函数映射

一、选择题

1．下列各图中表示的对应，其中能构成映射的个数是()

A．4B．3C．2D．1

【解析】所谓映射，是指“多对一”或“一对一”的对应，且A中每一个元素都必须参与对应．

只有图(3)所表示的对应符合映射的定义，即A中的每一个元素在对应法则下，B中都有唯一的元素与之对应．

【答案】 D

2．下列对应关系f中，不是从集合A到集合B的映射的是()

A．A＝{x|1＜x＜4}，B＝[1,3)，f：求算术平方根

B．A＝R，B＝R，f：取绝对值

C．A＝{正实数}，B＝R，f：求平方

D．A＝R，B＝R，f：取倒数

【解析】A、B、C均符合映射的定义，而对于D，集合A中的元素0在集合B无元素与之对应，故D不是A到B的映射．

【答案】 D

3．已知集合A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b，若4和10的原像分别对应6和9，则19在f作用下的像为()

A．18 B．30

C.272 D ．28

【解析】由题意，可知???

6a ＋b ＝4，9a ＋b ＝10，

解得a ＝2，b ＝－8， ∴对应关系为y ＝2x －8.

故19在f 作用下的像是y ＝2×19－8＝30.

【答案】 B

4．集合A ＝{1,2,3}，B ＝{3,4}，从A 到B 的映射f 满足f (3)＝3，则这样的映射共有( )

A ．3个

B ．4个

C ．5个

D ．6个

【解析】 ∵f (3)＝3，∴共有如下4个映射

【答案】 B

5．(2013·太原高一检测)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收文由密文→ 明文(解密)，已知加密规则为：明文a ，b ，c ，d 对应密文a ＋2b,2b ＋c,2c ＋3d,4d .例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收文收到密文14,9,23,28时，解密得到的明文为( )

A ．4,6,1,7

B ．7,6,1,4

C ．6,4,1,7

D ．1,6,4,7

【解析】由题意得a ＋2b ＝14,2b ＋c ＝9,2c ＋3d ＝23,4d ＝28，解得d ＝7，c ＝1，b ＝4，a ＝6.

【答案】 C

二、填空题

6．设集合A 和B 都是坐标平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，映射f ：A →B 把集合A 中的元素(x ，y )，映射成集合B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则在映射f 下，像(2,1)的原像是________．

【解析】解方程组??? x ＋y ＝2，x －y ＝1，

得????? x ＝32y ＝12

【答案】 (32，12) 7．a ，b 为实数，集合M ＝{b a ，1}，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把集合M 中的

元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 的值等于________．

【解析】 ∵f ：x →x ，∴M ＝N ，

∴b a ＝0，b ＝0，a ＝1，故a ＋b ＝1.

【答案】 1

8．设f ：x →x 2是从集合A 到集合B 的映射，如果A ＝{1,2}，则满足条件且元素最少的集合B ＝________.

【解析】由已知，12＝1,22＝4，故B ＝{1,4}．

【答案】 {1,4}

三、解答题

9．判断下列对应是否是从集合A 到集合B 的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？

(1)A ＝{平面内的圆}，B ＝{平面内的矩形}，对应关系f ：“作圆的内接矩形”；

(2)A ＝B ＝{0,1,2}，对应关系f ：x →y ，y ＝x ＋1；

(3)A ＝B ＝N ，对应关系f ：x →y ，y ＝(x －2)2.

【解】 (1)不是映射，更不是函数或一一映射．因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A 中任何一个元素在集合B 中有无数个元素与之对应，故不是映射．

(2)不是映射，更不是函数或一一映射，因为x ＝2时，y ＝3，但3?B ，即集合A 中元素2在B 中没有元素和它对应，所以这个对应不是集合A 到集合B 的映射．

(3)是映射，也是函数，但不是一一映射．因为数集A 中的元素x 按照对应关系f 和数集B 中的唯一一个元素对应，这个对应是集合A 到集合B 的映射和

函数．显然原像0,4在对应关系下的像都是4，故映射不是一一映射．

10．已知映射f ：A →B 中，A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：A 中的元素(x ，y )对应到B 中的元素(3x －2y ＋1,4x ＋3y －1)．

(1)是否存在这样的元素(a ，b )使它的像仍是自己？若存在，求出这个元素；若不存在，说明理由；

(2)判断这个映射是不是一一映射？

【解】 (1)假设存在元素(a ，b )使它的像仍是(a ，b )．

由??? 3a －2b ＋1＝a ，4a ＋3b －1＝b ，

得a ＝0，b ＝12. ∴存在元素(0，12)使它的像仍是自己；

(2)对任意的(a ，b )(a ∈R ，b ∈R )，

方程组??? 3x －2y ＋1＝a ，4x ＋3y －1＝b

有唯一解，这说明对B 中任意元素(a ，b )在A 中有唯一的原像，

所以映射f ：A →B 是A 到B 上的一一映射．

11．设集合A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f 是A 到B 的一个映射，并满足f ：(x ，y )→(－xy ，x －y )．

(1)求B 中元素(3，－4)在A 中的原像；

(2)试探索B 中哪些元素在A 中存在原像；

(3) 求B 中元素(a ，b )在A 中有且只有一个原像时，a ，b 所满足的关系式．

【解】 (1)设(x ，y )是B 中元素(3，－4)在A 中的原像，于是??? －xy ＝3，x －y ＝－4，

解得??? x ＝－1，y ＝3或?

?? x ＝－3，y ＝1. ∴(3，－4)在A 中的原像有两个，(－1,3)和(－3,1)．

(2)设任意(a ，b )∈B ，则它在A 中的原像(x ，y )应满足，??? －xy ＝a ，x －y ＝b ，

①②

由②式得，y ＝x －b ，将它代入①式，并化简得x 2－bx ＋a ＝0. ③

当且仅当Δ＝b 2－4a ≥0时，方程③有实数根，因此只有当B 中元素(a ，b )

满足b2－4a≥0时，在A中才有原像．

(3)由以上(2)的解题过程可知，当B中元素(a，b)满足b2＝4a时，它在A中有且只有一个原像.