导线的力学计算讲解

第二章导线应力弧垂分析

·导线的比载

·导线应力的概念

·悬点等高时导线弧垂、线长和应力关系

·悬挂点不等高时导线的应力与弧垂

·水平档距和垂直档距

·导线的状态方程

·临界档距

·最大弧垂的计算及判断

·导线应力、弧垂计算步骤

·导线的机械特性曲线

［内容提要及要求］

本章是全书的重点，主要是系统地介绍导线力学计算原理。通过学习要求掌握导线力学、几何基本关系和悬链线方程的建立；掌握临界档距的概念和控制气象条件判别方法；掌握导线状态方程的用途和任意气象条件下导线最低点应力的计算步骤；掌握代表档距的概念和连续档导线力学计算方法；了解导线机械物理特性曲线的制作过程并明确它在线路设计中的应用。

第一节导线的比载

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作用在导线上的机械荷载有自重、冰重和风压，这些荷载可能是不均匀的，但为了便于计算，一般按沿导线均匀分布考虑。在导线计算中，常把导线受到的机械荷载用比载表示。

由于导线具有不同的截面，因此仅用单位长度的重量不宜分析它的受力情况。此外比载同样是矢量，其方向与外力作用方向相同。所以比载是指导线单位长度、单位截面积上的荷载，常用的比载共有七种，计算公式如下：

1．自重比载

导线本身重量所造成的比载称为自重比载，按下式计算

（2-1）

式中：g1—导线的自重比载，N/m.mm2；

m0一每公里导线的质量，kg/km；

S—导线截面积，mm2。

2．冰重比载

导线覆冰时，由于冰重产生的比载称为冰重比载，假设冰层沿导线均匀分布并成为一个空心圆柱体，如图2－1所示，冰重比载可按下式计算：

（2-2）

式中：g2—导线的冰重比载，N/m.mm2；

b—覆冰厚度，mm；

d—导线直径，mm；

S—导线截面积，mm2。

图2-1覆冰的圆柱体

设覆冰圆筒体积为：

取覆冰密度，则冰重比载为：

3．导线自重和冰重总比载

导线自重和冰重总比载等于二者之和，即

g3＝g1+g2（2-3）

式中：g3—导线自重和冰重比载总比载，N/m.mm2。

4．无冰时风压比载

无冰时作用在导线上每平方毫米的风压荷载称为无冰时风压比载，可按下式计算：

（2-3）

式中：g4—无冰时风压比载，N/m.mm2；

C—风载体系数，当导线直径d< 17mm时，C=1.2；当导线直径d≥17mm时，C=1.1；

v—设计风速，m/s；

d—导线直径，mm；

S—导线截面积，mm2；

a—风速不均匀系数，采用表2－1所列数值。

表2－1各种风速下的风速不均匀系数a

设计风速（m/s）20以下20-30 30-35 35以上

ａ 1.0 0.85 0.75 0.70

作用在导线上的风压（风荷载）是由空气运动所引起的，表现为气流的动能所决定，这个动能的大小除与风速大小有关外还与空气的容重和重力加速度有关。

由物理学中证明，每立方米的空气动能（又称速度头）表示关系为：，其中q —速度头（N ／m2）,v—风速（m/s），m—空气质量（kg/m3），当考虑一般情况下，假定在标准大气压、平均气温、干燥空气等环境条件下，则每立方米的空气动能为

实际上速度头还只是个理论风压，而作用在导线或避雷线上的横方向的风压力要用下式计算:

式中：P h—迎风面承受的横向风荷载（N）。式中引出几个系数是考虑线路受到风压的实际可能情况，如已说明的风速不均匀系数α和风载体型系数C等。另外，K表示风压高度变化系数，若考虑杆塔平均高度为15m时则取1；θ表示风向与线路方向的夹角，若假定风向与导线轴向垂直时，则θ＝90°；F表示受风的平面面积（m2），设导线直径为d(mm)，导线长度为L（m），则F=dL×10-3。

由此分析则导线的风压计算式为：

相应无冰时风压比载为：

5．覆冰时的风压比载

覆冰导线每平方毫米的风压荷载称为覆冰风压比载，此时受风面增大，有效直径为（d+2b）,可按下式计算：

（2-5）

式中：g5—覆冰风压比载，N/m.mm2；

C—风载体型系数，取C=1.2；

6．无冰有风时的综合比载

无冰有风时，导线上作用着垂直方向的比载为g1和水平方向的比载为g4，按向量合成可得综合比载为g6，如图2－2所示：

图2-2无冰有风综合比载

则g6称为无冰有风时的综合比载，可按下式计算：

（2-6）

式中，g6—无冰有风时的综合比载，N/m.mm2。

7．有冰有风时的综合比载

导线覆冰有风时，综合比载g7为垂直比载g3和覆冰风压比载g5向量和，如图2－3所示，

图2-3覆冰有风综合比载

可按下式计算：

（2-6）

式中g7一有冰有风时的综合比载，N/m.mm2。

以上讲了7种比载,它们各代表了不同的含义,而这个不同是针对不同气象条件而言的,在以后导线力学计算时则必须明确这些比载的下标数字的意义。

[例2-1] 有一条架空线路通过Ⅳ类气象区，所用导线为LGJ一120/20型，试计算导线的各种比载。

解：

首先由书中附录查出导线LGJ一120/20型的规格参数为：计算直径d=15.07mm，铝、钢两部分组成的总截面积S=134.49mm2，单位长度导线质量m0=466.8kg/km。

由表1-8查出Ⅳ类气象区的气象条件为：覆冰厚度为b=5mm,覆冰时风速V=10m/s,最大风速V=25m/s,雷电过电压风速V=10m/s,内过电压时风速V=15m/s。下面分别计算各种比载。

(1)自重比载g1：

g1=9.80665 ×m0/S ×10-3

=9.80665×466.8/134.49×10-3

=34.04×10-3[N/m.mm2]

(2)覆冰比载g2：

g2(5)=27.728×b(d+b) /S ×10-3

=27.728×5(15.07+5)/134.49 ×10-3

=20.69×10-3[N/m.mm2]

(3)垂直比载g3：

g3(5)=g1+g2(5)=54.73×10-3[N/m.mm2]

(4)无冰时风压比载g4：

由表2-1查出当风速为20～30m/s时，α=0.85，当风速为20m/s以下时，α=1.0，风载体形系数C=1.2,由公式计算

g4(10)=0.6128×1.0×1.2×102/134.49×15.07×10-3 =8.24×10-3[N/m.mm2]

g4(15)=0.6128×1.0×1.2×152/134.49×15.07×10-3=18.54×10-3[N/m.mm2]

g4(25)=0.6128×1.0×1.2×252/134.49×15.07×10-3=43.77×10-3[N/m.mm2]

(5)覆冰时风压比载g5：

由表1-2查出α=1.0，已知C=1.2，则

g5(5,10)=0.6128×1.0×1.2(15.07+2×5)×102/S×10-3=13.71×10-3[N/m.mm2]

(6)无冰时综合比载g6：

几种风速下的比载由公式

计算,分别为

(7)覆冰时综合比载g7：

当重力加速度采用9.8值计算时，其结果只是微小差别。

第二节导线应力的概念

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悬挂于两基杆塔之间的一档导线，在导线自重、冰重和风压等荷载作用下，任一横截面

上均有一内力存在。根据材料力学中应力的定义可知，导线应力是指导线单位横截面积上的

内力。因导线上作用的荷载是沿导线长度均匀分布的，所以一档导线中各点的应力是不相等

的，且导线上某点应力的方向与导线悬挂曲线该点的切线方向相同，从而可知，一档导线中其导线最低点应力的方向是水平的。

所以，在导线应力、弧垂分析中，除特别指明外，导线应力都是指档内导线最低点的水平应力，常用σ0表示。

关于悬挂于两基杆塔之间的一档导线，其弧垂与应力的关系，我们知道：弧垂越大，则导线的应力越小；反之，弧垂越小，应力越大。因此，从导线强度安全角度考虑，应加大导线弧垂，从而减小应力，以提高安全系数。

但是，若片面地强调增大弧垂，则为保证带电线的对地安全距离，在档距相同的条件下，则必须增加杆高，或在相同杆高条件下缩小档距，结果使线路基建投资成倍增加。同时，在线间距离不变的条件下，增大弧垂也就增加了运行中发生混线事故的机会。

实际上安全和经济是一对矛盾的关系，为此我们的处理方法是:在导线机械强度允许的范围内，尽量减小弧垂，从而既可以最大限度地利用导线的机械强度，又降低了杆塔高度。

导线的机械强度允许的最大应力称为最大允许应力，用σmax表示。架空送电线路设计技术规程规定，导线和避雷线的设计安全系数不应小于2.5。所以，导线的最大允许应力为：

（2-8）

式中［σmax］—导线最低点的最大允许应力，MPa；

T cal—导线的计算拉断力，N;

S—导线的计算面积，,

σcal—导线的计算破坏应力，MPa；

2.5—导线最小允许安全系数。

在一条线路的设计、施工过程中，一般说我们应考虑导线在各种气象条件中，当出现最大应力时的应

力恰好等于导线的最大允许应力，即可以满足技术要求。但是由于地形或孤立档等条件限制，有时必须把最大应力控制在比最大允许应力小的某一水平上以确保线路运行的安全性，即安全系数K＞2.5。因此，我们把设计时所取定的最大应力气象条件时导线应力的最大使用值称最大使用应力，用σmax表示，则：

（2-9）

式中σmax—导线最低点的最大使用应力，MPa；

K—导线强度安全系数。

由此可知，当K=2.5时，有σmax＝［σmax］，这时，我们称导线按正常应力架设；当K＞2.5时，则，这时σmax<［σmax］，我们称导线按松弛应力架设。导线的最大使用应力是导线的控制应力之一，后边还要进行讨论。

工程中，一般导线安全系数均取2.5，但变电所进出线档的导线最大使用应力常是受变电所进出线构架的最大允许应力控制的；对档距较小的其他孤立档，导线最大使用应力则往往是受紧线施工时的允许过牵引长度控制；对个别地形高差很大的耐张段，导线最大使用应力又受导线悬挂点应力控制。这些情况下，导线安全系数均大于2.5的，为松弛应力架设。

导线的应力是随气象条件变化的，导线最低点在最大应力气象条件时的应力为最大使用应力，则其他气象条件时应力必小于最大使用应力。

第三节悬点等高时导线弧垂、线长和应力关系

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二、平抛物线方程

平抛物线方程是悬链线方程的简化形式之一。它是假设作用在导线弧长上的荷载沿

导线在x轴上的投影均匀分布而推出的，在这一假设下，图2-6中导线所受垂直荷载变成

即用直线代替弧长，从而使积分简化，由此导出平面抛物方程为

（2－17）

相应导线的弧长方程式为：

（2－18）

实际上式(2-17)是式(2-14)取前一项的结果，式(2-18)是式(2-16)取前两项的结果，这恰说明它是悬链线方程的近似表达式。

当悬挂点高差h/≤10%时，用平抛物线方程进行导线力学计算，可以符合工程精度要求。

三、悬挂点等高时导线的应力、弧垂与

(一)导线的弧垂

将导线悬挂曲线上任意一点至两悬挂点连线在铅直方向上的距离称为该点的弧垂。一般所说的弧垂，均指档内最大弧垂(除了特别说明外)

1.最大弧垂计算

如图2-7所示的悬点等高情况。将式(2-13)中的x以代入，则得最大弧垂f的精确计算公式(悬链线式)如下

（2－19）

式中：f—导线的最大弧垂，m；

σ0—水平导线最低点应力，MPa ；

g—导线的比载，N/m.mm2；

—档距，m。

同理，在实际工程中当弧垂与档距之比≤10%时，可将式(2-17)中的x以代入，得最大弧垂的近似计算公式(平面抛物线计算式)：

(2-20)

式(2-20)在线路设计中会经常用到。

2.任意一点的弧垂计算

如图2-7所示，

图2-7悬线等高时弧垂

任意一点的弧垂可表示为：

利用悬链线方程进行计算，可将式(2-13)和式（2-19）代入上式，经整理得：

(2-21) 式中—导线任一点D(x,y)到悬挂点A、B的水平距离；

若利用平抛物线方程，可将式(2-17)和式(2-20)进行计算，得到任意一点弧垂的近似计算式：

(2-22) （二）导线的应力

1．导线的受力特点

由于将导线视为柔索，则导线在任一点仅承受切向张力。因导线不同点处由于其自身重量不同，则切

向张力也是不同的，即导线的张力随导线的长度而变化。

但在线路设计中我们主要关心两个特殊点的受力情况：一是导线最低点受力；二是导线悬挂点受力。

导线的受力特点，由图2－6的受力三角形分析，导线在任一点受到的张力大小均可以分解为垂直分量和水平分量两个分力，其特点是：

①导线最低点处只承受水平张力，而垂直张力为零；

②导线任一点水平张力就等于导线最低点的张力；

③导线任一点张力的垂直分量等于该点到导线最低点之间导线上荷载（G）。

2．导线上任意一点的应力

如图2-6所示，导线悬挂点等高时，其导线的应力计算如下。

根据前述的导线受力条件，导线在任一点的张力T x为：

（2－23）

要消去不定量弧长L x，用导线其它已知数据表示，则由式(2-13)和式(2-15),即悬链线方程和弧长方程可以导出：

方程两边同乘以(gS)2得：

（2－24）

将方程式(2-24)代入式(2-23)中，且对应项相等关系，可得：

（2－25）

则得导线上任意一点处的轴向应力为：

(2-26)

此为导线应力计算中的重要公式，它表明导线任一点的应力等于导线最低点的应力再加上该点纵坐标与比载的乘积，且是个代数和。

根据式(2-23)还可以得到导线轴向应力的另一种计算公式，即：

即由受力三角形关系除以S直接得到，它表示导线任一点应力等于其最低点的应力和此点到最低点间导线上单位面积荷载的矢量和。

其形式还可以表示为：

（2－27）

式中α—导线任一点切线方向与x轴的夹角。式(2-26)和式(2-27)是计算导线应力的常用公式。

3.导线悬挂点的应力

导线悬挂点的轴向应力σA根据式(2-26)和式(2-27)可得到

或

式中符号意义同前。

4.一档线长

在不同气象条件下，作用在导线上的荷载不同，这还将引起导线的伸长或收缩，因此线长L也是一个变化量。尽管线路设计中很少直接用到这个量，但线路计算的诸多公式大都与它有关。

根据式(2-15)，导线最低点至任一点的曲线弧长为：

悬挂点等高时，令x=代入上式得到半档线长，则一档线长为：

（2－29）

式中L—悬点等高时一档线长，m。

一档线长展开成级数表达式

（2－30）

在档距不太大时，可取上式中前两项作为一档线长的平抛物线近似公式

（2－31）

又可写成

（2－32）

第四节悬挂点不等高时导线的应力与弧垂

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一、导线的斜抛物线方程

导线悬垂曲线的悬链线方程是假定荷载沿导线曲线孤长的均匀分布导出的，是精确的

计算方法。工程计算中，在满足计算精度要求的情况下，可以采用较简单的近似计算方法。

前述的平抛抛物方程是简化计算形式之一，但它用于悬挂点不等高且高差较大的情况进行

计算可能会造成较大误差。

为此,又引出了悬垂曲线的斜抛物线方程式，用于悬挂点不等高时的近似计算公式。

斜抛物线方程的假设条件为：作用在导线上的荷载沿悬挂点连线AB均匀分布，即用斜线代替弧长，如图2－8所示。这一假设与荷载沿弧长均匀分布有些差别，但实际上一档内导线弧长与线段AB的长度相差很小，因此这样的假设可以符合精度要求。

图2-8 悬挂点不等高示意图,图中诸多符号的含义后边另作说明。

在上述假设下，导线OD段的受力情况如图2－9所示。此时垂直荷重的弧长L x换成了x/cos，这相当于把水平距离x折算到斜线上。

图2-9OD段的受力图

根据静力学平衡条件，y轴向受力代数和为

又

对上式进行积分，并根据所选的坐标系确定积分常数为零，可得到导线悬垂曲线的斜抛物线方程为：

（2－33）

式中—高差角；

其他符号意义同前。

实际上，式（2－33）与式（2－17）相比差个关系，但相对于式（2－13）在应用于计算中仍然简明得多。

据弧长微分式，将

的关系代入可得斜抛物线方程下的弧长方程为（取前两项）

二、导线最低点到悬挂点的距离

此时是在讨论悬挂点不等高情况下的导线力学及几何关系。为此我们通过分析导线最低点到悬挂点之间的两种距离，即水平距离和垂直距离的几何关系，来导出使用斜抛物线方程下的导线应力、孤垂及线长的计算公式。如图2－8所示，将坐标原点选在导线最低点，显然，随着坐标原点的不同，方程的表达式也有所不同。

1．水平距离

用斜抛物线方程计算时，由式（2-33）可知导线最低点到悬挂点之间的水平距离和垂直距离的关系为

（2－34）

（2－35）

式中—最低点到悬挂点的垂直距离，m; 、

—最低点到悬挂点的水平距离，m; 其他符号意义同前。

悬挂点的高差：

其中档距；且高差与档距关系有，以及，则联立求解上二式得

(2-36)

(2-37)

其中

上式中f—档内导线最大弧垂（见后证明）。

另外是个代数量，据坐标关系，悬挂点B在导线最低点O的左侧时，它为负值。

导线最低点至档距中央距离为

(2-38)

2．垂直距离

将式(2-36)、式(2-37)分别代入式(2-34)、式(2-35)可得

(2-39)

(2-40)

三、悬挂点不等高时的最大弧垂

在悬挂点不等高的一档导线上作一条辅助线平行于AB，且与导线相切于D点，显然相切点的弧垂一定是档内的最大弧垂。通过证明可知最大弧垂处于档距的中央。

用抛物线方程确定导线上任一点D(x,y)点的弧垂f x，则在图2－8中C′点和A点的高差为：

弧垂f x为

（2－41）

式中—导线上任一点D(x,y)到导线悬挂点A、B的水平距离；

其它符号意义同前。

确定档内最大孤垂的另一方法是对导线上任一点弧垂的函数求导并令其为零（极值法），即对式（2

－41）求导，且，解出。

显然其结果就是导线最低点到档距中央的水平距离。由此得出结论：导线悬挂点等高时，档内最大孤垂一定在档距中央；而导线悬挂点不等高时，档内最大孤垂仍在档距中央。但注意若用悬链线方程推证，则悬挂点不等高时，最大孤垂并不真正在档距中央处，证明略。

最大弧垂出现在档距中央，即时，代入式(2-41)中，得到最大弧垂计算式为

（2－42）

四、导线的应力

导线上任意一点的轴向应力为

（2－43）

悬挂点A的应力为

（2－44）

悬挂点B的应力为：

（2－45）

五、一档线长

悬挂点不等高，一档线长用斜抛物线方程计算时，其精度不高，因此工程中采用悬链线方程导出的线长方程近似式作为斜抛物线线长的计算公式（证明略），即

(2-46)

第五节水平档距和垂直档距

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一、水平档距和水平荷载

在线路设计中，对导线进行力学计算的目的主要有两个：一是确定导线应力大小，以

保证导线受力不超过允许值；二是确定杆塔受到导线及避雷线的作用力，以验算其强度是

否满足要求。杆塔的荷载主要包括导线和避雷线的作用结果，以及还有风速、覆冰和绝缘

子串的作用。就作用方向讲，这些荷载又分为垂直荷载、横向水平荷载和纵向水平荷载三种。

为了搞清每基杆塔会承受多长导线及避雷线上的荷载，则引出了水平档距和垂直档距的概念。

悬挂于杆塔上的一档导线，由于风压作用而引起的水平荷载将由两侧杆塔承担。风压水平荷载是沿线长均布的荷载，在平抛物线近似计算中，我们假定一档导线长等于档距，若设每米长导线上的风压荷载为P，则AB档导线上风压荷载,如图2-10所示：

则为，由AB两杆塔平均承担；AC档导线上的风压荷载为，由AC两杆塔平均承担。

图2-10水平档距和垂直档距

如上图所示：此时对A杆塔来说，所要承担的总风压荷载为

（2－47）

令

则

式中P—每米导线上的风压荷载N/m;

—杆塔的水平档距，m;

—计算杆塔前后两侧档距，m;

Ｐ—导线传递给杆塔的风压荷载，N。

因此我们可知，某杆塔的水平档距就是该杆两侧档距之和的算术平均值。它表示有多长导线的水平荷载作用在某杆塔上。水平档距是用来计算导线传递给杆塔的水平荷载的。

严格说来,悬挂点不等高时杆塔的水平档距计算式为

只是悬挂点接近等高时，一般用式其中单位长度导线上的风压荷载p，根据比载的定义可按下述方法确定，当计算气象条件为有风无冰时，比载取g4，则p=g4S；

当计算气象条件为有风有冰时，比载取g5，则p=g5S，因此导线传递给杆塔的水平荷载为：

无冰时（2－48）

有冰时（2－49）

式中S—导线截面积，mm2。

二、垂直档距和垂直荷载

如图2-10所示，O1、O2分别为档和档内导线的最低点，档内导线的垂直荷载（自重、冰重荷载）由B、A两杆塔承担，且以O1点划分，即BO1段导线上的垂直荷载由B杆承担，O1A段导线上的垂直荷载由A杆承担。同理，AO2段导线上的垂直荷载由A杆承担，O2C段导线上的垂直荷载由C杆承担。

在平抛物线近似计算中，设线长等于档距，即

则(2-50)

式中G—导线传递给杆塔的垂直荷载，N；

g—导线的垂直比载，N/m.mm2；

—计算杆塔的一侧垂直档距分量，m；

—计算杆塔的垂直档距，m；

S—导线截面积，。

由图2-10可以看出，计算垂直档距就是计算杆塔两侧档导线最低点O1、O2之间的水平距离，由式(2-50)可知，导线传递给杆塔的垂直荷载与垂直档距成正比。其中

m1、m2分别为档和档中导线最低点对档距中点的偏移值，由式(2-38)可得

结合图2-10中所示最低点偏移方向，A杆塔的垂直档距为

综合考虑各种高差情况，可得垂直档距的一般计算为

(2-51)

式中g、σ0—计算气象条件时导线的比载和应力，N/m.mm2；MPa ；

h1、h2—计算杆塔导线悬点与前后两侧导线悬点间高差，m。

垂直档距表示了有多长导线的垂直荷载作用在某杆塔上。式(2-51)括号中正负的选取原则：以计算杆塔导线悬点高为基准，分别观测前后两侧导线悬点，如对方悬点低取正，对方悬点高取负。

式(2-50)中导线垂直比载g应按计算条件选取，如计算气象条件无冰，比载取g1，有冰，比载取g3，而式(2-51)中导线比载g为计算气象条件时综合比载。

垂直档距是随气象条件变化的，所以对同一悬点，所受垂直力大小是变化的，甚至可能在某一气象条件受下压力作用，而当气象条件变化后，在另一气象条件则可能受上拔力作用。

【例2-2】某一条110KV输电线路，导线为LGJ—150/25型，导线截面积为S=173.11mm2，线路中某杆塔前后两档布置如图2-11所示，