简谐运动
§11－1 简谐运动
【教学目的】
（1）了解什么是机械振动，知道简谐运动的特点；
（2）掌握在一次全振动过程中加速度、速度随偏离平衡位置的位移变化的规律（定性）（3）理解振动图象的物理意义；利用振动图象求振动物体的振幅、周期及任意时刻的位移；
（4）通过观察演示实验，概括出机械振动的特征，培养学生的观察、概括能力；通过相关物理量变化规律的学习，培养分析、推理能力
（5）渗透物理学方法的教育，运用理想化方法，突出主要因素，忽略次要因素，抽象出物理模型——弹簧振子，研究弹簧振子在理想条件下的振动
【教学重点】
使学生掌握简谐运动的运动特征，位移时间图象及相关物理量的变化规律
【教学难点】
在一次全振动中各物理量的变化；振动图象的理解与应用；
【教学过程】
引入：我们学习机械运动的规律，是从简单到复杂：匀速运动、匀变速直线运动、平抛运动、匀速圆周运动，今天学习一种更复杂的运动——简谐运动。
1．机械振动
提问：振动是自然界中普遍存在的一种运动形式，请举例说明什么样的运动就是振动？微风中树枝的颤动、心脏的跳动、钟摆的摆动、声带的振动……这些物体的运动都是振动。请同学们观察几个振动的实验，注意边看边想：物体振动时有什么特征？
演示实验
（1）一端固定的钢板尺[见图1（a）]
（2）单摆[见图1（b）]
（3）弹簧振子[见图1（c）（d）]
（4）穿在橡皮绳上的塑料球[见图1（e）]
提问：这些物体的运动各不相同：运动轨迹是直线的、曲线的；运动方向水平的、竖直的；物体各部分运动情况相同的、不同的……它们的运动有什么共同特征？
归纳：物体振动时有一中心位置，物体（或物体的一部分）在中心位置两侧做往复运动，振动是机械振动的简称。这里的中心位置是振动物体原来静止时的位置，叫做平衡位置。2．简谐运动
简谐运动是一种最简单、最基本的振动，我们以弹簧振子为例学习简谐运动。
（1）弹簧振子
演示实验
弹簧振子的振动
讨论
a．滑块的运动是平动，可以看作质点
b．弹簧的质量远远小于滑动的质量，可以忽略不计
一个轻质弹簧联接一个质点，弹簧的另一端固定，就构成了一个弹簧振子
c．空气阻力可以忽略，我们研究在没有阻力的理想条件下弹簧振子的运动。
提问
（2）弹簧振子为什么会振动？
当把振子从它静止的位置O拉开一小段距离到B再放开后，它为什么会在B—O—C之间振动呢？请同学们运用已学过的力学知识认真分析、思考。
归纳
分析振子受力及从B→O→C→O→B的运动情况，突出弹力方向及在O点振子由于惯性继续运动。
由上述分析可知，物体做机械振动时，一定受到指向中心位置的力，这个力的作用总能使物体回到中心位置，这个力叫回复力，回复力是根据力的效果命名的，对于弹簧振子，它是弹力。
回复力可以是弹力，或其它的力，或几个力的合力，或某个力的分力。
（3）简谐运动的特征
弹簧振子在振动过程中，回复力的大小和方向与振子偏离平衡位置的位移有直接关系。在研究机械振动时，我们把偏离平衡位置的位移简称为位移（见图3）。
讨论
振子从B运动到E时，位移大小为|OE|，方向向右
振子从C运动到D时，位移大小为|OD|，方向向左
振子运动到O时，位移为零
位移可以用振子坐标x来表示
归纳
质点振动的位移与时间关系遵循正弦规律，即它的振动图象是一条正弦曲线，有这种特征的振动叫简谐运动。
3．在一次全振动中，相关物理量的变化规律。
（1）位移的变化
（2）回复力的变化
（3）加速度a的变化
（4）速度v的变化
4、简谐运动图象描述振动的物理量
演示：让砂摆振动，同时沿着与振动垂直的方向匀速拉动摆下的长木板（即平板匀速抽动实验，如图3所示）。
让学生观察现象：原先成一条直线的痕迹展开成一条曲线。
讨论图线：（请同学们相互讨论）
1．图线的x、y轴（横、纵坐标）分别表示什么物理量？
2．曲线是不是质点的运动轨迹？质点做的是什么运动？
3．图象的物理意义是什么？
4．这条图线的特点是什么？
通过图5振动图象，让同学回答直接描述量。
答：振幅为5cm，周期为4s，及t=1s，x=5cm，t=4s，x=0等。
1．直接描述量：
①振幅A；②周期T；③任意时刻的位移X。
2．间接描述量：（请学生总结回答）
频率，x-t图线上一点的切线的斜率等于V。
小结
1．机械振动2．理想化方法3．简谐运动是一种变加速运动。4。振动图象
教学后记：
§11－2 简谐运动的描述（一）
【教学目标】
1.知道什么是振幅、周期和频率
2.理解周期和频率的关系
3.知道什么是振动的固有周期和固有频率
4.在分析和学习振子的振幅、周期和频率的过程中，提高学生的观察能力和解决实际问题的能力.
5.掌握用秒表测弹簧振子周期的操作技能.
6.通过学习不同的运动描述要选取不同的物理量，使学生知道事物矛盾的特殊性决定着它的特殊本质，不同性质的运动包含各自不同的特殊矛盾.
【教学重点】
1.简谐运动的振幅、周期和频率的概念.
2.关于振幅、周期和频率的实际应用.
【教学难点】
1.振幅和位移的联系和区别.
2.周期和频率的联系和区别.
【教学过程】
一、导入新课
1.讲授：前边我们学过了直线运动，我们知道：对于匀速直线运动，所受合外力为零，描述该运动的物理量有位移、时间和速度，对于匀变速直线运动，物体所受的合外力是恒量，描述它的物理量有时间、速度、位移和加速度，而上节课我们研究了合外力为回复力的简谐运动，那么描述简谐运动需要哪些物理量呢?
2.类比引入
我们知道：简谐运动是一种往复性的运动，而我们学过的匀速圆周运动也是一种往复性的运动，所以研究简谐运动时我们也有必要像匀速圆周运动一样引入周期、频率等物理量，本节课我们就来学习描述简谐运动的几个物理量
二、新课教学
(一)振幅
1.在铁架台上悬挂一竖直方向的弹簧振子，分别用大小不同的力把弹簧振子从平衡位置拉下不同的距离.
2.学生观察两种情况下，弹簧振子的振动有什么不同.
3.学生代表答：
①两种情况下，弹簧振子振动的范围大小不同；
②振子振动的强弱不同.
4.教师激励评价，并概括板书：
同学们观察得很细，得到了正确的结论，在物理中，我们用振幅来描述物体的振动强弱.
①振幅是描述振动强弱的物理量；
②振动物体离开平衡位置的最大距离叫振幅；
③振幅的单位是米.
5. 取一段琴弦，使其两端固定且被张紧
①第一次使琴弦的振幅小些，听它发出的声音的强弱；
②第二次使琴弦的振幅大些，听它发出的声音的强弱.
比较后，加深对振幅的理解.
6.用投影片出示问题，振幅和位移有什么区别?
①用实物投影仪投影弹簧振子所做的振动，并用CAI课件模拟该运动.
②学生观察上述运动，并总结振幅和位移的区别和联系.
③学生答：
ａ.振幅是指振动物体离开平衡位置的最大距离；而位移是振动物体所在位置与平衡位置之间的距离.
ｂ.对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的.
ｃ.位移是矢量，但振幅是标量.
ｄ.振幅等于最大位移的数值.
(二)周期和频率
1.介绍什么是全振动?
①用多媒体展示如图所示的全振动［物体从Ｏ→Ａ→Ｏ→Ａ′→Ｏ］
②学生描述：从Ａ点开始，一次全振动的完整过程［Ａ→Ｏ→Ａ′→Ｏ→Ａ］
从A点开始，一次全振动的完整过程：［Ａ′→Ｏ→Ａ→Ｏ→Ａ′］
2.在两个劲度系数不同的弹簧下挂两个质量相同的物体，让这两个弹簧振子以相同的振幅振动，观察到振子振动的快慢不同.
3.问：用什么来描述简谐运动的快慢呢?
学生阅读课文后回答：
①用周期和频率来描述机械振动的快慢.
②总结并板书：
做简谐运动的物体完成一次全振动所需的时间，叫做振动的周期，单位：秒.
单位时间内完成的全振动的次数，叫频率，单位：赫兹.
③周期和频率之间的关系：Ｔ＝1/f
4.过渡设问：如果改变弹簧振子的振幅、振动的周期是否会改变呢?
(三)研究弹簧振子的周期与什么因素有关
1.提出问题：猜想弹簧振子的振动周期可能由哪些因素决定?
①演示两个不同的弹簧振子(弹簧不同，振子小球质量也不同)，学生观察到：两个弹簧振子的振动不同步，说明它们的周期不相等.
②学生猜想：影响弹簧振子周期的因素可能有：振幅、振子的质量、弹簧的劲度系数.
2.我们要想证明猜想是否正确，必须通过实验验证，那么同学们讨论一下：研究弹簧振子振动的周期你准备采用哪些实验装置?
3.学生讨论后，回答：
方案一：弹簧一端固定，弹簧的另一端连着滑块，让滑块在光滑水平面上振动.
方案二：弹簧一端固定，弹簧的另一端连着有孔小球，使小球在光滑的水平杆上滑动.
方案三：弹簧一端固定，另一端系着小球，让小球在竖直方向上振动.
4.讨论哪种方案更可行?
学生答：方案三中小球振动时受到的阻力小，是可行方案.
5.用方案三研究弹簧振子周期的决定因素.
①介绍实验的有关注意事项
ａ.介绍秒表的正确读数及使用方法.
ｂ.应选择振子经过平衡位置的时刻作为开始计时的时刻.
ｃ.振动周期的求解方法：Ｔ＝，ｔ表示发生ｎ次全振动所用的总时间.
②给每二位同学发一块秒表，全班同学同时测讲台上演示的弹簧振子的振动周期.
③实验一：用同一弹簧振子，质量不变，振幅较小与较大时，测出振动的周期Ｔ1和Ｔ1′并进行比较后得到结论：
弹簧振子的振动周期与振幅大小无关.
④实验二：用同一弹簧，拴上质量较小和较大的小球，在振幅相同时，分别测出振动的周期Ｔ2和Ｔ2′，比较后得到结论.
弹簧振子的振动周期与振子的质量有关，质量较小时，周期较小.
⑤实验三：保持小球的质量和振幅不变，换用劲度系数不同的弹簧，测出振动的周期T3和Ｔ3′，比较后得到结论.
弹簧振子的振动周期与弹簧的劲度系数有关，劲度系数较大时，周期较小.
6.通过上述实验，我们得到：
弹簧振子的周期由振动系统本身的质量和劲度系数决定，而与振幅无关，所以把周期和频率叫做固有周期和固有频率.
四、小结
1.振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离；振动物体完成一次全振动所需要的时间叫周期；单位时间内完成全振动的次数叫频率.
2.当振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程就是一次全振动；一次全振动是简谐运动的最小运动单元，振子的运动过程就是这一单元运动的不断重复.
3.由于物体振动的周期和频率只与振动系统本身有关，所以也叫固有周期和固有频率. 教学后记：
§11－2 简谐运动的描述（二）
【教学目标】
1、知识目标
(1)了解简谐运动位移方程中各量的物理意义，能依据振动方程描绘振动图象；
(2)了解初相和相位差的概念，理解相位的物理意义。
2、能力目标
(1)学会从相位的角度分析和比较两个简谐运动；
(2)会计算两个同频率简谐运动的相位差。
3、德育目标
通过对两个简谐运动的超前和滞后的比较，学会用相对的方法来分析问题。
【教学重点】
(1)相位的物理意义；
(2)同频率的简谐运动的相位差的求解。
【教学难点】
(1)相位的物理意义；
(2)能依据两个同频率的简谐运动的振动图象求解相位差。
【教学方法】
举实例、类比法、讲授法
【教具准备】
两个相同的单摆
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、导入新课
前面我们学习过描述振动的物理量，振幅表示振动的强弱，周期和频率表示振动的快慢。用这些物理量能否将振动完整地描述清楚呢？
教师在讲台前走路，摆动两只胳膊，尽量做到振幅和周期相同，第一次同相摆动，第二次反相摆动，引导学生比较摆动的差异，得出要描述振动，还有一个振动的步调问题，本节课就来学习这一问题。
二、新课教学
1、相位
(观察和比较两个摆长相等的单摆做简谐运动的情形)
演示：将并列悬挂的两个等长的单摆(它们的振动周期和频率相同)，向同一侧拉起相同的很小的偏角同时释放，让它们做简谐运动。
现象：两个简谐运动在同一方向同时达到位移的最大值，也同时同方向经过平衡位置，两者振动的步调一致。
对于同时释放的这两个等长单摆，我们说它们的相位相同。
演示：将两个单摆拉向同一侧拉起相同的很小的偏角，但不同时释放，先把第一个放开，
当它运动到平衡位置时再放开第二个，让两者相差1/4周期，让它们做简谐运动。
现象：两者振动的步调不再一致了，当第一个到达另一侧的最高点时，第二个小球又回到平衡位置，而当第二个摆球到达另一方的最高点时，第一个小球又已经返回平衡位置了。与第一个相比，第二个总是滞后1/4周期，或者说总是滞后1/4全振动。
对于不同时释放的这两个等长单摆，我们说它们的相位不相同。
要详尽地描述简谐运动，只有周期(或频率)和振幅是不够的，在物理学中我们用不同的相位来描述简谐运动在一个全振动中所处的不同阶段。
相位是表示物体振动步调的物理量，用相位来描述简谐运动在一个全振动中所处的阶段。
2、用三角函数式表示简谐运动 (1)简谐运动的振动方程
既然简谐运动的位移和时间的关系可以用正弦曲线或余弦曲线来表示，那么若以x 代表质点对于平衡位置的位移，t 代表时间，根据三角函数知识，x 和t 的函数关系可以写成
x ＝Asin(ωt ＋?) 公式中的A 代表振动的振幅，ω叫做圆频率，它与频率f 之间的关系为：ω＝2πf ，:公式中的(ωt ＋?)表示简谐运动的相位，t ＝0时的相位?叫做初相位，简称初相。 (2)两个同频率简谐运动的相位差
设两个简谐运动的频率相同，则据ω＝2πf ，得到它们的圆频率相同，设它们的初相分别为?1和?2，它们的相位差就是
(ωt ＋?2)－(ωt ＋?)＝?2－?1 讨论：
①一个物体运动时其相位变化多少就意味着完成了一次全振动? (相位每增加2π就意味着发生了一次全振动)
②甲和乙两个简谐运动的相位差为3π/2，意味着什么?
(甲和乙两个简谐运动的相位差为3π/2，意味着乙总是比甲滞后3/2个周期或3/2次全振动)
3、相位的应用
【例题1】两个简谐振动分别为
x 1＝4asin(4πbt ＋
21
π) 和 x 2＝2asin(4πbt ＋2
3
π)
求它们的振幅之比、各自的频率，以及它们的相位差。 解析：据x ＝Ａsin(ωt ＋?)得到：A 1＝4a ，A 2＝2a 。
22421==a
a A A 又ω＝4π
b 及ω＝2πf 得：f ＝2b
它们的相位差是：π)π2
1π4()π23π4(=+-+bt bt
【例题2】如图所示是A 、B 两个弹簧振子的振动图象，求它们的相位差。
解析：这两个振动的周期相同，所以它们有确定的相位差，从图中可以看出，B 的振动比A 滞后1/4周期，所以两者的相位差是
Δ?＝
2
ππ241=? 巩固练习：某简谐运动的位移与时间关系为：x ＝0.1sin(100πt ＋
2
π
)cm ，由此可知该振动的振幅是______cm ，频率是 Hz ，零时刻振动物体的加速度与规定正方向______(填“相同”或“相反”).
(参考答案： 0.1；50；相反)
三、小 结
相位是表示振动步调的物理量，用来描述在一个周期内振动物体所处的不同运动状态。用三角函数式来表示简谐振动，其振动方程为：x ＝Asin(ωt ＋?)，其中x 代表质点对于平衡位置的位移，t 代表时间，ω叫做圆频率，ωt ＋φ表示简谐运动的相位。
两个具有相同圆频率ω的简谐运动，它们的相位差是： (ωt+?2)－(ωt ＋?１)＝?2－?1。
教学后记：
§11－3 简谐运动的回复力和能量
【教学目标】
一、知识目标
1.知道振幅越大，振动的能量(总机械能)越大；
2.对单摆，应能根据机械能守恒定律进行定量计算；
3.对水平的弹簧振子，应能定量地说明弹性势能与动能的转化；
4.知道简谐运动的回复力特点及回复力的来源.
5.知道在什么情况下可以把实际发生的振动看作简谐运动.
二、能力目标
1.分析单摆和弹簧振子振动过程中能量的转化情况，提高学生分析和解决问题的能力.
2.通过阻尼振动的实例分析，提高处理实际问题的能力.
三、德育目标
1.简谐运动过程中能量的相互转化情况，对学生进行物质世界遵循对立统一规律观点的渗透.
2.振动有多种不同类型说明各种运动形式都是普遍性下的特殊性的具体体现.
【教学重点】
1.对简谐运动中能量转化和守恒的具体分析.
2.什么是阻尼振动.
【教学难点】
关于简谐运动中能量的转化.
【教学过程】
一、导入新课
1.演示：取一个单摆，将其摆球拉到一定高度后释放，观察它的单摆摆动，最后学生概括现象；
2.现象：单摆的振幅会越来越小，最后停下来.
3.教师讲解引入：实际振动的单摆为什么会运动，又为什么会停下来，今天我们就来学习这个问题.
板书：简谐运动的回复力与能量
二、新课教学
1. 简谐运动的回复力
弹簧振子振动时，回复力与位移是什么关系？
归纳
根据胡克定律，弹簧振子的回复力与位移成正比，与位移方向相反。
回复力具有这种特征的振动叫简谐运动。
物体在跟位移大小成正比，并且总指向平衡位置的力作用下的振动，叫做简谐运动。
F=-kx
式中F为回复力；x为偏离平衡位置的位移；k是常数，对于弹簧振子，k是劲度
系数，对于其它物体的简谐运动，k是别的常数；负号表示回复力与位移的方向总相反。
弹簧振子的振动只是简谐运动的一种。
2．简谐运动的能量
(1)水平弹簧振子在外力作用下把它拉伸，松手后所做的简谐运动.不计阻力。
单摆的摆球被拉伸到某一位置后所做的简谐运动；如下图甲、乙所示
(2)试分析弹簧振子和单摆在振动中的能量转化情况，并填入表格.
表一：
(3)学生讨论分析后，抽代表回答，并把结果填入表中.
(4)用实物投影仪出示思考题：
①弹簧振子或单摆在振幅位置时具有什么能?该能量是如何获得的?
②振子或单摆在平衡位置时具有什么能?该能量又是如何获得的?
③为什么在表格的总能量一栏填不变?
2.阻尼振动
上边我们研究了简谐运动中能量的转化，对简谐运动而言，一旦供给振动系统以一定的能量，使它开始振动，由于机械能守恒，它就以一定的振幅永不停息地振动下去，所以简谐运动是一种理想化的振动.下边我们来观察两个实际振动.
(2)演示：
①实际的单摆发生的振动.
②敲击音叉后音叉的振动.
(3)学生描述观察到的现象：
单摆和音叉的振幅越来越小，最后停下来.
(4)讨论并解释现象
在单摆和音叉的振动过程中，不可避免地要克服摩擦及其他阻力做功，系统的机械能就要损耗，振动的振幅就会逐渐减小，机械能耗尽之时，振动就会停下来了.
(5)要求学生画出上述单摆和音叉的运动图象：
(6)教师总结：
①由于振动系统受到摩擦和其他阻力，即受到阻尼作用，系统的机械能随着时间而减少，同时振幅也逐渐减小，这样的振动叫阻尼振动.
②阻尼过大时，系统将不能发生振动；
阻尼越小，振幅减小得越慢.
四、小结
通过本节课的学习，我们知道了：
1.振动物体都具有能量，能量的大小与振幅有关.振幅越大，振动的能量也越大.
2.对简谐运动而言，振动系统一旦获得一定的机械能，振动起来，这一个能量就始终保持不变，只发生动能与势能的相互转化.
3.振动系统由于受到外界阻尼作用，振动系统的能量逐渐减小，振幅逐渐减小，这种振动叫阻尼振动，实际的振动系统都是阻尼振动，简谐振动只是一种理想的模型.
五、教学后记：
§11－4 单摆
【教学目标】
1.理解单摆振动的特点及它做简谐运动的条件；
2.掌握单摆振动的周期公式。
3.观察演示实验，概括出周期的影响因素，培养学生由实验现象得出物理结论的能力。
4.在做演示实验之前，可先提出疑问，引起学生对实验的兴趣，让学生先猜想实验结果，由教师实验验证，使学生能更好的有目的去观察实验。
【重点、难点分析】
1．本课重点在于掌握好单摆的周期公式及其成立条件。
2．本课难点在于单摆回复力的分析。
解决方案：对于重点内容通过课堂巩固练习加深印象。本课难点在于力的分析上，由教师画好受力分析图，用彩粉笔标示，同时引导学生看书，这部分内容属于A类要求及了解内容，只要使大部分学生能明白基本过程即可，重在强调最后结论。
【主要教学过程】
（一）引入新课
提问：什么是简谐】运动？
答：物体做机械振动，受到的回复力大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反。
前节课我们学习了弹簧振子，了解了简谐运动和振动周期。日常生活中，我们常常见到钟表店里摆钟摆锤的振动（教师展示摆钟钟摆的振动），这种振动有什么特点呢？它是根据什么原理制成的？钟摆类似于物理上的一种理想模型——单摆。我们就来分析一下单摆来解决以上的问题。
（二）教学过程设计
（教师拿出单摆展示，同时介绍单摆构成）这就是单摆，一根绳子上端固定，下端系着一个球。物理上的单摆，是在一个固定的悬点下，用一根不可伸长的细绳，系住一个一定质量的质点，在竖直平面内小角度地摆动。所以，实际的单摆要求绳子轻而长，小球要小而重，将摆球拉到某一高度由静止释放，单摆振动类似于钟摆振动。我们这一章研究的是机械振动，而单摆振动也属于机械振动，单摆振动也是在某一平衡位置附近来回振动，这个平衡位置，就是绳子处于竖直的位置。
我们在学习机械振动时，曾经提到过机械振动的两个必要条件，一是运动中物体所受阻力要足够小；二是物体离开平衡位置后，总是受到回复力的作用。对于第一个条件单摆是符合的，单摆绳要轻而长，球要小而重都是为了减少阻力；第二个条件说到回复力。提问：单摆的回复力又由谁来提供？
答：单摆的回复力由绳的拉力和重力的合力来提供。（教师对答案先不否定，通过对学生的提问，教师把受力图画在黑板上。）
1．单摆的回复力
要分析单摆回复力，先从单摆受力入手。单摆从A位置释放，沿AOB圆弧在平衡点O 附近来回运动，以任一位置C为例，此时摆球受重力G，拉力T作用，由于摆球沿圆弧运动，所以将重力分解成切线方向分力G1和沿半径方向G2，悬线拉力T和G2合力
必然沿半径指向圆心，提供了向心力。那么另一重力分力G1不论是在O左侧还是右侧始终指向平衡位置，而且正是在G1作用下摆球才能回到平衡位置。（此处可以再复习平衡位置与回复力的关系：平衡位置是回复力为零的位置。）因此G1就是摆球的回复力。回复力怎么表示？由单摆的回复力的表达式能否看出单摆的振动是简谐运动？书上已给出了具体的推导过程，其中用到了两个近似：（1）sinα≈α；（2）在小角度下AO直线与AO弧线近似相等。这两个近似成立的条件是摆角很小，α＜5°。（见附表，打印在投影片上。）由投影片我们可知α在5°之内，并且以弧度为角度单位，sinα≈α。
在分析了推导过程后，给出结论：α＜5°的情况下，单摆的回复力为
满足简谐运动的条件，即物体在大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反的回复力作用下的振动，为简谐运动。所以，当α＜5°时，单摆振动是一种简谐运动。
2．单摆振动是简谐运动
特征：回复力大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反。
但这个回复力的得到并不是无条件的，一定是在摆角α＜5°时，单摆振动回复力才具有这个特征。这也就是单摆振动是简谐运动的条件。
条件：摆角α＜5°。
前面我们所学简谐运动是以弹簧振子系统为例，单摆振动和弹簧振子不同，从回复力上说，虽然都具有同一特征，却由不同的力来提供。弹簧振子回复力由合力提供，而单摆则是由重力的一个分力来提供回复力。这是回复力不同，那么其他方面，还有没有不同呢？我们在学习弹簧振子做简谐运动时，还提到过弹簧振子系统周期与振幅无关，那么单摆的周期和振幅有没有关系呢？下面我们做个实验来看一看。
3．单摆的周期
要研究周期和振幅有没有关系，其他条件就应不变。这里有两个单摆（展示单摆），摆长相同，摆球质量不同，这会不会影响实验结果呢？也就是单摆的周期和摆球的质量有没有关？那么就先来看一下质量不同，摆长和振幅相同，单摆振动周期是不是相同。
[演示1]将摆长相同，质量不同的摆球拉到同一高度释放。
现象：两摆球摆动是同步的，即说明单摆的周期与摆球质量无关，不会受影响。
那么就可以用这两个单摆去研究周期和振幅的关系了，在做之前还要明确一点，振幅是不是可任意取？这个实验主要是为研究属于简谐运动的单摆振动的周期，所以摆角不要超过5°。
[演示2]摆角小于5°的情况下，把两个摆球从不同高度释放。
现象：摆球同步振动，说明单摆振动的周期和振幅无关。
刚才做过的两个演示实验，证实了单摆振动周期和摆球质量、振幅无关，那么周期和什么有关？由前所说这两个摆摆长相等，如果L不等，改变了这个条件会不会影响周期？
[演示3]
取摆长不同，两个摆球从某一高度同时释放，注意要α＜5°。
现象：两摆振动不同步，而且摆长越长，振动就越慢。这说明单摆振动和摆长有关。具体有什么关系呢？经过一系列的理论推导和证明得到周期公式：
同时这个公式的提出，也是在单摆振动是简谐运动的前提下，即满足摆角α＜5°。
条件：摆角α＜5°
且我们还可以根据这个周期公式测某地的重力加速度，由公式可知只要测出单摆的摆长、周期，就可以得到单摆所在地的重力加速度。
提问：由以上演示实验和周期公式，我们可知道周期与哪些因素有关，与哪些因素无关？
答：周期与摆长和重力加速度有关，而与振幅和质量无关。
单摆周期的这种与振幅无关的性质，叫做等时性。单摆的等时性是由伽利略首先发现的。（此处可以讲一下伽利略发现单摆等时性的小故事。）钟摆的摆动就具有这种性质，摆钟也是根据这个原理制成的，据说这种等时性最早是由伽利略从教堂的灯的摆动发现的。如果条件改变了，比如说（拿出摆钟展示）这个钟走得慢了，那么就要把摆长调整一下，应缩短L，使T减小；如果这个钟在北京走得好好的，带到广州去会怎么样？由于广州g小于北京的g值，所以T变大，钟也会走慢；同样，把钟带到月球上钟也会变慢。
（三）课堂小结
§11－5 外力作用下的振动
【教学目标】
一、知识目标
1.知道什么是受迫振动，知道受迫振动的频率等于驱动力的频率.
2.知道什么是共振以及发生共振的条件.
3.知道共振的应用和防止的实例.
二、能力目标
1.通过分析实际例子，得到什么是受迫振动和共振现象，培养学生联系实际，提高观察和分析能力.
2.了解共振在实际中的应用和防止，提高理论联系实际的能力.
三、德育目标
1.通过共振的应用和防止的教学，渗透一分为二的观点.
2.通过共振产生条件的教学，认识内因和外因的关系.
【教学重点】
1.什么是受迫振动.
2.什么是共振及产生共振的条件.
【教学难点】
1.物体发生共振决定于驱动力的频率与物体固有频率的关系，与驱动力大小无关.
2.当f驱＝ｆ固时，物体做受迫振动的振幅最大.
【教学过程】
一、导入新课
1.什么是阻尼振动?
学生答：
实际的振动系统不可避免地要受到摩擦阻力和其他因素的影响，系统的机械能损耗，导致振动完全停止，这类振动叫阻尼振动.
2.引入：同学们，我们知道，物体之所以做阻尼振动，是由于机械能在损耗，那么如果在机械能损耗的同时我们不断地给它补充能量物体的振动情形又如何呢?本节课我们来研究有关的问题.
二、新课教学
1.受迫振动
(1)演示，用右图所示的实验装置
①向下拉一下振子，观察它的振动情况.
②学生答：振子做的是阻尼振动.
③请一位同学匀速转动把手，观察振动物体的振动情形和刚才有什么不同?
学生答：刚才振子振动一会就停下来，而现在振子能够持续地振动下去.
教师问：使振子能够持续振动下去的原因是什么?
学生答：是把手给了振动系统一个周期性的力的作用.
(2)通过上述演示分析后，教师总结并板书
①作用于振动系统，使系统能持续地振动下去的外力叫驱动力.
②物体在外界驱动力作用下所做的振动叫受迫振动.
(3)教师问：如果我们给系统施加一作用时间很短的驱动力，系统能持续地振动下去吗?
学生讨论后得到
要想使物体能持续地振动下去，必须给振动系统施加一个周期性的驱动力作用.
(4)同学们想一想：有哪些物体做的是受迫振动?
学生答：发动机正在运转时汽车本身的振动；正在发声的扬声器纸盒的振动；飞机从房屋上飞过时窗玻璃的振动；我们听到声音时耳膜的振动等.
教师对学生进行激励评价，提醒学生要注意多观察生活，并把学到的物理知识联系实际加以应用.
(5)多媒体展示几个受迫振动的实例
①电磁打点计时器的振针；
②工作时缝纫机的振针；
③扬声器的纸盒；
④跳水比赛时，人在跳板上走过时，跳板的振动；
⑤机器底座在机器运转时发生的振动.
(6)教师讲：通过刚才的学习，我们知道物体在周期性的驱动力作用下所做的振动叫受迫振动；那么周期性作用的驱动力的频率、受迫振动的频率、系统的固有频率之间有什么关系呢?
①还以上图中的装置进行如下演示：
用不同的转速分别匀速地转动把手，观察振子的振动快慢情况.
②学生叙述观察到的现象：
当把手转速小时，振子振动较慢；
当把手转速大时，振子振动较快.
③定性总结：物体做受迫振动时，振子振动的快慢随驱动力变化的快慢而变化.
(7)教师：经过定量实验证明
①物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率.
②受迫振动的频率跟物体的固有频率没有关系.
2.共振
过渡引言：受迫振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关，但是如果驱动力的频率接近或等于物体的固有频率时又会发生什么现象呢?
(1)演示实验(二)
①介绍右图所示的共振演示仪
在一根张紧的绳子ab上挂了几个摆，其中A、B、C的摆长相等.
②演示：先让A摆摆动，观察在摆动稳定后的现象.③学生描述看到
的现象.
A摆动起来后，B、C、D、E也随之摆动，但是它们摆动的振幅不
同，A、B、C摆动的振幅差不多，而D摆动的振幅最小.
(2)出示分析思考题
a:A、B、C摆长相同，意味着它们的固有频率有什么关系?根据是什么?
b:B、C、D、E做的是什么振动?若是受迫振动，驱动力由什么提供?
c:据观察到的现象可得到什么结论?
(3)学生讨论后回答
①据和得到，A、B、C三摆的固有频率相同.
②B、C、D、E做的是受迫振动，它们的驱动力都是由先摆起来的A摆提供的.
③据实验现象得到：驱动力的频率f ′等于振动物体的固有频率f′时，振幅最大，驱动力的频率跟固有频率f′相差越大，振幅越小.
(4)教师讲：通过上述实验，我们得到：受迫振动的振幅A与驱动力的f及振动物体的固有频率之间的关系有关，它们之间的这种关系可用图象来表示：这个图象叫共振曲线.
①用多媒体出示共振曲线
a:学生叙述坐标轴代表的物理量.
纵轴：表示受迫振动的振幅.
横轴：表示驱动力的频率.
b:据图象特点，学生叙述受迫振动的振幅、驱动力的频率、物体的固有
频率之间的关系.
当驱动力频率等于物体固有频率时，物体振幅最大，驱动力频率与固有
频率相差越大，物体的振幅越小.
②教师总结并板书
驱动力的频率接近物体的固有频率时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振.
(5)演示：
①介绍实验用具：两个频率相同的带有共鸣箱的音叉，放在实验台上.
②先用小槌打击音叉A的叉股，使它发声，过一会儿，用手按住音叉A的叉股，使A停止发声，学生描述产生的现象.
可以听到没被敲响的音叉发出了声音.
③在音叉的叉股上套上一个套管，重新做步骤②，学生描述产生的现象.
听不到音叉B发出的声音了.
(6)学生阅读课文，得到产生上述现象的原因
音叉A的叉股被敲时发生振动，在空气中激起声波，声波传到音叉B，给音叉B以周期性的驱动力.
①第一次实验时，A、B的固有频率相同，符合产生共振的条件，于是B的振幅最大，就可以听到B发出的声音.
②第二次实验时，由于给B的音叉套上了套管，使A、B的固有频率不再相同，此时B不能产生共振，发出的声音很小，甚至听不到.
(7)学生回答
①什么是声音的共鸣?——(声音的共振现象叫共鸣)
②共鸣箱所起的作用是什么?——使音叉的声音加强.
3.共振的应用和防止
(1)学生阅读课文，总结共振的应用和防止的实例.
(2)学生回答：
应用的实例：共振筛、音箱.
防止的实例：火车过桥慢开，控制机器的转速等.
(3)多媒体展示几个实例：
①应用的实例：
a:小提琴、二胡等乐器设置共鸣箱.
b:建筑工地上浇铸混凝土时使用的振捣器.
c:粒料分离时使用的共振筛.
②防止的实例：
a:军队或火车过桥时要放慢速度或便步走.
b:轮船航行时要看波浪的打击方向而改变轮船的航向和速度.
c:机器运转时为了防止共振要调节转速.
(4)学生通过上述实例分析，回答：
①利用共振时，应如何去做?——(利用共振时，应使驱动力的频率接近或等于物体的固有频率)
②防止共振时，应如何做?——(在需要防止共振时，应使驱动力的频率与振动物体的固有频率不同，而且相差越大越好.)
中要防止共振?
四、小结
用实物投影仪进行小结：
1.物体在外界驱动力作用下所做的振动叫受迫振动.受迫振动的频率取决于驱动力的频率；
2.共振是受迫振动的特殊情况，共振是当驱动力的频率等于物体固有频率时，受迫振动的振幅最大的现象.
3.共振在实际中的应用，往往是利用共振振幅大的特点，但有时也要防止发生共振，避免产生有害后果.
五、教学后记：
大学物理A第九章 简谐振动
第九章 简谐振动 填空题（每空3分） 质点作简谐振动，当位移等于振幅一半时，动能与势能的比值为 ，位移等于 时，动能与势能相等。（3:1,2A ） 9-2两个谐振动方程为()120.03cos (),0.04cos 2()x t m x t m ωωπ==+则它们的合振幅为 。（0.05m ） 9-3两个同方向同频率的简谐振动的表达式分别为X 1=×10-2cos(T π2t+4 π ) (SI) , X 2=×10-2cos(T π2t -43π) (SI) ,则其合振动的表达式为______(SI).( X=×10-2cos(T π2t+4 π ) (SI)) 9-4一质点作周期为T 、振幅为A 的简谐振动，质点由平衡位置运动到2 A 处所需要的最短时间为_________。（ 12 T ） 9-5 有两个同方向同频率的简谐振动，其表达式分别为 )4 cos(1π ω+ =t A x m 、 )4 3 cos(32πω+=t A x m ，则合振动的振幅为 。(2 A) 9-6 已知一质点作周期为T 、振幅为A 的简谐振动，质点由正向最大位移处运动到2 A 处所需要的最短时间为_________。 ( 6 T ) 9-7有两个同方向同频率的简谐振动，其表达式分别为 )75.010cos(03.01π+=t x m 、)25.010cos(04.02π-=t x m ，则合振动的振幅为 。 （0.01m ） 质量0.10m kg =的物体，以振幅21.010m -?作简谐振动，其最大加速度为2 4.0m s -?，通过平衡 位置时的动能为 ；振动周期是 。(-3 2.010,10s J π?) 9-9一物体作简谐振动，当它处于正向位移一半处，且向平衡位置运动，则在该位置时的相位为 ；在该位置，势能和动能的比值为 。（3π） 9-10质量为0.1kg 的物体，以振幅21.010m -?作谐振动，其最大加速度为14.0m s -?，则通过最大位移处的势能为 。（3210J -?） 9-11一质点做谐振动，其振动方程为6cos(4)x t ππ=+（SI ），则其周期为 。
RLC联谐振频率及其计算公式
RLC串联谐振频率及其计算公式串联谐振是指所研究的串联电路部分的电压和电流达到同相位,即电路中电感的感抗和电容的容抗在数值上时相等的,从而使所研究电路呈现纯电阻特性,在给定端电压的情况下,所研究的电路中将出现最大电流,电路中消耗的有功功率也最大. 1. 谐振定义：电路中L、C 两组件之能量相等，当能量由电路中某一电抗组件释 出时，且另一电抗组件必吸收相同之能量，即此两电抗组件间会产生一能量脉动。 2. 电路欲产生谐振，必须具备有电感器L及电容器C 两组件。 3. 谐振时其所对应之频率为谐振频率(resonance)，或称共振频率，以f r表示之。 4. 串联谐振电路之条件如图1所示：当Q=Q ?I2X L = I2 X C也就是X L =X C时，为R-L-C串联电路产生谐振之条件。
图1 串联谐振电路图 5. 串联谐振电路之特性： (1) 电路阻抗最小且为纯电阻。即 Z =R+jX L?jX C=R (2) 电路电流为最大。即 (3) 电路功率因子为1。即 (4) 电路平均功率最大。即P=I2R (5) 电路总虚功率为零。即Q L=Q C?Q T=Q L?Q C=0 6. 串联谐振电路之频率： (1) 公式： (2) R - L -C串联电路欲产生谐振时，可调整电源频率f 、电感器L 或电容器C 使其达到谐振频率f r，而与电阻R完全无关。
7. 串联谐振电路之质量因子： (1) 定义：电感器或电容器在谐振时产生的电抗功率与电阻器消耗的平均功率 之比，称为谐振时之品质因子。 (2) 公式： (3) 品质因子Q值愈大表示电路对谐振时之响应愈佳。一般Q值在10～100 之 间。 8. 串联谐振电路阻抗与频率之关系如图(2)所示： (1) 电阻R 与频率无关，系一常数，故为一横线。 (2) 电感抗X L=2 πfL ，与频率成正比，故为一斜线。 (3) 电容抗与频率成反比，故为一曲线。 (4) 阻抗Z = R+ j(X L?X C) 当 f = f r时， Z = R 为最小值，电路为电阻性。
简谐运动的动力学条件和周期公式的推导
简谐运动的动力学条件和周期公式的推导 [摘要]：本文从简谐运动的概念出发， 用数学知识，推理出了简谐运动的动力学条件及弹簧振子的周期公式、单摆做小角度摆动的周期。从逻辑上对机械振动一章的知识有了一 个整体的认识。 [关键词]：简谐运动，动力学条件，周期公式，弹簧振子，单摆 [正文] 课程标准实验教科书《物理》3—4第十一章从运动学的角度对简谐运动进行了定义，恰好从数学课上学生也学到了关于导数的知识。这就为构造简谐运动的逻辑提供了条件，通过这样的一个逻辑构造，可以让学生体会数学在物理学中的应用。同时，也可以让学生充分体会物理学逻辑上的统一美。激发学生学习物理，从理论上探究物理问题的兴趣和决心。 如果质点的位移与时间的关系遵从正弦的规律，即它的振动图象（ x —t 图象）是一条正弦，这样的运动叫做简谐运动。 由定义可知，质点的位移时间关系为t A x sin ………………（1）对时间求导数可得速度随时间变化的规律：t A dt dx v cos ………………（2）再次对埋单求导数可得加速度随时间变化的规律：t A dt dv a sin 2 (3) 由牛顿第二定律可知，质点受到的合力为： ma F ………………（4）由（3）（4）可知： t mA F sin 2 (5) 将（1）式代入（5）式可得： x m F 2..................（6）上式中，m 和都是常数，从而可以写成下面的形式kx F (7) 其中2m k ，至此得到了质点做简谐运动的动力学条件：质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置。 对于的弹簧振子来说，（7）式中的k 表示弹簧的劲度系数，对比（6）式可知k m 2，
单摆作简谐运动的周期公式可以应用简谐运动周期公式推出
单摆作简谐运动的周期公式可以应用简谐运动周期公式 推出。 可以看出：单 摆的振动周期 跟摆长的平方 根成正比，跟 该处重力加速 度的平方根成 反比。 单摆的 这就是单摆的振动周期公式，是荷兰物理学家惠更斯最早确定的。这个公式只适用于单摆最大偏 角很小的情况。 当最大偏角增大时，振幅随之增大，单摆的周期也将增大。下表是单摆的偏角增大时实际周期与简谐振动周期的比值的变化情况。
显然，最大偏角越小， 应用公式计算的周期 值与实际周期越相 符。当最大偏角为5° 时，误差为万分之五， 10°时误差为万分 之十九，将近千分之 二，30°时误差就接 近百分之二了。 这说明单摆的摆角很 小时，它的实际周期 就近似等于简谐振动 周期 周期为2秒的单摆叫做秒摆。 由于重力加速度跟地球的纬度与距地心的高 度有关，所以世界各地秒摆都有些差异。 若重力加速度g取9.8m·s -2 则秒摆摆长为l=0.993m。 秒摆 重力加速度一、首先是与地球的因素有关，如： 1、物体处在地面的位置。 如，由于地球自转的原因，重力是地球对物体万有引力的一个分力，还有一个分力是供给物体绕地球自转所需要的向心力。 1）赤道处物体，随地球转动的线速度大，需要的向心力大，则分得的重力小，重力加速度就小。 2）向两极位置去时，物体的随地球转动的线速度变小，需要的向心力变小，则分得的重力重力变大，重力加速度就变大。 3）到极点时，物体的随地球转动的线速度最小，需要的向心力最小，则分得的重力最大，
重力加速度就最大。 2、物体离地面的高度，越高，重力加速度越小，因为重力是地球对物体万有引力的一个分力，而且这个万有引力的主要分量就是重力，万有引力的大小与距离的平方成反比，物体离地面越高，物体与地球中心的距离越大，万有引力越小，重力就越小，所以加速度越小； 3、如果是地面打的一个深洞，则越深，重力加速度越小，物体处于地球中心时，理论上说重力加速度是“0”这是根据理论力学的原理得到的。 二、与外来星体的吸引力有关，如太阳、月亮对地球的吸引，使得物体受的重力减小，使重力加速度变小。
高三物理简谐运动的公式描述.docx
简谐运动的公式描述教案 教学目标 1．知识与技能 (1)会用描点法画出简谐运动的运动图象． (2)知道振动图象的物理含义，知道简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线． (3)了解替代法学习简谐运动的位移公式的意义． (4) 知道简谐运动的位移公式为x=A sin （ωt＋），了解简谐运动位移公式中各量的物 理含义． (5) 了解位相、位相差的物理意义． (6) 能根据图象知道振动的振幅、周期和频率、位相． 2．过程与方法 (1) 通过“讨论与交流”匀速圆周运动在Ⅳ方向的投影与教材表1— 3— 1 中数据的 比较，并描出z— t 函数曲线，判断其结果，使学生获知匀速圆周运动在x 方向的投影和简谐运动的图象一样，是一条正弦或余弦曲线． (2)通过用参考圆替代法学习简谐运动的位移公式和位相，使学生懂得化难为易 以及应用已学的知识解决问题． (3)通过课堂讲解习题，可以巩固教学的知识点与清晰理解重点与难点． 3．情感、态度与价值观 (1)通过本节的学习，培养学生学会用已学的知识使难题化难为易、化繁为简， 科学地寻找解决问题的方法． (2)培养学生合作学习、探究自主学习的学习习惯． ●教学重点 ,难点 1.简谐运动位移公式x=Asin（ω t ＋）的推导 2.相位 , 相位差的物理意义 .. ●教学过程 教师讲授 简谐振动的旋转矢量法 。y 在平面上作一坐标轴 OX，由原点 O 作一长度等于振幅的矢量 A t=0 ,矢量与坐标轴的夹角等于初相 矢量 A 以角速度w 逆时针作匀速圆周运动， 研究端点M 在 x 轴上投影点的运动， 1.M 点在 x 轴上投影点的运动 x=Asin（ω t＋）为简谐振动。 x 代表质点对于平衡位置的位移，t 代表时间，简谐运动的三角函数表示 回答下列问题 a:公式中的 A 代表什么 ? b:ω叫做什么 ?它和 f 之间有什么关系? c:公式中的相位用什么来表示? d:什么叫简谐振动的初相? M A t M 0 o x P x
简谐运动位移公式推导
简谐运动位移公式推导 问题：质量为m的系于一端固定的轻弹簧（弹簧质量可不计）的自由端。如图（a）所示， 将物体略向右移，在弹簧力作用下，若接触面光滑，m物体将作往复运动，试求位移x与时间t的函数关系式。 图（a） 分析：m物体在弹力F的作用下运动，显然位移X与弹力F有关，进而由弹簧联想起胡克定律，但结果只有位移与时间，故要把弹力F替换成关于X与t的量，再求解该微分方程。 推导：取物体平衡位置O为坐标原点,物体运动轨迹为X轴，向右为正。设弹力为F, 由胡克定律F=?kX,K为劲度系数，负号表示力与位移方向相反。 根据牛顿第二定律，m物体加速度a=dv dt =d2X dt2 =F m =-k m x(1) 可令k m =ω2 代入（a）,得 d2X dt2=?ω2X或d2X dt2 +ω2X=0 显然，想求出位移X与时间t的函数关系式，须解出此微分方程
求解：对于d2X dt 2+ω2X=0，即X ’’+ ω2X=0 (4) (4)式属可将阶的二阶微分方程， 若设X ’=u ，消去t,就要把把X ”转化为关于X 与t 的函数，那么 X ’’= dX "dt = du dx dx dt =u du dx , u du dx +ω2X=0, u du dx =?ω2X 下面分离变量再求解微分方程，然后两边积分，得 udu =?ω2 Xdx 得 12u 2=? 12ω2 x 2+C ，即u 2=? ω2 x 2+C1 (5) u=x ’,x ’= 2 x 2 =dx dt 再次分离变量， C1? ω2 x 2=dt (7) 两边积分，右边=t ，但左边较为复杂， 经过仔细思考，笔者给出一种求解方法： 运用三角代换，令X= C1ωcos z (7)式左边化为 d cos z ωsin z =?sin zdz ωsin z =-dz ω, 两边积分，得 -–z ω=t+C2 由此可得， X= C1ωcos(ωt+ωC2),
简谐运动周期公式的推导
简谐运动周期公式的推导 【摘要】：本文通过简谐运动与圆周运动的联系，用圆周运动的周期公式推导出了简谐运动周期公式。 【关键辞】：简谐运动、周期、匀速圆周运动、周期公式 【正文】： 考虑弹簧振子在平衡位置附近的简谐运动，如图2所示。它的运动及受力情况和图3所示的情况非常相似。在图3中，O 点是弹性绳（在这里我们设弹性绳的弹力是符合胡克定律的）的原长位置，此点正好位于光滑水平面上。把它在O 点的这一端系上一个小球，然后拉至A 位置由静止放手，小球就会在弹性绳的作用下在水平面上的A 、A ’间作简谐运动。如果我们不是由静止释放小球，而是给小球一个垂直于绳的恰当的初速度，使得小球恰好能在水平面内以O 点为圆心，以OA 长度为半径做匀速圆周运动。那么它在OA 方向的投影运动（即此方向的分运动）与图3中的简谐运动完全相同。证明如下： 首先，两个运动的初初速度均为零（图4中在OA 方向上的分速度为零）。 其次，在对应位置上的受力情况相同。 由上面的两个条件可知这两个运动是完全相同的。 在图4中小球绕O 点转一圈，对应的投影运动（简谐运动）恰好完成一个周期，这两个时间是相等的。因此我们可以通过求圆周运动周期的方法来求简谐运动的周期。 如图5作出图4的俯视图，并建以O 为坐标原点、OA 方向为x 轴正方向建直角坐标图2 图3 图4
系。 则由匀速圆周运动的周期公式可知： ωπ 2=T (1) 其中ω是匀速圆周运动的角速度。 小球圆周运动的向心力由弹性绳的弹力来提供，由牛顿第二定律可知： r m kr 2ω= (2) 式中的r 是小球圆周运动的半径，也是弹性绳的形变量；k 是弹性绳的劲度系数。 由（1）（2）式可得： k m T π 2= 二零一一年三月九日 图5
大学物理振动波动例题习题
精品 振动波动 一、例题 （一）振动 1.证明单摆是简谐振动，给出振动周期及圆频率。 2. 一质点沿x 轴作简谐运动，振幅为12cm ，周期为2s 。当t = 0时, 位移为6cm ，且向x 轴正方向运动。 求: (1) 振动表达式； (2) t = 0.5s 时，质点的位置、速度和加速度； (3)如果在某时刻质点位于x =-0.6cm ，且向x 轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。 3. 已知两同方向，同频率的简谐振动的方程分别为： x 1= 0.05cos (10 t + 0.75π) 20.06cos(100.25)(SI)x t π=+ 求：(1)合振动的初相及振幅. (2)若有另一同方向、同频率的简谐振动x 3 = 0.07cos (10 t +? 3 ), 则当? 3为多少时 x 1 + x 3 的振幅最大?又? 3为多少时 x 2 + x 3的振幅最小? （二）波动 1. 平面简谐波沿x 轴正方向传播，振幅为2 cm ，频率为 50 Hz ，波速为 200 m/s 。在t = 0时，x = 0处的质点正在平衡位置向y 轴正方向运动， 求：(1)波动方程 (2)x = 4 m 处媒质质点振动的表达式及该点在t = 2 s 时的振动速度。 2. 一平面简谐波以速度m/s 8.0=u 沿x 轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。求：（1）原点的振动表达式； （2）波动表达式； （3）同一时刻相距m 1的两点之间的位相差。 3. 两相干波源S 1和S 2的振动方程分别是1cos y A t ω=和2cos(/2)y A t ωπ=+。 S 1距P 点3个波长，S 2距P 点21/4个波长。求：两波在P 点引起的合振动振幅。
简谐运动周期公式的推导
简谐运动周期公式的推导 考虑弹簧振子在平衡位置附近的简谐运动，如图2所示。它的运动及受力情况和图3所示的情况非常相似。在图3中，O 点是弹性绳（在这里我们设弹性绳的弹力是符合胡克定律的）的原长位置，此点正好位于光滑水平面上。把它在O 点的这一端系上一个小球，然后拉至A 位置由静止放手，小球就会在弹性绳的作用下在水平面上的A 、A ’间作简谐运动。如果我们不是由静止释放小球，而是给小球一个垂直于绳的恰当的初速度，使得小球恰好能在水平面内以O 点为圆心，以OA 长度为半径做匀速圆周运动。那么它在OA 方向的投影运动（即此方向的分运动）与图3中的简谐运动完全相同。证明如下： 首先，两个运动的初初速度均为零（图4中在OA 方向上的分速度为零）。 其次，在对应位置上的受力情况相同。 由上面的两个条件可知这两个运动是完全相同的。 在图4中小球绕O 点转一圈，对应的投影运动（简谐运动）恰好完成一个周期，这两个时间是相等的。因此我们可以通过求圆周运动周期的方法来求简谐运动的周期。 如图5作出图4的俯视图，并建以O 为坐标原点、OA 方向为x 轴正方向建直角坐标 系。 图2 图 3 图4
则由匀速圆周运动的周期公式可知： ωπ 2=T (1) 其中ω是匀速圆周运动的角速度。 小球圆周运动的向心力由弹性绳的弹力来提供，由牛顿第二定律可知： r m kr 2ω= (2) 式中的r 是小球圆周运动的半径，也是弹性绳的形变量；k 是弹性绳的劲度系数。 由（1）（2）式可得： k m T π 2= （注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注） 图5
大学物理振动习题含答案
一、选择题： 1．3001：把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为 (A) π (B) π/2 (C) 0 (D) θ ［ ］ 2．3002：两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同。第一个质点的振动方程为x 1 = A cos(ωt + α)。当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处。则第二个质点的振动方程为： (A) )π21cos(2++=αωt A x (B) )π21cos(2-+=αωt A x (C) )π23cos(2-+=αωt A x (D) )cos(2π++=αωt A x ［ ］ 3．3007：一质量为m 的物体挂在劲度系数为k 的轻弹簧下面，振动角频率为ω。若把此弹簧分割成二等份，将物体m 挂在分割后的一根弹簧上，则振动角频率是 (A) 2 ω (B) ω2 (C) 2/ω (D) ω /2 ［ ］ 4．3396：一质点作简谐振动。其运动速度与时间的曲线如图所示。若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初相应为 (A) π/6 (B) 5π/6 (C) -5π/6 (D) -π/6 (E) -2π/3 ［ ］ 5．3552：一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固有振动周期分别为T 1和T 2。将它们拿到月球上去，相应的周期分别为1T '和2T ' 。则有 (A) 11T T >'且22T T >' (B) 11T T <'且22T T <' (C) 11T T ='且22T T =' (D) 11T T ='且22T T >' ［ ］ 6．5178：一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为 )312cos(1042π+π?=-t x (SI)。从t = 0时刻起，到质点位置在x = -2 cm 处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为 (A) s 81 (B) s 61 (C) s 41 (D) s 31 (E) s 21 ［ ］ 7．5179：一弹簧振子，重物的质量为m ，弹簧的劲度系数为k ，该振子作振幅为A 的简谐振动。当重物通过平衡位置且向规定的正方向运动时，开始计时。则其振动方程为： (A) )21/(cos π+=t m k A x (B) )21/cos(π-=t m k A x (C) )π21/(cos +=t k m A x (D) )21/cos(π-=t k m A x (E) t m /k A x cos = ［ ］ v 21
第一章第三节 简谐运动的公式描述
1-3简谐运动的公式描述（选修3-4） 教材分析：这节课的内容标准主要是用公式和图像描述简谐运动，与前两节一起完成《课程标准》中对简谐运动的要求，即“通过观察与分析，理解简谐运动的特征”。本节的内容比较抽象，过去的教学安排是从简谐运动的回复力出发，直接给出简谐运动的运动图像，现在不仅增加了简谐运动的运动公式，并且增加了运用参考圆得出简谐运动的位移公式以及各个量的物理意义的过程，并讨论公式的x-t 图像中表示，难度是比较大的。教学中应注意将教学难点分散，逐层进行教学，多采取学生动手练习、讨论和启发式讲述的方法，同时设计配套课件，节约一定时间，提高直观性。 教学目标： 1．知识与技能 (1)会用描点法画出简谐运动的运动图像。 (2)知道振动图象的物理含义，知道简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线。 (3)了解替代法学习简谐运动的位移公式的意义。 (4)知道简谐运动的位移公式为）（?ω+=t A x cos ，了解简谐运动位移公式中各 量的物理含义。 (5)了解位相、位相差的物理意义。 (6)能根据图像知道振动的振幅、周期和频率、位相。 2．过程与方法 (1)通过“讨论与交流”匀速圆周运动在“方向的投影与教材中给出的数据比较，描出x-t 函数曲线，判断其结果，使学生获知匀速圆周运动在x 方向的投影和简谐运动的图像一样，是一条正弦或余弦曲线． (2)通过用参考圆替代法学习简谐运动的位移公式和位相，使学生懂得化难为易以及应用已学的知识解决问题。 (3)通过课堂讲解习题，可以巩固教学的知识点与清晰理解重点与难点。 3．情感、态度与价值观 (1)通过本节的学习，培养学生学会用已学的知识使难题化难为易、化繁为简，科学地寻找解决问题的方法。 (2)培养学生合作学习、探究自主学习的学习习惯。 重难点分析： 1、得出简谐运动的位移公式、x-t 图象是重点。 2、运用参考圆来分析和理解简谐运动及图象，对各量的理解是难点。 教学过程： 1、复习回顾：简谐运动最基本的特征？（周期性） 2、提出问题：简谐运动的位移是如何随时间的变化做周期性变化的？ 3、引导学生分析讨论得到简谐运动的运动公式。 （1）给出用频闪照相的方法得到的一组简谐运动的位移x 随时间t 变化的数据，引导学生找出大致规律。 （2）讲述分析参考圆的方法。
大学物理复习题(附答案)
第9章 振动学基础 复习题 1.已知质点的振动方程为)cos( ?ω+=t A x ，当时间4 T t =时 (T 为周期)，质点的振动速度为: （A ）?ωsin A v -= （B ）?ωsin A v = （C ）?ωcos A v = （D ）?ωcos A v -= 2．两个分振动的位相差为2π时，合振动的振幅是： A.A 1+A 2; B.| A 1-A 2| C.在.A 1+A 2和| A 1-A 2|之间 D.无法确定 3．一个做简谐运动的物体，在水平方向运动，振幅为8cm ，周期为0.50s 。t =0时，物体位于离平衡位置4cm 处向正方向运动，则简谐运动方程为 . 4.一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为 )3 2cos(10 42 π π+ ?=-t x m 。从t = 0时刻起， 到质点位置在x = -2 cm 处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为 . 5．一个简谐振动在t=0时位于离平衡位置6cm 处，速度v =0，振动的周期为2s ，则简谐振动的振动方程为 . 6.一质点作谐振动，周期为T ，当它由平衡位置向 x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为 . 7.一个质量为0.20kg 的物体作简谐振动，其振动方程为)2 5cos(6.0π -=t x m ，当振动动 能和势能相等时振动物体的位置在 A ．3.0±m B ．35.0± m C ．42.0±m D ．0 8．某质点参与)4 3cos(41π π+ =t x cm 和)4 3cos(32π π- =t x cm 两个同方向振动的简谐 振动，其合振动的振幅为 9. 某质点参与)2 2cos(101π π+ =t x cm 和)2 2cos(41π π- =t x cm 两个同方向振动的简谐 运动，其合振动的振幅为 ; 10．一个作简谐振动的物体的振动方程为cm t s )3 cos(12π π-=,当此物体由cm s 12-=处 回到平衡位置所需要的最短时间为 。 11.一个质点在一个使它返回平衡位置的力的作用下，它是否一定作简谐运动？ 12.简谐振动的周期由什么确定？与初始条件有关吗？ 14. 两个同方向同频率的简谐振动合成后合振动的振幅由哪些因素决定？ 15.两个同方向不同频率的简谐振动合成后合振动是否为简谐振动？ 教材习题 P/223: 9-1，9-2，9-3，9-4 9-10，9-12，9-18
RLC串联谐振频率及其计算公式
R L C串联谐振频率及其计算公式 2009-04-21 09:51 串联谐振是指所研究的串联电路部分的电压和电流达到同相位,即电路中电感的感抗和电容的容抗在数值上时相等的,从而使所研究电路呈现纯电阻特性,在给定端电压的情况下,所研究的电路中将出现最大电流,电路中消耗的有功功率也最大. 1. 谐振定义：电路中L、C 两组件之能量相等，当能量由电路中某一电抗组件释 出时，且另一电抗组件必吸收相同之能量，即此两电抗组件间会产生一能量脉动。 2. 电路欲产生谐振，必须具备有电感器L及电容器C 两组件。 3. 谐振时其所对应之频率为谐振频率(resonance)，或称共振频率，以f r表示之。 4. 串联谐振电路之条件如图1所示：当Q=Q I2X L = I2 X C也就是 X L =X C 时，为R-L-C 串联电路产生谐振之条件。 图1 串联谐振电路图 5. 串联谐振电路之特性： (1) 电路阻抗最小且为纯电阻。即Z =R+jX L jX C=R (2) 电路电流为最大。即 (3) 电路功率因子为1。即 (4) 电路平均功率最大。即P=I2R (5) 电路总虚功率为零。即Q L=Q C Q T=Q L Q C=0 6. 串联谐振电路之频率： (1) 公式：
(2) R - L -C 串联电路欲产生谐振时，可调整电源频率f 、电感器L 或电容器C 使其达到谐振频率f r ，而与电阻R完全无关。 7. 串联谐振电路之质量因子： (1) 定义：电感器或电容器在谐振时产生的电抗功率与电阻器消耗的平均功率 之比，称为谐振时之品质因子。 (2) 公式： (3) 品质因子Q值愈大表示电路对谐振时之响应愈佳。一般Q值在10～100 之间。 8. 串联谐振电路阻抗与频率之关系如图(2)所示： (1) 电阻R 与频率无关，系一常数，故为一横线。 (2) 电感抗X L=2 π fL ，与频率成正比，故为一斜线。 (3) 电容抗与频率成反比，故为一曲线。 (4) 阻抗Z = R+ j(X L X C) 当 f = f r时，Z = R 为最小值，电路为电阻性。 当f ＞f r时，X L＞X C，电路为电感性。
物理竞赛中简谐运动周期的四种求法
物理竞赛中简谐运动周期的四种求法 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
物理竞赛中简谐运动周期的四种求法 物理竞赛中在解决简谐运动问题时，经常会涉及周期的求解。本文通过具体实例，介绍物理竞赛中简谐运动周期的四种求法。 一、周期公式法 由简谐运动的周期公式可知，运用周期公式求周期的关键是求出回复力系数 k。通常情况下，可以通过两种途径求出回复力系数。一是通过对简谐运动物体进行受力分析求出回复力，然后根据物体简谐运动时回复力大小的特征F=kx，找到回复力F与位移x的关系求出回复力系数k；二是通过求简谐运动物体在位移为x时的势能，然后根据物体做简谐运动时势能的关系求出回复力数k。 例1如图1所示，摆球质量为m，凹形滑块质量为M，摆长为L，m与M、M与水平面之间光滑，求摆线偏转很小角度，从静止释放后，系统振动的周期。 图1分析与解由于摆球m周期与整个系统运动周期相等，因此系统振动的周期可以通过求摆球m周期来求出。 凹形滑块M受到水平地面的支持力、重力 G=Mg及m对M的水平作用的作用（图2），由于 M只能在水平面上滑动，因此M沿水平面做往复运动时受到的回复力可表示为：(1) 对摆球m进行受力分析（图3），可得到下列关系式： (2)
例2如图4所示，横截面积为S，粗细均匀的U形管中灌有密度为ρ，质量为m 的水银，现在将B管管口用塞子密封后加热，由于封在B管中空气的膨胀，使水银面在A管内上升，若此时将B管口的塞子拔去，那么水银做简谐运动的周期是多少？ 图4 分析与解设A、B两管液面相平时为水银柱的零势能位置，则当B管中水银面距两管液面相平时的液面高度为x时，整个水银柱具有的势能为 。 二、刚体角加速度法 绕定轴转动的刚体的角加速度和外力的关系应遵循刚体定轴转动定律：即刚体所受的对于某一固定转轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩
选修3-4 第2讲 简谐运动的公式描述
选修3-4 第2讲简谐运动的公式描述 1．以振幅值为半径做一个参考圆，一个小球在此参考圆上做匀速圆周运动，周期为12t0，把圆周分成12等分，测量圆周上每一个等分点在水平轴上的投影，描出过点t0、2 t0、3 t0、…12 t0的曲线。 2．匀速圆周运动在x轴上的投影和简谐运动图像一样，是余弦或正弦曲线。物体做匀速圆周运动，设半径为A，周期为T，质点从x1开始运动，则其在t时刻在x轴上的投影为。 式中w就是简谐运动所对应匀速圆周运动的角速度，在研究简谐运动时，称之为圆频率（或角频率）。 3．如果圆周运动的质点在t=0时刻从x7位置开始运动，则t时刻在x轴上的投影刚好与图1-3-2的曲线大小相等，方向相反，称之为反相，或者称这两种振动的相位差相反，也称相位差等于，数学公式为。 4．如果t=0时刻，质点的运动不是从x7开始，而是由任意一个角度开始，则应该写为：，叫做简谐运动在t时刻的相位，由于时间t
是变量，所以相位也在变化，是t=0时的相位叫做初相。相位每增加，振子完成一次全振动。相位从0变到，需要的时间。 5．对于频率、振幅相同，相位不同的振子，我们常通过相位差来比较它们，相位差用表示，有：。 当相位差为时，振动相差的时间为。 6．如图，一辆玩具电动车在一水平面上做匀速圆周运动，在同一水平面上放置一台幻灯机，灯光水平照射在这量小车上，小车运动时在墙壁的投影正好和弹簧振子做简谐运动的情景相似。 设小车沿半径为A的圆周做匀速圆周运动，其角速度为w，则 向心力F= 。 F在水平方向的投影Fx= 。式中负号表示Fx与坐标x轴的正方向相反。由几何关系知x= 。 于是有Fx= 。 由于m、w都有确定的值，mw2可以用一个常数k表示，k=mw2， 上式可写成：Fx= 。与弹簧振子做简谐运动的力相同。 由此可知，做匀速圆周运动的物体在直径方向的投影正好与弹簧振子做简谐运动的情景完全相同，并且w= 。 简谐运动的振动周期与物体做匀速圆周运动周期相等，所以T== 。
大学物理A第九章 简谐振动
第九章 简谐振动 一、填空题（每空3分） 9-1 质点作简谐振动，当位移等于振幅一半时，动能与势能的比值为 ，位移等于 时，动能与势能相等。（3:1,2A ） 9-2两个谐振动方程为()120.03cos (),0.04cos 2()x t m x t m ωωπ==+则它们的合振幅为 。（0.05m ） 9-3两个同方向同频率的简谐振动的表达式分别为X 1=6.0×10-2 cos( T π2t+4 π ) (SI) , X 2=4.0×10-2cos(T π2t -4 3π ) (SI) ,则其合振动的表达式为______(SI).( X=2.0× 10-2cos( T π2t+4 π ) (SI)) 9-4一质点作周期为T 、振幅为A 的简谐振动，质点由平衡位置运动到2 A 处所需要的最短时间为_________。（ 12 T ） 9-5 有两个同方向同频率的简谐振动，其表达式分别为 )4 cos(1π ω+ =t A x m 、 )4 3 cos(32πω+=t A x m ，则合振动的振幅为 。(2 A) 9-6 已知一质点作周期为T 、振幅为A 的简谐振动，质点由正向最大位移处运动到2 A 处所需要的最短时间为_________。 ( 6 T ) 9-7有两个同方向同频率的简谐振动，其表达式分别为 )75.010cos(03.01π+=t x m 、 )25.010cos(04.02π-=t x m ，则合振动的振幅为 。 （0.01m ） 9-8 质量0.10m kg =的物体，以振幅21.010m -?作简谐振动，其最大加速度为2 4.0m s -?，通过平衡位置时的动能为 ；振动周期是 。(-3 2.010,10s J π?) 9-9一物体作简谐振动，当它处于正向位移一半处，且向平衡位置运动，则在该位置时的相位为 ；在该位置，势能和动能的比值为 。（3,1:3π） 9-10质量为0.1kg 的物体，以振幅21.010m -?作谐振动，其最大加速度为14.0m s -?，则通过最
物理竞赛中简谐运动周期的四种求法
物理竞赛中简谐运动周期的四种求法 物理竞赛中在解决简谐运动问题时，经常会涉及周期的求解。本文通过具体实例，介绍物理竞赛中简谐运动周期的四种求法。 一、周期公式法 由简谐运动的周期公式可知，运用周期公式求周期的关键是求出回复力系数 k。通常情况下，可以通过两种途径求出回复力系数。一是通过对简谐运动物体进行受力分析求出回复力，然后根据物体简谐运动时回复力大小的特征F=kx，找到回复力F与位移x的关系求出回复力系数k；二是通过求简谐运动物体在位移为x时的势能，然后根据物体做简谐运动时势能的关系求出回复力数k。 例1 如图1所示，摆球质量为m，凹形滑块质量为M，摆长为L，m与M、M 与水平面之间光滑，求摆线偏转很小角度，从静止释放后，系统振动的周期。 图1分析与解由于摆球m周期与整个系统运动周期相等，因此系统振动的周期可以通过求摆球m周期来求出。 凹形滑块M受到水平地面的支持力、重力 G=Mg及m对M的水平作用的作用（图2），由于 M只能在水平面上滑动，因此M沿水平面做往复运动时受到的回复力 (1) 对摆球m进行受力分析（图3），可得到下列关系式：
(2) 例2 如图4所示，横截面积为S，粗细均匀的U形管中灌有密度为ρ，质量为m 的水银，现在将B管管口用塞子密封后加热，由于封在B管中空气的膨胀，使水银面在A管内上升，若此时将B管口的塞子拔去，那么水银做简谐运动的周期是多少？ 图4 分析与解设A、B两管液面相平时为水银柱的零势能位置，则当B管中水银面距两管液面相平时的液面高度为x时，整个水银柱具有的势能为 。 二、刚体角加速度法
绕定轴转动的刚体的角加速度和外力的关系应遵循刚体定轴转动定律：即刚体所受的对于某一固定转轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩 作用下所获得的角加速度的乘积。采用这种方法时，往往通过刚体定轴转动定律求出刚体转动的角加速度，然后根据加速度与角加速度的关系求出刚体转动的角速度，从而求出刚体做简谐运动的周期。 例3 如图5所示，质量为m的小球用轻杆悬挂，两侧用劲度系数为k的弹簧连接。杆自由下垂时，弹簧无形变，图中a、b已知，求摆杆做简谐运动的周期T。 图5 分析与解设轻杆向右偏很小的角度θ时，小球向右偏离平衡位置距离x=bsinθ≈bθ，此时右侧弹簧压缩了aθ，左侧弹簧伸长了aθ。根据刚体定轴转动定律可得： 三、解方程组法
2.2简谐运动的描述 练习题(解析版)
第二章 机械振动 2.2 简谐运动的描述 一、单选题： 1.一个做简谐运动的质点，它的振幅是4 cm ，频率是 2.5 Hz ，该质点从平衡位置开始经过2.5 s 后，位移的大小和经过的路程为( ) A ．4 cm 10 cm B ．4 cm 100 cm C ．0 24 cm D ．0 100 cm B [质点的振动周期T ＝1f ＝0.4 s ，故时间t ＝2.50.4T ＝61 4T ，所以2.5 s 末质点在最大位移处，位移 大小为4 cm ，质点通过的路程为4×4×61 4 cm ＝100 cm ，选项B 正确．] 2.下列说法正确的是( ) A ．物体完成一次全振动，通过的位移是4个振幅 B ．物体在1 4个周期内，通过的路程是1个振幅 C ．物体在1个周期内，通过的路程是4个振幅 D ．物体在3 4 个周期内，通过的路程是3个振幅 C [在一次全振动中，物体回到了原来的位置，故通过的位移一定为零，A 错误；物体在1 4个周 期内，通过的路程不一定是1个振幅，与物体的初始位置有关，只有当物体的初始位置在平衡位置或最大位移处时，物体在1 4个周期内，通过的路程才等于1个振幅，B 错误；根据对称性可知，物体 在1个周期内，通过的路程是4个振幅，C 正确；物体在3 4个周期内，通过的路程不一定是3个振幅， 与物体的初始位置有关，只有当物体的初始位置在平衡位置或最大位移处时，物体在3 4个周期内，通 过的路程才是3个振幅，D 错误．] 3．如图所示，m 为在光滑水平面上的弹簧振子，弹簧形变的最大限度为20 cm ，图中P 位置是弹簧振子处于自然伸长状态的位置，若将振子m 向右拉动5 cm 后由静止释放，经过0.5 s 后振子m 第一次回到P 位置，关于该弹簧振子，下列说法正确的是( )
大学物理学课后答案)第5-6章
第5章 机械振动 一、选择题 5-1 一个质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为2 A -，且向x 轴的正方向运动，代表这个简谐振动的旋转矢量图为[ ] 分析与解 图中旋转矢量投影点的运动方向指向Ox 轴正向，同时矢端在x 轴投影点的位移为2 A - ,满足题意,因而选(D)。 5-2 作简谐振动的物体，振幅为A ，由平衡位置向x 轴正方向运动，则物体由平衡位置运动到3A x = 处时，所需的最短时间为周期的几分之几[ ] (A) 1 /2 (B) 1/4 (C) 1/6 (D) 1/12 分析与解 设1t 时刻物体由平衡位置向x 轴正方向运动，2t 时刻物体第一次运动到3A x = 处，可通过旋转矢量图，如图5-2所示，并根据公式2t T ? π??=得31226 t T T T ?πππ??===，,因而选(C)。 5-3 两个同周期简谐振动曲线如图5-3(a)所示， 1x 的相位比2x 的相位[ ] O O O O A A x x x (A) (B) (D) (C) A /2 -A /2 A /2 -A /2 A A ω ω ω ω x 习题5-1图 习题5-2图
(A) 落后2π (B) 超前2 π (C) 落后π (D) 超前π 分析与解 可通过振动曲线作出相应的旋转矢量图（b ），正确答案为（B ）。 5-4 一弹簧振子作简谐振动，总能量为E ，若振幅增加为原来的2倍，振子的质量增加为原来的4倍，则它的总能量为[ ] (A) 2E (B) 4E (C) E (D) 16E 分析与解 因为简谐振动的总能量2 p k 12 E E E kA =+= ，因而当振幅增加为原来的2倍时，能量变为原来的4倍，因而答案选(B)。 5-5 两个同振动方向、同频率、振幅均为A 的简谐振动合成后，振幅仍为A ，则这两个简谐振动的相位差为[ ] (A) o 60 (B) o 90 (C) o 120 (D) o 180 分析与解 答案（C ）。由旋转矢量图可知两个简谐振动的相位差为o 120时,合成后的简谐运动的振幅仍为A 。 二、填空题 5-6 一质量为m 的质点在力2F x π=-作用下沿x 轴运动，其运动的周期为 ________。 习题5-5图 x 2 O x 1 x t (a) 习题5-3图 (b)
1、深刻理解简谐运动、振幅、周期和频率的概念
机械振动和机械波考点例析 一、夯实基础知识 1、深刻理解简谐运动、振幅、周期和频率的概念 （1）简谐运动：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复 力的作用下的振动。 特征是：F=-kx,a=-kx/m （2）简谐运动的规律： ○ 1在平衡位置： 速度最大、动能最大、动量最大； 位移最小、回复力最小、加速度最小。 ○ 2在离开平衡位置最远时： 速度最小、动能最小、动量最小； 位移最大、回复力最大、加速度最大。 ○3振动中的位移x 都是以平衡位置为起点的，方向从平衡位置指向末位置，大小为这两位 置间的直线距离。 加速度与回复力、位移的变化一致,在两个“端点”最大，在平衡位置为零，方向总是 指向平衡位置。 （3）振幅A ： 振动物体离开平衡位置的最大距离称为振幅。 它是描述振动强弱的物理量。 它是标量。 （4）周期T 和频率f ： 振动物体完成一次全振动所需的时间称为周期T,它是标量，单位是秒； 单位时间内完成的全振动的次数称为振动频率，单位是赫兹（Hz ）。 周期和频率都是描述振动快慢的物理量，它们的关系是：T=1/f. 2、深刻理解单摆的概念 (1)单摆的概念： 在细线的一端拴一个小球，另一端固定在悬点上，线的伸缩和质量可忽略，线长远大于 球的直径，这样的装置叫单摆。 (2)单摆的特点： ○ 1单摆是实际摆的理想化，是一个理想模型; ○ 2单摆的等时性，在振幅很小的情况下，单摆的振动周期与振幅、摆球的质量等无关; ○3单摆的回复力由重力沿圆弧方向的分力提供，当最大摆角α<100时，单摆的振动是简谐 运动，其振动周期T=g L π2。 (3)单摆的应用：○1计时器；○2测定重力加速度g=224T L π.
浅析简谐运动的判断与周期的求法
浅析简谐运动的判断与周期的求法 简谐运动是机械振动中最简单最基本的一种运动形式。根据中学物理教学大纲的要求，现行高中物理课本中主要分析了简单的弹簧振子和单摆的基本的运动规律。 为了开发学生智力，扩大学生视野，笔者在教学过程中对简谐运动的判断和周期的求法通过典型举例进行了扩展，促进了这部分内容的教学效果。 物体做简谐运动的条件（或特征），是它在运动中受的回复力与位移（对平衡位置而言）正比反向，即 F=-kx 或者它在运动中的加速度为 如果物体在运动中满足上面二式中的一个，就可判断这一物体在做 可求出振动的周期。 分析解决此类问题的一般步骤是： 1．确定（研究对象）振动物体和平衡位置，对振动物体进行受力分析； 2．求出振动物体离开平衡位置在某任意处受的回复力F，得出F=-kx [例]一个劲度系数为k竖直放置的轻弹簧下端悬挂一个质量为m的小球。用力将小球从静止位置拉下距离x，然后放手。（1）小球是否做简谐运动？（2）求小球的振动周期。空气阻力忽略不计。 分析：当弹簧振子水平放置时，重力与振动方向垂直，回复力仅为弹力，分析时可以不考虑重力。现在，弹簧振子竖直放置，重力就在振动方向上，所以回复力是重力和弹力的合力。
解：（1）设没挂小球时，弹簧的原长为l，下端在O点处，如图1所示。悬挂小球后，弹簧伸长△l，下端静止在O'点处。选向下为坐标轴的正方向，小球静止时受到的合力为零，此处就是平衡位置。有 mg-k△l=0，或mg=k△l。 在振动过程中，小球在平衡位置以下x时，弹簧的伸长为△l+x，小球的位移为x。这时小球受到的合力 F=mg-k(△l+x)=mg-k△l-kx=-kx 对于平衡位置O'点，小球受到的合力与位移成正比且方向相反。同理，小球在O'点以上，受到的合力同样与位移正比反向，符合简谐运动的条件。所以小球是做简谐运动。 （2）此振动的回复力系数仍为k，所以 由此看出，对于竖直放置的弹簧振子，是以O'为平衡位置做简谐运动。此时O'点为回复力的零值点，若把回复力当作弹簧的弹力看待，即把O'点当作弹力和弹性势能的零值点，就可不再考虑重力的作用，而直接用F=-kx来求振子离开O'点位移为x时受到的回复力。 [例2]一边长为a的正方体静止浮于密度为ρ的液体的液面上，浸在液面下的部分恰为正方体的一半。现将正方形竖直向下按一段距离x(x＜a/2)，然后释放，试判断正方体的运动是否为简谐运动，并求出振动周期。设水的阻力不计。 解：设正方体的密度为ρ 1，当它静止浮于液面时，受到重力ρ 1 a3g 和浮力ρa3g/2。据共点力的平衡条件，正方体所受合外力为零， 将正方体从静止时的平衡位置竖直按下x且释放后，它受到的浮力