2019年湖北宜昌中考数学试题(解析版)

{来源}2019年宜昌中考数学试卷

{适用范围:3．九年级}

{标题}2019年湖北省宜昌市中考数学试卷

考试时间：120分钟满分：150分

{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共 15小题，每小题 3分，合计45分．

{题目}1．（2019年宜昌T1）﹣66的相反数是（）

A．-66 B．66 C．1

66

D． -

1

66

{答案} B

{解析}本题考查相反数的求法，﹣66的相反数是66．因此本题选B．

{分值}3

{章节:[1-1-2-3]相反数}

{考点:相反数的定义}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}2．（2019年宜昌T2）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（）

A．智B．慧C．宜D．昌

{答案}D

{解析}本题考查了轴对称图形的定义， A选项的汉字不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B 选项的汉字不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C选项的汉字不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D选项的汉字是轴对称图形，故本选项符合题意；故选D．

{分值}3

{章节:[1-13-1-1]轴对称}

{考点:轴对称图形}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}3．（2019年宜昌T3）如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，其中最适合表示无理数π的点是（）

第3题图

A．点A B．点B C．点C D．点D

{答案} D

{解析}本题主要考查了估算无理数的大小，∵π≈3.14，∴3＜π＜4，因此本题选D．

{分值}3

{章节:[1-6-3]实数}

{考点:实数与数轴}

{类别:常考题}

{难度:2-简单

{题目}4．（2019年宜昌T4）如图所示的几何体的主视图是 ( )．

（第4题） A ． B ．

C ．

D ．

{答案}D

{解析}本题考查了简单几何体的三视图，该几何体的主视图为；左视图为；

俯视图为，因此本题选D ． {分值}3

{章节:[1-29-2]三视图}

{考点:简单组合体的三视图} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}5．（2019年宜昌T5）往纳木错开展的第二青藏高原综合科学考察研究中．我国自主研发的系留浮空器于5月23日凌晨达到海拔7003米昀高度．这一高度也是已知的同类型同量级浮空器驻空高度的世界纪录，数据7 003用科学记数法表示为 ( )．

A .0.7× 104

B .70.03×102

C .7.003×103

D .7.003×104

{答案} C

{解析}本题考查科学记数法的表示方法，7 003＝7.003×103，因此本题选C ． {分值}3

{章节:[1-1-5-2]科学计数法}

{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}6．（2019年宜昌T6） 如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若∠α =135°，则∠β等于 （ ）

第6题图

A ．45°

B ．60°

C ．75°

D ．85° {答案}C

{解析}本题考查了平行线的性质， ∵直尺的两条a 、b 平行，∠α =135°，∴∠γ+∠β=∠α

=135

°，又∠γ

=60

°，∴∠β=135

°-∠γ=135°-60°=75°，因此本题选C ．

第6题答图

{分值}3

{章节:[1-5-3]平行线的性质}

{考点:两直线平行内错角相等}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}7．（2019年宜昌T7）下列计算正确的是（）．A．3ab -2ab＝1 B．（3a2）2＝9a4C．a6÷a2＝a3D．3a2·2a＝6a2

{答案} B

{解析}本题考查了整式的混合运算，∵3ab -2ab＝ab，∴选项A错误；∵（3a2）2＝9a4，∴选项B正确；∵a6÷a2＝a4，∴选项C错误；∵3a2·2a＝6a3，选项D错误．因此本题选B．

{分值} 3

{章节:[1-15-2-3]整数指数幂}

{考点:合并同类项}{考点:同底数幂的除法}{考点:幂的乘方}{考点:单项式乘以单项式}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}8．（2019年宜昌T8）李大伯前年在驻村扶贫工作队的帮助下种了一片果林，今年收获一批成熟的果子．他选取了5棵果树，采摘后分别称重．每棵果树果子总质量(单位：kg)分别为：90，100，120，110，80．这五个数据的中位数是 ( ) A．120 B．110 C．100 D．90

{答案}C

{解析}本题考查了中位数，把这一组数从大到小排列80，90，100，110，120．中位数是100，因此本题选C．

{分值}3

{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}

{考点:中位数}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}9．（2019年宜昌T9）化简(x-3)2-x(x -6)的结果为 ( )．

A.6x -9

B.-12x+9

C.9

D.3x+9

{答案}C

{解析}本题考查了整式的乘法，原式=x2-6x+9-x2+6x =9，因此本题选C.

{分值}3

{章节:[1-14-2]乘法公式}

考点:完全平方公式}

{类别:常考题}

{题目}10．（2019年宜昌T10）通过如下尺规作图，能确定点D是B边中点的是（）．

A．B．C．D．

{答案}A

{解析}本题考查了尺规作图找线段中点的知识，∵选项A的图形中作了BC的垂直平分线，它与BC的交点是BC的中点，∴选项A正确；∵选项B的图形中作了AB的垂直平分线，它与AB的交点D是AB的中点，不是BC的中点∴选项B错误；∵选项C的图形中作了∠BAC的平分线，它与BC 的交点D不是BC的中点，∴选项C错误；∵选项D的图形中作了BC的垂线，它与BC的交点不是BC的中点，选项D错误．因此本题选A．

{分值}3

{章节:[1-13-1-2]垂直平分线}

{考点:与垂直平分线有关的作图}{考点:与角平分线有关的作图问题}{考点:垂直的画法}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}11．（2019年宜昌T11）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为( )．

A．4

3

B．

3

4

C．

3

5

D．

4

5

第11题

{答案}D

第11题答图

{解析}本题考查了正弦函数的定义，过C作CD⊥AB于D，则CD=4，AD=3，由勾股定理得AC=

5

=，∴sin∠BAC=

4

5

CD

AC

=，因此本题选D.

{分值}3

{章节:[1-28-3]锐角三角函数} {考点:正弦}

{类别:常考题}

{题目}12．（2019年宜昌T12）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC =40°时，∠A的度数是( )．

A．50°B．55°C． 60°D．65°

第12题

{答案}A

{解析}本题考查了同弧所对圆周角与圆心角的关系及等腰三角形性质，∵OB=OC，∴∠OCB =∠OBC =40°，∴∠BOC =180°-∠OBC-∠OCB =100°，∠BOC、∠A所对的都是?BC，∠A= 1

2

∠BOC ==50°，因此本题选A．

{分值}3

{章节:[1-24-1-4]圆周角}

{考点:圆周角定理}

{类别:常考题}

{难度:2-最简单}

{题目}13．（2019年宜昌T13）在“践行生态文明，你我一起行动”主题有奖竞赛活动中．903班热设置“生态知识、生态技能、生态习惯、生态文化”四个类别的竞赛内容，如果参赛两学抽到每一类别的可能性相同，那么小宇参赛时抽到“生态知识”的概率是( )．

A．1

2

B．

1

4

C．

1

8

D．

1

16

{答案}B

{解析}本题考查了古典型概率，小宇参赛时抽到“生态知识”的概率=1

4

，因此本题选B.

{分值}3

{章节:[1-25-1-2]概率}

{考点:一步事件的概率}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}14．（2019年宜昌T14）古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角

形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式：若一个三角形的三边分别为a，b，c，记p

1

2

=（a+b+c），那么三角形的面积为S=．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，C．若a=5，b=6．C=7．则△ABC的面积为( )．

A．B．C． 18 D．19 2

第14题图

{答案

{解析p 1

2

=

（a +b +c ）=9，△ABC 的

面积S A.

{分值}3

{章节:[1-16-2]二次根式的乘除} {考点:二次根式的乘法法则} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}15．（2019年宜昌T15）如图，平面直角坐标系中，点B 在第一象限，点A 在x 轴的正半轴上，∠AOB =∠B =30°， OA =2．将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°，点B 的对应点B ′的坐标是( )．

A.（-1，

B.（3）

C.（， D ．（-3）

第15题图

{答案}B

{解析}本题考查了旋转特征以及坐标的意义、解直角三角形等知识，过B ′作B ′C ⊥y 轴与C ，则∠A ′OB ′=∠B =∠AOB =∠A ′B ′O =30°，OA ′=OA =2，∴A ′B ′= A ′O =2，∠CA ′B ′

=∠A ′B ′O +∠A ′OB ′=60°，∴sin ∠CA ′B ′=2B C B C B A ''==

''B ′C ，c o s ∠CA ′

B ′=122A

C A C B A ''==''，解得A ′C =1，CO =2+1=3，B ′C ，∴B ′的坐标是（，3），因

此本题选B.

第15题答图

{分值}3

{章节:[1-23-1]图形的旋转} {考点:旋转的性质} {考点:解直角三角形}

{类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}16．（2019年宜昌T16）已知x ≠y ，y =-x +8，求代数式22

x y x y y x

+--的值. {解析}本题考查了分式的加减与求分式的值，先通分，再化简，最后代入求值.

{答案}解：原式=22x y x y x y ---=22x y x y --=()()x y x y x y

+--=x +y . x ≠y ，y =-x +8，原式=x +-x +8=8.

{分值}6

{章节:[1-15-2-2]分式的加减} {考点:两个分式的加减} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}17．（2019年宜昌T17）解不等式组127313x x x x -?>??

????-+ ???

??，＜，并求此不等式组的整数解．

{解析}本题考查了一元一次不等式组的解法以及不等式组的整数解，先分开求每个不等式

的解集，再求公共部分得不等式组的解集，最后求解集范围的整数解． {答案}解：由①得13x >

；由②得x <4，所以原不等式组的解集为1

3

{分值} 6

{章节:[1-9-3]一元一次不等式组} {考点:一元一次不等式组的整数解} {类别:常考题} {难度:2-最简单}

{题目}18．（2019年宜昌T18）如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，AB =DB ，BE 平分∠ABC ，交AC 边于点E ．连接DE ．

（1）求证：△ABE ≌△DBE ；

（2） ∠A ＝100°，∠C ＝50°，求∠AEB 的度数。

第18题图

{解析}

（1）利用SAS 即可得证；

（2）利用三角形的内角和定理先求∠ABC ，再借助角平分线求∠ABE ，最后再次利用三角形

的内角和定理求得∠ABE 的度数．

{答案}证明：（1）由BE 平分∠ABC ，得∠ABE ＝∠DBE ，在△ABE 和△DBE 中，

BA BD ABE DBE BE BE =??

∠=∠??=?

，，

，∴△ABE ≌△DBE （SAS ）； （2）∵∠A ＝100°，∠C ＝50°，得∠ABC ＝30°，∴∠ABE ＝

1

2

∠ABC ＝15°， 在△ABE 中，∠AEB ＝180°﹣∠A ﹣∠ABE ＝180-100°-15°=65°．∴∠ACD ＝180°﹣45°﹣75°＝65°． {分值}7

{章节:[1-12-2]三角形全等的判定} {考点:全等三角形的判定SAS} {考点:三角形内角和定理} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}19．（2019年宜昌T19）《人民日报》点赞湖北宜昌“智慧停车平台”，作为“全国智慧城市”试点，我市通过“互联网+”、“大数据”等新科技，打造“智慧停车平台”，着力化解城市“停车难”问题，市内某智慧公共停车场的收费标准是：停车不超过30分钟，不收费； 超过30分钟，不超过60分钟，计1小时，收费3元：超过1小时后，超过1小时的部分控每小时2元收费(不足1小时，按1小时计).

（1）填空；若市民张先生某次在该停车场停车2小时10分钟，应交停车费 元，若李先生也在该停车场停车，支付停车费11元，则停车场按____小时（填整数）计时收费．

（2）当x 取整数且x ≥1时，求该停车场停车费y （单位：元）关于停车计时x （单位：

小时）的函数解析式．

{解析}本题考查了分段函数的解析式，（1）①按题意满30分钟收费1元，再加上超过1小时的费用每小时2元的计费方法计费；②已知支付的停车费求停车时间只需按计费方法列方程即可； （2）按停车计费方法写出关系式并化简即可.

{答案}解：（1）3+2×2=7，设停车场按x 小时计时收费，则3+2（x -1）=11，x =5，故答案为7；5；（2）y =3+2（2x -1），即y =2x +1. ∴y 关于x 的函数解析式为y =2x +1． {分值}7

{章节:[1-19-2-2]一次函数} {考点:分段函数的应用} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}20．（2019年宜昌T20）某校在参加了宜昌市教育质量综合评价学业素养测试后，随机抽取八年级部分学生，针对发展水平四个维度“阅读素养、数学素养、科学素养、人文素养”，开展了“你最需要提升的学业素养”问卷调查（每名学生必选且强能选择一项）．小明、小颖和小雯在协助老师进行统计后，有这样一段对话：

小明：“选科学素养和人文素养的同学分别为16人，12人，” 小颍：“选数学素养的同学比选阅读素养的同学少4 人.” 小雯：“选科学素养的同学占样本总数的20%.”

（1）这次抽样调查了多少名学生？

（2）样本总数中，选“阅读素养”、“数学素养”的学生各多少人？

（3）如图是调查结果整理后绘制成的扇形图，请直接在横线上补全相关百分比；

（4）该校八年级有学生400人，请根据调查结果估计全年级选择“阅读素养”的学生有多少人？

第20题图

{解析}（1）根据“科学素养的频数除以百分率”计算；

（2）设样本中选“阅读素养”的学生有x 人，选“数学素养”的学生有y 人，列方程组即可求得答案；

（3）阅读素养、数学素养、人文素养的频数分别除以总人数即可得到百分比；

（4）用样本中“阅读素养”的百分率估算全年级的百分率，再估计出全年级选择“阅读素养”的学生数.

{答案}（1）16÷20％=80，∴这次抽样调查了80名学生；

（2）样本中选“阅读素养”的学生有x 人，选“数学素养”的学生有y 人，则

8016124x y x y +=--??

-=?，，解得2824x y =??=?

，

，∴样本中选“阅读素养”的学生有28人，选“数学素养”的学生有24人；

（3）28÷80=35％，24÷80=30％，1-35％-30％-20％=15％，故填：阅读素养35％，数学素养30％，人文素养15％；

第20题答图

（4）400×35％=140（人），该校全年级选择“阅读素养”的学生有140人． {分值}8

{章节:[1-10-1]统计调查} {考点:扇形统计图} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}21. （2019年宜昌T21）如图，点O 是线段AH 上一点，AH =3．以点O 为圆心，OA 的长为半径作⊙O ，过点H 作AH 的垂线交⊙O 于C ，N 两点，点B 在线段CN 的延长线上，连接AB 交⊙O 于点M ，以AB ，BC 为边作平行四边形ABC D ． （1）求证：AD 是⊙O

的切线；

（2）若OH =

1

3AH ，求四边形AHCD 与 ⊙O 重叠部分的面积； （3）若NH =13AH ， BN =5

4

．连接MN ，求OH 和MN 的长．

第21题图

{解析}本题考查了平行四边形与圆的综合，（1）根据切线的判定证“过半径外端与半径垂直”即可；（2）连接OC ，先利用三角函数证∠OCH ＝30°，从而求得∠AOC 度数，再求S 扇形OAC 与S △OHC ，从而得到四边形AHCD 与 ⊙O 重叠部分的面积；（3）设⊙O 的半径OA =r ，根据Rt △OHC 的三边平方关系列方程求r ，OH 、BH 、AB 、AC ，再证△BMN ∽△BCA 求MN 的长． {答案}（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，

∵∠AHC =90°，∴∠HAD =90°，即OA ⊥AD ， 又∵OA 为⊙O 的半径，∴AD 为⊙O 的切线．

第21题答图

（2）解：连接OC ， ∵OH 1

2

=

OA ，AH ＝3，∴OH =1，OA ＝2. 在Rt △

OHC 中，∠OHC ＝90°，

OH 1

2

=

OC ，∴∠OCH ＝30°，∴∠AOC=∠OHC+∠OCH ＝120°，∴S 扇形

OAC 2120243603

ππ

??

==，∵CH =OA ＝OB ，∴

S △OHC ＝

112?＝2，∴四边形ABCD 与⊙O 重叠部分的面积=S 扇形OAC + S △OHC ＝43

π

+2．

（3）设⊙O 的半径OA =r ，∴OH =3-r ，在Rt △OHC 中，OH 2+HC 2=OC 2，∴

（3-r ）2+12=r 2，

∴r

=

53，则OH =43，在Rt △ABH 中， AH =3，BH =59144+=，则AB =15

4

， 在Rt △ACH 中， AH =3，CH =NH =1，得AC

，在△BMN 和△BCA 中，∠B ＝∠B ，∠BMN

＝∠BCA ，∴△BMN ∽△BCA ， ∴MN BN AC AB =

，即5

1

4=1534

=，∴MN . {分值}8

{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}

{考点:切线的判定}{考点:扇形的面积}{考点:圆与相似的综合} {类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}22．（2019年宜昌T22）HW公司2018年使用自主研发生产的“QL”系列甲、乙、丙三类芯片共2800 万块，生产了2800万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多400万块．这些“QL”芯片解决了该公司2018年生产的全部手机所需芯片的10%.

（1）求2018年甲类芯片的产量：

（2）HW公司计划2020年生产的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯片。从2019年起逐年扩大“QL”芯片的产量．2019年、2020年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数m%，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比m%小I，两类芯片的产量每年按相同的数量递增.2018年到2020年，丙类芯片三年的总产值达到1.44亿块.这样．2020年HW公司的手机产量比2018年全年的手机产量多10%．求丙类芯片2020年的产量及m的值．{解析}本题考查了一元一次方程与一元二次方程的应用．（1）设2018年甲类芯片的产量为x 万块，根据“甲、乙、丙三类芯片共2800 万块”列方程即可求得x；

（2）设丙类芯片的产量每年增加的数量为y万块，先求2018年丙类芯片的产量为，再根据“丙类芯片三年的总产值达到1.44亿块”列方程求y，从而求得丙类芯片2020年的产量与2018年HW公司的手机产量，最后根据“甲、乙、丙三类芯片共2800 万块”列方程求m.

{答案}解：（1）2018年甲类芯片的产量为x万块，则x+2x+（x+2x）+400=2800，解得x=400.∴2018年甲类芯片的产量为400万块；

（2）2018年丙类芯片的产量为3x+400=1600万块，设丙类芯片的产量每年增加的数量为y万块，则1600+1600+y+1600+2y=14400，解得y=3200.∴丙类芯片2020年的产量为1600+2×

3200=8000万块，2018年HW公司的手机产量为2800÷10％=28000万部，

400（1+ m%）2+2×400（1+ m%-1）2+8000=28000×（1+10％）.令t= m%，化简得3t2+2t-56=0，

即（3t+14）（t-4）=0，解得t=

14

3

-（舍去）或t=4，∴m%=4即m=400．

{分值}10

{章节:[1-21-4]实际问题与一元二次方程}

{考点:一元一次方程的应用（和差倍分）}

{考点:其他一元二次方程的应用问题}

{类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}23．（2019年宜昌T23）已知：在矩形ABCD中．E，F分别是边AB，AD上的点，过点F作EF的垂线交DC于点H．以E为直径作半圆O.

（1）填空：点A（填“在”或“不在”）⊙O上；

当??

AE AF

=时，tan∠AEF的值是____；

（2）如图①，在△EFH中，当FE=FH时，求证：AD=AE+DH；

（3）如图②，当△EFH的顶点F是边AD的中点时，求证：EH=AE+DH；

（4）如图③，点M在线段FH的延长线上，若FM=FE，连接EM交DC于点N，连接FN．当AE=AD时，FN=4，HN=3．求tan ∠AEF的值．

①②③

第23题图

{解析}本题考查了矩形与动圆的综合，（1）根据∠A=90°判断；先判断AE与AF关系，再根据定义求tan ∠AEF；

（2）利用AAS证明△AEF≌△DFH，从而得到AD=AE+DH；

（3）延长EF交HD的延长线于点G，利用ASA证明△AEF≌△DGF，从而得到EH=AE+DH；

（4）过点M作MQ⊥AD，垂足为Q，设AF=x，AE=a，先证△AEF≌△DGF，得AE= FQ= a，

AF=QM，再借助平行线分线段成比例定理以及相似三角形得出MN

EN

=

3

4

HM x

FM a

==，从而求

得tan ∠AEF的值．

{答案}解：（1）∵∠A=90°，所以点A在⊙O上；

当??

AE AF

=时，AE=AF，tan ∠AEF=AF

AE

=1，故答案为“在；1”；

（2）∵EF⊥FH，∴∠EFH＝90°．

在矩形ABCD中，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AEF+∠AFE＝90°．∵∠DFE+∠AFE＝90°，∴∠AEF＝∠DFH．又FE＝FH．∴△AEF≌△DFH. ∴AF=DH，AE=DF，∴AD= AF

+FD=AE+DH.

第23题答图①

（3）延长EF交HD的延长线于点G，∵F是AD的中点，∴AF=DF．又∵∠A=∠FDG＝90°，∴∠AFE＝∠DFG．∴△AEF≌△DGF，AE=DG，EF=FG，∵EF⊥FH，∴EH＝GH．∴GH=DG+DH=DH+AE．∴EH=DH+AE；

第23题答图②

（4）过点M作MQ⊥AD，垂足为Q，设AF=x，AE=a，

∵FM=FE，EF⊥FH，

∴△EFM是等腰直角三角形.

∴∠FEM=∠FMN=45°．∵FM=FE，∠A=∠MQF＝90°，∴∠AEF＝∠MFQ．∴△AEF≌△QFM，∴AE= FQ= a，AF=QM，

∵AE＝AD．

∴AF=DQ=QM=x，∵DC∥QM，∴DQ HM x FQ FM a

==，

∵DC∥AB∥QM，∴MN DQ x

EN AD a

==，∴

MN

EN

=

HM x

FM a

=．

又∠FEM＝∠FMN=45°，∴△FEN∽△HMN，∴MN

EN

=

3

4

HM x

FM a

==．

∴tan∠AEF=

3

4 AF x

AE a

==．

{分值}11

{章节:[1-28-3]锐角三角函数}

{考点:与矩形菱形有关的综合题}{考点:圆与相似的综合}{考点:几何选择压轴}

{类别:发现探究}

{难度:3-中等难度}

{题目}24．（2019年宜昌T24）在平面直角坐标系中，正方形AB CD四个顶点的坐标分别为A（-2，4），B（-2，

-2），C（4，-2），D(4，4)．

（1）填空：正方形的面积为：当双曲线y=k

x

(k≠0)与正方形ABCD有四个交点时，k的取

值范围是；

(2)已知抛物线L：y=a（x-m）2+n (a>0)顶点P在BC上，与边AB，DC分别交于点E，F，过点B的

双曲线y=k

x

(k≠0)与边DC交于点N．

①点Q（m，-m2 -2m +3）是平面内一动点，在抛物线L的运动过程中，点Q随m运动，分别求运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标；

②当点F在点N下方，AE=NF．点P不与B，C两点重合时，求BE CF

BP CP

-的值；

③求证：抛物线L与直线x=1的交点M始终位于x轴下方．

①②

第24题图

{解析}本题考查了正方形与一次函数、二次函数的综合应用．（1）①先求正方形ABCD的边长，再求面积；②分k>0和k<0两种情况，分别求出双曲线过界点B与A时k的值，从而求得当双曲线

y=k

x

(k≠0)与正方形ABCD有四个交点时k的取值范围；

（2）①先根据“抛物线L：y=a（x-m）2+n (a>0)顶点P在BC上”求得m的范围，再令y Q= -m2-2m+3配方求得此范围内Q在最高位置和最低位置时的坐标；

②当双曲线y=k

x

(k≠0)经过点B（-2．-2）时，先求k与顶点P的纵坐标，用m和a的代数式表示

BP、CP、BE、CF，从而表示BE CF

BP CP

-，最后根据AE =NF求得a与m的关系，得出

BE CF

BP CP

-

的值；③用m和a的代数式表示M坐标，根据M纵坐标的最值时m的值，分两种情况，求出点F坐标，用a的代数式表示点E的坐标，根据“点E在边AB上，且此时不与B重合”求得a的范围，从而证得结论.

{答案}解：（1）根据题意得正方形ABCD的边长为4-（-2）=6，∴正方形的面积为36.

当k>0时，双曲线y=k

x

(k≠0)与正方形ABCD交于点B（-2，-2）时，k=4，双曲线与正方形有三

个交点，∴当双曲线y=k

x

(k≠0)与正方形ABCD有四个交点时，k的取值范围是0

时，双曲线y=k

x

(k≠0)与正方形ABCD交于点A（-2，4）时，k=-8，此时双曲线也过点C，双曲

线与正方形有二个交点，∴当双曲线y=k

x

(k≠0)与正方形ABCD有四个交点时，k的取值范围是-

8

x

(k≠0)与正方形ABCD有四个交点时，k的取值范围是0

8

(2)①由题意，-2≤m≤4．y Q= -m2-2m+3=-(m+1)2+4.

当m=-1，y Q最大=4，在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（-1，4）.

当m<-1时，y Q随m的增大而增大．当m=-2时，y Q最小=3．

当m>-1时，y Q随m的增大而减小，当m=4时y Q最小=21.

∵3>-21，

∴y Q最小=-21．点Q在最低位置时的坐标(4，-21).

∴在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（-1，4），最低位置时的坐标（4，-21）．

②当双曲线y=k

x

(k≠0)经过点B（-2．-2）时，k=4.∴N(4.1).∵顶点P(m，n)在边BC上，

∴n=-2.∴P(m，-2)．

∴BP=m+2, CP=4-m．

∴抛物线：y=a（x-m）2+n (a>0)与边AB，DC分别交于点E，F，∴E(-2，a(-2 -m)2-2）．F（4，a(4 -m)2-2）．

∴BE= a(-2-m)2，CF =a(4-m)2.

∴

()()

22

24

24

a m a m

BE CF

BP CP m m

---

-=-

+-

= a(m+2)- a(4 - m)= 2am-2a =2a(m-1).

∵AE =NF，点F在点N下方，∴6-a（-2-m）2=3-a（4-m）2．

∴12a(m -1)=3．a(m -1)= 1

4

.∴

BE CF

BP CP

-=

1

2

.

③由题意，M(1，a(1 -m)2-2），∴y M= a(1 -m)2-2（-2≤m≤4），即y M= a(m -1)2-2（-2≤m≤4）. ∵a>0，∴对于每一个a（a>0）值，当m=1时，y M最小=-2.

当m= -2或4时，y M最大=9a -2．

当m=4时，抛物线L：y=a（x-4）2-2．

∴F (4, -2)，E（-2，36a-2）。

∵点E在边AB上，且此时不与B重合。

∴-2< 36a -2≤4.∴0

6

.∴-2< 9a -2≤

1

2

-.

同理，当m=-2时，抛物线L：y=a（x+2）2-2．

∴E (-2， -2)，F(4，36a-2).

∵点F在边CD上，且此时不与C重合，∴-2<36a-2≤4.

解得0

6

．∴ -2< 9a -2≤

1

2

-，∴y M≤

1

2

-.

综上所述，抛物线L与直线x=1的交点M始终位于x轴下方．

{分值}12

{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}

{考点:代数综合}{考点:二次函数与圆的综合}{考点:双曲线与几何图形的综合} {类别:高度原创}

{难度:4-较高难度}