简单几何体的表面积和体积随堂练习(含答案)

基础巩固强化

1.纸制的正方体的六个面根据其实际方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是( )

A ．南

B ．北

C ．西

D ．下

[答案] A

[解析] 将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为上，最右面为东，则前面为△，可知“△”的实际方位为南．

2．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知

这个球的体积为32π3，那么这个三棱柱的体积是( )

A ．963

B ．483

C ．243

D ．16 3

[答案] B

[解析] 已知正三棱柱的高为球的直径，底面正三角形的内切圆是球的大圆．设底面正三角形的边长为a ，球的半径为R ，则a ＝23

R ，又43πR 3＝32π3，∴R ＝2，a ＝43，于是V ＝34a 2·2R ＝48 3.

3．(2012·新课标全国，7)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )

A ．6

B ．9

C ．12

D ．18

[答案] B

[解析] 由三视图知，该几何体是一个三棱锥，由俯视图知三棱

锥的底面是等腰三角形，底边长为6，底边上的高为3，面积S ＝12

×6×3＝9，由正视图和侧视图可知棱锥的高为3，∴体积V ＝13×9×3

＝9.

4．(文)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )

A ．2

B ．1 C.23

D.13

[答案] B

[解析] 由几何体的三视图可知，该几何体是直三棱柱，其直观

图如图所示，其体积为V ＝12×2×1×2＝1.

(理)(2011·潍坊二检)如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为( )

A.1423

B.2843

C.2803

D.1403

[答案] B

[解析]

截去一角在正视图中位于左侧上部，在侧视图中位于右侧上部，结合俯视图可知，截去的一角应位于几何体的上部左前方，可画出多面体的形状如图．这个多面体是由长方体截去一个正三棱锥而得到

的，所以所求多面体的体积V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13×(12

×2×2)×2＝2843.

5．(文)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

( )

A ．2π＋2 3

B ．4π＋2 3

C ．2π＋233

D ．4π＋233

[答案] C

[解析] 由几何体的三视图可知，该几何体是由一个底面直径和高都是2的圆柱和一个底面边长为2，侧棱长为2的正四棱锥叠放

而成．故该几何体的体积为V ＝π×12×2＋13×(2)2×3＝2π＋233，

故选C.

[点评] 由三视图想象几何体的形状时，一要注意常见柱、锥、台的三视图结构特征，二要注意方位，三要注意细节．

本题中正视图与侧视图都不变，若俯视图中把外部的圆改为正方形，则几何体就是上部为正四棱锥，下部为正四棱柱的组合体．

(理)(2011·湖南文，4)设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )

A ．9π＋42

B ．36π＋18 C.92π＋12

D.92π＋18

[答案] D

[解析] 由三视图可知，该几何体是一个球体和一个长方体的组合体．其中，V 球＝43π·(32)3＝9π2，V 长方体＝2×3×3＝18.所以V 总＝92π＋

18.

6.(2012·山西高考联合模拟)一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其正视图和侧视图如图所示，则这个几何体最多可由这样的正方体组成的个数为( )

A ．12个

B ．13个

C ．14个

D ．18个

[答案] B

[解析] 由正视图知该几何体有三列，左右两排都存在2层的情形，中间一排，只有一层，由侧视图知，该几何体有三行，前后两排都存在2层的情形，中间一排只有一层，因此此几何体最多可由13个小正方体组成，你能求出最少可由多少个小正方体构成吗？

7．圆台的上、下底半径分别为2和4，母线长为4，则截得此圆台的圆锥侧面展开图的中心角为________．

[答案] π

[解析] 如图，设PD ＝x ，则24＝x x ＋4，∴x ＝4，

∴θ＝48×2π＝π.

8．一个底面半径为1，高为6的圆柱被一个平面截下一部分，如图(1)所示，截下部分的母线最大长度为2，最小长度为1，则截下部分的体积是________．

[答案] 3π2

[解析] 根据对称性把它补成如图(2)所示的圆柱，这个圆柱的高

是3，体积是所求几何体体积的2倍，故所求的几何体的体积是12

×π×12

×3＝3π2.故填3π2. 9．圆柱内切球的表面积为4π，则圆柱的表面积为________．

[答案] 6π

[解析] 设球半径为R (R >0)，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，由条件知，4πR 2＝4π，∴R ＝1.

∴圆柱的表面积S ＝2π·R 2＋2πR ·2R ＝6πR 2＝6π.

10．已知P 在矩形ABCD 的边DC 上，AB ＝2，BC ＝1，F 在AB 上且DF ⊥AP ，垂足为E ，将△ADP 沿AP 折起，使点D 位于D ′位置，连接D ′B 、D ′C 得四棱锥D ′－ABCP .

(1)求证：D ′F ⊥AP ；

(2)若PD ＝1，且平面D ′AP ⊥平面ABCP ，求四棱锥D ′－ABCP 的体积．

[解析] (1)∵AP ⊥D ′E ，AP ⊥EF ，D ′E ∩EF ＝E ，

∴AP ⊥平面D ′EF ，∴AP ⊥D ′F .

(2)∵PD ＝1，∴四边形ADPF 是边长为1的正方形，

∴D ′E ＝DE ＝EF ＝22，

∵平面D ′AP ⊥平面ABCP ，D ′E ⊥AP ，∴D ′E ⊥平面ABCP ，

∵S 梯形ABCP ＝12×(1＋2)×1＝32，

∴V D ′－ABCP ＝13×D ′E ×S 梯形ABCP ＝24.

能力拓展提升

11.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2.动点E ，F 在棱A 1B 1上，点Q 是棱CD 的中点，动点P 在棱AD 上．若EF ＝1，DP ＝x ，A 1E ＝y (x ，y 大于零)，则三棱锥P －EFQ 的体积( )

A ．与x ，y 都有关

B ．与x ，y 都无关

C ．与x 有关，与y 无关

D ．与y 有关，与x 无关

[答案] C

[解析] 设P 到平面EFQ 的距离为h ，则V P －EFQ ＝13×S △EFQ ·h ，

由于Q 为CD 的中点，∴点Q 到直线EF 的距离为定值2，又EF ＝1，∴S △EFQ 为定值，而P 点到平面EFQ 的距离，即P 点到平面A 1B 1CD 的距离，显然与x 有关与y 无关，故选C.

12．(2011·陕西文，5)某几何体的三视图如图所示，则它的体积为( )

A ．8－2π3

B ．8－π3

C ．8－2π

D.2π3

[答案] A

[解析] 由三视图知，原几何体为如图所示一正方体挖去一个与

正方体等高底面是正方形的内切圆的圆锥，则其体积为V ＝23－13π×12

×2＝8－2π3.故选A. 13．(2011·东北三校)一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于

( )

A.13

B.23

C.156

D.6224

[答案] A

[解析] 由三视图知，这是一个四棱锥，其底面为正方形，一条

侧棱垂直于底面其长度为2，底面正方形对角线长为1，∴边长为22，

体积V ＝13×(22)2×2＝13.

14．(文)一等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的表面积为24π，一

圆锥与此圆柱一个底面重合，顶点在另一个底面上，则此圆锥的表面积为________．

[答案] 4(5＋1)π

[解析] 设圆柱底半径为R ，则2πR 2＋2πR ·2R ＝24π，∴R ＝2， ∴圆锥的底半径为R ＝2，高为4，

母线长l ＝22＋42＝25，

∴圆锥的表面积S ＝πR 2＋πRl ＝4π＋45π＝4(5＋1)π.

(理)圆锥的高为4，侧面积为15π，其内切球的表面积为________．

[答案] 9π

[解析]

设圆锥底面半径为r (r >0)，则母线长l ＝16＋r 2，由πrl ＝15π得r ·16＋r 2＝15，解之得r ＝3，∴l ＝5.

设内切球半径为R ，作出圆锥的轴截面如图，则BD ＝BO 1＝3，PD ＝5－3＝2，PO ＝4－R ，

∵OD ⊥PB ，

∴R 2＋4＝(4－R )2

，∴R ＝32， ∴球的表面积S ＝4πR 2＝9π.

15．(文)

(2011·安徽省淮南市模拟)如图是以正方形ABCD为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，且AB＝BC＝2，AE＝1，BF＝DH＝2，CG＝3.

(1)证明：截面四边形EFGH是菱形；

(2)求几何体C－EFGH的体积．

[解析](1)证明：因为平面ABFE∥平面CDHG，

且平面EFGH分别交平面ABFE、平面CDHG于直线EF、GH，所以EF∥GH.同理，FG∥EH.

因此，四边形EFGH为平行四边形．

因为BD⊥AC，而AC为EG在底面ABCD上的射影，

所以EG⊥BD.

因为BF綊DH，所以FH∥BD.因此，FH⊥EG.

所以四边形EFGH是菱形．

(2)解：连接CE、CF、CH、CA，

则V C－EFGH＝V－V C－ABFE－V C－ADHE，其中V是几何体的体积，∵AE＝1，BF＝DH＝2，CG＝3且几何体是以正方形ABCD为底面的正四棱柱的一部分，

所以该几何体的体积为

V＝(2)2×2＝4，

V C－ABFE＝1

3×S四边形ABFE×BC

＝1

3×

1

2(AE＋BF)×AB×BC

＝1

6×(1＋2)×2×2＝1.

同理，得V C－ADHE＝1，

所以，V C－EFGH＝V－V C－ABFE－V C－ADHE＝4－1－1＝2，即几何体C－EFGH的体积为2.

(理)(2011·江西文)如图在△ABC中，∠B＝π

2，AB＝BC＝2，P为

AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△

PDA ′，使平面PDA ′⊥平面PBCD .

(1)当棱锥A ′－PBCD 的体积最大时，求P A 的长；

(2)若点P 为AB 的中点，E 为A ′C 的中点，求证：A ′B ⊥DE .

[解析] (1)令P A ＝x (0

故A ′P ⊥平面PBCD .所以V A ′－PBCD ＝13Sh ＝16(2－x )(2＋x )x ＝16(4x

－x 3)．

令f (x )＝16(4x －x 3)，由f ′(x )＝16(4－3x 2)＝0，得x ＝23 3.

当x ∈(0，233)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；

当x ∈(233，2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．

所以，当x ＝233时，f (x )取得最大值，

即当V A ′－PBCD 最大时，P A ＝233.

(2)设F 为A ′B 的中点，连接PF ，FE ，则有

EF 綊12BC ，PD 綊12BC ，∴EF 綊PD ，

∴四边形EFPD 为平行四边形，∴DE ∥PF .

又A ′P ＝PB ，所以PF ⊥A ′B ，故DE ⊥A ′B .

16．(2012·新课标全国文，19)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，

侧棱垂直于底面，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．

(1)证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；

(2)平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

[分析] (1)证两个平面垂直，可转化为在其中一个平面内找到一条直线与另一个平面垂直；

(2)平面BDC1分棱柱成两部分，下面部分B－ADC1C为四棱锥，可直接求体积，上面部分可用间接法求得体积，从而确定两部分体积之比．

[解析](1)由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.

又DC1?平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.

由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，

所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.

又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.

又DC1?平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.

(2)设棱锥B－DACC1的体积为V1，AC＝1.

由题意得，V1＝1

3×

1＋2

2×1×1＝

1

2.

又三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝1，所以(V－V1) V1＝1 1.

故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1 1.

[点评]本题考查线面的位置关系及几何体体积的求法．求解几何体的体积时，若遇不规则的几何体时，经常采用割补法和间接法求其体积．

1．用单位正方体搭几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，则符合条件的几何体体积的最小值与最大值分别是()

A．9,13 B．7,16

C．10,15 D．10,16

[答案] D

[解析]由俯视图知底层有七个小正方体，结合正视图知，最左边一列，最多都是三层，最少只有一行是三层，故左边一列最多9个、最少5个；中间一列最多都是二层有6个，最少只有一行二层，共4个；右边一列只一层一行，故最多9＋6＋1＝16个，最少5＋4＋1＝10个．

2．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为()

A．280 B．292

C．360 D．372

[答案] C

[解析]由三视图知该几何体是两个长方体的组合体，上面的长方体的表面积为(6×8)×2＋(8×2)×2＋6×2＝140.

下面的长方体的表面积为(10×8)×2＋(10×2)×2＋(8×2)×2－6×2＝220.

故表面积为140＋220＝360.选C.

3．如图，已知在多面体ABC－DEFG中，AB、AC、AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD ＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为()

A．2B．4C．6D．8

[答案] B