2020-2021学年上海市复旦附中高二上学期期末考试数学试题 Word版
上海市复旦附中2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题
一.填空题(本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)
1.若复数z 满足方程240z +=，则z=_____.
2.已知抛物线C:24y x =的焦点为F ，点A 为抛物线C 上一点，若|AF|=3，则点A 的横坐标为_____.
3.若复数z 满足1201i i z
+=，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为_____. 4.焦点在x 轴上的双曲线223x y m -=焦距长为4，则实数m 的值为_____.
5.已知直线1,72x t y t =-??=-?(t 为参数,t ∈R)和圆C:4cos ,4sin x y θθ=??=?
(θ为参数,θ∈R)交于P,Q 两点，则|PQ|的长为_____.
6.已知关于x 的实系数方程222440x ax a a -+-+=两个虚根为12,x x ,且12||||3,x x +=则a=_____.
7.若复数12,z z 满足1212||||3,||z z z z ==+=则12|2|z z -的值是_____.
8.设P(x,y)是曲线:1C =上的点,12(4,0),(4,0)F F -,则|12|||PF PF +的最大值等于_____. 9.如果M 是椭圆221:1169x y C +=上的动点,N 是椭圆22
2:16436
x y C +=上的动点,那么△OMN 面积的最大值为______.
10.设复数z 满足|z|=1,且使得关于x 的方程2230zx zx ++=有实根,则这样的复数z 的和为_____.
11.已知关于x x a =+有两个不同的实数解,则实数a 的取值范围是______.
12.已知1122(,),(,)A x y B x y 为圆M:224x y +=上的两点,且12121,2
x x y y +=-设00(,)P x y 为弦AB 上一点,且2,AP PB =则|003410x y +-|的最小值为_____.
二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)
13.已知双曲线222:1(0)9x y C a a -=>左?右焦点分别为,过1F 的直线l 交双曲线C 的左支于A,B 两点,
且|AB|=6,若2ABF 的周长为28,则双曲线C 的渐近线方程为()
A.3x±4y=0
B.4x±3y=0
C.3x±8y=0
D.8x±3y=0
14.已知互异的复数a,b 满足ab≠0,集合22{,}{},a b a b =,则a+b=()
A.2
B.1
C.0
D.-1 15.已知定圆M:22(3)16x y -+=,点A 是圆M 所在平面内一定点,点P 是圆M 上的动点,若线段PA 的中垂
线交直线PM 于点Q,则点Q 的轨迹可能是:①椭圆;②双曲线;③抛物线;④圆;⑤直线;⑥一个点.其中所有可能的结果有()
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
16.已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆22
143
x y +=上,设它的三条边AB ?BC ?AC 的中点分别为D ?E ?M,且三条边所在直线的斜率分别为123k k k 、、,且1k 、23k k 、均不为0.O 为坐标原点,若直线OD ?OE ?OM 的斜率之和为1.则123
111k k k ++=() 43A ?- B.-3 1813C ?- 3.2
D - 三.解答题(本大题共5题,共76分)
17.(本题14分)已知圆C:22(1)(2)20x y -++=,点P(-3,0)为圆C 上一点?
(1)过点P 的直线l 与圆C 相切,求直线l 的方程;
(2)Q 是圆C 上一动点(异于点P),求PQ 中点M 的轨迹方程
.
18.(本题14分)已知点A(-1,0)和点B 关于直线l:x+y -1=0对称.
(1)若直线1l 过点B,且使得点A 到直线1l 的距离最大,求直线1l 的方程;
(2)若直线2l 过点A 且与直线l 交于点C,△ABC 的面积为2,求直线2l 的方程.
19.(本题14分)i 为虚数单位,(,)z a bi a b R =+∈且1z z
-
是纯虚数. (1)求|z -2|的取值范围;
(2)若110,,1z a u v z z z
-≠=
=++,求24v u -的最小值.
20.(本题16分)如图,已知椭圆M 22
221(0x y a b a b
∴+=>>))经过圆N 22(1)4x y ++=与x 轴的两个交点和与y 轴正半轴的交点.
(1)求椭圆M 的方程;
(2)若点P 为椭圆M 上的动点,点Q 为圆N,上的动点,求线段PQ 长的最大值;
(3)若不平行于坐标轴的直线l 交椭圆M 于A ?B 两点,交圆N 于C ?D 两点,且满足AC DB =.求证:线段AB 的中点E 在定直线上.
21.(本题18分)设抛物线C:2
2(0)y px p =>的焦点为F,过F 且垂直于x 轴的直线与抛物线交于12,P P 两点,已知12||8.PP =
(1)求抛物线C 的方程;
(2)设m>0,过点M(m,0)作方向向量为(1,3)d =的直线与抛物线C 相交于A,B 两点,求使∠AFB 为钝角时实数m 的取值范围;
(3)对给定的定点(,0)(0)M m m >,过M 作直线与抛物线C 相交于A,B 两点,问是否存在一条垂直于x 轴的直线与以线段AB 为直径的圆始终相切?若存在,请求出这条直线;若不存在,请说明理由?