江西省南昌市2018届高三第一次模拟考试数学(文)试卷(含答案)

江西省南昌市2018届高三第一次模拟考试

文科数学

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.

已知集合{A x N y =∈=，{}21,B x x n n Z ==+∈，则A B =I ( ) A.(],4-∞

B.{}1,3

C.{}1,3,5

D.[]1,3

2.欧拉公式cos sin ix e x i x =+(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中

的天桥”，根据欧拉公式可知，3i

e π

表示的复数位于复平面中的( ) A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在()0,+∞上单调递增，则( ) A.()()()320log 2log 3f f f >>- B.()()()32log 20log 3f f f >>- C.()()()23log 3log 20f f f ->>

D.()()()23log 30log 2f f f ->>

4.已知0a >，b R ∈，那么0a b +>是a b >成立的( ) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.设不等式组30

10350x y x y x y +-≥??

-+≥??--≤?

表示的平面区域为M ，若直线y kx =经过区域M 内的点，则实数k 的取

值范围为( ) A.1,22?? ???

B.14,23??????

C.1,22??????

D.4,23??????

6.已知函数()()2sin 06f x x πωω?

?=-> ??

?的部分图象如图所示，则ω的值可以为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

7.执行如图所示的程序框图，则输出的n 等于( )

A.1

B.2

C.3

D.4

8.设函数()2,1

1,1

x a x f x x x -?≤?=?+>??，若()1f 是()f x 的最小值，则实数a 的取值范围为( )

A.[)1,2-

B.[]1,0-

C.[]1,2

D.[)1,+∞

9.已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示，图中格是单位正方形，那么组合体的侧视图的面积为( )

A.33

6+

B.

152

C.63

D.8

10.函数()

()()2

sin x

x e e x f x x e ππ-+=

-≤≤的图象大致为( )

A

B

C

D

11.已知12,F F 为双曲线()22

2:102x y C b b

-=>的左右焦点，点A 为双曲线C 右支上一点，1AF 交左支

于点B ，2AF B △是等腰直角三角形，22

AF B π

=∠，则双曲线C 的离心率为( )

A.4

B.23

C.2

312.已知台风中心位于城市A 东偏北α(α为锐角)度的200公里处，以v 公里/小时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A 西偏北β(β为锐角)度的200公里处，

若3

cos cos 4

αβ=，则v =( ) A.60 B.80 C.100 D.125

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.设函数()f x 在()0,+∞内可导，其导函数为()'f x ，且()ln ln f x x x =+，则()'1f =____________.

14.已知平面向量()1,a m =r ，()4,b m =r

，若()()

20a b a b -?+=r r r r ，则实数m ____________.

15.在圆224x y +=上任取一点，则该点到直线20x y +-=的距离[]0,1d ∈的概率为____________.

16.已知函数()3sin f x x x =+，若[]0,απ∈，,44ππβ??

∈-????

，且

()22f f παβ??

-= ???

，则cos 2αβ??

+= ???

________. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足4421S a =-，3321S a =-. (1)求{}n a 的通项公式；

(2)记2161n n b S ??

= ?+??

，求12n b b b +++…的最大值.

18.某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革.经过一年的教学实验，将甲、

乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数再取整，绘制成如下茎叶图，规定不低于85分(百分制)为优秀，甲班同学成绩的中位数为74.

(1) 求x 的值和乙班同学成绩的众数；

(2) 完成表格，若有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”的话，那么学校将扩大

教学改革面，请问学校是否要扩大改革面？说明理由.

19. 如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，ABCD 为直角梯形，AC 与BD 相交于点O ，AD BC ∥，AD AB ⊥，3AB BC AP ===，三棱锥P ACD -的体积为9.

(1)求AD 的值；

(2)过O 点的平面α平行于平面PAB ，α与棱BC ，AD ，PD ，PC 分别相交于点,,,E F G H ，求截面EFGH 的周长.

20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的下顶点为A ，右顶点为B ，离心率3

e 2:8

x E y =

的焦点为F ，P 是抛物线E 上一点，抛物线E 在点P 处的切线为l ，且l AB ∥. (1)求直线l 的方程；

(2)若l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，且531

FMN S =

△，求C 的方程.

21.已知函数()()ln x f x e a x e a =--∈R ，其中e 为自然对数的底数. (1)若()f x 在1x =处取到极小值，求a 的值及函数()f x 的单调区间； (2)若当[)1,x ∈+∞时，()f x 0≥恒成立，求a 的取值范围.

22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θ

θ=??=+?

(θ为参数)，以坐标原点为极点，

x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求C 的极坐标方程；

(2)若直线12,l l 的极坐标方程分别为()6

R π

θρ=

∈，()2=

3

R π

θρ∈，设直线12,l l 与曲线C 的交点为O ，M ，N ，求OMN △的面积.

23.已知()223f x x a =+.

(1)当0a =时，求不等式()23f x x +-≥的解集；

(2)对于任意实数x ，不等式()212x f x a +-<成立，求实数a 的取值范围.

80

40

40

61192713346乙班甲班合计

合计

不优秀人数优秀人数M N O

D

C B A P E F G

H NCS20180607项目第一次模拟测试卷

文科数学参考答案及评分标准

一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

13．e+1 14. 15.

13 16.2

三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17.【解析】（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由434S S a -=得，43422a a a -=,

所以

4

3

2a

a =， 所以2q =. 又因为3321S a =-所以11112481a a a a ++=-， 所以11a =.

所以1

2n n a -=.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，122112

n n n S -=

=--，所以4216

()2log 2821n n n b n S -===-+， 12n n b b --=-，所以{}n b 是首项为6，公差为2-的等差数列，

所以12346,4,2,0,b b b b ====当5n >时0n b <，

所以当3n =或4n =时，12n b b b +++L 的最大值为12. 18. 【解析】（Ⅰ）由甲班同学成绩的中位数为74， 所以775274x +=?，得3x = 由茎叶图知，乙班同学成绩的众数为78,83

（Ⅱ）依题意知2

2

80(6271334)

3.382 2.70640401961

K ??-?=

≈>???（表格2分，2K 计算4分）

有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”，学校可以扩大教学改革面. 19. 【解析】（Ⅰ）四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，

ABCD 为直角梯形，//,AD BC AD AB ^，3AB BC AP ===，

所以139322

P ACD AB AD AD V AP -×=

醋==，解得6AD =. （Ⅱ）【法一】因为//a 平面PAB ，平面a I 平面ABCD EF =，O EF ?， 平面PAB I 平面ABCD AB =， 根据面面平行的性质定理，所以//EF AB ， 同理//,//EH BP FG AP , 因为//,2BC AD AD BC =,

所以BOC D ∽DOA D ，且12

BC CO AD OA ==， 又因为COE D ∽AOF D ，AF BE =,所以2BE EC =，

同理2AF FD =,2PG GD =，

12

3,233

EF AB EH PB FG AP ======

如图：作//,,//,HN BC HN PB N GM AD GM PA M ==I I ,所以//,HN GM HN GM =， 故四边形GMNH 为矩形，即GH MN =， （求GH 长2

分，其余三边各1分）

在PMN

D 中，所以

MN =

=

所以截面

EFGH

的周长为325+++ 【法二】因为//a 平面PAB ，平面a I 平面ABCD EF =， O EF ?，平面PAB I 平面ABCD AB =， 所以//EF AB ，同理//,//EH BP FG AP

因为BC ∥,6,3AD AD BC == 所以BOC D ∽DOA D ，且1

2

BC CO AD AO ==， 所以12EO OF =，1

1,23CE CB BE AF ==== 同理13

CH EH CO PC PB CA ===，连接HO ，则有HO ∥

PA ，

所以HO EO ⊥，1HO =，所以13EH PB ==2

23

FG PA ==

，

过点H 作

HN ∥EF 交FG 于N ，则

GH =

，

所以截面EFGH

的周长为325+++

20. 【解析】（Ⅰ）因为22

2314b e a =-=， 所以12b a =， 所以12AB k =

又因为l ∥AB ， 所以l 的斜率为1

2

设2(,)8t P t ，过点P 与E 相切的直线l ，由28x y =得1

'|442

x t x t y ====，解得2t =

所以1

(2,)2

P ， 所以直线l 的方程为210x y --=

（Ⅱ）设),(),,(2211y x N y x M ，由22

22

1412

x y b b x y ?+=???-?=??

得22

22140x x b -+-=，21212141,2

b x x x x -+==，

且2

48(14)0b D =-->，即

218

b >，

所以12||x x -=

=

【法一】:210l x y --=中，令0x =得1

2

y =-，l 交y 轴于D , 又抛物线焦点(0,2)F ，所以15||222

FD =+

=

所以1211||||22FMN S FD x x ?=

?-==，解得24b =， 所以椭圆C 的方程

22

1.164x y +=

【法二】12|||MN x x =-=

:210l x y --=，抛物线焦点(0,2)F ，则

F l d ?=

=

所以11||22FMN F l S MN d ?→=

?==24b =， 所以椭圆C 的方程

22

1.164

x y += 21. 【解析】（Ⅰ）由()e ln e(R)x

f x a x a =--?，得()e x a f x x

￠=-

因为(1)0f ￠=，所以e a =，所以e e e ()e x x

x f x x x

-￠=-=

令()e e x

g x x =-，则()e (1)x g x x ￠

=+， 当0x >时，()0g x ￠

>，故()g x 在(0,)x ??单调递增，且(1)0,g = 所以当(0,1),()0x g x ?时，(1,),()0x g x ??时.

即当(0,1)x ?时，'()0f x <，当(1,)x ??时，'()0f x >. 所以函数()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+?上递增.

（Ⅱ）【法一】由()e ln e x

f x a x =--，得()e x a f x x

￠=-

（1）当0a ￡时，()e 0x a

f x x

￠=->，()f x 在[1,)x ??上递增

min ()(1)0f x f ==（合题意）

（2）当0a >时，()e 0x a

f x x

￠=-=，当[1,)x ??时，e e x y =?

①当(0,e]a ?时，因为[1,)x ??，所以e a y x =?，()e 0x a

f x x

￠=-?.

()f x 在[1,)x ??上递增，min ()(1)0f x f ==（合题意）

②当(e,)a ??时，存在0[1,)x ??时，满足()e 0x a

f x x

￠=-=

()f x 在00[1,)x x ?上递减，0()x +?上递增，故0()(1)0f x f <=. 不满足[1,)x ??时，()0f x 3恒成立

综上所述，a 的取值范围是(,e]-?.

【法二】由()e ln e x

f x a x =--，发现(1)e ln e 0x

f a x =--=

由()e ln e 0x

f x a x =--?在[1,)+?恒成立，知其成立的必要条件是(1)0f '≥ 而()e x a

f x x

'=-

， (1)e 0f a '=-≥，即e a ≤

①当0a ≤时，()e 0x a

f x x

'=-

>恒成立，此时()f x 在[1,)+?上单调递增， ()(1)

0f x f ?（合题意）.

②当0e a <≤时，在1x ≥时，有101x <≤，知e 0a

a x -≤-≤-<，

而在1x >时，e e x ≥，知()e 0x a

f x x

'=-≥，

所以()f x 在[1,)+?上单调递增，即()(1)0f x f ?（合题意） 综上所述，a 的取值范围是(,e]-?.

22. 【解析】（Ⅰ）由参数方程2cos 2sin 2

x y θθ=??=+?得普通方程22

(2)4x y +-=，

所以极坐标方程2222

cos sin 4sin 0r q r q r q +-=，即4sin r q =.

（Ⅱ）直线()1π:R 6l q r =?与曲线C 的交点为,O M ，得||4sin 26M OM p

r ===，

又直线()22π:R 3l q r =?与曲线C 的交点为,O N ，得2||4sin 3N ON p

r ===

且2MON π∠=，所以11

||||222

OMN S OM ON D ==创=.

23. 【解析】（Ⅰ）当0a =时，()|2||2||2|3f x x x x +-=+-?， 0223x x x ì

x x x ì>??í?+-??? 得2x >， 所以()|2|2f x x +-?的解集为1

(,

][1,)3

-?+?U . （Ⅱ）对于任意实数x ，不等式|21|()2x f x a +-<成立，即2

|21||23|2x x a a +-+<恒成立，

又因为222

|21||23||2123||31|x x a x x a a +-+?--=-，

所以原不等式恒成立只需2

|31|2a a -<，

当0a <时，无解；当03a

＃时，2132a a -<，解得133

a

当a >时，2

312a a -<1a <<. 所以实数a 的取值范围是1

(,1)3.