高考考前数学小题强化训练四
高考考前数学小题强化训练四
时量：45分钟 满分：70分
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，
共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设|a n |是递增等差数列，前三项的和为12，前三
项的积为48，则它的首项是（ B ） A ．1 B ．2 C ．4
D ．6
【解析】等差数列的前3项和为12， 则第2项是4，设公差为d ＞0，
由条件可得(4 – d )×4×(4 + d ) = 48，得d = 2. 所以首项为2，选B. 2．若0＜α＜β＜
4
π
，sin α+ cos α= a ，sin β+
cos β=b ，则（ A ） A ．a ＜b B ．a ＞b C ．ab ＜1
D ．ab ＞2
【解析】a 2 = (sin α+cos α)2 = 1 + sin2α， b 2 = (sin β+cos β)2 = 1 + sin2β. 0＜α＜β＜4
π
，令α=6
,12
π
βπ
=
，
得a 2 = 1 +2
321=
，
b 2 = 1 +
.2
322
3+=
所以a 2＜b 2，又a ＞0，b ＞0， 故a ＜b .选A.
3．已知函数f (x ) = 2x 的反函数f –1 (x )，若f –1 (a )
+ f –1 (b ) = 4，则b
a 11+的最小值为（ B ） A ．1
B ．
2
1
C ．31
D ．
4
1
【解析】因为f (x ) = 2n ，所以其反函数为f – 1 (x ) = log 2 ab ，则f – 1
(a ) + f – 1
(b ) = 4，得log 2 a +log 2b = log 2 ab = 4，解得ab = 16.
.2116
16216
216
11==≥+=+=+ab b a ab
b a b a 故选
B.
4．设A (– 1，2)、B (2, – 2)、C (0，3)，M (a ，b )(a ≠0)是线段AB 上的一点，则直线MC 的斜率k 的取值范围是（ D ） A ．[1,25-] B ．[2
5,
1-]
C ．[1,0()0,2
5?-
]
D ．),1[]2
5,(+∞?-
-∞
【解析】画出图形知k ≥k AC = 1，或k ≤k BC =2
5-
∴k ∈(–∞，]2
5
-∪[1，+∞)，故选D.
5．设)
1,0(),2
1,
1(==ON OM
，则满足条件0≤
OM
OP ,≤1，0≤ON OP ?≤1的动点P 的变动范围
（图中 阴影部分，含边界）是（ A ）
【解析】设点P (x ，y )，则0≤(x ，y )·(1，2
1)≤l ，
0≤(x ，y )·(0，1)≤1，即0≤x +
2
1y ≤1，0≤y
≤1. 因此动点P 的变化范围是A 中的阴影部
分．故选A ．
6．若正三棱锥P 一ABC 的三条侧棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（ D ）
A ．1:3
B ．1:(3 +3)
C ．(3+ 1):3
D ．(3– 1 ):3
【解析】设正三棱锥侧棱长为a ，则底面边长为
a 2，把正三棱锥补成正方体，它们的外接球
相同，其半径为a
R 23=
，由体积法求得内切
球半径为.3
13,63
3-=
-=R
r a r
故选
D ．
7．若m 、n 是不大于6的非负整数，则2626y C x C n m +
= 1表示不同的椭圆个数为（ C ） A ．
2
7
A B ．
26
C C ．
24
A D ．
24
C
【解析】m 、n 分别可以取0，1，2，3，4，5，
6，又因为4
62656166606,,C C C C C C ===，
所以m C 6取值只有4个不同的值，故m C 6与n C 6的不同取值种数为24A ，从而选C.
8．男女生共8人，从男生中选2人，女生中选1
人，共有30种不同的选法，其中女生人数是
（ D ） A ．2人 B ．3人 C ．4人
D ．2人或3人
【解析】设有n 个女生，则2
81n n
C C -= 30， ∴n (8 – n ) (7 – n ) = 60，
将2，3，4分别代入上式验算得D 正确. 9．若a ＞b ＞1，P =
2
1,lg lg =
?Q b a (lg a + lg b )，R =
2
lg
b a +，则（ B ）
A ．R ＜P ＜Q
B ．P ＜Q ＜R
C ．Q ＜P ＜R
D ．P ＜R ＜Q
【解析】取a = 100，b = 10，则P =
2
，Q = 1.5，
R =Q
>-=>2lg 22
110lg
2
110lg
. 故选B.
10．已知集合}2|{a x x M ≤≤-=，
},32|{M x x y y P ∈+==，
},|{2
M x x z z T ∈==且P T ?，则实数a
的取值范围是（ A ）
A.
32
1≤≤a
B.32≤<-a
C.32≤≤a
D.
22
1≤≤a
【解析】因为}2|{a x x M ≤≤-=，
}321|{+≤≤-=a y y P
当}4|{022≤≤=?≤≤-z a z T a ，要使 P T ?，则2
1432≥
?≥+a a （舍去）；
当}40|{20≤≤=?< 1432≥ ?≥+a a ， 所以 22 1<≤a ； 当}0|{22 a z z T a ≤≤=?≥，要使 P T ?，则31322 ≤≤-?≥+a a a ，所以 32<≤a ；综合得： .32 1≤≤a 二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上） 11．已知}32|),{(2 2 =+=y x y x M ，N = {(x , y ) | y = mx + b }.若对于所有∈m R ，均有?≠N M ， 则b 的取值范围是]26,26[-. 【解析】≠N M ?相当于点(0,b)在椭圆13 23 2 2 =+ y x 上或它的内部,13 22 ≤∴ b .2 62 6≤ ≤-∴b 12．已知函数f (x ) =1 2 2+- x a 是R 上的奇函数，则 f – 1 (5 3 ) = 2 . 【解析】f (–x ) = – f (x )，即12 2+-x a =1 2 2++ -x a , ∴a = 1；∵5 3122 1= +- x ，∴ 1 2 25 2+= x ，∴x =2， 即f – 1 (5 3 ) = 2. 13．设x , y 满足?? ? ??≥+≥+-≤00 6,3y x y x x ，则该不等式组表示的 平面区域的面积为36 . 【解析】如图，S = )] 3(9[2 1--×[3 – (–3)] = 36. 14．n x x ) 22( 3 - 的展开式中，前三项系数的绝对值 依次组成一个等差数列，则展开式中第五项的二项式系数为 70 （用数字作答）. 【解析】前三项系数的绝对值依次为：1， 2 11 n C ， ) 2 1(2 - n C 2 ，∴2× 2 1 4 112 1n n C C + =，即n =1 + 8 )1(-n n ，∴n = 1（舍去）或n = 8，则第五项 的二项系系数为48C = 70. 15．过双曲线 1b y a x 2 22 2=- 的右焦点F(c ，0)的直线 交双曲线于M 、N 两点，交y 轴于P 点，则有 NF MF +的定值为 22 b a 2.类比双曲线这 一结论，在椭圆 1 b y a x 2 22 2=+ (a ＞b ＞0)中， NF MF +是定值2 2 b a 2- . 【解析】用特值法去研究.