八年级数学下册期末压轴题带答案

1． (1)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE.求证：CE=CF；

(2)如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用(1)的结论证明：GE=BE+GD.

(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD)，∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积.

2.如图，已知等腰Rt△ABC和△CDE，AC=BC,CD=CE，连接BE、AD，P为BD中点，M为AB中点、N为DE中点，连接PM、PN、MN.

（1）试判断△PMN的形状，并证明你的结论；

（2）若CD=5，AC=12，求△PMN的周长.

3.已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转．

（1）①当E点旋转到DA的延长线上时（如图1），△ABE与△ADG的面积关系是：．②当E点旋转到CB的延长线上时（如图2），△ABE与△ADG的面积关系是：

（2）当正方形AEFG旋转任意一个角度时（如图3），（1）中的结论是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由．

（3）已知△ABC，AB=5cm，BC=3cm，分别以AB、BC、CA为边向外作正方形（如图4），则图中阴影部分的面积和的最大值是 cm2．

4.一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M 放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=a．

（1）如图1，两个三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为，周长为；

（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为，周长为；

（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1，图2的位置，如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并试着加以验证．

5.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．

（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2=ME2+NF2；

（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．

答案

1.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°，

∵∠ADC=90°，∴∠FDC=90°.∴∠B=∠FDC，∵BE=DF，

∴△CBE≌△CDF(SAS).∴CE=CF.

(2)证明：如图2，延长AD至F，使DF=BE，连接CF.

由(1)知△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF.

∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，

又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°.

∵CE=CF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG.∴GE=GF，∴GE=GF=DF+GD=BE+GD.

(3)解：如图3，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G.

在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A=∠B=90°，

又∵∠CGA=90°，AB=BC，∴四边形ABCG为正方形.∴AG=BC.…

∵∠DCE=45°，根据(1)(2)可知，ED=BE+DG.…∴10=4+DG，即DG=6.

设AB=x，则AE=x﹣4，AD=x﹣6，在Rt△AED中，

∵DE2=AD2+AE2，即102=(x﹣6)2+(x﹣4)2.

解这个方程，得：x=12或x=﹣2(舍去).…∴AB=12.

∴S梯形ABCD=0.5(AD+BC)?AB=0.5×(6+12)×12=108.

即梯形ABCD的面积为108.…

2.解：（1）①∵正方形ABCD和正方形AEFG有公顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转，E点旋转到DA的延长线上，∴AE=AG，AB=AD，∠EAB=∠GAD，

∴△ABE≌△ADG（SAS），∴△ABE的面积=△ADG的面积；

②作GH⊥DA交DA的延长线于H，如图2，∴∠AHG=90°，

∵E点旋转到CB的延长线上，∴∠ABE=90°，∠HAB=90°，∴∠GAH=∠EAB，

在△AHG和△AEB中，∴△AHG≌△AEB，∴

GH=BE，

∵△ABE的面积=0.5EB?AB，△ADG的面积=0.5GH?AD，∴△ABE的面积=△ADG的面积；（2）结论仍然成立．理由如下：

作GH⊥DA交DA的延长线于H，EP⊥BA交BA的延长线于P，如图3，

∵∠PAD=90°，∠EAG=90°，∴∠PAE=∠GAH，

在△AHG和△AEP中，∴△AHG≌△AEP

（AAS），∴GH=BP，

∵△ABP的面积=0.5EP?AB，△ADG的面积=0.5GH?AD，∴△ABP的面积=△ADG的面积；

（3）∵AB=5cm，BC=3cm，∴AC==4cm，∴

△ABC的面积=0.5×3×4=6（cm2）；

根据（2）中的结论得到阴影部分的面积和的最大值=△ABC的面积的3倍=18cm2．

故答案为相等；相等；18．

3.解：（1）∵AM=MC=AC=

a，则

∴重叠部分的面积是△ACB的面积的一半为0.25a2，周长为（1+

）a．

（2）∵重叠部分是正方形∴边长为0.5a，面积为0.25a2，周长为2a．

（3）猜想：重叠部分的面积为0.25a2．

理由如下：过点M分别作AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G

设MN与AC的交点为E，MK与BC的交点为F

∵M是△ABC斜边AB的中点，AC=BC=a∴MH=MG=0.5a

又∵∠HME+∠HMF=∠GMF+∠HMF，∴∠HME=∠GMF，

∴Rt△MHE≌Rt△MGF∴阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积

∵正方形CGMH的面积是MG?MH=0.5a×0.5a =0.25a2,∴阴影部分的面积是0.25a2．

4.（1）证明：∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,∴AF=AG,∠FAG=90°，

∵∠EAF=45°,∴∠GAE=45°，在△AGE与△AFE中，

，∴△AGE≌△AFE（SAS）；

（2）证明：设正方形ABCD的边长为a.将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,连结GM．

则△ADF≌△ABG，DF=BG．由（1）知△AEG≌△AEF，∴EG=EF．

∵∠CEF=45°，∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，

∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，∴a﹣BE=a﹣

DF，∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，

∴∠BMG=45°，∴∠GME=45°+45°=90°，∴EG2=ME2+MG2，

∵EG=EF，MG=BM=

DF=NF，∴EF2=ME2+NF2；

（3）解：EF2=2BE2+2DF2．

如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，则由勾股定理有（GH+BE）

2+BG2=EH2，即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2=EH2

又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2，即2（DF2+BE2）=EF2