重庆市巴蜀中学2018届高三上学期第六次月考(一模)数学(理)试题+Word版含答案

巴蜀中学2018届高考适应性月考卷（六）

理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若2534i

z i

=

+，则z 的共轭复数z 对应的点在（ ） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

2.设集合2

31|022M x x x ??

=-

+=???

?

，{|3x N x =>，则M N =I （ ） A ．11,2??

????

B ．?

C ．{}1

D ．34??????

3.在双曲线C ：

22

1916

x y -=中，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点且满足12||||14PF PF +=，则22

12||||PF PF +=（ ）

A ．108

B ．112

C ．116

D ．120

4.由数字0，1,2,3组成的无重复数字的4位数，比2018大的有（ ）个 A ．10

B ．11

C ．12

D ．13

5.已知正实数x ，y 满足x

y

a a <（01a <<），则下列一定成立的是（ ） A ．

11

0x y

-> B ．5243

x y x y < C ．|1||1|

x y ->-

D ．22(1)(1)log log x y e e ++<

6.执行如图所示的程序框图，若输入的a 为24，c 为5，输出的数为3，则b 有可能为（ ）

A ．11

B ．12

C ．13

D ．14

7.设实数x ，y 满足20,0,20,x y x x y -≥??≤??++≤?

则22

x y +的最小值为（ ）

A ．4

B ．2

C ．

209

D ．

103

8.已知(0,

)2

πα∈，111

sin()63

απ+

=，则sin α=（ ） A

B

C

D

9.若ABC ?的内角满足3sin sin sin A B C =+，则cos A 的最小值是（ ） A ．

23

B ．

79

C ．

13

D ．

59

10.已知平面上有3个点A ，B ，C ，在A 处放置一个小球，每次操作时将小球随机移动到另一个点处，则4次操作之后，小球仍在A 点的概率为（ ） A ．

1116

B ．

58

C ．

13

D ．

38

11.已知2

()ln f x x x =+，在()f x 的图象上存在一点P ，使得在P 处作()f x 图象的切线l ，

满足l

2a 的取值范围为（ ）

A

．[)+∞U B

．(,-∞U C

．[U

D

．

12.已知抛物线C ：2

4x y =的焦点为F ，A ，B 两点在抛物线C 上，且2AF FB =u u u r u u u r

，过点A ，B 分别引抛物线C 的切线1l ，2l ，1l ，2l 相交于点P ，则||PF =u u u r

（ ）

A

．

2

B

．

3

C

． D

．第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.||1a =r ，||2b =r ，a b ⊥r r ，则|2|a b +r r

= ．

14.在5

2()x x

-的展开式中

1

x

的系数为 ．

15.

已知函数()(sin cos )f x x x x x =++，则函数()f x 在,22x ππ??

∈-????

时的最大值为 ．

16.已知数列{}n a 中，11a =，12(1)n n a na n ++=+()n N +∈，则

20172016|||2016|a a -= ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，13a =，2

142a a a ?=．

（1）求{}n a 的通项公式及n a 的前n 项和n S 的通项公式； （2）12111n n b S S S =

+++…，求数列{}n b 的通项公式，并判断n b 与1927

的大小． 18.已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ?的面积为

sin sin 2sin ac A C B

．

（1）求证：a ，b ，c 成等比数列；

（2）求sin B 的最大值，并给出取得最大值时的条件．

19.2017~2018赛季的欧洲冠军联赛八分之一决赛的首回合较量将于北京时间2018年2月15日3:45在伯纳乌球场打响．由C 罗领衔的卫冕冠军皇家马德里队（以下简称“皇马”）将主场迎战刚刚创下欧冠小组赛最多进球记录的法甲领头羊巴黎圣日曼队（以下简称“巴黎”），激烈对决，一触即发．比赛分上，下两个半场进行，现在有加泰罗尼亚每题测皇马，巴黎的每半场进球数及概率如表：

（1）按照预测，求巴黎在比赛中至少进两球的概率；

（2）按照预测，若设H 为皇马总进球数，A 为巴黎总进球数，求A 和H 的分布列，并判断()E A 和()E H 的大小．

20.已知椭圆E ：22

162

x y +=的右焦点为2F ，设过2F 的直线l 的斜率存在且不为0，直线l 交椭圆于A ，B 两点，若AB 中点为C ，O 为原点，直线OC 交3x =于点D ． （1）求证：2AB DF ⊥； （2）求

2||

||

AB DF 的最大值．

21.设函数2

()1x

f x ae bx cx =++-，其中a ，b ，c 为常数． （1）若0b =，0ac ≠，试讨论函数()f x 的单调区间；

（2）若函数()f x 在R 上单调递增，且0abc ≠，证明：0a b >>，并求c 的最小值（用a ，b 的代数式表示）

． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线l

：cos ,

sin x t y t αα

?=??

=??（t 为参数，其中α为直线的倾斜角）与

曲线C ：2cos ,

sin x y θθ

=??

=?（θ为参数）相交于不同的两点A ，B ．

（1）当4

π

α=

时，求直线l 与曲线C 的普通方程；

（2）若2

5

||||||2

MA MB OM ?=-

，其中M ，求直线l 的斜率． 23.选修4-5：不等式选讲

已知函数()|1||2|f x x x =-+-，若()3f x ≤的解集为C ． （1）求解集C ；

（2）已知非零实数a ，b ，c 满足22211124a b c ++=，求证：222

25492

a b c ++≥．

巴蜀中学2018届高考适应性月考卷（六）理科数学答案

一、选择题

1-5:DCCBD 6-10:BCCBD 11、12：AA

二、填空题

14.80-

2 16.4034-

三、解答题

17.解：（1）设1a a =，公差为d ，则2

(3)()a a d a d +=+，解得3d a ==， 所以3n a n =，3(1)

2

n n n S +=． （2）

121211()3(1)31

n S n n n n =?=-++， 从而12111211111(1)32231n n b S S S n n =

+++=-+-++-+……21(1)31

n =-+， 故

1219327

n b <<． 18.（1）证明：1sin sin sin 22sin ABC ac A C S ac B B

?==

，即2

sin sin sin B A C =， 由正弦定理可得

a b

b c

=，故a ，b ，c 成等比数列． （2）解：依题意得22211

cos (1)222

a c

b

c a B ac a c +-=

=+-≥， 又B 为ABC ?

的一个内角，从而sin 2

B = 当且仅当AB

C ?为等边三角形时等号成立．

19.解：（1）设A 为巴黎总进球数，则(2)(2)(3)(4)P A P A P A P A ≥==+=+=

511115111111231179()()1243341234434472616144

=?+?+?+?+?+?=++=． （2）A 和H 的分布列如下：

则()()3

E A E H ==

． 20.（1）证明：设直线l 的斜率为k （0k ≠），则直线l 的方程为(2)y k x =-，

联立方程组22

1,62

(2),x y y k x ?+=???=-?消去y 可得2222

(31)121260k x k x k +-+-=． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则21222

12212,31

126,31k x x k k x x k ?+=??+?-?=?+?

于是有

121224()431

k

y y k x x k k +=+-=-

+，

所以线段AB 中点C 的坐标为22

262(,)3131

k k

k k -++． 又直线OC 的斜率13OC k k =-

，因此直线OC 的方程为13y x k

=-，它与直线3x =的交点1(3,)D k -，故直线2DF 的斜率为21

DF k k

=-，于是21DF k k ?=-．

因此2AB DF ⊥.

（2）解：记2222

2221212121212222()()()()||(

)()11||11x x y y x x k x x AB t k x x DF k k

-+--+-====-++ 2

2

1212()4k x x x x ??=+-??22222

222221212624(1)

()4()3131(31)k k k k k k k k ??-+=-=??+++??

．

令2

31u k =+，则222(1)(2)16111161198()()33223416u u t u u u u -+??

=?

=---=---????

． 因为2

311u k =+>，所以1

01u

<

<． 故当4u =时，即1k =±时，t 取最大值3．

从而当1k =±时，

2||

||

AB DF

21.（1）解：依题意得()f x 的定义域为R ，当0b =时，'()x

f x ae c =+． 若0a >，0c >，则'()0f x c >>，从而()f x 在R 上单调递增； 若0a <，0c <，则'()0f x <，从而()f x 在R 上单调递减； 若0a >，0c <，令'()0f x =，得ln()c x

=

-，列表如下：

若0a <，0c >，令'()0f x =得ln()x =-，列表如下：

（2）证明：函数()f x 在R 上单调递增，则'()20x

f x ae bx c =++≥对任意实数x 均成立，

取实数10x >，10x -<，则11

1120,20,x

x ae bx c ae bx c -?++≥??-+≥??两式相加得：11()20x x

a e e c -++≥，

令1x →+∞，则11x x

e e -+→+∞，从而0a >．

又由1

120x ae

bx c --+≥，当1x →+∞时，10x ae -→，若0b >，则1120x ae bx c --+≥不

恒成立，又0b ≠，从而0b <，从而0a b >>． 下证22(ln()1)b

c b a

≥--

-． 记()x

g x ae =，()2h x bx c =--，22ln()b

x a

=-

，由于'()x g x ae =， ()g x 在点22(,())x g x 处的切线方程为：

2222()()22ln()2b

y b x x g x bx b b a

=--+=-+-

-． 接下来，我们证明2()22ln()2x

b g x ae bx b b a

=≥-+--，

构造函数2()22ln()2x

b H x ae bx b b a =+--+，'()2x H x ae b =+．

当2(,)x x ∈-∞时，'()0H x <，()H x 单调递减； 当2(,)x x ∈+∞时，'()0H x >，()H x 单调递增；

从而min 2()()()0H x H x H x ≥==，故2()22ln()2x

b

g x ae bx b b a

=≥-+-

-成立． 考虑到直线222ln()2b

y bx b b a

=-+-

-与直线()y h x =斜率相等，即它们平行， 又由于()()g x h x ≥恒成立，从而222ln()2()b

bx b b h x a

-+--≥恒成立，

即22(ln()1)b c b a -≤--，即22(ln()1)b

c b a

≥---．

22.解：（1）当4

π

α=时，直线l 的普通方程为y x =-曲线C 的普通方程为2

214x y +=．

（2）把cos ,

sin x t y t αα?=??=??代入2214x y +=，得

222(4sin cos ))10t t ααα++-=，

21222151||||||||4sin cos 22MA MB t t OM αα?==

=-=+，得2

1sin 3

α=

，

∴2

1

tan 2

α=

，∴斜率k =±

23.（1）解：()|1||2|3f x x x =-+-≤，即1,123x x x

-+-+≤?或12,

123x x x ≤≤??--+≤?

或

2,

123,

x x x >??

-+-≤? 即01x ≤<或12x ≤≤或23x <≤，即解集[]0,3C =． （2）证明：∵

222

11124a b c ++=， 由柯西不等式得

222222222111149(49)()24a b c a b c a b c ++=++++2111125

(23)222

a b c a b c ≥?+?+?≥

，当

且仅当

23

111

2

a b c

a b c

==时取等号，即222

5

43

2

a b c

===时取等号．