离散数学第1章习题答案
#include
#include
#include
#define MAX_STACK_SIZE 100
typedef int ElemType;
typedef struct
{
ElemType data[MAX_STACK_SIZE];
int top;
} Stack;
void InitStack(Stack *S)
{
S->top=-1;
}
int Push(Stack *S,ElemType x)
{
if(S->top==MAX_STACK_SIZE-1
)
{
printf("\n Stack is full!");
return 0;
}
S->top++;
S->data[S->top]=x;
return 1;
}
int Empty(Stack *S)
{
return (S->top==-1);
}
int Pop(Stack *S,ElemType *x)
{
if(Empty(S))
{
printf("\n Stack is free!");
return 0;
}
*x=S->data[S->top];
S->top--;
return 1;
}
void conversion(int N)
{
int e;
Stack *S=(Stack*)malloc(sizeof(Stack));
InitStack(S); while(N)
{
Push(S,N%2);
N=N/2;
}
while(!Empty(S))
{
Pop(S,&e);
printf("%d ",e);
}
}
void main()
{ int n;
printf("请输入待转换的值n：\n");
scanf ("%d",&n);
conversion(n);
}习题
1.判断下列语句是否是命题，为什么？若是命题，判断是简单命题还是复合命题？
(1)离散数学是计算机专业的一门必修课。
(2)李梅能歌善舞。
(3)这朵花真美丽！
(4)３＋２＞６。
(5)只要我有时间，我就来看你。
(6)x＝５。
(7)尽管他有病，但他仍坚持工作。
(8)太阳系外有宇宙人。
(9)小王和小张是同桌。
(10)不存在最大的素数。
解在上述10个句子中，(3)是感叹句，因此它不是命题。(6)虽然是陈述句，但它没有确定的值，因此它也不是命题。其余语句都是可判断真假的陈述句，所以都是命题。其中：(1)、(4) 、(8) 、(9) 、是简单命题，、(2) 、(5) 、(7)、(10) 是复合命题。
2.判断下列各式是否是命题公式，为什么？
(1)(P→(P∨Q))。
(2)(?P→Q)→(Q→P)))。
(3)((?P→Q)→(Q→P))。
(4)(Q→R∧S)。
(5)(P∨QR)→S。
(6)((R→(Q→R)→(P→Q))。
解 (1)是命题公式。
(2)不是命题公式，因为括号不配对。
(3)是命题公式。
(4)是命题公式。
(5)不是命题公式，因为QR没有意义。
(6)不是命题公式，因为R→(Q→R)→(P→Q) 没有意义。
3.将下列命题符号化：
(1)我们不能既划船又跑步。
(2)我去新华书店，仅当我有时间。
(3)如果天下雨，我就不去新华书店。
(4)除非天不下雨，我将去新华书店。
(5)张明或王平都可以做这件事。
(6)“2或4是素数，这是不对的”是不对的。
(7)只有休息好，才能工作好。
(8)只要努力学习，成绩就会好的。
(9)大雁北回，春天来了。
(10)小张是山东人或河北人。
解 (1)符号化为?(P∧Q)，其中，P：我们划船，Q：我们跑步。
(2)符号化为Q→R，其中，R：我有时间，Q：我去新华书店。
(3)符号化为P→?Q，其中，P：天下雨，Q：我去新华书店。
(4)符号化为?P→Q，其中，P：天下雨，Q：我去新华书店。
(5)符号化为P∧Q，其中，P：张明可以做这件事，Q：王平可以做这件事。
(6)符号化为?(?(P∨Q))，“2或4是素数，这是不对的”是不对的，其中，P：2是素数，Q：4是素数，。
(7)符号化为Q→P，其中，P：休息好，Q：工作好。
(8)符号化为P→Q，其中，P：努力学习，Q：成绩就会好的。
(9)符号化为P?Q，其中，P：大雁北回，Q：春天来了。
(10)符号化为P⊕Q，其中，P：小张是山东人，Q：小张是河北人。
4.构造下列命题公式的真值表，并据此说明哪些是其成真赋值，哪些是其成假赋值？
(1)?(P∨?Q)。
(2)P∧(Q∨R)。
(3)?(P∨Q)?(?P∧?Q)。
(4)?P→(Q→P)。
解 (1)
由真值表可知，公式?(P∨?Q)的成真赋值为：01，成假赋值为00、10、11。
(2)
由真值表可知，公式P ∧(Q ∨R )的成真赋值为：101、110、111，成假赋值为000、001、010、011、100。
(3)
由真值表可知，公式
?(P ∨Q )?(?P ∧?Q )的成真赋值为：00、01、10、11，没有成假赋值。 (4)
由真值表可知，公式?P →(Q →P )的成真赋值为：00、10、11，成假赋值为：01。 5.分别用真值表法和公式法判断下列命题公式的类型： (1)(P ∨Q )→(P ∧Q )。 (2)(P ∧Q )→(P ∨Q )。
(3)(?P ∨Q )∧?(Q ∨?R )∧?(R ∨?P ∨?Q )。 (4)(P ∧Q →R )→(P ∧?R ∧Q )。 (5)(Q →P )∧(?P ∧Q )。 (6)(?P ?Q )??(P ?Q )。 (7)(P ∧Q )∧?(P ∨
Q )。 解 (1)真值表法：
由真值表可知，公式(P ∨Q )→(P ∧Q )为可满足式。
公式法：因为(P ∨Q )→(P ∧Q )??(P ∨Q )∨(P ∧Q )?(?P ∧?Q )∨(P ∧Q )，所以，公式(P ∨Q )→(P ∧Q )为可满足式。
(2)真值表法：
由真值表可知，公式(P ∧Q )→(P ∨Q )为重言式。
公式法：因为(P ∧Q )→(P ∨Q )??(P ∧Q )∨(P ∨Q )??P ∨?Q ∨P ∨Q ?T ，所以，公式(P ∧Q )→(P ∨Q )为重言式。
(3)真值表法：
由真值表可知，公式(?P ∨Q )∧?(Q ∨?R )∧?(R ∨?P ∨?Q )为矛盾式。
公式法：因为(?P ∨Q )∧?(Q ∨?R )∧?(R ∨?P ∨?Q )?(?P ∨Q )∧?Q ∧R ∧(?R ∧P ∧Q )?F ，所以，公式
(?P ∨Q )∧?(Q ∨?R )∧?(R ∨?P ∨?Q )为矛盾式。
(4)真值表法：
由真值表可知，公式(P ∧Q →R )→(P ∧?R ∧Q )为可满足式。
公式法：因为(P ∧Q →R )→(P ∧?R ∧Q )??(?( P ∧Q )∨R )∨(
P ∧?R ∧Q )
?( P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?R ∧Q )?( P ∧Q ∧?R )
所以，公式(P ∧Q →R )→(P ∧?R ∧Q )为可满足式。 (5)真值表法：
由真值表可知，公式(Q →P )∧(?P ∧Q )为可矛盾式。
公式法：因为(Q →P )∧(?P ∧Q )?(?Q ∨P )∧(?P ∧Q )??(Q ∧?P )∧(?P ∧Q )?F ，所以，公式为可矛盾式。
(6)真值表法：
由真值表可知，公式(?P?Q)??(P?Q)为永真式。
公式法：因为(?P?Q)??(P?Q)?((?P→Q)∧(Q→?P))??((P∧Q)∨(?P∧?Q))
?((P∨Q)∧(?P∨?Q))?((?P∨?Q)∧(P∨Q))?T
所以，公式(?P?Q)??(P?Q)为永真式。
(7)真值表法：
由真值表可知，公式(P∧Q)∧?(P∨Q)为矛盾式。
公式法：因为(P∧Q)∧?(P∨Q)?(P∧Q)∧(?P∧?Q)?F，所以，公式(P∧Q)∧?(P∨Q)为矛盾式。
6.分别用真值表法和公式法证明下列各等价式：
(1)(P∨Q)∧?P??P∧Q。
(2)?(P∨Q)∨(?P∧Q)??P。
(3)(P∧Q)∨?P??P∨Q。
(4)P→(Q∧R)?(P→Q)∧(P→R)。
(5)(P→Q)∧(R→Q)?(P∨R)→Q)。
(6)(P∧Q∧A→C)∧(A→P∨Q∨C)?(A∧(P?Q))→C。
(7)?(P↑Q)??P↓?Q。
(8)?(P↓Q)??P↑?Q。
真值表法：
证明 (1)
公式法：(P∨Q)∧?P?(P∧?P)∨(Q∧?P)??P∧Q。
(2)真值表法：
由真值表可知，?(P∨Q)∨(?P∧Q)??P。
公式法：?(P∨Q)∨(?P∧Q)?(?P∧?Q)∨(?P∧Q)??P∧(?Q∨Q)??P。
(3)真值表法：
由真值表可知，(P∧Q)∨?P??P∨Q。
公式法：(P∧Q)∨?P?(P∨?P)∧(Q∨?P)??P∨Q。
(4)真值表法：
由真值表可知，P→(Q∧R)?(P→Q)∧(P→R)。
公式法：P→(Q∧R)??P∨(Q∧R)?(?P∨Q)∧(?P∨R)?(P→Q)∧(P→R)。
(5)真值表法：
由真值表可知，(P→Q)∧(R→Q)?(P∨R)→Q)。
公式法：(P→Q)∧(R→Q)?(?P∨Q)∧(?R∨Q)?(?P∧?R)∨Q
??(P∨R)∨Q?(P∨R)→Q)。
(6)真值表法：
由真值表可知，(P∧Q∧A→C)∧(A→P∨Q∨C)?(A∧(P?Q))→C。
公式法：(P∧Q∧A→C)∧(A→P∨Q∨C)?(?P∨?Q∨?A∨C)∧(?A∨P∨Q∨C)
?(?P∨?Q∨?A∨C)∧(?A∨P∨Q∨C)
?((?P∨?Q∨?A)∧(?A∨P∨Q))∨C
??((P∧Q∧A)∨(A∧?P∧?Q))∨C
??( A∧((P∧Q)∨(?P∧?Q)))∨C
??( A∧(P?Q))∨C
?(A∧(P?Q))→C。
(7)真值表法：
由真值表可知，?(P↑Q)??P↓?Q。
公式法：?(P↑Q)??(?(P∧Q))??(?P∨?Q))??P↓?Q。
(8)真值表法：
由真值表可知，?(P↓Q)??P↑?Q。
公式法：?(P↓Q)??(?(P∨Q))??(?P∧?Q)??P↑?Q。
7.设A、B、C为任意的三个命题公式，试问下面的结论是否正确？
(1)若A∨C?B∨C，则A?B。
(2)若A∧C?B∧C，则A?B。
(3)若?A??B，则A?B。
(4)若A→C?B→C，则A?B。
(5)若A?C?B?C，则A?B。
解 (1)不正确。例如，设有一赋值：A＝T，B＝F，C＝T，则A∨C?B∨C，但A?B不成立。
(2)不正确。例如，设有一赋值：A＝T，B＝F，C＝F，则A∧C?B∧C，但A?B不成立。
(3)正确。因为?A??B?(?A→?B)∧(?B→?A)?(A∨?B)∧(B∨?A)?(B→ A)∧(A→B)?
A?B，所以，若?A??B，则A?B。
(4)不正确。例如，设有一赋值：A＝T，B＝F，C＝T，则A→C?B→C，但A?B不成立。
(5)正确。因为，若A?C?B?C，则A?C与B?C等值。当A?C与B?C都为真时，A和C等值且B和C等值，从而A和B等值，此时A?B；当A?C与B?C都为假时，A和C不等值且B和C也不等值，从而A和B等值，此时A?B。
总之有，若A?C?B?C，则A?B。
8.试给出下列命题公式的对偶式：
(1)(P∧Q)∨R。
(2)T∨(P∧Q)。
(3)(P∨Q)∧F。
(4)?(P∧Q)∧(?P∨Q)。
解 (1)对偶式为(P∨Q)∧R。
(2)对偶式为F∧(P∨Q)。
(3)对偶式为(P∧Q)∨T。
(4)对偶式为?(P∨Q)∨(?P∧Q)。
9.分别用真值表法、分析法和公式法证明下列蕴涵式：
(1)?(P→Q)?P。
(2)(P→Q)→Q?P∨Q。
(3)P→Q?P→(P∧Q)。
(4)(P→Q)∧(Q→R)?(P→R)。
证明 (1)真值表法：
由真值表可知，?(P→Q)?P。
分析法：若?(P→Q)为真，则P→Q为假，从而P为真，而Q为假。故?(P→Q)?P。
公式法：因为?(P→Q)→P?(?P∨Q)∨P?T，所以?(P→Q)?P。
(2)真值表法：
由真值表可知，(P→Q)→Q?P∨Q。
分析法：若P∨Q为假，都P和Q为假，于是P→Q为真，从而(P→Q)→Q为假。故(P→Q)→Q?P ∨Q。
公式法：因为((P→Q)→Q)→(P∨Q)??(?(?P∨Q)∨Q)∨(P∨Q)
?((?P∨Q)∧?Q)∨(P∨Q)
?(?P∧?Q)∨(Q∧?Q)∨(P∨Q)
??(P∨Q)∨(P∨Q)
?T
所以，(P→Q)→Q?P∨Q。
(3)真值表法：
由真值表可知，P→Q?P→(P∧Q)。
分析法：若P→(P∧Q)为假，则P为真且P∧Q为假，于是P为真且Q为假，从而P→Q为假。故P→Q?P→(P∧Q)。
公式法：因为(P→Q)→(P→(P∧Q))??(?P∨Q)∨(?P∨(P∧Q)
?(P∧?Q)∨(?P∨(P∧Q)
?(P∧?Q)∨(?P∨Q)
?(P∧?Q)∨?(P∧?Q)
?T
所以，P→Q?P→(P∧Q)。
(4)真值表法：
由真值表可知，(P→Q)∧(Q→R)?(P→R)。
分析法：若P→R为假，则P为真而R为假。当Q为真时，Q→R为假；当Q为假时，P→Q为假。从而不管Q取什么值，都有(P→Q)∧(Q→R)为假。故(P→Q)∧(Q→R)?(P→R)。
公式法：因为((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)??((?P∨Q)∧(?Q∨R))∨(?P∨R)
?(P∧?Q)∨(Q∧?R)∨?P∨R
?(P∧?Q)∨((Q∨?P∨R)∧(?R∨?P∨R))
?(P∧?Q)∨(Q∨?P∨R)
?(P∨Q∨?P∨R)∧(?Q∨Q∨?P∨R)
?T
所以，(P→Q)∧(Q→R)?(P→R)。
10.将下列命题公式化成与之等价的仅含联结词↑或↓的公式：
(1)P∧(Q→R)。
(2)(P→(Q∧R))∨P。
解因为
?P??(P∧P)?P↑P
P∧Q??(P↑Q)?(P↑Q)↑(P↑Q)
P∨Q??(?P∧?Q)??P↑?Q?(P↑P)↑(Q↑Q)
?P??(P∨P)?P↓P
P∨Q??(P↓Q)?(P↓Q)↓(P↓Q)
P∧Q??P↓?Q?(P↓P)↓(Q↓Q)
所以
(1)P∧(Q→R)?P∧(?Q∨R)
? P∧((?Q)↑(?Q))↑(R↑R)
? P∧((Q↑Q)↑( Q↑Q))↑(R↑R)
?(P↑(((Q↑Q)↑( Q↑Q))↑(R↑R)))↑(P↑(((Q↑Q)↑( Q↑Q))↑(R↑R))) P∧(Q→R)? P∧(?Q∨R)
? P∧((?Q)P↓R)↓((?Q)P↓R)
? P∧((Q↓Q)P↓R)↓(( Q↓Q)P↓R)
?(P↓P)↓((((Q↓Q)P↓R)↓(( Q↓Q)P↓R))↓(((Q↓Q)P↓R)↓(( Q↓Q)P↓R)))
(2)(P→(Q∧R))∨P?(?P∨(Q∧R))∨P
?(( P↑P)∨((Q↑R)↑(Q↑R)))∨P
?(( P↑P)∨((Q↑R)↑(Q↑R)))∨P
?((( P↑P)↑(P↑P))↑((((Q↑R)↑(Q↑R)))↑(((Q↑R)↑(Q↑R)))))∨P
?((((( P↑P)↑(P↑P))↑((((Q↑R)↑(Q↑R)))↑(((Q↑R)↑(Q↑R))))))↑(((( P↑P)↑(P↑P))↑((((Q↑R)↑(Q↑R)))↑(((Q↑R)↑(Q↑R)))))))↑(P↑P)
(P→(Q∧R))∨P?(?P∨(Q∧R))∨P
?((P↓P)∨((Q↓Q)↓(R↓R)))∨P
?(((P↓P)↓((Q↓Q)↓(R↓R))))↓((P↓P)↓((Q↓Q)↓(R↓R)))))∨P
?(((((P↓P)↓((Q↓Q)↓(R↓R))))↓((P↓P)↓((Q↓Q)↓(R↓R))))))↓P)↓((((( P↓P)↓((Q↓Q)↓(R↓R))))↓((P↓P)↓((Q↓Q)↓(R↓R))))))↓P)
11.证明{∧，∨}，{∨}和{?}都不是全功能联结词组。
证明命题P经联结词∧和∨反复运算只能得出P，不能得出?P，所以{∧，∨}不是全功能联结词组。
命题P经联结词∨反复运算只能得出P，不能得出?P，所以{∨}不是全功能联结词组。
命题P经联结词?反复运算只能得出P和?P，不能得出P∧Q，所以{?}不是全功能联结词组。
12.证明{?，∧}是最小全功能联结词组。
证明因为
P∨Q??(?P∧?Q)
P→Q??P∨Q??(P∧?Q)
P?Q?(P→Q)∧(Q→P)??(P∧?Q)∧?(Q∧?P)
所以，{?，∧}是最小全功能联结词组。
13.完成定理1.8的证明。
证明设A为简单析取式，其包含的所有命题变元为p1、p2、…、p n。
若A为永真式，但不同时含有某个命题变元及其否定，则不妨设A＝p1∨p2∨…∨p i∨?p i＋1∨…∨?p n，于是当p1、p2、…、p i的真值都是假，而p i＋1、…、p n的真值都是真时，A的真值为假，与A为永真式矛盾。
反之，若A同时含有某个命题变元及其否定，显然有A为永真式。
14.完成定理1.10的证明。
证明公式A为矛盾式当且仅当A的析取范式的每个简单合取式都是矛盾式。由定理1.7可得，简单合取式是矛盾式当且仅当它同时有一个命题变元及其否定。因此，公式A为矛盾式当且仅当A的析取范式的每个简单合取式至少同时含有一个命题变元及其否定。
15.完成定理1.11的证明。
证明公式A为永真式当且仅当A的合取范式的每个简单析取式都是永真式。由定理1.8可得，简单析取式是永真式当且仅当它同时有一个命题变元及其否定。因此，公式A为永真式当且仅当A的合取范式的每个简单析取式至少同时含有一个命题变元及其否定。
16.完成定理1.14的证明。
证明设A'是A的合取范式，即A?A'。若A'的某个简单析取式A i中不含命题变元P及其否定?P，将A i展成形式A i?A i∨T?A i∨(P∧?P)?(A i∨P)∧(A i∨?P)，继续这个过程，直到所有的简单析取式成为大项。然后，消去重复的项及永真式之后，得到A的主合取范式。
下面证明其惟一性。
若A有两个与之等价的主合取范式B和C，则B?C。由B和C是A的不同的主合取范式，不妨设大项M i只出现在B中而不在C中，于是i的二进制为B的成假赋值，C的成真赋值，与B?C矛盾。因而A 的主合取范式是惟一的。
17.完成定理1.15的证明。
证明设命题公式A的真值为F的赋值所对应的大项为M1、M2、…、M k，令B＝M1∧M2∧…∧M k。下证A?B。
若A为假，则其赋值所对应的小项一定是M1、M2、…、M k中的某一项，不妨设为M i，因为M i为假，而M1、M2、…、M i－1、M i＋1、…、M k都为真，故B也为假。
若A为真，则其赋值所对应的大项一定不是M1、M2、…、M k中的某一项，此时M1、M2、…、M k都为真，故B也为假。
因此，A?B。
18.完成定理1.18的证明。
证明设A是含n个命题变元的命题公式，则：
(1)由定理1.13可知，A的真值为T的赋值所对应的小项的析取即为此公式A的主析取范式，所以，
A为永真式当且仅当A的主析取范式含有全部2n个小项。
(2)由定理1.13可知，A的真值为F的赋值所对应的大项的合取即为此公式的主合取范式，所以，A 为矛盾式当且仅当A的主合取范式含有全部2n个大项。
(3)由(1)、(2)即得。
19.分别用真值表法和公式法求下面命题公式的主析取范式与主合取范式，判断各公式的类型，并写出其相应的成真赋值和成假赋值。
(1)P→(Q→R)。
(2)(P∨Q)→R。
(3)(P→(Q∨R))∧(?P∨(Q?R))。
(4)(?(P→Q)∧Q)∨R。
(5)(?P∨?Q)→(P??Q)。
(6)(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))。
(7)?((P→Q)∧(R→P))∨?((R→?Q)→?P)。
(8)((P→(P∨Q))→(Q∧R))?(?P∨R)。
解 (1)公式法：因为P→(Q→R)??P∨?Q∨R
?6
M
?0m∨1m∨2m∨3m∨4
m∨6m∨7m
所以，公式P→(Q→R)为可满足式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、100、101、111：成假赋值为：110。
真值表法：
由真值表可知，公式P→(Q→R)为可满足式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、100、101、111：成假赋值为：110。
(2)公式法：因为(P∨Q)→R??(P∨Q)∨R?(?P∧?Q)∨R
?(?P∨(Q∧?Q)∨R)∧((P∧?P)∨?Q∨R)
?(?P∨Q∨R)∧(?P∨?Q∨R)∧(P∨?Q∨R)∧(?P∨?Q∨R)
?2
M
M∧4
M∧6
?0m∨1m∨3m∨
m
5
所以，公式(P∨Q)→R为可满足式，其相应的成真赋值为000、001、011、101、111：成假赋值为：010、100、110。
真值表法：
由真值表可知，公式(P∨Q)→R为可满足式，其相应的成真赋值为000、001、011、101、111：成假赋值为：010、100、110。
(3)公式法：因为(P→(Q∨R))∧(?P∨(Q?R))
?(?P∨Q∨R)∧(?P∨(Q∧R)∨(?Q∧?R))
?(?P∨Q∨R)∧(((?P∨Q)∧(?P∨R))∨(?Q∧?R))
?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?Q)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨R∨?Q)∧(?P∨R∨?R)
?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R)
?4
M
M∧5
M∧6
?0m∨1m∨2m∨3m∨7m
所以，公式(P→(Q∨R))∧(?P∨(Q?R))为可满足式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。
真值表法：
由真值表可知，公式(P→(Q∨R))∧(?P∨(Q?R))为可满足式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。
(4)公式法：因为(?(P→Q)∧Q)∨R?(?(?P∨Q)∧Q)∨R
?(P∧?Q∧Q)∨R
?R
?(Q∨?Q)∧R
?(Q∧R)∨(?Q∧R)
?((P∨?P)∧Q∧R)∨((P∨?P)∧?Q∧R)
?(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)∨(P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)
?1m∨3m∨5m∨7m
?0
M
M∧6
M∧4
M∧2
所以，公式(?(P →Q )∧Q )∨R 为可满足式，其相应的成真赋值为001、011、101、111：成假赋值为：000、010、100、110。
真值表法：
由真值表可知，公式(?(P →Q )∧Q )∨R 为可满足式，其相应的成真赋值为001、011、101、111：成假赋值为：000、010、100、110。
(5)公式法：因为(?P ∨?Q )→(P ??Q )??(?P ∨?Q )∨(P ∧?Q )∨(?P ∧Q )
?(P ∧Q )∨(P ∧?Q )∨(?P ∧Q ) ?1m ∨2m ∨3m ?0M
所以，公式(?P
∨?Q )→(P ??Q )为可满足式，其相应的成真赋值为01、10、11：成假赋值为：00。 真值表法：
由真值表可知，公式(?P ∨?Q )→(P ??Q )为可满足式，其相应的成真赋值为01、10、11：成假赋值为：00。
(6)公式法：因为(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))??(?( P ∨Q ))∨(P ∧?Q ∧R ))
?(P ∨Q )∨(P ∧?Q ∧R ))
?(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨?Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R )
?(P ∨Q ∨(R ∧?R ))∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨?R )∧(P ∨Q ∨R ) ?0M ∧1M
?2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m
所以，公式(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))为可满足式，其相应的成真赋值为010、011、100、101
、110、111：成假赋值为：000、001。
真值表法：
由真值表可知，公式(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))为可满足式，其相应的成真赋值为010、011、100、101、110、111：成假赋值为：000、001。
(7)公式法：因为?((P →Q )∧(R →P ))∨?((R →?Q )→?P ) ??((?P ∨Q )∧(?R ∨P ))∨?(?(?R ∨?Q )∨?P ) ??(?P ∨Q )∨?(?R ∨P )∨((?R ∨?Q )∧P ) ?(P ∧?Q )∨(R ∧?P )∨(?R ∧P )∨(?Q ∧P ) ?(P ∧?Q )∨(?P ∧R )∨(P ∧?R )
?(P ∧?Q ∧(R ∨?R ))∨(?P ∧(Q ∨?Q )∧R )∨(P ∧(Q ∨?Q )∧?R )
?(P ∧?Q ∧R )∨(P ∧?Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧R )∨(?P ∧?Q ∧R )∨(P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧?R ) ?(P ∧?Q ∧R )∨(P ∧?Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧R )∨(?P ∧?Q ∧R )∨(P ∧Q ∧?R ) ?1m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ?0M ∧2M ∧7M
所以，公式?((P →Q )∧(R →P ))∨?((R →?Q )→?P )为可满足式，其相应的成真赋值为001、011、100、101、110：成假赋值为：000、010、111。
真值表法：
由真值表可知，公式?((P →Q )∧(R →P ))∨?((R →?Q )→?P )为可满足式，其相应的成真赋值为001、011、100、101、110：成假赋值为：000、010、111。
(8)公式法：因为((P →(P ∨Q ))→(Q ∧R ))?(?P ∨R )
?((?P ∨P ∨Q )→(Q ∧R ))?(?P ∨R ) ?(Q ∧R )?(?P ∨R )
?(Q ∧R ∧(?P ∨R ))∨(?(Q ∧R )∧?(?P ∨R )) ?(Q ∧R ∧?P )∨(Q ∧R ∧R )∨((?Q ∨?R )∧P ∧?R ) ?(?P ∧Q ∧R )∨(Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?R )∨(?R ∧P ∧?R )
?(?P ∧Q ∧R )∨(P ∧Q ∧R )∨(?P ∧Q ∧R )∨(P ∧?Q ∧?R )∨(P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧?R ) ?(?P ∧Q ∧R )∨(P ∧?Q ∧?R )∨(P ∧Q ∧?R )∨(P ∧Q ∧R )
?3m ∨4m ∨6m ∨7m ?0M ∧1M ∧2M ∧5M
所以，公式((P →(P ∨Q ))→(Q ∧R ))?(?P ∨R )为可满足式，其相应的成真赋值为011、100、110、111：成假赋值为：000、001、010、101。
真值表法：
由真值表可知，公式((P →(P ∨Q ))→(Q ∧R ))?(?P ∨R )为可满足式，其相应的成真赋值为011、100、110、111：成假赋值为：000、001、010、101。
20.使用将命题公式化为主范式的方法，证明下列各等价式： (1)(P →Q )→(P ∧Q )?(Q →P )∧(P ∨Q )。 (2)P ∧Q ∧(?P ∨?Q )??P ∧?Q ∧(P ∨Q )。 (3)?(P ?Q )?(P ∨Q )∧?(P ∧Q )。
(4)(P ∧Q )∨(?P ∧R )∨(Q ∧R )?(P ∧Q )∨(?P ∧R )。 解 (1)因为(P →Q )→(P ∧Q )??(?P ∨Q )∨(P ∧Q )
?(P ∧?Q )∨(P ∧Q )
(Q →P )∧(P ∨Q )?(?Q ∨P )∧(P ∨Q )
?(P ∧?Q )∨(?Q ∧Q )∨(P ∧P ) ∨(P ∧Q ) ?(P ∧?Q )∨P
?(P ∧?Q )∨(P ∧(Q ∨?Q )) ?(P ∧?Q )∨(P ∧Q )∨(P ∧?Q ) ?(P ∧?Q )∨(P ∧Q )
所以，(P →Q )→(P ∧Q )?(Q →P )∧(P ∨Q )。
(2)因为P ∧Q ∧(?P ∨?Q )?(P ∨(Q ∧?Q ))∧((P ∧?P )∨Q )∧(?P ∨?Q )
?(P ∨Q )∧(P ∨?Q )∧(P ∨Q )∧(?P ∨Q )∧(?P ∨?Q ) ?(P ∨Q )∧(P ∨?Q )∧(?P ∨Q )∧(?P ∨?Q )
?P ∧?Q ∧(P ∨Q )?(?P ∨(Q ∧?Q ))∧((P ∧?P )∨?Q )∧(P ∨Q )
?(?P ∨Q )∧(?P ∨?Q )∧(P ∨?Q )∧(?P ∨?Q )∧(P ∨Q ) ?(?P ∨Q )∧(?P ∨?Q )∧(P ∨?Q )∧(P ∨Q ) ?(P ∨Q )∧(P ∨?Q )∧(?P ∨Q )∧(?P ∨?Q )
所以，P ∧Q ∧(?P ∨?Q )??P ∧?Q ∧(P ∨Q )。
(3)因为?(P ?Q )??((P ∧Q )∨(?P ∧?Q ))
??(P ∧Q )∧?(?P ∧?Q )) ?(?P ∨?Q )∧(P ∨Q )) ?(P ∨Q )∧(?P ∨?Q )
(P ∨Q )∧?(P ∧Q )?(P ∨Q )∧(?P ∨?Q ) 所以，?(P ?Q )?(P ∨Q )∧?(P ∧Q )。 (4)(P ∧Q )∨(?P ∧R )∨(Q ∧R )
?(P ∧Q ∧(R ∨?R ))∨(?P ∧(Q ∨?Q )∧R )∨((P ∨?P )∧Q ∧R )
?(P ∧Q ∧R )∨(P ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧R )∨(?P ∧?Q ∧R )∨(P ∧Q ∧R )∨(?P ∧Q ∧R ) ?(?P ∧?Q ∧R )∨(?P ∧Q ∧R )∨(P ∧Q ∧?R )∨(P ∧Q ∧R ) (P ∧Q )∨(?P ∧R )
?(P ∧Q ∧(R ∨?R ))∨(?P ∧(Q ∨?Q )∧R )
?(P ∧Q ∧R )∨(P ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧R )∨(?P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧?Q ∧R )∨(?P ∧Q ∧R )∨(P ∧Q ∧?R )∨(P ∧Q ∧R ) 所以，(P ∧Q )∨(?P ∧R )∨(Q ∧R )?(P ∧Q )∨(?P ∧R )。
21.设计一盏电灯的开关电路，要求受3个开关A 、B 、C 的控制：当且仅当A 和C 同时关闭或B 和C 同时关闭时灯亮。设F 表示灯亮。
(1)写出F 在全功能联结词组{↑}中的命题公式。 (2)写出F 的主析取范式与主合取范式。
解 (1)设A ：开关A 关闭；B ：开关B 关闭；C ：开关C 关闭；F ＝(A ∧C )∨(B ∧C )。 在全功能联结词组{↑}中：
?A ??(A ∧A )?A ↑A
A ∧C ???( A ∧C )??( A ↑C )?(A ↑C )↑(A ↑C )
A ∨
B ??(?A ∧?B )??(( A ↑A )∧(B ↑B ))?( A ↑A )↑(B ↑B )
所以
F ?((A ↑C )↑(A ↑C ))∨((B ↑C )↑(B ↑C ))
?(((A ↑C )↑(A ↑C ))↑((A ↑C )↑(A ↑C )))↑(((B ↑C )↑(B ↑C ))↑((B ↑C )↑(B ↑C )))
(2)F ?(A ∧C )∨(B ∧C )
?(A ∧(B ∨?B )∧C )∨((A ∨?A )∧B ∧C )
?(A ∧B ∧C )∨(A ∧?B ∧C )∨(A ∧B ∧C )∨(?A ∧B ∧C ) ?3m ∨5m ∨7m 主析取范式 ?0M ∧1M ∧2M ∧4M ∧6M 主合取范式
22.证明下列推理：
1)?P ∨Q ，?Q ∨R ，R →S P →S 。 2)P ，P →(Q →(R ∧S ))Q →S 。
3)(P∨Q)→R(P∧Q)→R。
4)A→(B→C)，B→(C→D)A→(B→D)。
5)A→?B，A∨C，C→?B，R→B?R。
6)?B，C→?A，?B→A，C∨D D。
7)?(A∨B)→?(P∨Q)，P，(B→A)∨?P A。
8)P→(Q→R)，S→Q P→(S→R)。
9)?(P∧?Q)，?Q∨R，?R?P。
证明 1)(1)P附加前提
(2)?P∨Q P
(3)Q T(1)(2)，I
(4)?Q∨R P
(5)R T(3)(4)，I
(6)R→S P
(7)S T(5)(6)，I
(8)P→S CP
2)(1)P P
(2)P→(Q→(R∧S)) P
(3)Q→(R∧S) T(1)(2)，I
(4)Q附加前提
(5)R∧S T(3)(4)，I
(6)S T(5)，I
(7)Q→S CP
3)(1)P∧Q附加前提
(2)P∨Q T(1)，I
(3)(P∨Q)→R P
(4)R T(2)(3)，I
(5)(P∧Q)→R CP
4)(1)A 附加前提
(2)A→(B→C) P
(3)B→C T(1)(2)，I
(4)B附加前提
(5)C T(3)(4)，I
(6)B→(C→D) P
(7)C→D T(4)(6)，I
(8)D T(5)(7)，I
(9)A→(B→D) CP
5)(1)A∨C P
(2)A→?B P
(3)C→?B P
(4)?B T(1)(2)(3)，I
(5)R→B P
(6)?R T(4)(5)，I 6)(1)?B P
(2)?B→A P
(3)A T(1)(2)，I
(4)C→?A P
(5)?C T(3)(4)，I
(6)C∨D P
(7)D T(5)(6)，I 7)(1)?(A∨B)→?(P∨Q) P
(2)(P∨Q)→(A∨B) T(1)，E
(3)P P
(4)A∨B T(2)(3)，I
(5)(B→A)∨?P P
(6)B→A T(3)(5)，I
(7)A∨?B T(6)，E
(8)(A∨B)∧(A∨?B) T(4)(7)，I
(9)A∧(B∨?B) T(8)，E
(10)A T(9)，E
8)(1)P→(Q→R) P
(2)P附加前提
(3)Q→R T(1)(2)，I
(4)S→Q P
(5)S→R T(3)(4)，I
(6)P→(S→R) CP
9)(1)?Q∨R P
(2)?R P
(3)?Q T(1)(2)，I
(4)?(P∧?Q) P
(5)?P∨Q T(4)，E
(完整版)离散数学试卷及答案
离散数学试题（A卷答案） 一、（10分）求(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))的主析取范式 解：(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))??(?( P∨Q))∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q)∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q∨P)∧(P∨Q∨?Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨(R∧?R))∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨R) ? M∧1M ? m∨3m∨4m∨5m∨6m∨7m 2 二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人？ 解设设P：王教授是苏州人；Q：王教授是上海人；R：王教授是杭州人。则根据题意应有： 甲：?P∧Q 乙：?Q∧P 丙：?Q∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以，丙至少说对了一半。因此，可得甲或乙必有一人全错了。又因为，若甲全错了，则有?Q ∧P，因此，乙全对。同理，乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为：
((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此，王教授是上海人。 三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则由定理4.19知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )?'R 。由定理4.15和由定理4.16得sr (R )?s ('R )＝'R ，进而有tsr (R )?t ('R )＝'R 。 综上可知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 四、（15分）集合A ＝{a ，b ，c ，d ，e }上的二元关系R 为R ＝{，，，，，，，，
山东大学离散数学题库及答案
《离散数学》题库答案 一、选择或填空 (数理逻辑部分) 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(1),(4) 2、下列公式中哪些就是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答:(2),(3),(4) 3、设有下列公式,请问哪几个就是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(2),(3),(4),(5),(6) 4、公式?x((A(x)→B(y,x))∧ ?z C(y,z))→D(x)中,自由变元就是( ),约束变元就是( )。 答:x,y, x,z 5、判断下列语句就是不就是命题。若就是,给出命题的真值。( ) (1) 北京就是中华人民共与国的首都。 (2) 陕西师大就是一座工厂。 (3) 您喜欢唱歌不？ (4) 若7+8＞18,则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答:(1) 就是,T (2) 就是,F (3) 不就是 (4) 就是,T (5) 不就是 (6) 不就是 6、命题“存在一些人就是大学生”的否定就是( ),而命题“所有的人都就是要死的”的否定就是( )。 答:所有人都不就是大学生,有些人不会死 7、设P:我生病,Q:我去学校,则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时,我才不去学校 (2) 若我生病,则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4) 若我不生病,则我一定去学校 答:(1) P Q →? (2) Q P ?→ (3) Q P ?? (4)Q P →? 8、设个体域为整数集,则下列公式的意义就是( )。 (1) ?x ?y(x+y=0) (2) ?y ?x(x+y=0) 答:(1)对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0(2)存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 就是正整数集合,确定下列命题的真值: (1) ?x ?y (xy=y) ( ) (2) ?x ?y(x+y=y) ( ) (3) ?x ?y(x+y=x) ( ) (4) ?x ?y(y=2x) ( ) 答:(1) F (2) F (3)F (4)T 10、设谓词P(x):x 就是奇数,Q(x):x 就是偶数,谓词公式 ?x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答:(1) 11、命题“2就是偶数或-3就是负数”的否定就是( )。 答:2不就是偶数且-3不就是负数。 12、永真式的否定就是( ) (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能
离散数学第1章习题答案
#include
N=N/2; } while(!Empty(S)) { Pop(S,&e); printf("%d ",e); } } void main() { int n; printf("请输入待转换的值n：\n"); scanf ("%d",&n); conversion(n); }习题 1.判断下列语句是否是命题，为什么？若是命题，判断是简单命题还是复合命题？ (1)离散数学是计算机专业的一门必修课。 (2)李梅能歌善舞。 (3)这朵花真美丽！ (4)３＋２＞６。 (5)只要我有时间，我就来看你。 (6)x＝５。 (7)尽管他有病，但他仍坚持工作。 (8)太阳系外有宇宙人。 (9)小王和小张是同桌。 (10)不存在最大的素数。 解在上述10个句子中，(3)是感叹句，因此它不是命题。(6)虽然是陈述句，但它没有确定的值，因此它也不是命题。其余语句都是可判断真假的陈述句，所以都是命题。其中：(1)、(4) 、(8) 、(9) 、是简单命题，、(2) 、(5) 、(7)、(10) 是复合命题。 2.判断下列各式是否是命题公式，为什么？ (1)(P→(P∨Q))。 (2)(?P→Q)→(Q→P)))。 (3)((?P→Q)→(Q→P))。 (4)(Q→R∧S)。 (5)(P∨QR)→S。 (6)((R→(Q→R)→(P→Q))。 解 (1)是命题公式。 (2)不是命题公式，因为括号不配对。 (3)是命题公式。 (4)是命题公式。
离散数学试题与答案
试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统
二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。
《离散数学》题库及答案
《离散数学》题库与答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( A ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式 4、公式x((A(x)B(y，x))z C(y，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z（考察定义在公式x A和x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。在x A和x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y，x)和z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元） 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( )
(1)北京是中华人民共和国的首都。(2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？(4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！(6) 给我一杯水吧！ 答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是（命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。） 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死（命题的否定就是把命题前提中的量词“换成存在，换成”，然后将命题的结论否定，“且变或或变且”） 7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校(2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）P ?（注意“只有……才……”和“除非……就……”两者都是一个 Q→ 形式的）（2）Q P→ ? P? ?（4）Q P? →（3）Q 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x存在整数y满足x+y=0 （2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1）F (反证法：假若存在，则（x- 1）*y=0 对所有的x都成立，显然这个与前提条件相矛盾) （2）F （同理）（3）F （同理）（4）T（对任一整数x存在整数y满足条件y=2x 很明显是正确的）
离散数学(屈婉玲版)第一章部分习题分解
第一章习题 1.1&1.2 判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还 是复合命题.并将命题符号化,并讨论它们的真值. (1) √2是无理数. 是命题,简单命题.p:√2是无理数.真值:1 (2) 5能被2整除. 是命题,简单命题.p:5能被2整除.真值:0 (3)现在在开会吗? 不是命题. (4)x+5>0. 不是命题. (5) 这朵花真好看呀! 不是命题. (6) 2是素数当且仅当三角形有3条边. 是命题,复合命题.p:2是素数.q:三角形有3条边.p?q真值:1 (7) 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起. 是命题,复合命题.p:雪是黑色的.q:太阳从东方升起. p?q真值:0 (8) 2008年10月1日天气晴好. 是命题,简单命题.p:2008年10月1日天气晴好.真值唯 一. (9) 太阳系以外的星球上有生物. 是命题,简单命题.p:太阳系以外的星球上有生物.真值唯一. (10) 小李在宿舍里. 是命题,简单命题.P:小李在宿舍里.真值唯一. (11) 全体起立! 不是命题. (12) 4是2的倍数或是3的倍数. 是命题,复合命题.p:4是2的倍数.q:4是3的倍数.p∨q 真值:1 (13) 4是偶数且是奇数.
是命题,复合命题.P:4是偶数.q:4是奇数.p∧q真值:0 (14) 李明与王华是同学. 是命题,简单命题.p: 李明与王华是同学.真值唯一. (15) 蓝色和黄色可以调配成绿色. 是命题,简单命题.p: 蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:1 1.3 判断下列各命题的真值. (1)若 2+2=4,则 3+3=6. (2)若 2+2=4,则 3+3≠6. (3)若 2+2≠4,则 3+3=6. (4)若 2+2≠4,则 3+3≠6. (5)2+2=4当且仅当3+3=6. (6)2+2=4当且仅当3+3≠6. (7)2+2≠4当且仅当3+3=6. (8)2+2≠4当且仅当3+3≠6. 答案: 设p:2+2=4,q:3+3=6,则p,q都是真命题. (1)p→q,真值为1. (2)p→┐q,真值为0. (3)┐p→q,真值为1. (4)┐p→┐q,真值为1. (5)p?q,真值为1. (6)p?┐q,真值为0. (7)┐p?q,真值为0. (8)┐p?┐q,真值为1. 1．4将下列命题符号化，并讨论其真值。 （1）如果今天是1号，则明天是2号。 p:今天是1号。 q:明天是2号。 符号化为：p→q 真值为：1 （2）如果今天是1号，则明天是3号。 p:今天是1号。
离散数学试卷及答案一
一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)在每小题列出的四个选项中只有 一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。 1.一个连通的无向图G，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有一条( ) A.汉密尔顿回路 B.欧拉回路 C.汉密尔顿通路 D.初级回路 2.设G是连通简单平面图，G中有11个顶点5个面，则G中的边是( ) A.10 B.12 C.16 D.14 3.在布尔代数L中，表达式(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是( ) A.b∧(a∨c) B.(a∧b)∨(a’∧b) C.(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c) D.(b∨c)∧(a∨c) 4.设i是虚数，·是复数乘法运算，则G=<{1,-1,i,-i},·>是群，下列是G的子群是( ) A.<{1},·> B.〈{-1},·〉 C.〈{i},·〉 D.〈{-i},·〉 5.设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交 运算，下列系统中是代数系统的有( ) A.〈Z，+，/〉 B.〈Z，/〉 C.〈Z，-，/〉 D.〈P(A)，∩〉 6.下列各代数系统中不含有零元素的是( ) A.〈Q，*〉Q是全体有理数集，*是数的乘法运算 B.〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全体n阶实矩阵集合，*是矩阵乘法运算 C.〈Z，ο〉，Z是整数集，ο定义为xοxy=xy,?x,y∈Z D.〈Z，+〉，Z是整数集，+是数的加法运算 7.设A={1,2,3}，A上二元关系R的关系图如下： R具有的性质是 A.自反性 B.对称性 C.传递性 D.反自反性 8.设A={a,b,c}，A上二元关系R={〈a,a〉，〈b,b〉,〈a,c〉}，则关系R的对称闭包S(R)是( ) A.R∪I A B.R C.R∪{〈c,a〉} D.R∩I A 9.设X={a,b,c},Ix是X上恒等关系，要使Ix∪{〈a,b〉，〈b,c〉，〈c,a〉，〈b,a〉}∪R为X上的 等价关系，R应取( ) A.｛〈c,a〉，〈a,c〉｝ B.{〈c,b〉，〈b,a〉} C.{〈c,a〉，〈b,a〉} D.{〈a,c〉，〈c,b〉} 10.下列式子正确的是( ) A. ?∈? B.??? C.{?}?? D.{?}∈? 11.设解释R如下：论域D为实数集，a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):x 离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )， )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ). 本科高等数学离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。 第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)0∨(0∧1) 0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) （0?1）∧(1∨1) 0∧10. （3）（p∧q∧r）?(p∧q∧﹁r) （1∧1∧1）? (0∧0∧0)0 (4)（r∧s）→(p∧q) （0∧1）→(1∧0) 0→0 1 17．判断下面一段论述是否为真：“是无理数。并且，如果3是无理数，则也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: 是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。 19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(q→p) （5）(p∧r) (p∧q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q q p q→p (p→q)→(q→p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 （5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例） 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) (p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)(p∨(p∨q))∨(p∨r)p∨p∨q∨r1 所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)(p→(q∧r)) (4)(p∧q)∨(p∧q)(p∨q) ∧(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) (p∨q)∧(p∨r) p∨(q∧r)) p→(q∧r) （4）(p∧q)∨(p∧q)(p∨(p∧q)) ∧(q∨(p∧q) (p∨p)∧(p∨q)∧(q∨p) ∧(q∨q) 1∧(p∨q)∧(p∧q)∧1 (p∨q)∧(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(p→q)→(q∨p) (2)(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 解： （1）主析取范式 (p→q)→(q p) (p q)(q p) (p q)(q p) (p q)(q p)(q p)(p q)(p q) (p q)(p q)(p q) ∑(0,2,3) 主合取范式： (p→q)→(q p) (p q)(q p) 一、填空 20% （每小题2分） 1、 P ：你努力，Q ：你失败。“除非你努力，否则你将失败”的翻译为 ；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为 。 2、论域D={1，2}，指定谓词P 则公式),(x y yP x ??真值为 。 2、 设S={a 1 ，a 2 ，…，a 8}，B i 是S 的子集，则由B 31所表达的子集是 。 3、 设A={2，3，4，5，6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=，则R= （列举法）。 R 的关系矩阵M R = 。 5、设A={1，2，3}，则A 上既不是对称的又不是反对称的关系R= ； A 上既是对称的又是反对称的关系R= 。 6、设代数系统，其中A={a ，b ，c}, 则幺元是 ；是否有幂等 性 ；是否有对称性 。 7、4阶群必是 群或 群。 8、下面偏序格是分配格的是 。 9、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ，欧拉图的充要条件是 。 10、公式R Q P Q P P ?∧∨?∧∧?∨)(())(( 的根树表示为 。 二、选择 20% （每小题2分） 1、在下述公式中是重言式为（ ） A ．)()(Q P Q P ∨→∧； B ．))()(()(P Q Q P Q P →∧→??； C ．Q Q P ∧→?)(； D ．)(Q P P ∨→ 。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为（ ），成真赋值的个数为（ ）。 A ．0； B ．1； C ．2； D ．3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则 S 2 有（ ）个元素。 A ．3； B ．6； C ．7； D ．8 。 4、 设} 3 ,2 ,1 {=S ，定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有（ ）个分块。 A ．4； B ．5； C ．6； D ．9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ，S 上关系R 的关系图为 一．判断题（共10小题，每题1分，共10分） 在各题末尾的括号内画 表示正确，画 表示错误： 1．设p、q为任意命题公式，则(p∧q)∨p ? p ( ) 2．?x(F(y)→G(x)) ? F(y)→?xG(x)。( ) 3．初级回路一定是简单回路。( ) 4．自然映射是双射。( ) 5．对于给定的集合及其上的二元运算，可逆元素的逆元是唯一的。( ) 6．群的运算是可交换的。( ) 7．自然数集关于数的加法和乘法 列为。 19．n阶无向简单连通图G的生成树有条边。 20．7阶圈的点色数是。 三、运算题（共5小题，每小题8分，共40分） 21．求?xF(x)→?yG(x,y)的前束范式。 22．已知无向图G有11条边，2度和3度顶点各两个，其余为4度顶点，求G 的顶点数。 23．设A={a,b,c,d,e,f}，R=I A?{ 《离散数学》期末复习题 一、填空题（每空2分，共20分） 1、集合A上的偏序关系的三个性质是、 和。 2、一个集合的幂集是指。 3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A?B= 。 4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A?B= 。 5、若A是2元集合, 则2A有个元素。 6、集合A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则 2*3= 。 7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。 8、对实数的普通加法和乘法，是加法的幂等元， 是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群 19、代数系统是指由及其上的或 组成的系统。 20、设 P10 1对下面每个集合，判断2和{2}是否它的一个元素。 (1){x∈R | x是大于1的整数} (2){x∈R | x是某些整数的平方} (3){2, {2}} (4){{2},{{2}}} (5){{2}, {2,{2}}} (6){{{2}}} 解： {2}是(3)，(4)，(5)的元素。2是(1)，(3)的元素。 3 下列哪些命题成立？哪些不成立？为什么？ （1）φ∈{φ,{φ}} （2）φ?{φ,{φ}} （3）{φ}?{φ,{φ}} （4）{{φ}}?{φ,{φ}} 解： （1）成立 （2）成立 （3）成立 （4）成立 5 设A集合={a,b,{a,b},φ}。下列集合由哪些元素组成？ (1)A-{a,b}; (2){{a.b}}-A; (3){a,b}-A; (4)A--φ; (5)φ-A; (6)A-{φ}. 解： (1){{a,b},φ} (2)φ (3)φ (4) A (5)φ (6){a,b,{a,b}} 6 假定A是ECNU二年级的学生集合，B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。请用A 和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。 解：A∩B 7 设A,B和C是任意集合，判断下列命题是否成立，并说明理由。 (1)若A?B,C?D，则A∪C?B∪D,A∩C?B∩D； (2)若ADB,CDD，则A∪CDB∪D,A∩CDB∩D； (3)若A∪B=A∪C，则B=C； (4)若A∩B=A∩C，则B=C； 解： (1)成立 (2)不一定成立 (3)不一定成立 (4)不一定成立 11（5）设A、B和C是集合，请给出(A-B)?(A-C)=φ成立的充要条件。解：错误！未找到引用源。A?B∪C 13试求： (1)P(φ); (2)P(P(φ)); (3)P({φ,a,{a}}) 解： (1){φ} (2){φ，{φ}} (3){φ，{φ}，{a}，{{a}}} 15 设A是集合，下列命题是否必定成立? （1）A∈P(A) （2）A?P(A) （3）{A}∈P(A) （4）{A}?P(A) 解： (1)成立 (2)不一定成立 (3)不一定成立 (4)成立 18设A＝{a,b}，B={b,c},下列集合由哪些元素组成？ (1)A×{a}×B; (2)P(A)×B; (3)(B×B) ×B; 解： (1){(a,a,b),(a,a,c),(b,a,b),(b,a,c)} (2){(φ,c),(φ,b),({a},c),({a},b),({b},c),({b},b),({a,b},c),({a,b},b)} (3){((b,b),c),((b,b),b),((b,c),c),((b,c),b),((c,b),c),((c,b),b),((c,c),c),((c,c),b)} 19 设A是任意集合，A3=(A×A)×A=A×(A×A)是否成立？为什么？ 解：不成立。 填空10% （每小题 2 分） 1、若P，Q，为二命题，P Q 真值为0 当且仅当。 2、命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数” 令F（x）：x 为实数，L（x, y） : x y 则命题的逻辑谓词公式为。 3、谓词合式公式xP（x） xQ（x）的前束范式为。 4、将量词辖域中出现的和指导变元交换为另一变元符号，公式其余的部分不变，这种方法称为 换名规则。 5、设x 是谓词合式公式A的一个客体变元，A的论域为D，A（x）关于y 是自由的，则被称为存 在量词消去规则，记为ES。 选择25% （每小题分） 1、下列语句是命题的有（）。 A、明年中秋节的晚上是晴天； C、xy 0 当且仅当x 和y 都大于0； D 、我正在说谎。 2、下列各命题中真值为真的命题有（）。 A、2+2=4当且仅当3是奇数； B、2+2=4当且仅当 3 不是奇数； C、2+2≠4 当且仅当3是奇数； D、2+2≠4当且仅当 3 不是奇数； 3、下列符号串是合式公式的有（） A、P Q ； B、P P Q； C、( P Q) (P Q)； D、(P Q) 。 4、下列等价式成立的有（ ）。 A、P QQ P ； B、P(P R) R； C、P (P Q) Q； D 、P (Q R) (P Q) R。 5、若A1,A2 A n和B为 wff ，且A1 A2 A n B 则 （ ）。 A、称A1 A2 A n 为 B 的前 件； B 、称 B 为A1,A2 A n 的有效结论 C 、 x(M (x) Mortal (x)) ； D 、 x(M(x) Mortal (x)) 8、公式 A x(P(x) Q(x))的解释 I 为：个体域 D={2} ，P(x) ：x>3, Q(x) ：x=4则 A 的 真 值为（ ） 。 A 、 1； B 、 0； C 、 可满足式； D 、无法判定。 9、 下列等价关系正确的是（ ）。 A 、 x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x)； B 、 x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x)； C 、 x(P(x) Q) xP(x) Q ； D 、 x(P(x) Q) xP(x) Q 。 10 、 下列推理步骤错在（ ）。 ① x(F(x) G(x)) P ② F(y) G(y) US ① ③ xF(x) P ④ F(y) ES ③ ⑤G(y) T ②④I ⑥ xG(x) EG ⑤ A 、②； B 、④； C 、⑤； D 、⑥ 逻辑判断 30% 1、 用等值演算法和真值表法判断公式 A ((P Q) (Q P)) (P Q) 的类型。 C 、当且仅当 A 1 A 2 A n D 、当且仅当 A 1 A 2 A n B F 。 6、 A ，B 为二合式公式，且 B ，则（ ）。 7、 A 、 A C 、 A B 为重言式； B 、 B ； E 、 A B 为重言式。 人总是要死的”谓词公式表示为（ ）。 论域为全总个体域） M （x ） ： x 是人； Mortal(x) x 是要死的。 A 、 M (x) Mortal (x) ； B M (x) Mortal (x) 《离散数学》题库答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答：（2），（3），（4） 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式 x((A(x) B(y ，x)) z C(y ，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是 （4） 是，T （5） 不是 （6） 不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死 7、设P ：我生病，Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校 答：（1） P Q →? （2） Q P ?→ （3） Q P ?? （4）Q P →? 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1） F （2） F （3）F （4）T 10、设谓词P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式 x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答：（1） 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。 答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（ ） (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 答：（2） 13、公式(?P ∧Q)∨(?P ∧?Q)化简为（ ），公式 Q →(P ∨(P ∧Q))可化简为（ ）。 答：?P ，Q →P离散数学期末试题及答案完整版
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