浙江省重点高中自主招生数学试卷及答案
2017年浙江省重点高中自主招生考试数 学 试 题 卷
本次考试不能使用计算器,没有近似计算要求的保留准确值.
一、选择题(本题有10小题,每小题4分,共40分。每小题只有一个选项是正确的,不选,多选,错选,均不给分)
1.“红灯停,绿灯行”是我们在日常生活中必须遵守的交通规则.小刚每天从家骑自行车上学都经过两个路口,且每个路口只安装了红灯和绿灯,假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同,那么小刚从家随时出发去学校,他遇到一次红灯一次绿灯的概率是( ▲ )
A .
14 B .13 C .12 D .23
2.若关于x 的一元一次不等式组 ?
?
?>≤ 1 有解,则m 的取值范围为( ▲ ) A .2 B .2m ≤ C .1 D .21<≤m 3.点M (2-,a ),N (4-,b )是所给函数图像上的点,则能使b a >成立的函数是 ( ▲ ) A .32+-=x y B .4)3(22 ++-=x y C .1)2(32 --=x y D .x y 2 - = 4.据报道,日本福岛核电站发生泄漏事故后,在我市环境空气中检测出一种微量的放射性核素“碘-131”,含量为每立方米毫贝克(这种元素的半衰期是8天,即每8天含量减少一半,如8天后减少到毫贝克),那么要使含量降至每立方米毫贝克以下,下列天数中,能达到目标的最少的天数是( ▲ ) A .64 B .71 C .82 D .104 5.十进制数2378,记作)10(2378,其实)10(2378=0 1 2 3 108107103102?+?+?+?, 二进制数1001)2(=0 1 2 3 21202021?+?+?+?.有一个(010k <≤为整数)进制数()165k ,把它的三个数字顺序颠倒得到的k 进制数()561k 是原数的3倍,则k =( ▲ ) A .10 B .9 C .8 D .7 6.正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形PKRF 的位置如图所示,点G 在线段DK 上,正方形BEFG 的边长为2,则△DEK 的面积为( ▲ ) A .4 B .3 C .2 D .2 7.如图,在Rt△ABC 中,AC =3,BC =4,D 为斜边 AB 上一动点,DE ⊥BC ,DF ⊥AC ,垂足分别为E 、F 。当线段EF 最小时,cos EFD ∠=( ▲ ) A . 45 B .35 C .3 4 D .74 8.二次函数2 1y x bx =+-的图象如图,对称轴为直线1x =,若关于x 的一元二次方程2 210x x t ---=(t 为实数)在14x -<<的范围内有实数解,则t 的取值范围是( ▲ ) A .2t ≥- B .27t -≤< C .22t -≤< D .27t << 9.已知,在△ABC 中,D 是BC 边上一点,∠ABC =30°,∠ADC =45°. 若D 是BC 边的中点,则∠ACB 的度数为( ▲ ) A .95 B .100 C .105 D .110 10.如图,在圆内接四边形ABCD 中,∠A =52,∠B =98,∠AOB =120,AB =a ,BC=b , CD =c ,DA =d ,则此四边形的面积为( ▲ )(用含a ,b ,c ,d 的代数式表示) A .1()2ab cd + B .1()2ac bd + C .1()2ad bc + D . 1 ()4 ab bc cd ad +++ 二、填空题(本题有6小题,每小题5分,共30分) 11.已知a 是64的立方根,23b -是a 的平方根,则11 44 a b -的算术平方根为 ▲ . 12.直线l :512y kx k =++(0)k ≠,当k 变化时,原点到这条直线的距离的最大值为 ▲ . 13.如图,在“镖形”ABCD 中,AB =83 ,BC=16,∠A =∠B =∠C =30, 则点D 到AB 的距离为 ▲ . 14.已知实数,a b 满足1 5403a -=,4032015b =,则11 a b += ▲ . 15.AB 为半圆O 的直径,C 为半圆弧的一个三等分点,过B ,C 两点的半圆O 的切线交 A B C D . O (第 (第9 (第8 于点P ,则 PA PC = ▲ . 16.如图,矩形ABCD 的边长AD =3,AB =2,E 为AB 中点, F 在线段BC 上,且 1 2 BF FC =, AF 分别与DE 、DB 交于点M 、N .则MN = ▲ . 三、解答题(本题有8小题,第17题6分,第18~20题每题8分,第21~23题每题12分,第24题14分,满分80分) 17.市种子培育基地用A ,B ,C 三种型号的甜玉米种子共1500粒进行发芽试验,从中选出发芽率高的种子进行推广.如图是根据试验数据绘制的统计图: (1)请你分别计算A ,B ,C 三种型号的种子粒数; (2)请通过计算加以说明,应选哪种型号的种子进行推广 18.若实数b a 、满足b a b a -= +2 11. (1)求 2 2b a ab -的值; (2)求证:212 =-)(b a 19.某位市民想为贫困山区的孩子们献一份爱心,准备购买一批书包捐赠给他们.经调查有这样的一批书包,原售价为每只220元.甲商店用如下方法优惠出售:买一只单价为218元,买两只每只都为216元,依次类推,即每多买一只,则所买每只书包的单价均再减2元,但最低不能低于每只116元;乙商店一律按原售价的75%出售. (1)若这位市民需购买20只书包,应去哪家商店购买花费较少 (2)若此人恰好花费6000元,在同一家商店购买了一定数量的书包,请问是在哪家商店购买的数量是多少 20.如图,在△ABC 中,∠BAC =60, D 是AB 上一点,AC =BD , P 是CD 中点。求证:AP= 1 2 BC 。 A B C D P (第20题) 21.已知二次函数2 113 22 y x =- +在a x b ≤≤(a b ≠)时的最小值为2a ,最大值为2b .求,a b 的值。 22.如图,Rt△ABC 中,∠BAC =90,AD 是高,P 为 AD 的中点,BP 的延长线交AC 于E ,EF ⊥BC 于点F 。若AE =3,EC =12,试求EF 、BC 的长。 23.如图①,AB 是⊙O 的直径,CD 为弦,且AB ⊥CD 于E ,点M 为ACB 上一动点(不 包括A ,B 两点),射线AM 与射线EC 交于点F . (1)如图②,当F 在EC 的延长线上时,求证:∠AMD =∠FMC . (2)已知,BE =2,CD =8. ①求⊙O 的半径; ②若△CMF 为等腰三角形,求AM 的长(结果保留根号). 24.一只青蛙,位于数轴上的点k a ,跳动一次后到达1+k a ,且11=-+k k a a (k 为任意正整数),青蛙从1a 开始,经过)1(-n 次跳动的位置依次为1a ,2a ,3a ,……,n a . (1)写出一种跳动4次的情况,使051==a a ,且0521>+++a a a ; (2)若71=a ,20162020a =,求2000a ; (3)对于整数)2(≥n n ,如果存在一种跳动)1(-n 次的情形,能同时满足如下两个条件: ①21=a ,②1a +2a +3a +n a + =2. (第22题) 求整数n被4除的余数. 初中学科综合知识竞赛 数学试题参考答案及评分 一、选择题(本题有10小题,每小题4分,共40分。每小题只有一个选项是正确的,不选,多选,错选,均不给分) 二、填空题(本题有6小题,每小题5分,共30分) 说明:第14题第一空2分,第2空3分 三、解答题(本题有8小题,第17题6分,第18~20题每题8分,第21~23题每题12分,第24题14分,满分80分) 17.(本题6分) 解:(1)A型号种子数为:1500×36%=540(粒), ----------------------------------------- 1分 B型号种子数为:1500×24%=360(粒), ------------------------------ 2分C型号种子数为:1500×(1-36%-24%)=600(粒),-------------------3分答:A、B、C三种型号的种子分别有540粒,360粒,600粒. (2)A型号种子发芽率=420 540 ×100% ≈%.----------------------------------- 4分 B 型号种子发芽率= 320 360 ×100%≈%.---------------------------------- 5分 C 型号种子发芽率= 480 600 ×100%=80%. ∴选B 型号种子进行推广. ------------------------------------------- 6分 18.(本题8分) 解:(1)由 b a b a -=+211得,b a a b b a -= +2 ……① --------------------2分 ∴ 21))((=-+b a b a ab ,即21 2 2=-b a a b ------------------------- 4分 (2)由①得,ab b a b a 2))((=-+, ∴ab b a 222=-,--------------6分 又由题意得,0≠b , ∴两边同除以2b 得,12)(2=? -b a b a ,∴212)(2=+?-b a b a , ∴2)1( 2=-b a ,即212 =-)(b a ------------------------- 8分 19.(本题8分) 解:(1)在甲商店购买所需费用:20(220202)3600?-?=(元) 在乙商店购买所需费用:75%2202033003600??=<,应去乙商店购买----2 分 (2)设此人买x 只书包 ①若此人是在甲商店购买的 则 (2202)6000x x -=,解得 1250,60x x ==---------------------------------------4分 当50x =时,每只书包单价为220502120116-?=> 当60x =时,每只书包单价为220602110116-?=<不合舍去----------------6分 ②若此人在乙商店购买磁,则有1656000x =,解得4 36 11 x =不合舍去--------7分 故此人是在甲商店购买书包,买了50只-------------------------------------------------8分 20.(本题8分) 证明:延长AP 至点F ,使得PF = AP ,连结BF ,DF ,CF--------------------------1 分 P 是CD 中点 ∴四边形ACFD 是平行四边形, --------------------------------------------2分 ∴DF=AC=BF , DF ∥AC ,----------------------------------------------------------------4分 ∴∠FDA=C AB=60°-------------------------------------------------------5分 ∴△BDF 是等边三角形-------------------------------------------------6分 可证△ABC ≌△BAF ----------------------------------------------------7分 ∴AP= 12AF=1 2 BC------------------------------------------------------8分 21.(本题12分) 解:(1)当0a b ≤<时,则 22113222 113 222 b a a b ? =-+????=-+?? ,解得13a b =??=? ;------------------3 分 (2)当02a b a +<<时,则21322 113 222b a b ? =????=-+??,解得3964134 a b ?=????=??(矛盾,舍去)----6 分 (3)当02a b b +<<时,则21322 113222 b a a ?=????=-+??,解得2134a b ?=-??= ??, A C D P (第20题) F 由 2 a b b +<<,得 21713 4 a b ?=--? ?=??---------------------------------------------------9分 (4)当0a b <≤时,22113222 113222a a b b ? =-+????=-+??,所以,a b 是一元二次方程 2113 2022 x x +-=的两根,它的两根一正一负,与0a b <≤矛盾,不可能。 综 上 所 述 : 1,3a b ==或 217 a =--, 13 4 b = -------------------------------12分 22.(本题12分) 解:延长BA 、FE 交于点G , AD 是高,EF ⊥BC ∴ AD ∥EF ∴△BAP ∽△BGE ,△BPD ∽△BEF----------------------------------2分 ∴ AP BP PD EG BE EF == ----------------------------------------------------3分 P 为AD 的中点,即AP=PD ∴ EG=EF---------------------------------------------------------------6分 ∠GAE =∠EFC =90,又∠GEA =∠FEC ∴△GAE ∽△CFE-------------------------------------------------------7分 ∴EF EC AE EG = ∴236EF AE EC == ∴EF=6-------------------------------------------------------------------- 9分 EF= 1 2 EC ,∠EFC =90 ∴∠C=30 D P (第22 A B G ∴ BC= 3 AC =分 23.(本题12分) (1)证法一:连结BM AB 是直径,AB ⊥CD 于E ∴ ∠AMB =90,CB DB = -----------------------------------2分 ∴∠CMB=∠DMB ∴ ∠AMD = ∠ FMC .----------------------------------------------------------------4分 证法二:连结AD AB 是直径,AB ⊥CD 于E ∴ CA DA = ∴∠AMD =∠ADC --------------------------------------------2分 四边形ADCM 内接于⊙O ∴∠ADC +∠AMC = 180 ∠AMC +∠FMC = 180 ∴∠FMC =∠ADC ∴ ∠AMD = ∠ FMC .----------------------------------------------------------------4分 (2)①设⊙O 的半径为r ,连结OC BE =2,CD =8 ∴OE =2r -,CE =4 ∴ 222 (2)4r r =-+ ----------------------------------------------------------------6分 解得:5r = -------------------------------------------------------------------------7分 ②由(1)知:∠AMD =∠FMC 同理可得:∠MAD =∠FCM ∴∠MDA =∠MFC 当FM =MC 时,AM =MD B C 如图①,连结MO 并延长交AD 于H 则AH ⊥AD ,AH =HD ,AO =5 ∴OH ∴AM = = ----------------------------------9 分 当FM =FC 时,连结DO 并延长交AM 于G 此时△AOG ≌△DEO ∴AG =DE =4 ∴AM=8----------------------------------------------------------------------------------11分 当MC =FC 时,AM =AD =AC =M 、F 均与C 重合 △CMF 不存在---------------------------------------------------------------------------12分 综上所述:AM=824.(本题14分) 解:(1)这样的跳动之一是:0,1,2,1,0(也可以是0,1,0,1,0)-----------2分 (2)从1a 经2013步到达2014a ,不妨设向右跳了x 步,向左跳了y 步, 则201572020x y x y +=??+-=? ,------------------------------------------------------5 分 解得:2014 1 x y =??=?-----------------------------------------------------------6 分 即向左跳动仅一次,若这次跳动在1999 次 及 以 前 , 则 2000 a =7+1998-1=2004; --------------------------------------------7分 若 这 次 跳 动 在 1999 次 后 , 则 2000a =7+1999=2006--------------------------------------------------8分 (3)因为这个)1(-n 次跳动的情形,能同时满足如下两个条件: ①21=a ,②1a +2a +3a +n a + =2. 经过)1(-k 步跳动到达k a ,假设这)1(-k 步中向右跳了k x 步,向左跳了k y 步, 则k k k y x a -+=2,1-=+k y x k k (2≥k 的正整数)--------------------9分 ∴1a +2a +3a +n a + =2n +(22y x -)+(33y x -)+)(n n y x -+ =2n +2(n x x x x ++++ 432))]()()[(3322n n y x y x y x ++++++- =2n +2(n x x x x ++++ 432))1321(-++++-n =2n +2(n x x x x ++++ 432)2 ) 1(-- n n ∴2(1a +2a +3a +n a + )=n 4+4(n x x x x ++++ 432))1(--n n 2(1a +2a +3a +n a + )=n n 52+-+4(n x x x x ++++ 432) =-∴n n 524(1a +2a +3a +4)-+n a = -∴)5(n n 4 (1a +2a +3a +4)-+n a -------------------------------------------------11分 )5(-∴n n 能被4整除,所以n 被4除的余数为0或---------------------14分