高中数学人教版必修点到直线的距离教案(系列一)
3.3.3点到直线的距离教案
授课类型：新授课授间：第周年月日（星期）
一、教学目标：
1、知识与技能：理解点到直线距离公式的推导，掌握点到直线的距离公式；会求两条平行直线间的距离。
2、过程与方法：探索点到直线距离公式，会用点到直线距离公式求解两平行线距离。
3、情感态度与价值观：认识事物之间在一定条件下的转化，会用联系的观点看问题。
二、教学重点、难点
重点：点到直线的距离公式，两条平行直线间的距离公式。
难点：点到直线距离公式的理解与应用。
三、教学内容分析
本节课是在研究了直线的方程和两条直线的位置关系的基础上，探索如何用坐标和方程来定量研究距离问题，既是对前面知识体系的完善，又为后面研究直线与圆、圆与圆的位置关系奠定基础，具有承上启下的作用。同时，教材通过让学生经历点到直线距离公式的探究与应用过程，进一步体会解析几何的本质：用代数方法解决几何问题。
学生已经有的相关知识是：两点间距离公式，直线的倾斜角、斜率，直线方程的各种形式，直线间关系判断的依据；并且经历了建立这些公式、解决这些问题的过程，积累了一定的用坐标法思想解决问题的经验与各种具体方法。这一节课的任务是：给出已知点的坐标与已知直线的方程，求点到直线的距离，建立点到直线的距离的公式。从学生已经有的知识与经验看，不难知道，可以把点到直线的距离问题转化为点到点的距离问题，从而完成任务。
从课型来说，应该属于“问题教学”，以一个问题为载体，学生在教师的引导与帮助下，分析、研究问题，制订解决问题的策略，选择解决问题的方法。
通过一个数学问题的解决，让学生参与教学过程，在这个过程中，教师尊重学生的思维过程，充分发挥学生在学习中的主动性以及他们之间的合作交流。
因此，本节课的重点是点到直线距离公式的建立，难点是选择恰当的解决问题的方法。
2、对公式的推导，关键是“怎样想到利用坐标系中的x轴或y轴构造直角三角形，从而推出公式”。对于这个问题，教材的处理是：直接作辅助线（呈现教材这样做，无法展现为什么会想到要构造直角三角形这一最需要学生探索的过程，不利于学生完整地理解公式的推导和掌握与之相应的丰富的数学思想方法。如果照本宣科，则不能摆脱在客观上对学生灌注式教学。事实上，为了真正实现以学生为主体的教学，起关键作用的是设计出有利于学生参与教学的内容组织形式。
因此，在备没有像教材中的那样直接作辅助线，而是对教学内容进行剪裁、重组和铺垫，构建出在探索结论过程中侧重于学生能力培养的一系列教学环节，采用由特殊到一般的方法，引导学生通过对特殊的直观图形的观察、研究，自己发现隐藏其中的直角三角形，从而引出 | PQ |。在此基础上进一步将特殊问题还原到一般，学生十分自然地想到在坐标系中探寻令PQ 的直角三角形，找不到，自然想构造，此时再过点P 作x 轴和y 轴的平行线就显得“瓜熟蒂落，水到渠成”了。
本设计力求以启迪思维为核心，设计出能启发学生思维的“最近发展区”，从而突破关键，导出公式。
四、教学策略分析
1、遵循“数学学习的本质是主体（学生）在头脑中构建和发展数学认知结构的过程，是主体的一种再创造行为”的理论，采取以“学生为主体、教师为主导”的启发式教学。
2、根据“教师应尊重学生主体和主动的精神，开发学生的智能，形成其健全个性”的原则，力求营造民主的教学氛围，使学生或显性（答问、板演等）或隐性（聆听、苦思等）地参与教学全过程，给学生以思考时空，让学生自己导出公式。
3、采用多媒体教学手段，增大教学的容量和直观性，有效提高教学效率和教学质量。
4、以反馈调控为手段，力求反馈的全面性（优、中、差生）与时效性（及时、中肯）。
五、教学过程设计
（一）创设情景，提出问题
问题1：求点P 0 (– 1 , 2) 到直线l ：3x = 2的距离。
问题2：求原点O 到直线l ：3x 2y – 26 = 0的距离。
方法1：设直线交两坐标轴于A 、B 两点，则)13,0(),0,3
26(B A ，从而 133
1313)326(||,13||,326||22=+===AB OB OA ， 因为d AB OB OA S AOB
?=?=?||21||||21，所以1321331313326||||||=?=?=AB OB OA d 。 方法2（求点H 的坐标）：作OQ ⊥l ，垂足为Q ，直线OQ 的方程为2x – 3y = 0，与直
线l 的方程联立，解方程组???=-=-+03202623y x y x ，得?
??==46y x ，所以点Q 的坐标为 (6 , 4)，由两点间的距离公式得132)04()06(||22=-+-=OQ 。
（二）类比探究，推导公式
问题3：已知点P 的坐标为),(00y x ，直线0:=++C By Ax l ，如何求点P 到直线l 的距离呢？
学生首选坐标法（因为从问题2可以看出，坐标法比面积法简单。）
分析：设点P 到直线l 的垂线段为PQ ，垂足为Q ，由PQ ⊥l 可知，直线PQ 的斜率为A
B
（A ≠0根据点斜式写出直线PQ 的方程，并由l 与PQ 的方程求出点Q 的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ ｜，得到点P 到直线l 的距离为d
果真在运算时受阻，所有的学生都没有信心完整地算出，于是只有放弃。
自然的便有学生用面积法进行尝试，而此时问题便可迎刃而解：
设A ≠ 0，B ≠ 0，这时l 与x 轴、y 轴都相交，过点P 作x 轴的平行线，交l 于点),(01y x R ；作y 轴的平行线，交l 于点),(20y x S ，
由???=++=++0020011C By Ax C By x A 得B C Ax y A C By x --=--=0201,所以，｜PR ｜=｜10x x -｜= A
C By Ax ++00， ｜PS ｜=｜20y y -｜= B C By Ax ++00， ｜RS ｜＝AB B A PS PR 2
22
2+=+×｜C By Ax ++00｜ 由三角形面积公式可知：d ·｜RS ｜＝｜PR ｜·｜PS ｜，所以2200B A C By Ax d +++=
。 可证明，当A=0时仍适用。
（三）深入探究，发展思维
追问：用坐标法真的算不下去吗？你的目标是什么？
设),(11y x Q ，所以201201)()(||y y x x PQ -+-=，已知条件：
)(,101010101x x A
B y y A B k x x y y k PQ -=-∴=-=--=，011=++
C By Ax ， 有必要求出11,y x 吗？（没有必要，换元法可以帮大忙。）
设C By Ax m y y v x x u ++=-=-=000101,,，则：
???
????+-=+-=??????-=++-=+=222200)(B A mB v B A mA u m C By Ax Bv Au u A B v ， 所以2200222222
222||||)()()(||B A C By Ax B A m B A mB mA v u PQ +++=+=++=+=。
可证明，当A = 0时仍适用。
归纳：点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200B A C By Ax d +++=
。 （四）知识迁移应用
例1、 已知点A （1，3B （3，1C （– 1，0求三角形ABC 的面积。
解：设AB 边上的高为h ，则S △ABC =h AB ?||2
1， 2244||=+=AB ， AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离，AB 边所在直线方程为x y – 4 = 0。
所以点C 到直线AB 的距离25
11|
401|=+-+-=h ，因此，S △ABC
=152?=。 例2、已知直线1l ：0872=--y x ，2l ：01216=--y x ，1l 与2l 是否平行？若平行，求1l 与2l 间的距离。
分析：（1）因为7
221==k k ，所以1l ∥2l ； （2）能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离？
（3）如何取点，可使计算简单？
（4）推广到一般：已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为222
1B A C C d +-=。
（5）应用（4）的结论求解例2，应注意什么问题？
（五）课堂演练，巩固提高
课本P108、P109，练习。
（六）反思总结、深化认识
请学生谈谈自己的收获。
1、今天我们学习了点到直线的距离公式，两条平行直线间的距离公式，要熟记公式的
结构，应用时要注意将直线的方程化为一般式。
2、当A = 0或B = 0（直线与坐标轴垂直）时，仍然可用公式，这说明了特殊与一般的关系。
（七）作业
课本P109，习题3.3 [A组]9，10；[B组]2、4、5。
教学反思：