量子力学复习提纲

量子力学复习提纲

第一章 绪论 1.德布罗意关系, E h νω==

(1)

h p n k λ

==

(2)

2.微观粒子的波粒二象性.

3. 电子被V 伏电压加速,则电子的德布罗意波长为

12.25h

A λ=≈

(3)

第二章 波函数和薛定谔方程 1.波函数的统计解释:

波函数在空间某一点的强度()2

,r t ψ 和在该处找到粒子的

几率成正比,描写粒子的波是几率波. 其中2

w

*

=ψψ=ψ代表几率密度.

2.态叠加原理:

如果1ψ和2ψ是体系的可能状态,那么它们的线性叠加

1122c c ψ=ψ+ψ,也是体系的一个可能状态.

3. 薛定谔方程和定态薛定谔方程

薛定谔方程

()(),?,r t i H r t t

?ψ=ψ?

(4)

定态薛定谔方程

()()?H r E r ψ=ψ (5)

其中

()2

2?2H U r μ

=-?+ (6)

为哈密顿算符,又称为能量算符,

4. 波函数的标准条件: 有限性,连续性(包括ψ及其一阶导数)和单值性.

5. 波函数的归一化,

1d τ*

∞

ψψ=?

(9)

6.求解一维薛定谔方程的几个例子.

一维无限深势阱及其变种, 一维线性谐振子; 势垒贯穿.

第三章 量子力学中的力学量

1. 坐标算符, 动量算符及角动量算符;构成量子力学力学量的法则;

2. 本征值方程,本征值,本征函数的概念

?F ψλψ= (10)

3. 厄密算符的定义,性质及与力学量的关系.

?F dx ψφ*

=?

()?F dx ψφ*

?

(11)

实数性: 厄密算符的本征值是实数.

正交性: 厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数 相互正交.

完全性: 厄密算符?F

的本征函数()n x φ和()x λφ组成完全系, 即任一函数()x ψ可以按()n x φ和()x λφ展开为级数:

()()()n n n

x c x c x d λλψφφλ

=

+∑? (12)

展开系数: ()()n

n

c x x dx φ

ψ*=?, (13)

()()c x x dx λλφψ*

=?. (14)

2

n

c 是在()x ψ

态中测量力学量F 得到n

λ的几率,

2

c d λλ是在()x ψ态中测量力学量F ,得到测量结果在λ

到d λλ+范围内的几率.

4. 2?L 和?Z

L 算符的本征值方程,本征值和本征函数. ()22?1L l l ψψ=+ , ?z

L m ψψ= 本征函数 (),lm Y θφ.

5. 氢原子的哈密顿算符及其本征值,本征函数nlm ψ的数学结构, ()()(),,,nlm

nl lm r R r Y ψθφθφ= (15)

主量子数n ,角量子数l 和磁量子数m 的取值范围,简并态的概念.

6. 氢原子的能级公式和能级的简并度.

4

22

,

1,2,3,...2s n e E n n

μ=-

= (16)

不考虑电子的自旋是2n 度简并的;

考虑电子的自旋是22n 度简并的.

7. 给定电子波函数的表达式,根据电子在(),,r θφ点周围的

体积元内的几率

()2

2

,,sin nlm r r drd d ψθφθθφ

(17)

计算电子几率的径向分布和角分布.

计算在半径r 到r dr +的球壳内找到电子的几率. 8. 给定态函数,计算力学量平均值,平均值的计算公式.

()()?F x F x dx ψψ*=?

(18) 注意(11)式对波函数所在的空间作积分. 9. 算符的对易关系及测不准关系.

(1) 如果一组算符相互对易,则这些算符所表示的力学量同时

具有确定值(即对应的本征值), 这些算符有组成完全系的共同的本征函数.

例如: 氢原子的哈密顿算符?H ,角动量平方算符2?L 和角

动量算符?z L 相互对易, 则

(i) 它们有共同的本征函数nlm ψ, (ii) 在态nlm ψ中,它们同时具有确定值:

4

222s n e E n μ=-

,

()21l l + , m .

(2) 测不准关系:如果算符?F

和?G 不对易,则一般来说它们不能同时有确定值. 设

?F

?G -?G ?F =?ik 则算符?F

和?G 的均方偏差满足:

()_______

2

?F ??()

_______

2

2

?4

k G ?≥

(19)

其中 ()

()___________

_______

______2

2

2

22

22F F F F FF F F F ?=-=-+=-

()

_______

___2

2

2F F F ?=-, ()_______

___2

2

2G G G ?=-

(a) 利用测不准关系估计氢原子的基态能量, 线性谐振子

的零点能等.

(b) 给定态函数ψ,计算两个力学量?F

和?G 的均方偏差的乘积

()_______

2

?F

??()_______

2

??G ?=

(20)

第四章 态和力学量的表象 1. 对表象的理解

(1) 状态ψ: 态矢量

(2) Q 表象:力学量Q 的本征函数 ()()()12,,...,...n u x u x u x

构成无限维希耳伯特空间(坐标系)的基矢量 (4) 将态矢量按照上述基矢量展开:

()()(),n n n

x t a t u x ψ=∑

()()()12,,...,...n a t a t a t 是态矢量ψ在Q 表象中沿各

基矢量的分量.

(5) ()2

n a t 是在(),x t ψ所描写的态中,测量力学量Q 得到结果为n Q 的几率. 2. 算符在Q 表象中的表示

(i)算符?F

在Q 表象中是一个矩阵, nm F 称为矩阵元 ()(),nm n

m F u x F x u x dx i x *???

≡ ????

?

(ii) 算符在自身表象中是一个对角矩阵,其对角矩阵元为

该算符对应的本征值. 3. 量子力学公式的矩阵表述 (1) 平均值公式:

?F F =ψψ (21)

(2) 本征值方程 → 久期方程

()()()()()()11111212

22122212 ... ... ... ... : : : ... ... : : :m m n n nm m

m a t a t F F F a t a t F F F F F F a t a t λ??

???? ? ? ? ? ? ? ? ?

?= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????

→ 111212122212 ... ... ... ... 0

... ... ..............................

n n n n nn F F F F F F F F F λλλ--=-

(3) 薛定谔方程的矩阵形式 d

i H dt

ψ=ψ

(22) 4. 么正变换的概念

(1) 么正变换是两个表象基矢量之间的变换矩阵. (2) 么正变换的矩阵元由两个表象的基矢量共同确定,

()()()(),.n n m m S x x dx S x x dx ββααψ?ψ?*

**

?=?

?=??

??

(3) 态矢量由A 表象变换到B 表象的公式

1b S a -= (23)

(4) 力学量?F

由A 表象变换到B 表象的公式: 1F S FS -'= (24)

5. 么正变换的性质

(i) 么正变换不改变算符的本征值; (ii) 么正变换不改变矩阵F 的迹; (iii) 么正变换不改变力学量的平均值.

第五章 微扰理论

(I) 求解非简并定态微扰问题 (1) 确定微扰的哈密顿算符?H

'. ()0???H

H H '=+, 及与()0?H

对应的零级近似能量()

n E 和零级近似波函数

()

0n

ψ;

(2) 计算能量的一级修正:

()()()100?n n

n E H d ψψτ*

'=? (25)

(3) 计算波函数的一级修正:

()()()()

10'

00mn n m m

n m

H E E ψψ'=-∑

(26) (4) 计算能量的二级修正:

()()

(

)

22'

0nl

n l

n l H E E E '=-∑ (27)

(II) 求解非简并定态微扰问题 (只要求能量的一级修正) 求解步骤

(1) 确定微扰的哈密顿算符?H

'. (2) 确定微扰算符的矩阵元:

?li

H '=?l i H d φφτ*'?

(28)

(3) 求解久期方程得到能量的一级修正

()

()

()

1

11

12

11

2122

2

1

12......

................................................

...n k n k k

k

kk

n H E H H H H E H H H H E '''-'''-='''- (29)

(III) 变分法不作要求 (IV) 含时微扰论 (1) 基本步骤

设0?H 的本征函数为n φ为已知:

0?n n n

H φεφ=

(30)

将ψ按照0

?H 的定态波函数n i

t n n e εφ-Φ=

展开:

()n n

n

a t ψ=Φ∑

(31)

展开系数的表达式:

()0

1mk t

i t m mk

a t H e dt i ω'''=?

(32)

其中

?mn m n H H d φφτ

*''=?

(33)

是微扰矩阵元,

()

1m n

mn

ωεε=-

(34)

为体系由n ε能级跃迁到m ε能级的玻尔频率. 在t 时刻发现体系处于m Φ态的几率是

()2

m a t , 体系在微

扰的作用下,由初态k Φ跃迁到终态m Φ的几率为

()

2

k m m W a t →= (35)

(2) 用于周期微扰()()??i t i t H t F e e ωω-'=+得到

()()()11mk mk i t i t mk m mk mk F e e a t ωωωωωωωω''+-??

--=-+??+-??

(36)

由(36)式,讨论并理解发生跃迁的条件是

mk

ωω=±或

m k m k εεω=± (37)

(i) 表明只有外界的微扰含有频率mk ω时,体系才能从k Φ态跃迁到m Φ态,这时体系吸收和发射的能量是mk ω ;

(ii)跃迁是一个共振现象.

(3) 能量时间的测不准关系的含义

E t ??

(38)

(4) 了解原子的跃迁几率和三个爱因斯坦系数: mk A , mk

B 和km B 及相互关系.

(5) 了解用含时微扰理论计算爱因斯坦发射和吸收系数 (6) 记住对角量子数和磁量子数的选择定则

1,0, 1.l l l m m m '?=-=±?

?'?=-=±?

(39)

第六章 散射

只要求理解微分散射截面的概论, 不作计算要求.

第七章 自旋与全同粒子

1. 电子的自旋角动量S

,它在空间任何方向的投影只能取

2

z S =±

(40)

2. 自旋算符的矩阵形式

01?21

0x

S ??= ? ??? , 0?20y i S i ??-= ? ??? , 10?201z S ??

= ? ?-?? (41) 3.泡利矩阵

1?1

0x σ??

= ? ??

?, 0?0y i i σ??-= ? ???, 10?01z σ??= ? ?-??

(42)

(1) 求力学量在某个自旋态的平均值和均方偏差.

?G G =ψψ (43)

()11121?

1

2

22122G G G G G G **??ψ??

=ψψ=ψψ

? ? ?ψ??

?? (44) (2)求解自旋角动量算符的本征值方程, 本征值和本征函数 4. 自旋与轨道角动量的耦合及产生光谱的精细结构的原因. 5. 全同性原理的表述

6. 描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称或反对称的,它们的对称性不随时间改变.

实验证明,微观粒子按照其波函数的对称性可以分为两类: (I) 费米子: 波函数是反对称的;

(II) 玻色子: 波函数是对称的.

7.泡利不相容原理:不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态.