集合~基础知识点汇总与练习~复习版
集合知识点总结
一、集合的概念
教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问
题，掌握集合问题的常规处理方法．
教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、
集合思想的运用．：
（一）主要知识：
1．集合、子集、空集的概念；
2．集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法；
3．若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个．
二、集合的运算
教学目标：理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性
质，能利用数轴或文氏图进行集合的运算，进一步掌
握集合问题的常规处理方法．
教学重点：交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用．
（一）主要知识：
1．交集、并集、全集、补集的概念；
2．A B A A B =??，A B A A B =??；
3．()U U U C A C B C A B =，()U U U C A C B C A B =．
（二）主要方法：
1．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；
2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题；
3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键．
考点要点总结与归纳
一、集合有关概念
1.集合的概念：能够确切指定的一些对象的全体。
2.集合是由元素组成的
集合通常用大写字母A、B、C，…表示，元素常用小写字母
a、b、c，…表示。
3.集合中元素的性质：确定性，互异性，无序性。
（1）确定性：一个元素要么属于这个集合，要么不属于这个
集合，绝无模棱两可的情况。如：世界上最高的山
（2）互异性：集合中的元素是互不相同的个体，相同的元素
只能出现一次。如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
（3）无序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。
如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
4.元素与集合的关系
（1）元素a是集合A中的元素，记做a∈A，读作“a属于集合A”；（2）元素a不是集合A中的元素，记做a?A，读作“a不属于集合A”。
5.集合的表示方法：自然语言法，列举法，描述法，图示法。
（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。如大于等于2且小于
等于8的偶数构成的集合。
（2）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法，一般适用于元素个数不多的有限集，简单、明了，能够一目了然地知道集合中的元素是什么。
注意事项：①元素间用逗号隔开；②元素不能重复；③元素之间不用考虑先后顺序；④元素较多且有规律的集合的表示：｛0,1,2,3， (100)
表示不大于100的自然数构成的集合。
（3）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式是｛x∈I | p(x)｝.
注意事项：①写清楚该集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；
③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”、“或”；
⑤所有描述的容都要写在集合符号；⑥语句力求简明、准确。
（4）图示法：主要包括Venn图（韦恩图）、数轴上的区间等。
韦恩图法：画一条封闭的曲线，用它的部来表示一个集合的方法，常用于直观表示集合间的关系。
6.集合的分类：
有限集：含有有限个元素的集合
无限集：含有无限个元素的集合
空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝
常用数集及其记法：
（1）自然数集：又称为非负整数集，记做N；
（2）正整数集：自然数集排除0的集合，记做N+或N※；（3）整数集：全体整数的集合，记做Z
（4）有理数集：全体有理数的集合，记做Q
（5）实数集：全体实数的集合，记做R
二、集合间的基本关系
7. 子集的概念：A 中的任何一个元素都属于B 。记作：A B ?
① 任何一个集合是它本身的子集。A ?A
② 如果 A ?B, B ?C ,那么 A ?C
8. 空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集；
空集是任何非空集合的真子集。
9. 相等集合：如果构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等，与元
素的排列顺序无关。如：A B ?且B A ?则A=B
10. 真子集:如果A ?B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 真子集。
记作：A ≠?B
11. 集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意：B A ?有两种可能（1）A 是B 的一部分、（2）A 与B 是同一集合。
反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A ?
/B 或B ?/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
12. 若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -，
非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个．
三、集合的运算
1、交集：B}x A x |{x B A ∈∈=?且
2、并集：}|{B x A x x B A ∈∈=?或
3、补集：A}x x |{x A C U ?∈=且U
★经典例题：
例一、判断下列集合是否为同一个集合
①{}(){}1,2,1,2A B == --------------不是，一个是点集，一个是数集 ② {}{}|05,|05A x N x B x R x =∈<≤=∈<≤-------------不是，元素围不同 ③{}(){}|21,,|21A y y x B x y y x ==+==+-不是，一个是点集，一个是数集 ④{}{}|5,|5A x x B y y =>=>------------是，元素相同，均是实数，与代表元素无关
例二、用适当的符号填空：
? ? {}a ；{}a ≠? {},a b ；{}a ? {}a ；? ≠
? {}a ； {}1,2,3 ≠? {}1,2,3,4；? ? ?
应该注意的问题： 集合与元素之间是属于关系，集合与集合之间的是包含关系，两者不能混淆。
例三、已知集合{}{}{}0,1,2,4,5,7,1,4,6,8,9,4,7,9M N P ===，
则()()M N M P 等于 【{}1,4,7】
解：{}{}1,4,4,7M N M P ?=?=，故()(){}1,4,7M N M P =
例四、若集合{}{}21,3,,,1A x B x ==，且B A ?，则x = 【0或
解：依题B A ?，则2x x =，或23x =，解出0,1,x =；
由于元素具有互异性，故舍去1。
例五、集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B =,则a 的值为
【4】
解：∵{}0,2,A a =,{}2
1,B a =,{}0,1,2,4,16A B =∴2164a a ?=?=?∴4a =
例六、设集合{}()1(,)1,,1y U x y y x A x y x +??==-==????
，则U C A = 【(){}0,1-】
解：()1,1y A x y x +??==????
表示平面上满足直线11y x +=的无数点，其中0,1x y ≠≠-。
又{}(,)1U x y y x ==-表示平面上满足直线1y x =-上的全部点，故补集为(){}0,1-，这组有序数对。
例七、已知集合{}{}14,A x x B x x a =≤<=<，若A B ≠
?，则实数a 的取值集合为 【{}4a a ≥】
解：步骤：①在数轴上画出已知集合；
②由x a <确定，应往左画（若为x a >，则往右画），进而
开始实验；
③得到初步试验结果；
④验证端点。
试验得到：4a >，当4a =时，由于A 集合也不含有4，故满足A B ≠
?。 综上所述，{}4a a ≥。
例八、设集合{|32}M m m =∈-< 则M N = 【{}101-，，】 解：首先观察，两个集合均为数集，代表元素的不同不影响集合本身。其次围均为整数， 故{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3M N =--=-，因此取交集后，得到的结果应为 {}101-，，。 例九、{}|13A x x =-≤<，{}|B x x a =≥，若A B =?， 则实数a 的取值围是 【3a ≥】 解：步骤：①在数轴上画出已知集合； ②由x a <确定，应往左画（若为x a >，则往右画），进而开始实验； ③得到初步试验结果；④验证端点。 试验得到的结果为3a >，验证端点，当3a =时，由于A 集合不含有3，满足交集为?。 综上所述，a 的取值围是3a ≥。 注意：在画数轴时，要注意层次感和端点的虚实！ 例十、满足{}{}11,2,3M ≠ ??的集合M 为 【{}{}{}1,1,2,1,3】 解：因为{}1M ?，因此M 中必须含有1这个元素。又知道{}1,2,3M ≠ ? 故得到{}{}{}1,1,2,1,3。（{}1,2,3不满足真子集的要求） 例十一、已知集合{}{}2220,0A x x px B x x x q =+-==-+=，且{}2,0,1A B ?=-， 数,p q 的值。【0,1q p ==】