的面积为20 2. 如图，在Rt △ABC 和Rt △ACF 中，BC 长为3cm ，AB 长为4cm ，AF 长为 12cm ，则正方形CDEF 的面积为_________．

等腰三角形与直角三角形讲义

等腰三角形与直角三角形讲义 1．△ABC中，AB=AC，∠A=70°，则∠B=_55°_____ 2．等腰三角形一底角的外角为105°，那么它的顶角为_30_____度 3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角为（ C ） A．30° B．150° C．30°或150° D．120° 【知识梳理】 1、等腰三角形及其性质（1）有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角．（2）性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． 2、等腰三角形的判定定理

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 3.一般地，两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45°． 4、直角三角形的性质:直角三角形ABC可以表示为Rt△ABC．（1）直角三角形中，如果两条直角边为a、b，斜边为 c，斜边上的高为h，那么它们存在这样的关系：或. （2）定理：直角三角形的两个锐角互余．推理过程：在△ABC中，∵∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°（或∠A＝90°－∠B，∠B＝90°－∠A）．说明：这一定理应用的前提是Rt△，已知一个锐角，求另一个角．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形，可以作为判定三角形是直角三角形的方法．（3）定理：在直角三角形中，如果一个锐角为30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．推理格式：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝AB． (4）定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°．推理格式： ∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB， ∴∠A＝30°．【典型例题】知识点一：等腰三角形考点一：等腰三角形的判断与证明例1、如图，△ABC中，D、E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠ODC；③BE=CD；④OB=OC．（1）上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）．（2）选择第（1）题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．

(完整版)初二第一章直角三角形讲义

直角三角形教学内容一、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质： ⑴直角三角形两锐角 ⑵直角三角形斜边的中线等于 ⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它所对边是边的一半二、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法： ⑴定义法有一个角是的三角形是直角三角形 ⑵有两个角的三角形是直角三角形 ⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形三、勾股定理和它的逆定理： 1、勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形注意： 1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合 2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据， 3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、、2、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半（请画图）

3、在Rt三角形中，30°的边所对的角是斜边的一半。（请画图） 4、直角三角形的边角关系与几种特殊的三角形边角线判定直角三角形 2 2 2c b a= + 两锐角互余 CD=AD=BD (斜边上的中线等于斜边的一半) 应用： ①斜边上的中线把Rt △分成两等腰三角形； ②等腰Rt△斜边上的中线把它分为两个全等的等腰Rt△。 ①若∠A+∠B=90°，则 △ABC为Rt△; ②若2 2 2c b a= +，则△ABC为Rt△; ③若CD=AD=BD，则△ABC为Rt△; 黄金直角三角形 2:3 :1 : : = c b a 等腰直角三角形 2 :1:1 : : = c b a 1、掌握直角三角形中两锐角互余、斜边上的中线等于斜边的一半及30°角所对的直角边等于斜边的一半等性质 2、掌握勾股定理及其逆定理，并能运用它们进行简单的论证和计算；

等边三角形讲义

等边三角形【要点梳理】要点一、等边三角形等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形. 要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．要点二、等边三角形的性质等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°. 要点三、等边三角形的判定等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．要点四、含30°的直角三角形含30°的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系. 【典型例题】类型一、等边三角形例1 已知：如图，B、C、E三点共线，△ABC，△DCE都是等边三角形，连结AE、BD 分别交CD、AC于N、M，连结MN. 求证：AE＝BD，MN∥BE. 例2 如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连接CE、DE.求证：CE＝DE. 变式如图所示，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究线段CN、BM、MN之间的关系，并加以证明．

类型二、含30°的直角三角形例3 如图所示，∠A＝60°，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，BD与CE相交于点H，HD＝1，HE＝2，试求BD和CE的长．变式如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，∠BAC＝120°．求证： 1 2 DE DF BC +=．例4 如图所示，在等边△ABC中，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，求证：BP＝2PQ．

初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题18 直角三角形

专题18 直角三角形(吴梅录入) 阅读与思考直角三角形是一类特殊三角形，有以下丰富的性质：角的关系：两锐角互余；边的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和；边角关系：30所对的直角边等于斜边的一半. 这些性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面. 在现阶段，勾股定理是求线段的长度的主要方法，若图形缺少条件直角条件，则可通过作辅助垂线的方法，构造直角三角形为勾股定理的应用创造必要条件；运用勾股定理的逆定理，通过代数方法计算，也是证明两直线垂直的一种方法. 熟悉以下基本图形基本结论：例题与求解【例l 】（1）直角△ABC 三边的长分别是x ，1x 和5，则△ABC 的周长＝_____________.△ABC 的面积＝_____________. （2）如图，已知Rt △ABC 的两直角边AC ＝5，BC ＝12，D 是BC 上一点，当AD 是∠A 的平分线时，则CD ＝_____________. D C （太原市竞赛试题）解题思路：对于（1），应分类讨论；对于（2），能在Rt △ACD 中求出CD 吗？从角平分线性质入手. 【例2】如图所示的方格纸中，点A ，B ，C ，都在方格线的交点，则∠ACB ＝（） A.120° B.135° C.150° D.165°

（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：方格纸有许多隐含条件，这是解本例的基础. 【例3】如图，P 为△ABC 边BC 上的一点，且PC ＝2PB ，已知∠ABC ＝45°，∠ APC ＝60°，求∠ACB 的度数. B C （“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：不能简单地由角的关系推出∠ACB 的度数，综合运用条件PC ＝2PB 及∠APC ＝60°，构造出含30°的直角三角形是解本例的关键. 【例4】如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，分别以AB ，AC 为边在△ABC 的外侧作等边△ABE 和等边△ACD ，DE 与AB 交于F ，求证：EF ＝ FD. B A C （上海市竞赛试题）解题思路：已知FD 为Rt △FAD 的斜边，因此需作辅助线，构造以EF 为斜边的直角三角形，通过全等三角形证明. 【例5】如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD ＝CD ，求证： 222BD AB BC +=

解直角三角形一对一讲义

学员姓名学校年级及科目九年级数学教师课题解直角三角形授课时间：18：30--20:30 教学目标1．掌握并灵活应用各种关系解直角三角形． 2．了解测量中的概念，并能灵活应用相关知识解决某些实际问题．教学内容【基础知识梳理】一．直角三角形的边角关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边．（1）三边之间的关系：a2+b2=_____；（2）两锐角之间的关系：∠A+∠B=______；（3）直角三角形斜边上的中线等于_______；（4）在直角三角形中，30°角所对的边等于_______．二．解直角三角形的四种类型：已知条件解法两条直角边a、 c=______, tanA=______, ∠B=_______. 一条直角边a和斜边c b=______, sinA=_____, ∠B=______. 一条直角边a和锐角A c=_______, b=_______, ∠B=_______ 斜边c和锐角A a=_______, b=_______, ∠B=______ 三、30°，45°，60°的三角函数值 a 30°45°60° sina cosa tana

视线铅垂线 b A C a ┌ c B 水平线仰角俯角 l h α 视线 cota 四、在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念（1）仰角和俯角（2）坡度： tana=____ α为坡角（3）方位角五、解直角三角形：(如图) 只有下面两种情况：（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角 1.已知a,b.解直角三角形(即求：∠A ，∠B 及C 边) 2.已知∠A ，a.解直角三角形：______________________________________. 3.已知∠A ，b. 解直角三角形:________________________________________. 4.已知∠A ，c. 解直角三角形:_____________________________________ 【基础自测】 1. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则cotE=（） A.43 B. 3 4 C. 53 D. 35 2. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（） A. 2 1 B. 33 C. 1 D. 3 3. 在△ABC 中，若2 2cos =A ，3tan =B ，则这个三角形一定是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 4. 如图18，在△EFG 中，∠EFG=90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误的是（） A.EG EF G =sin B. EF EH G =sin C. FG GH G =sin D. FG FH G =sin 5. sin65°与cos26°之间的关系为（） A. sin65°cos26° C. sin65°=cos26° D. sin65°+cos26°=1 6. 已知30°<α<60°，下列各式正确的是（） A. B. C. D. 7. 已知0°<α<90°，当α=__________时，2 1 sin =α，当α=__________时，Cota=3. 8. 若，则锐角α=__________。 9.若地面上的甲看到高山上乙的仰角为200，则乙看到甲的俯角为度。