2020中考数学真题分类汇编二次函数在实际生活中应用 含解析

知识点20 二次函数在实际生活中的应用

1．（2019·山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆,拉索与主梁相连.最高的钢拱如图2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B 两点,拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米),跨径为90米,(即AB ＝90米),以最高点O 为坐标原点,以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系,则次抛物线型钢拱的函数表达式为( )

A.y ＝

26

675

x 2 B.y ＝26675

-

x 2 C.y ＝

13

1350

x 2 D.y ＝13

1350

-

x 2

第9题图 【答案】B

【解析】设二次函数表达式为y ＝ax 2,由题可知,点A 坐标为(－45,－78),代入表达式可得:－78＝a(－45)2,解得a ＝26675-

,∴二次函数表达式为y ＝26675-x 2

,故选B. 2．（2019年浙江省绍兴市，第22题，12分 ）.有一块形状如图的五边形余料ABCDE ，AB=AE=6，BC=5，∠A=∠B=90°，∠C=135°，∠E ＞90°.要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一边在AE 上，并使所截矩形的面积尽可能大.

（1）若所截矩形材料的一条边是BC 或AE ，求矩形材料的面积；

（2）能否截出比（1）中面积更大的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值，如果不能，请说明理由.

【解题过程】

3．（2019·嘉兴）某农作物的生长率p 与温度t （℃）有如下关系：如图1，当10≤t ≤25时可近似用函数p ＝

t ﹣刻画；当25≤t ≤37时可近似用函数p ＝﹣（t ﹣h ）2

+0.4刻画．

（1）求h 的值．

（2）按照经验，该作物提前上市的天数m （天）与生长率p 满足函数关系：

生长率p

0.2 0.25 0.3 0.35 提前上市的天数m （天）

5

10

15

①请运用已学的知识，求m 关于p 的函数表达式； ②请用含t 的代数式表示m ．

（3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在（2）的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w （元）与大棚温度t （℃）之间的关系如图2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．

【解题过程】（1）把（25,0.3）的坐标代入21

()0.4160

p t h =-

-+，得h =29或h =21. ∵h >25，∴h =29.

（2）①由表格可知m 是p 的一次函数，∴m=100p -20.

②当1025t ≤≤时，p=

11505t -，∴m=11

100()20505t --=2t -40. 当2537t ≤≤时，21

(29)0.4160

p t =--+.

∴m=21100[(29)0.4)]20160t --+-=25

(29)208

t --+

（3）（I ）当2025t ≤≤时，由（20，200），（25，300），得20200w t =-

∴增加利润为600m+[200×30-w （30-m ）]= 2406004000t t --. ∴当t=25时，增加利润的最大值为6000元. （II ）当2537t ≤≤时，300w =. 增加利润为

600m+[200×30-w （30-m ）]= 25900()(29)150008t ?-?-+=21125

(29)150002

t -

-+ ∴当t=29时，增加利润的最大值为15000元.

综上所述，当t=29时，提前上市20天，增加利润的最大值为15000元. 4．（2019山东省青岛市，22，10分）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. （1）求该商品每天的销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式；

（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利

润w （元）最大？最大利润是多少？

（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【解题过程】解：（1）设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y kx b =+， 将点(30,100)、(45,70)代入一次函数表达式得：100307045k b k b =+??=+?，

解得：2

160k b =-??=?

，

故函数的表达式为：2160y x =-+；

（2）由题意得：2(30)(2160)2(55)1250w x x x =--+=--+，

20-

， ∴当50x =时，w 由最大值，此时，1200w =，

故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元； （3）由题意得：(30)(2160)800x x --+…，

解得：70x ?，

∴每天的销售量216020y x =-+…，

∴每天的销售量最少应为20件．

5．（2019·武汉）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y （件）是售价x （元/件）的一次

函数，其售价、周销售量、周销售利润w （元）的三组对应值如下表：

注：周销售利润＝周销售量×（售价－进价）

（1） ① 求y 关于x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）

② 该商品进价是_________元/件；当售价是________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元

（2） 由于某种原因，该商品进价提高了m 元/件（m ＞0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m 的值

【解题过程】（1）设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，依题意有，501006080

k b k b +=??+=?，解得，k ＝－2，b ＝200，y

与x 的函数关系式是y ＝－2x ＋200；

（2）将售价50，周销售量100，周销售利润1000，带入周销售利润＝周销售量×（售价－进价）得到，1000＝100×

（50－进价），即进价为40元/件；周销售利润w ＝（x －40）y ＝（x －40）（－2x ＋200）＝－2（x －70）2＋1800，故当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元，故答案为40，70，1800；

（3）依题意有，w ＝（－2x ＋200）（x －40－m ）＝－2x 2＋（2m ＋280）x －8000－200m ＝

2

21401260180022m x m m +??--+-+ ?

?

? ∵m ＞0，∴对称轴140

=

702

m x +>， ∵－2＜0，∴抛物线开口向下， ∵x ≤65，∴w 随x 的增大而增大，

∴当x ＝65时，w 有最大值（－2×65＋200）（65－40－m ）， ∴（－2×65＋200）（65－40－m ）＝1400， ∴m ＝5．

6．（2019·黄冈）某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召，决定成立草莓产销合作社，负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红.经市场调研发现，草莓销售单价y (万元)与产量x (吨)之间的关系如图所示(0≤x ≤100)，已知草莓的产销投人总成本p (万元)与产量x (吨)之间满足P ＝x ＋1. (1)直接写出草莓销售单价y (万元)与产量x (吨)之间的函数关系式； (2)求该合作社所获利润w (万元)与产量x (吨)之间的函数关系式；

(3)为提高农民种植草莓的积极性，合作社决定按0.3万元/吨的标准奖励扶贫对象种植户，为确保合作社所获利润w ＇不低于55万元，产量至少要达到多少吨?

【解题过程】

7. （2019·衢州市）某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为80间，经市场调

查表明，该宾馆每间标准房的价格在170～240元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房间数（间）与每间标准房的价格x （元）的数据如下表：

（1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象。

（2）求y 关于x 的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围。

（3）设客房的日营业额为w （元），若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日答业额

最大？最大为多少元？

【思路分析】（1）在坐标系中描出各点，连线即可；

（2）判断函数类型，由两点法求一次函数解析式，并根据题意写出取值范围； （3）根据日营业额为w =入住的房间数×每间标准房的价格列出函数关系式求解。

【解题过程】（1）如图所示。…2分

（2）解：设y =kx +6（k ≠0），把（200,60）和（220，50）代入，

得2006022050k b k b +=??+=?，解得12160

k b ?

=-=????……4分 ∴y =-1

2

x +160(170≤x ≤240)。……6分 （3）w =x ·y =x ·（-12x +160）=-1

2

x 2+160x .…8分

∴对称轴为直线x =-

2b

a

=160， ∵a =-

1

2

<0，∴在170≤x ≤240范围内，w 随x 的增大而减小。 故当x -170时，w 有最大值，最大值为12750元。…10分

【知识点】一次函数 二次函数的性质 待定系数法求解析式

8. （2019·潍坊市）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场，与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．

（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？

（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克，若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克．设水果店一天的利润为w 元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计．） 【思路分析】 （1）设今年这种水果每千克的平均批发价为x 元，则去年的批发价为（x +1）元，根据“今年比去年这种水果的产量增加了1000千克”列方程求解；（2）设每千克的平均销售价为m 元，求出这种水果的销售量，根据“利润=（售价－进价）×销售量”列出函数关系求最值． 【解题过程】（1）设今年这种水果每千克的平均批发价为x 元，由题意，得：

1000001+20%100000

10001

x x -=+（）

解之，得：x 1=24，x 2=－5（舍去）

答：今年这种水果每千克的平均批发价为24元． （2）设每千克的平均销售价为m 元，由题意得：

41(24)(300180)3

m

w m -=-+?

2

60(35)7260m =--+

∵－60＜0

∴当x =35时，w 取得最大值为7260

答：当每千克平均销售价为35元时，一天的利润最大，最大利润是7260元． 【知识点】分式方程的应用，二次函数的应用

9. （2019·菏泽）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的函数关系如图所示．下列结论： ①小球在空中经过的路程是40m ； ②小球抛出3秒后，速度越来越快； ③小球抛出3秒时速度为0；

④小球的高度h ＝30m 时，t ＝1.5s ． 其中正确的是（ ）

A ．①④

B ．①②

C ．②③④

D ．②③

【答案】D

【解析】①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m ；故①错误； ②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；

③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确； ④设函数解析式为：h ＝a （t ﹣3）2+40，

把O （0，0）代入得0＝a （0﹣3）2+40，解得a =?409

， ∴函数解析式为h =?40

9（t ﹣3）2+40， 把h ＝30代入解析式得，30=?

40

9

（t ﹣3）2+40， 解得：t ＝4.5或t ＝1.5，

∴小球的高度h ＝30m 时，t ＝1.5s 或4.5s ，故④错误，故选D ． 【知识点】二次函数的实际应用

10. （2019·连云港）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD ，其中120C ∠=?．若新建墙BC 与CD

总长为12m ，则该梯形储料场ABCD 的最大面积是( )

A ．2

18m B ．2 C ．2

D ．2

【答案】C

【解析】解：如图，过点C 作CE AB ⊥于E ，

则四边形ADCE 为矩形，CD AE x ==，90DCE CEB ∠=∠=?， 则30BCE BCD DCE ∠=∠-∠=?，12BC x =-， 在Rt CBE ?中，∵90CEB ∠=?，

∴

11

622BE BC x

==-，

∴

AD CE ==，11

6622AB AE BE x x x =+=+-=+，

∴梯形S ABCD 面积1

()2CD AB CE

=+g

11

(6))22x x =++g

2

x =++

24)x =-+

∴当4x =时，

S =最大．

即CD 长为4m 时，使梯形储料场ABCD 的面积最大为2

，

故选C ．

【知识点】梯形的性质；矩形的性质；含30?角的直角三角形的性质；勾股定理；二次函数的最值.

11.（2019?广安）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米)与水平距离x （米)之间的关系为2125

1233

y x x =-++，

由此可知该生此次实心球训练的成绩为米 ． 【答案】10

【解析】当0y =时，2125

01233

y x x =-

++=，解得，2x =（舍去）

，10x =．故答案为：10． 【知识点】二次函数的应用

12.（2019 ·宿迁）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不

能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x 元，每天售出y 件． （1）请写出y 与x 之间的函数表达式；

（2）当x 为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？

（3）设超市每天销售这种玩具可获利w 元，当x 为多少时w 最大，最大值是多少？ 解：（1）根据题意得，y =?1

2x+50；

（2）根据题意得，（40+x ）（?12x+50）＝2250，

解得：x1＝50，x2＝10， ∵每件利润不能超过60元， ∴x ＝10，

答：当x 为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元；

（3）根据题意得，w ＝（40+x ）（?12

x+50）=?12

x2+30x+2000=?12

（x ﹣30）2+2450， ∵a =?1

2＜0，

∴当x ＜30时，w 随x 的增大而增大， ∴当x ＝20时，w 增大＝2400，

答：当x 为20时w 最大，最大值是2400元． 【知识点】一元二次方程的应用；二次函数的应用

13.（2019·黔三州）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入.已知某种士特产每袋成本10元.试销阶段每袋的销售价x (元)与该士特产的日销售量y (袋)

若日销售量y 是销售价x 的一次函数，试求:

(1) 日销售量y (袋)与销售价x (元)的函数关系式；

(2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元?每日销售的最大利润是多少元? 【思路分析】（1）首先设日销售量y (袋)与销售价x (元)的函数关系式为y =kx +b ，然后在表格中选取两个数代入解析式，解出k 和b 的值即可；

（2）写出利润w 的解析，并配方即可得出当x 取何值时w 取得最大值.

【解题过程】解（1）设日销售量y (袋)与销售价x (元)的函数关系式为y =kx +b ，根据题中表格可得：

15252020k b k b +=??+=?，解得1

40

k b =-??

=?， ∴日销售量y (袋)与销售价x (元)的函数关系式为y =-x +40；

（2）根据题意可得这种土特产的利润w =(x -10)(-x +40)=-x 2+50x -400=-(x -25)2+225， ∴当x =25时w 取得最大值， w 最大值=225.

【知识点】待定系数法；二次函数的最值.

14. （2019·绵阳）辰星旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间．按现有定价：若全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元．

（1）求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？

（2）度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润m 最大，最大利润是多少元？ 【思路分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；

（2）根据题意可以得到m 关于乙种房价的函数关系式，然后根据二次函数的性质即可解答本题． 【解题过程】解：设甲、乙两种客房每间现有定价分别是x 元、y 元， 根据题意，得：{15x +20y =8500

10x +10y =5000，

解得{x =300y =200

，

答：甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元； （2）设当每间房间定价为x 元， m ＝x （20?

x?20020×2）﹣80×20=?1

10

(x ?200)2+2400， ∴当x ＝200时，m 取得最大值，此时m ＝2400，

答：当每间房间定价为200元时，乙种风格客房每天的利润m 最大，最大利润是2400元． 【知识点】二次函数的应用、二元一次方程组的应用

15.（2019·毕节）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种士特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x （元）与该士特产的日销售量y （袋）之间的关系如表：

x （元） 15 20 30 … y （袋）

25

20

10

…

若日销售量y 是销售价x 的一次函数，试求：

（1）日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式；

（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元 【思路分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式即可

（2）利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可． 【解题过程】解：（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式为y ＝kx +b 得

，解得

故日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式为：y ＝﹣x +40 （2）依题意，设利润为w 元，得 w ＝（x ﹣10）（﹣x +40）＝﹣x 2+50x +400 整理得w ＝﹣（x ﹣25）2+225 ∵﹣1＜0

∴当x ＝2时，w 取得最大值，最大值为225

故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元． 【知识点】二次函数的应用．

16. （2019·南充）在“我为祖国点赞“征文活动中，学校计划对获得一，二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本．已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元． （1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？

（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加1支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价售，笔记本一律按原价销售．学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等奖学生多少人时，购买奖品总金额最少，最少为多少元？

【思路分析】（1）钢笔、笔记本的单价分别为x 、y 元，根据题意列方程组即可得到结论；

（2）设钢笔的单价为a 元，购买数量为b 元，支付钢笔和笔记本的总金额w 元，①当3050b 剟时，求得

20.1(35)722.5w b =--+，于是得到700722.5w 剟；②当5060b

700720w

根据题意得23384570x y x y +=??+=?，解得10

6x y =??=?

，

答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元；

（2）设钢笔的单价为a 元，购买数量为b 元，支付钢笔和笔记本的总金额w 元， ①当3050b 剟时，100.1(30)0.113a b b =--=-+，

22(0.113)6(100)0.176000.1(35)722.5w b b b b b b =-++-=-++=--+， Q 当30b =时，720w =，当50b =时，700w =， ∴当3050b 剟时，700722.5w 剟；

②当5060b

∴这次奖励一等奖学生50人时，购买奖品总金额最少，最少为700元．

【知识点】二次函数的应用；二元一次方程组的应用

17.（2019·随州）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元／千克，每天的产量p （百千克）与销售价格x （元

／千克）满足函数关系式p ＝

1

2

x ＋8，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q （百千克）与销售价格x （元／千克）满足一次函数关系，部分数据如下表：

（1）直接写出q 与x 函数关系式，并注明自变量x 的取值范围； （2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于食材需求量时，

只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃． ①当每天的半成品食材能全部售出时，求x 的取值范围；

②求厂家每天获得的利润y （百元）与销售价格x 的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，当x 为元／千克时，利润y 有最大值；若要使每天的利润不低于24（百元），并尽可能

地减少半成品食材的浪费，则x 应定为元／千克．

【思路分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一元一次不等式的解法以及二次函数最值的求解．(1)设解析式，然后再图表中选两对点分别代入即可得出；（2）①根据每天的半成品食材能全部售出时，每天的产量小于或等于市场需求量，可以得到关于x 的不等式，解这个不等式即可；②根据利润＝（售价－成本）×每天的产量，可以得到y （百元）与销售价格x 的函数关系式，结合题意要考虑x 的取值范围不同，获得的利润不同；（3）把解析式化为顶点式，根据取值范围，写出何时值最大值． 【解题过程】解：(1)设y 与x 的函数解析式为q ＝kx ＋b ， 由表格可知函数图象经过点(2，12) ，(4，10)，

所以有212410k b k b +=??+=?，解得114

k b =-??=?，∴y 与x 的函数解析式为q ＝－x ＋14，x 的取值范围2≤x ≤10

(2) ①由题意可知当每天的半成品食材能全部售出时，则有p ≤q ，即1

2

x ＋8≤－x ＋14，解得x ≤4，又因为2≤x ≤10，所以2≤x ≤4 ．

②由①知2≤x ≤4时，y ＝（x －2）p ＝（x －2）（12x ＋8）＝21

2

x ＋7 x －16； 当4≤x ≤10时，y ＝（x －2）q －2（p －q ）＝（x －2）（－x ＋14）－2［（1

2

x ＋8）－（－x ＋14）］＝－2x ＋13 x －

16；综上可得y ＝2

2171624

21316410x x x x x x ?+-≤???-+-≤?

， ≤，＜

（3）根据（2）得到的两个解析式，可知当y 有最大值时，抛物线的开口向下，即a 小于0，所以y ＝－2x ＋13

x －16＝－2

132x ?

?- ??

?＋1054，∴当x ＝132时，y 最大；把y ＝24代入y ＝－2x ＋13 x －16，得出x ＝5．

故答案为

13

2

；5． 【知识点】一次函数的解析式；一元一次不等式；二次函数的实际应用；

18.（2019·天水）天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y （件）与销售价x （元/件）之间的函数关系如图所示．

（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（2）求每天的销售利润W （元）与销售价x （元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

【思路分析】（1）利用待定系数法求解可得y 关于x 的函数解析式；

（2）根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．

【解题过程】解：（1）设y 与x 的函数解析式为y ＝kx +b ， 将（10，30）、（16，24）代入，得：{10k +b =30

16k +b =24，

解得：{k =?1

b =40

，

所以y 与x 的函数解析式为y ＝﹣x +40（10≤x ≤16）； （2）根据题意知，W ＝（x ﹣10）y ＝（x ﹣10）（﹣x +40） ＝﹣x 2+50x ﹣400

＝﹣（x ﹣25）2+225， ∵a ＝﹣1＜0，

∴当x ＜25时，W 随x 的增大而增大， ∵10≤x ≤16，

∴当x ＝16时，W 取得最大值，最大值为144，

答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．

【知识点】二次函数的应用

19.（2019·黔东南）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种士特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x （元）与该士特产的日销售量y （袋）之间的关系如表：

x （元） 15 20 30 … y （袋）

25

20

10

…

若日销售量y 是销售价x 的一次函数，试求：

（1）日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式；

（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？

【思路分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式即可

（2）利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可．

【解题过程】解：1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式为y ＝kx +b 得{25=15k +b 20=20k +b ，解得{k =?1b =40

故日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式为：y ＝﹣x +40 （2）依题意，设利润为w 元，得 w ＝（x ﹣10）（﹣x +40）＝﹣x 2+50x +400 整理得w ＝﹣（x ﹣25）2+225 ∵﹣1＜0

∴当x ＝2时，w 取得最大值，最大值为225

故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元． 【知识点】二次函数的应用

20.（2019·鄂州）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x 元（x 为正整数），每月的销售量为y 条． （1）直接写出y 与x 的函数关系式；

（2）设该网店每月获得的利润为w 元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？

【思路分析】（1）直接利用销售单价每降1元，则每月可多销售5条得出y 与x 的函数关系式； （2）利用销量×每件利润＝总利润进而得出函数关系式求出最值； （3）利用总利润＝4220+200，求出x 的值，进而得出答案．

【解题过程】解：（1）由题意可得：y ＝100+5（80﹣x ）整理得 y ＝﹣5x +500； （2）由题意，得： w ＝（x ﹣40）（﹣5x +500） ＝﹣5x 2+700x ﹣20000 ＝﹣5（x ﹣70）2+4500 ∵a ＝﹣5＜0∴w 有最大值 即当x ＝70时，w 最大值＝4500 ∴应降价80﹣70＝10（元）

答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元； （3）由题意，得：

﹣5（x ﹣70）2+4500＝4220+200 解之，得：x 1＝66，x 2 ＝74，

∵抛物线开口向下，对称轴为直线x ＝70，

∴当66≤x ≤74时，符合该网店要求 而为了让顾客得到最大实惠，故x ＝66

∴当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠． 【知识点】一元二次方程的应用；二次函数的应用

21.（2019·荆门）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m （元/公斤）与第x 天之间满足m ={

3x +15(1≤x ≤15)，?x +75(15＜x ≤30)．

（x

为正整数），销售量n （公斤）与第x 天之间的函数关系如图所示： 如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元． （1）求销售量n 与第x 天之间的函数关系式；

（2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y 与第x 天之间的函数关系式；（日销售利润＝日销售额﹣日维护费）

（3）求日销售利润y 的最大值及相应的x ．

【思路分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．

（1）依据题意利用待定系数法易求得销售量n 与第x 天之间的函数关系式， （2）然后根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润y 与第x 天之间的函数关系式， （3）再依据函数的增减性求得最大利润．

【解题过程】解：（1）当1≤x ≤10时，设n ＝kx +b ，由图知可知 {12=kx +b 30=10k +b ，解得{k =2b =10

∴n ＝2x +10

同理得，当10＜x ≤30时，n ＝﹣1.4x +44

∴销售量n 与第x 天之间的函数关系式：n ={2x +10，(1≤x ≤10)

?1.4x +44，(10＜x ≤30)

（2）∵y ＝mn ﹣80

∴y ={(2x +10)(3x +15)?80，(1≤x ≤10)

(?1.4x +44)(3x +15)?80，(10＜x ＜15)(?1.4x +44)(?x +75?80，(15≤x ≤30)

整理得，y ={6x 2+60x +70，(1≤x ≤10)

?4.2x 2+111x +580，(10＜x ＜15)1.4x 2?149x +3220，(15≤x ≤30)

（3）当1≤x ≤10时，

∵y ＝6x 2+60x +70的对称轴x =?b

2a =?60

2×6=?5 ∴此时，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大 ∴x ＝10时，y 取最大值，则y 10＝1270

当10＜x ＜15时

∵y ＝﹣4.2x 2+111x +580的对称轴是x =?b

2a =?111

?4.2×2=111

8.4≈13.2＜13.5 ∴x 在x ＝13时，y 取得最大值，此时y ＝1313.2 当15≤x ≤30时

∵y ＝1.4x 2﹣149x +3220的对称轴为x =?

b 2a =1492.8＞30 ∴此时，在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小

∴x ＝15时，y 取最大值，y 的最大值是y 15＝1300

综上，草莓销售第13天时，日销售利润y 最大，最大值是1313.2元 【知识点】二次函数的应用 22．（2019·襄阳）如图，若被击打的小球飞行高度h (单位：m)与飞行时间t (单位：s)之间具有的关系为h ＝20t －5t 2，则小球从飞山到落地所用的时间为________s.

答案：4

解析：本题考查了二次函数的实际运用.球开始和落地时，都说明h =0，则20t -5t 2=0，解得t 1=0，t 2=4，因而小球从飞出到落地的时间为4-0=4秒．

23. （2019 · 梧州）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x 元/件(6x …，且x 是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y 元．

（1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；

（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润． 解：（1）由题意，

26

(5)(1005)10210800

0.5x y x x x -=--

?=-+-

故y 与x 的函数关系式为：210210800y x x =-+- （2）要使当天利润不低于240元，则240y …， 221021080010(10.5)302.5240y x x x ∴=-+-=--+= 解得，18x =，213x =

100-

（3）Q 每件文具利润不超过80%

∴

5

0.8x x

-?，得9x ? ∴文具的销售单价为69x 剟

， 由（1）得221021080010(10.5)302.5y x x x =-+-=--+

Q 对称轴为10.5x = 69x ∴剟在对称轴的左侧，且y 随着x 的增大而增大

∴当9x =时，取得最大值，此时210(910.5)302.5280y =--+=

即每件文具售价为9元时，最大利润为280元

24. （2019·云南）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y （千克）与销售单

价x（元/千克）的函数关系如下图所示：

（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）；

（2）求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.

解：（1）当6≤x≤10时，设y与x的关系式为y＝kx+b（k≠0）

根据题意得，解得，∴y＝﹣200x+1200.

当10＜x≤12时，y＝200.

故y与x的函数解析式为：y＝

（2）由已知得：W＝（x﹣6）y. 当6≤x≤10时，

W＝（x﹣6）（﹣200x+1200）＝﹣200（x﹣）2+1250.

∵﹣200＜0，抛物线的开口向下，∴x＝时，取最大值，∴W＝1250.

当10＜x≤12时，W＝（x﹣6）?200＝200x﹣1200.

∵y随x的增大而增大，∴x＝12时取得最大值，W＝200×12﹣1200＝1200.

综上所述，当销售价格为8.5元时，取得最大利润，最大利润为1250元．