大物(2)期末复习

练习一 静电场中的导体

三、计算题

1. 已知某静电场在xy 平面内的电势函数为U =Cx/(x 2+y 2)3/2,其中C 为常数.求(1)x 轴上任意一点,(2)y 轴上任意一点电场强度的大小和方向. 解：. E x =U/x

=C [1/(x 2+y 2)3/2+x (3/2)2x /(x 2+y 2)5/2]

= (2x 2y 2)C /(x 2+y 2)5/2

E y =U/y

=

Cx (3/2)2y /(x 2+y 2)5/2=3Cxy /(x 2+y 2)5/2

x 轴上点(y =0) E x =2Cx 2/x 5=2C /x 3 E y =0

E =2C i /x 3 y 轴上点(x =0) E x =Cy 2/y 5=

C /y 3 E y =0

E =C i /y 3

2．如图,一导体球壳A (内外半径分别为R 2,R 3),同心地罩在一接地导体球B (半径为R 1)上,今给A 球带负电Q , 求B 球所带电荷Q B 及的A 球的电势U A .

静电场中的导体答案 解： 2. B 球接地,有 U B =U =0, U A =U BA

U A =(Q+Q B )/(4

0R 3)

U BA =[Q B /(4

0)](1/R 21/R 1)

得 Q B =QR 1R 2/( R 1R 2+ R 2R 3 R 1R 3)

U A =[Q/(40R 3)][

1+R 1R 2/(R 1R 2+R 2R 3R 1R 3)]

=

Q (R 2R 1)/[40(R 1R 2+R 2R 3

R 1R 3)]

练习二 静电场中的电介质

三、计算题

1. 如图所示,面积均为S =的两金属平板A ,B 平行对称放置,间距为d =1mm,今给A , B 两板分别带电 Q 1=×10－9

C, Q 2=×10－9

C.忽略边缘效应,

求：(1) 两板共四个表面的面电荷密度

1,

2,

3,

4;

(2) 两板间的电势差V =U A －U B .

解：1. 在A 板体内取一点A , B 板体内取一点B ,它们的电场强度是四个表面的电荷产生的,应为零,有

E A =1/(20)2/(20)3/(20)4/(20)=0

图

A Q 1

图

Q 2

1

2

3

4

E A =

1/(20)+2/(20)+3/(20)4/(20)=0

而 S (

1+

2)=Q 1 S (

3+

4)=Q 2 有

1

2

3

4=0

1+

2+3

4=0

1+2=Q 1/S 3+

4=Q 2/S

解得

1=4=(Q 1+Q 2)/(2S )=108C/m 2

2=

3=(Q 1Q 2)/(2S )=108C/m 2

两板间的场强 E=

2/

0=(Q 1

Q 2)/(20S )

V=U A －U B ⎰

⋅=

B

A

l E d

=Ed=(Q 1Q 2)d /(2

0S )=1000V

四、证明题

1. 如图所示，置于静电场中的一个导体，在静电平衡后，导体表面出现正、负感应电荷.试用静电场的环路定理证明，图中从导体上的正感应电荷出发，终止于同一导体上的负感应电荷的电场线不能存在.

解：1. 设在同一导体上有从正感应电荷出发，终止于负感应电荷的电场线.沿电场线ACB 作环路ACBA ,导体内直线BA 的场强为零,ACB 的电场与环路同向于是有

=⋅⎰l E d l

+

⋅⎰

ACB

l E d ⎰⋅A

B

l E d 2

=⎰⋅ACB

l E d 0

与静电场的环路定理=⋅⎰l E d l

0相违背,故在

同一导体上不存在从正感应电荷出发，终止于负感应电荷的电场线.

练习三 电容 静电场的能量

三、计算题

1. 半径为R 1的导体球带电Q ,球外一层半径为R 2相对电容率为r 的同心均匀介质球壳,其余全部空间为空气.如图所示.求:(1)离球心距离为r 1(r 1

>R 2

)处的D

和E ；

(2)离球心r

1, r

2, r 3,处的

U ；(3)介质球壳内外表面的极化电荷.

解：1. (1)因此电荷与介质均为球对称,电场也球对称

,过场点作与金属球同心的球形高斯面,有

i

S

q

0d ∑=⋅⎰S D

导体 图

R 2

B A C

4r2D=q0i 当r=5cm

当r=15cm(R1

得D2=Q/(4r2)=×108C/m2

E2=Q/(40r r2)=×103N/C

当r=25cm(r>R1+d )q0i=Q=×108C

得D3=Q/(4r2)=×108C/m2

E3=Q/(40r2)=×104N/C

D和E的方向沿径向.

(2) 当r=5cm

r l

E d

⎰=R r r E d

1⎰+

+d R

R

r

E d

2⎰

∞

+

+

d

R

r

E d

3

=Q/(40r R)Q/[40r(R+d)]+Q/[40(R+d)]

=540V

当r=15cm

U2=⎰∞⋅

r l

E d⎰+

=d R

r

r

E d

2⎰

∞

+

+

d

R

r

E d

3

=Q/(40r r)Q/[40r(R+d)]+Q/[40(R+d)]

=480V

当r=25cm

U3=⎰∞⋅

r l

E d⎰∞

=

r

r

E d

3

=Q/(40r)=360V

(3)在介质的内外表面存在极化电荷,

P e=0E=0(r1)E =P e·n

r=R处, 介质表面法线指向球心

=P e·n =P e cos=0(r1)E

q=S=0(r1) [Q/(40r R2)]4R2

=(r1)Q/r=×108C

r=R+d处, 介质表面法线向外

=P e·n =P e cos0=0(r1)E

q=S=0(r1)[Q/(40r(R+d)2]4(R+d)2

=(r1)Q/r=×108C

2.两个相距很远可看作孤立的导体球，半径均为10cm，分别充电至200V和400V，然后用一根细导线连接两球，使之达到等电势. 计算变为等势体的过程中，静电力所作的功.

解;2.球形电容器C=40R

Q1=C1V1=40RV1 Q2=C2V2=40RV2

W0=C1V12/2+C2V22/2=20R (V12+V22)

两导体相连后C=C1+C2=80R

Q=Q1+Q2= C1V1+C2V2=40R(V1+V2)

W=Q2/(2C)= [40R(V1+V2)]2/(160R)=0R(V1+V2)2

静电力作功A=W0W