§3.4 空间直线的方程

§3.4 空间直线的方程

一、直线的点向式方程

1. 如图3-6, 在空间给定了一点M0与一个非零矢量，那么通过点M0且与矢量平行

的直线l就唯一地被确定，矢量叫做直线l的方向矢量. 显然，任何一个与直线l平行的非零矢量都可以作为直线l的方向矢量.

2. 取空间取标架{O;,,}, 设M0的径矢为＝，直线l上任意点M的径矢

为＝，则＝＝+＝＋t叫做直线l的矢量式参数方程，其

中t为参数，它的几何意义是在{M0; }下，的坐标或分量.

3. 设M0(x0, y0, z0), M(x, y, z), ＝{X, Y, Z}, 则

叫做直线l的坐标式参数方程, 其中t为参数.

从上式中消去参数t，则得

＝＝.

叫做直线l的对称式方程或称直线l的标准方程，其中X,

Y, Z不全为0，若某一为0，例如Z＝0, 此时可理解为z

－z0＝0.

4. 通过空间两点M1(x1, y1, z1)和M2(x2, y2, z2)的直

线l的方程为

＝＋t(－).

或

即＝＝.

叫做直线l的两点式方程.

5. 在直角坐标系下，直线的方向矢量常取单位矢量

＝{cosα, cosβ, cosγ},

这时直线l的方程为＝+t,

或＝＝.

这叫做直线l的法式方程, 其中t的绝对值恰好是直线l上两点M0与M间的距离，这是因

为| t | = |－| = ||.

6. 直线的方向矢量的方向角γ与方向余弦cosα, cosβ, cosγ分别叫做直线的方

向角与方向余弦；直线的方向矢量的分量X, Y, Z或与它成比例的一组数l, m, n(l: m: n=X: Y: Z)叫做直线的方向数，由于与直线共线的任何非零矢量，都可以作为直线的方向矢量，因此

π－α，π－β，π－γ及cos(π－α)=－cosα, cos(π－β)=－cosβ, cos(π－γ)=－cosγ, 也可以看作是直线的方向角与方向余弦.

显然直线的方向余弦与方向数之间有下面的关系：

cosα＝，cosβ＝，

cosγ＝.

由于我们讨论的直线不是有向直线，而且两非零矢量{X, Y, Z}与{X′, Y′, Z′}共线的充要条件是X: Y: Z= X′: Y′: Z′，所以我们将用X: Y: Z 来表示与非零矢量{X, Y, Z}共线的直线的方向(数).

例1. 求z轴的参数方程和对称式方程.

解：因为z轴过原点(0, 0, 0)，坐标矢量＝{0, 0, 1}显然是z轴的一个方向矢量，从而z轴的参数方程为

对称式方程为

＝＝.

例2．求过点P(1, 2,－1)与z轴相交且与平面π：6x+2y+z－1=0平行的直线方程.

解：所求直线与z轴的交点为（0，0，c）,则直线方程为

＝＝，

因为所求直线与平面π平行，

所以两矢量{1, 2, －1－c}与{6, 2, 1}垂直，

从而 6+4+(－1－c)=0, 即c = 9.

故所求直线为

＝＝.

例3．一直线与三坐标轴间的夹角分别为α, β, γ，证明

sin2α＋sin2β＋sin2γ＝2.

证明：因为 cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1 ，

所以 sin2α＋sin2β＋sin2γ

＝(1－cos2α)＋(1－cos2β)＋(1－cos2γ)

＝3－(cos2α＋cos2β＋cos2γ)

＝3－1

＝2.

二、直线的一般方程

1.若A1:B1:C1≠A2:B2:C2，则π1: A1x+B1y+C1z+D1＝0

π2: A2x+B2y+C2z+D2＝0

叫做它们交线l的一般方程.

2. 直线的标准方程是一般方程的特殊情形，因为X, Y, Z不全为0，不妨设Z≠0，此时可将标准方程改写成

令a＝，b＝，C＝x0－Z0，d＝y0－z0，就有

它叫做直线l的射影式方程，其中a, b, c, d是四个独立参数，由此可知，四个条件决定一条空间直线.

3. 直线方程的一般方程也总可以化为标准方程的形式

＝＝.

其中(x0, y0, z0)是直线上任一定点.

例4．求通过点M0(x0, y0, z0)且平行于两相交平面πi：A i x+B i y+c i z+D i＝0 (i＝1,2)的直线方程.

解：因所求直线平行于两相交平面，从而垂直于两平面的法线矢量＝{A i, B I, C i}(i＝1,2)，故可取

?＝

为直线的方向矢量，故所求直线的方程为

＝＝.（分母不全为0）

例5．求以下各点的坐标：

（1）在直线＝＝上与原点相距25个单位的点;

（2）关于直线与点P(2, 0,－1)对称的点.

解：（1）将直线方程化为参数式

依题意有,

代入整理得 7t2＋34t－248＝0,

得t＝4 或t＝－.

故所求点为(9, 12, 20) 或 (－，－，－).

（2）设所求对称点为P0(x0, y0, z0)，由于P0与P关于已知直线对称，从而垂直于已知直线，但已知直线的一个方向矢量为

＝{1, 1, －4}×{2, 1, －2}＝{6, 6, －3}＝3{2, －2, 1},

不妨就取＝{2, －2, 1}, 所以 ＝0，即2x0－2y0＋z0－3＝0.

另外线段PP0的中点应在已知直线上，代入化简得

三式联立求解得x0＝0, y0＝2, z0＝7.

故所求对称点的坐标为(0, 2, 7).

例6．求通过直线向三坐标面所引的三个射影柱面.

解：分别消x, y, z, 则得直线向yOz, xOz, xOy面所引的射影柱面分别为

36y－11z＋23＝0, 9x－z＋7＝0, 11x－4y＋6＝0.

例7. 化直线的一般方程为射影式方程与标准方程，并求出直线的方向余弦.

解：分别消去y和z得射影式方程

或

标准方程为

＝＝, 或＝＝.

其中＝{3, －1, 5}为直线的一个方向矢量，其单位方向矢量为

＝{, ,}，故直线的方向余弦为

cosα＝±, cosβ＝, cosγ＝±.

作业题：

1. 设直线 (1) 过原点; (2) 与x轴平行; (3) 与y轴相交;

(4) 与z轴重合, 则各系数所满足的充要条件分别是什么?

2．化直线的一般方程为对称式方程.

3．当D取何值时，直线与z轴相交？

4．当B和D取何值时，直线在xOy平面内？