第七章 无穷级数
第七章无穷级数
一、选择题
1．下列关于级数的论述中一定错误的是
(A) 若，则．
(B) 若，则．
(C) 若u
n
≥0，且，则．
(D) 若u
n
≥0，且不存在，则．
2．下列结论正确的是
(A) 发散级数加括弧所成的级数仍发散．
(B) 若加括弧后的级数收敛，则原级数收敛．
(C) 若去括弧后的级数收敛，则原级数收敛。
(D) 若去括弧后的级数发散，则原级数发散．
3．设都是正项级数，且级数收敛，则下列结论正确的是
(A) 若u
n ＞v
n
，则级数发散． (B) 若，则级数收
敛．
(C) 若，则级数收敛． (D) 若，则级数发散．
4．设级数，则下列结论正确的是
(A) 因为，所以与p-级数比较得收敛．
(B) 因为，所以．
(C) 因为，所以收敛．
(D) 因为，所以发散．
5．设正项级数与任意项级数具有关系，则下列结论正确的是
(A) 由收敛推知收敛． (B) 由发散推知发散．
(C) 由收敛推知收敛． (D) 由发散不能断定的敛散性．
6．下列命题中正确的是
(A) 设正项级数发散，则．
(B) 设收敛，则收敛．
(C) 设至少有一个发散，则发散．
(D) 设收敛，则均收敛．
7．下列命题正确的是
(A) 若收敛，则收敛．
(B) 若条件收敛，则发散．
(C) 若收敛，则收敛．
(D) 若，则收敛．
8．下列命题正确的是
(A) 设复敛，则收敛．
(B) 设收敛且n→∞时，a
n ，b
n
是等价无穷小，则收敛．
(C) 设收敛，则．
(D) 设收敛，令，且S
n
为正项级数的前n项部分和(n=1，2，…)，则发散．
9．下列命题正确的是
(A) 若都收敛，则也收敛．
(B) 若收敛，发散，则必发散．
(C) 若收敛，绝对收敛，则绝对收敛．
(D) 若条件收敛，绝对收敛，则条件收敛．
10．已知都发散，则
(A) 必发散． (B) 必发散．
(C) 必发敞． (D) 必发散．
11．设绝对收敛，则
(A) 发散． (B) 条件收敛．
(C) 绝对收敛． (D)
12．对于常数k＞0，级数
(A) 绝对收敛． (B) 条件收敛．
(C) 发散． (D) 的收敛性与k的取值有关．
13．设级数收敛，则其中的常数(A) a=-2，b=1． (B) a=b=1．
(C) a=1，． (D) a=b=-2．
14．设正项级数收敛，且b
n =(-1)n ln(1+a
2n
)(n=1，2，…)，则级数
(A) 发散． (B) 绝对收敛．
(C) 条件收敛． (D) 的敛散性不能仅由所给条件确定．15．下列级数
①②
③④
中收敛的个数是
(A) 1个． (B) 2个． (C) 3个． (D) 4个．
16．设有幂级数，则R为其收敛半径的充要条件是
(A) 当|x|≤R时，收敛，且当|x|＞R时发散．
(B) 当|x|＜R时，收敛，且当|x|≥R时发散．
(C) 当|x|＜R时，收敛，且当|x|＞R时发散．
(D) 当-R＜x≤R时，收敛，且当R＜x或x≤-R时发散．17．下列命题正确的是
(A) 若幂级数的收敛半径为R≠0，则．
(B) 若不存在，则幂级数没有收敛半径．
(C) 若的收敛域为[-R，R]，则幂级数的收敛域为[-R，R]．
(D) 若的收敛域为(-R，R)，则的收敛域可能是[-R，R]．
18．设收敛，则
(A) 条件收敛． (B) 绝对收敛．
(C) 发散． (D) 的敛散性仅由此还不能确定．
19．设幂级数在x=-1处收敛，则此级数在x=1处
(A) 绝对收敛． (B) 发散．
(C) 条件收敛． (D) 的敛散性仅由此不能确定．
20．设幂级数的收敛半径为2，则幂级数的收敛域包含点集
(A) {2，3，4，e}． (B)
(C) {1，5}． (D) {1，2，3，4，5，e}．
21．设在x=1处收敛，则在x=0处
(A) 绝对收敛． (B) 条件收敛．
(C) 发散． (D) 的收敛性取决于{a
n
}的给法．
22．设级数收敛，则级数的收敛半径
(A) R=2． (B) R=3． (C) R＞2．(D) R≥2．
23．下列结论不正确的是
(A) 若函数f(x)在区间[a，a+2π]上导函数连续，则展开成傅里叶级数时，有
(B) 若函数f(x)在区间[-π，π]上有
则必有
(C) 设连续函数f(x)满足f(x)+f(x+π)=0，则f(x)在[-π，π]上展开成傅里叶级数时，必有
a 0=a
2k
=b
2k
=0(k=1，2，…)．
(D) 若函数f(x)满足狄利克雷条件，则必有
其中
24．下列命题
①若函数f(x)为[-π，π]上的奇(偶)函数，则f(x)的傅里叶级数必为正(余)弦级数
②若函数f(x)在[0，π]上有定义，则f(x)的傅里叶级数展开式是唯一的
③设，不论收敛与否，总有
④将函数f(x)=x2(0≤x≤1)做偶延拓，得到
令x=2得
中正确的是
(A) ①、③．(B) ①、④．(C) ②、③．(D) ②、④．
25．将函数在[0，π]上展开为余弦级数，则其和函数在x=0，1，π处的函数值分别为
(A) (B) 0，2，0．
(C) 1，2，π+1． (D)
1．设，则=______．
2．设幂级数的收敛半径是2，则幂级数的收敛半径是
______．
3．设幂级数，则该幂级数的收敛半径等于______．
4．若幂级数的收敛域是(-8，8]，则的收敛半径
R=______，的收敛域是______．
5．已知幂级数当x=-2时条件收敛，则该幂级数的收敛区间为
______．
6．设幂级数的收敛区间为(-2，4)，则幂级数的收敛区间为______．
7．幂级数的收敛域为______．
8．幂级数的收敛域为______．
9．函数展开成x的幂级数及其收敛区间分别为______．10．设函数f(x)=x+|x|(-π≤x≤π)的傅里叶级数展开式为
，则其中系数b
=______．
n
11．设则其以2π为周期的傅里叶级数在x=π处收敛于______，在x=2π处收敛于______．
1．判别下列级数的敛散性：
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)
(Ⅳ)
2．讨论下列级数的敛散性，若收敛，需指出是条件收敛还是绝对收敛，并说明理由．
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)
(Ⅳ)
3．设常数p＞0，试判断级数的敛散性．
4．设b
=1，，讨论级数的敛散性．
1
=1，对于n=1，2，…，设曲线上点处的切线与x轴交5．已知a
1
点的横坐标是a
．
n+1
(Ⅰ)求a
(n=2，3，…)；
n
(Ⅱ)设S
n 是以和(a
n+1
，0)为顶点的三角形的面积，求级数
的和．
6．设u
n
＞0(n=1，2，…)，证明：
(Ⅰ)若存在常数a＞0，使当n＞N时，，则级数收敛；(Ⅱ)若当n＞N时，，则级数发散．
7．设函数f(x)在区间[0，1]上有一阶连续导数且f(0)=0，设
，证明级数绝对收敛．
8．设f(x)在|x|≤1有一阶连续导数且，证明级数
发散而级数收敛．
9．设f(x)是[-1，1]上具有二阶连续导数的偶函数，且f(0)=1，试证明级数
绝对收敛．
10．设函数f(x)在|x|≤1上具有二阶连续导数，当x≠0时f(x)≠0，且当
x→0时f(x)是比x高阶的无穷小．证明级数绝对收敛．
11．求下列幂级数的收敛域：
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)
(Ⅳ)
12．求下列幂级数的和函数：
(Ⅰ) (Ⅱ)
13．已知a
0=3，a
1
=5，且对任何自然数n＞1，，证
明：当|x|＜1时，幂级数收敛，并求其和雨数．
14．分别求幂级数的和函数与幂级数当x≥0时的和函数215．将函数展开为x的幂级数．
16．(Ⅰ)将展开成x-1的幂级数；
(Ⅱ)在区间(-1，1)内将展开为x的幂级数，并求
f(n)(0)．
17．将展开成x的幂级数．
18．求证：
19．将展开成以2π为周期的傅里叶级数．
20．将函数展开成正弦级数，并求级数的和．
一、选择题
1．A
[分析] 由级数发散．而只在级数收敛时才成立，故(A)不正确．应选(A)．
2．C
[分析] 对于(A)：例如级数，它是发散的，但添加括号后的级数
(1-1)+(1-1)+…+(1-1)+…=0+0+…+0+…=0
是收敛的．故(A)不对．
对于(B)：例如级数(1-1)+(1-1)+…收敛于零，但级数1-1+1-1+…却是发散的．故(B)不对，同时也说明(D)也不对．这说明：若加括号后所成的级数收敛，则不能断定去括号后原来的级数也收敛．
由排除法可知，应选(C)．
3．C
[分析] 根据比较原理的极限形式：设有正项级数，又设
，则
1°当0＜l＜+∞时，级数〈A〉与〈B〉有相同的敛散性；
2°当l=0时，若级数〈B〉收敛，则级数〈A〉也收敛；
3°当l=+∞时，若〈B〉发散，则〈A〉也发散．
由此可知(C)正确，应选(C)．
4．D
[分析] 设〈A〉：为正项级数，
1°若，即为有限数，即a
与
n
为同阶无穷小，则p＞1时，〈A〉收敛；p≤1时，〈A〉发散．
2° 若，且p＞1，则〈A〉收敛．
3° 若即a
是比低阶的无穷小，p≤1，则
n
〈A〉发散．由此可知(D)正确．应选(D)．
5．A
[分析] 由于，由比较判别法可知，级数
与级数有相同的敛散性，即由收敛推知收敛．故(A)正确，应选(A)．
6．C
[分析] 对于(A)：令，则正项级数发散，但，故(A)不正确．
=(-)n，则收敛，但发散，所以(B)不正
对于(B)：令a
n
确．
对于(D)：令，则收敛，但发散，所以(D)不正确．
若收敛，则由比较判别法知都收敛，因此
都收敛，矛盾，所以发散，(C)正确．故应选(C)．
7．B
[分析] 令，则收敛，但发散，故(A)不正确．
令u
=(-1)n，则收敛，但发散，所以(C)不正确．
n
令u
n
=(-1)n，则，但发散，所以(D)不正确．
对于(B)，可用反证法证明其成立．若收敛，则
收敛，说明绝对收敛，与题设矛盾．故发散．所以应选(B)．
8．D
[分析] 对于(A)：令，则收敛，但发散，故(A)不对．
对于(C)：令，则收敛，但
，故(C)不对．
对于(B)：令，则收敛且当
n→∞时a
n 与b
n
是等价无穷小，但发散，故(B)也不对．
对于(D)：由于收敛，根据收敛的必要条件可得，又
，所以，故发散．因此选(D)．
9．C
[分析] 令，则都收敛，但
发散，所以(A)不正确．
令，则收敛，发散，而
绝对收敛，所以(B)、(D)不正确．
事实上，由于收敛，所以，因此数列{a
n
}有界，不妨假设存
在M＞0，对任意的n都有|a
n |≤M，从而|a
n
b
n
|≤M|b
n
|，又绝对收敛，
从而根据正项级数的比较判别法知，收敛，所以绝对收敛．故应选(C)．
10．C
[分析] 取，则
都收敛．
又因为都发散，故都是发散的正项级数，从而必发散．故应选(C)．
11．C
[分析] 由于绝对收敛，所以，从而存在正整数N，当n＞N 时，有，而，所以，由正项级数的比较判别法可得都收敛．故(A)不成立，而(C)成立．
令，则绝对收敛，但(B)、(D)不成立，所以应选(C)．
12．B
[分析] 因为数列单调下降，且，故级数
收敛．但
，由于，而发散，因此条件收敛．故应选(B)．
13．A
[分析] 由于[lnn+aln(n+1)+bln(n+2)]
由题设知，故应选(A)．
14．B
[分析] 由于正项级数收敛，所以正项级数收敛，从而
，因此有|b
n |=|(-1)n|ln(1+a
2n
)|～a
2n
(n→∞)，由正项级数的比较判
别法可知绝对收敛．应选(B)．
15．C
[分析]对，由于，所以该级数收敛．
对，由于，而级数
收敛，故该级数收敛．
对级数，由于，所以n充分大时
ln(lnn)2lnlnlnn＜lnn，从而．由于发散，所以该级数发散．
由于，所以级数
条件收敛．
16．C
[分析] 由幂级数的收敛半径的定义：“如果幂级数不是仅在x=0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R存在，使得：(i)当|x|＜R时，幂级数绝对收敛；(ii)当|x|＞R时，幂级数发散；(iii)当x=R 与x=-R时，幂级数可能收敛也可能发散，则称正数R为该幂级数的收敛半径．”可知，(C)正确，应选(C)．
17．D
[分析] 对任意的幂级数都存在收敛半径，收敛半径R可为R=+∞，0＜R＜+∞，或R=0，因此(B)不正确．
对任意的幂级数不一定存在．例如，收敛半
径为，由于a
2n =2n，a
2n+1
=0，于是不存在，因此(A)也不正
确．
(C)也不正确，如收敛域为[-1，1]，但收敛域为[-1，1)．
事实上，若，则其收敛域为(-1，1)，而
的收敛域为[-1，1]，所以应选(D)．
18．B
[分析] 考察幂级数，由于收敛，所以幂级数
在x=-2处收敛，根据阿贝尔定理可得当|x|＜|-2|时，对应的幂级数都绝对收
敛，所以当x=1时，对应的幂级数绝对收敛，而此时对应级数为．所以应选(B)．
19．A
[分析] 根据阿贝尔定理可得：当|2x-1|＜|-2-1|=3时，幂级数绝对收敛．而当x=1时|221-1|＜3，因此与x=1对应的级数绝对收敛．故应选(A)．
20．A
[分析] 由于有相同的收敛半径，所以当|x-3|＜2时
级数3)n绝对收敛，显然只有集合{2，3，4，e}中的点都满足不等式|x-3|《2，因此应选(A)．
21．D
[分析] 令，则级数在x=1处收敛，而
在x=0处对应的级数发散．所以选项(A)，(B)不正确．
又如，则级数在x=1处收敛，而在
x=0处对应的级数收敛．所以选项(C)不正确．
由排除法可知应选(D)．
22．D
[分析] 由于收敛，所以级数在x=-1处收敛，根据阿贝尔定理得：当|x-1|＜2时，对应的级数都绝对收敛，再根据收敛半径的定义可知R≥2，故选(D)．
23．
[分析] 对于(A)：将函数f(x)作周期延拓，所得周期函数仍记为f(x)，则
f(x)cosx是周期为2π的周期函数，从而积分与a无关(事实上，=f(a+2π)cos(na+2nπ)-f(a)cosna=0)．令a=-π，则
同理可证：
故(A)正确．
对于(B)：设，则
应用三角函数系的正交性可得
代入上述不等式，整理得
式中右端为一与m无关的数，这说明级数
收敛，于是，即．故(B)正确．对于(C)：据题设知函数f(x)是周期为2π的连续函数，则
两式相加，由于f(x)+f(x+π)=0，则
可得a
0=a
2k
=b
2k
=0 (k=1，2，…)．故(C)也正确．
对于(D)：若函数f(x)满足狄利克雷条件，则有
其中，当x为f(x)的连续点时，
第十章无穷级数
第10章 无穷级数 【学习目标】 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 【能力目标】 【教学重点】 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式； 【教学难点】 1、 比较判别法的极限形式； 2、 莱布尼茨判别法；
3、 任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、 函数项级数的收敛域及和函数； 5、 泰勒级数； 【教学方法】 启发式、引导式 【教学课时分配】 (18学时) 第1 次课 §１ 第2 次课 §2 第3 次课 §3 第4 次课 §4 第5次课 §5 第6次课 §6 第7次课 §7 第8次课 §8 第9次课 习题课 10. 1 常数项级数的概念和性质 一、无穷级数的概念 定义10.1 设有无穷序列 123,,, ,, n u u u u ??????, 则由此序列构成的表达式 123 n u u u u +++???++???称为无穷级数, 简称级数, 记为∑∞ =1 n n u , 即 3211 ???++???+++=∑∞ =n n n u u u u u , 其中第n 项n u 叫做级数的一般项. 如果(1,2,...)n u n =都为常数，则称该级数为常数项级数，简称数项级数；如果 (1,2,...)n u n =为变量x 的函数()n u x ，则称该级数为函数项级数. 二、数项级数的敛散性概念 级数的部分和: 作级数∑∞ =1n n u 的前n 项和
同济第六版《高等数学》教案WORD版-第11章 无穷级数
第十一章 无穷级数 教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函 数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 教学难点： 1、比较判别法的极限形式； 2、莱布尼茨判别法； 3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、函数项级数的收敛域及和函数；
第10章 无穷级数习题详解
第十章 无穷级数 习题10-1 3. 判定下列级数的敛散性: （1）∑∞ =- +1)1(n n n ; （2）∑ ∞ =+-1 ) 12)(12(1 n n n ; （3） ++++?+?) 1(13212 11n n ; （4） ++++6 πsin 6 π2sin 6 πsin n ; （5）∑∞ =+ +-+1 )122(n n n n ; （6） ++ + + 4 3 3 1 3 1 3 13 1; （7）2 2 111111()()()323 2 3 2 n n -+-++- + ; （8） ++-+++++1 2129 77 55 33 1n n ; （9）)(1 21 12-∞ =+- ∑n n n a a （0a >）; (10) ++ + ++ + + ++ n n ) 11(1) 311(1) 211(11 1113 2 . 解（1）因为 11)1()34()23()12(-+= - +++- +- +-=n n n S n 当 ∞→n 时，∞→n S ，故级数发散. （2）因为 )1211 21 ( 21 )12)(12(1 +- -= +-n n n n ) 12)(12(1 7 515 313 11 +-+ +?+ ?+?= n n S n )]1 211 21 ( )5 131()3 11[(2 1+- -+- +-=n n ]1 21 1[2 1+- = n , 当∞→n 时，2 1→n S ，故级数收敛. (3) 因为 1 11) 1(1+-= +n n n n ， ) 1(14 313 212 11++ +?+ ?+?= n n S n
高数第七章无穷级数知识点
高数第七章无穷级数知识 点 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第七章 无穷级数 一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）： 1、形如∑∞ =-11 n n aq 的几何级数（等比级数）：当1p 时收敛，当1≤p 时发散。 3、? ≠∞ →0lim n n U 级数发散； 级数收敛 lim =?∞ →n n U 4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数 ∑∞ =1 n n U ，满 足条件l U U n n n =+∞→1 lim ： 当1
6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。（通过不等式的放缩） 推论：若∑∞ =1n n U 与∑∞ =1 n n V 均为正项级数，且 l V U n n n =∞→lim （n V 是已知敛散 性的级数) 若+∞< 高等数学教案1 第十一章 无穷级数 编写人:吴炯圻 I. 授课题目: 第一节 常数项级数的概念和性质 Ⅱ.教学目的与要求 1、了解常数项级数的概念及其产生的背景； 2、掌握收敛级数的基本性质； 3、会采用级数敛散的定义或收敛级数的基本性质判断较简单级数的敛散性； 4、了解柯西审敛原理。 Ⅲ.教学重点与难点： 重点：级数收敛与发散的定义; 收敛级数的基本性质。 难点：无穷个数量求和与有限个量求和的差别。 关键: 1.会把级数的问题转化为部分和序列来处理; 2.熟悉数列的收敛与发散的判别. Ⅳ.讲授内容： 第一节 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念及其产生的背景 1．古代人如何求圆的面积? 我国古代数学家刘徽已经利用无穷级数的思想来计算圆的面积. 在半径为1的圆内作内接正六边形, 其面积记 为1a , 它是圆面积A 的一个近似值. 再以这正六边 形的每一边为底边分别作一个顶点在圆周上的等腰 三角形 (图1-1) , 算出这六个等腰三角形的面积之 和2a . 那么21a a (即内接正十二边形的面积)也是 图1-1 A 的一个近似值, 其近似程度比正六边形的好. 同样 地, 在这正十二边形的每一边上分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形, 算出这十二个等腰三角形的面积之和3a . 那么321a a a ++(即内接正二十四边形的面积)是A 的一个更好的近似值. 如此继续进行n 次, 当n 是较大的整数时，得到的正多边形的面积 n n a a a s +++=Λ21就很接近A 的值了. 2．常数项级数的概念 古代数学家刘徽时代，人们只懂求有限个量之和，没有极限的概念，仅能把求圆面积的步骤和准确性停留在有限的数n 上。 随着科学的进步，人们认识的提高，人们自然认为，当n 无限增大时，则 n n a a a s +++=Λ21的极限就是圆的面积A ，即 )(lim lim 21n n n n a a a s A Λ++==∞ →∞ →. (1.1) 这时，上式右边括号中的项数无限增多，出现了无穷个数量累加的式子。 一般地, 给定一个数列 ΛΛ,,,,,321n u u u u , 则由这数列构成的表达式 ΛΛ+++++n u u u u 321 (1.2) 叫做(常数项)无穷级数, 简称(常数项)级数, 记为 ∑∞ =1 n n u , 即 ∑∞ =1 n n u ΛΛ+++++=n u u u u 321, 其中第n 项u n 叫做级数的一般项或通项. 上述级数的定义只是一个形式的定义，怎样理解无穷级数中无穷多个数量相加呢？ 联系上面计算圆的面积的例子，即（1.1）式，用有限项的和S n 的极限来定义无穷多个数量相加的“和”，我们自然要问，对一般的级数是否也可以这样做？ 这个思路是对的。 为此，我们把级数(1.2)的前n 项之和s n = u 1+u 2 +…+u n 称为级数(1.1)的部分和, n 依次取 1,2,L 时得数列 s 1, u 2 ,…, u n … 称为级数的部分和数列. 在上面求面积的例子中，部分和数列收敛（为什么？），并由此求得面积, 即求得无穷多个量之和12....n a a a A ++++=L 。 但是，能否由此推断, 所有级数的部分和数列收敛都收敛? (提问, 允许各种猜测.) 事实上, 正像一般的数列未必收敛一样，部分和数列也未必收敛。例如 1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+……=1 1(1)n n -∞ =-∑. 其部分和数列是：1，0，1，0，…….,它显然不收敛。 第七章 无穷级数 一、本章的教学目标及基本要求： （1） 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性 质和收敛的必要条件。 （2） 掌握几何级数与p —级数的收敛性。 （3） 会用正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 （4） 会用交错级数的莱布尼茨定理。 （5） 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 （6） 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 （7） 掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 （8） 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。 （9） 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 （10） 掌握函数α )1(),1ln(,cos ,sin ,x x x x e x +-的麦克劳林展开式，会用它们 将一些简单函数间接展开成幂级数。 （11） 了解傅氏级数的概念以及函数展开成傅氏级数的狄利克雷定理，会将定义 在],[l l -上的函数展开成傅氏级数，会将定义在],0[l 上的函数展开成正弦级数与余弦级数，会写出傅氏级数的和的表达式。 二、本章教学内容的重点和难点： 重点：无穷级数的收敛与发散，正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径与收敛区间的求 法． 难点：正项级数的审敛法，幂级数展开，傅立叶级数展开． §7.1 常数项级数的概念及性质 一、内容要点 1、常数项级数概念： 常数项级数、部分和、级数的收敛与发散、余项； 2、收敛级数的基本性质及收敛的必要条件： 性质1：若级数∑∞= 1 n n u 收敛于和s ，则级数∑∞ =1 n n ku 也收敛，且其和为ks ．(证明) 性质2：若级数 ∑∞=1 n n u 、∑∞= 1 n n v 分别收敛于和s 、σ，则级数()∑∞ =+1 n n n v u 也收敛，且其和为s ±σ．(证明) 性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．(证明) 性质4：若级数∑∞ = 1 n n u 收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．(证明)； 性质5(级数收敛的必要条件)：若级数 ∑∞ = 1 n n u 收敛，则它的一般项u n 趋于零，即 第七章 无穷级数 本章有四个问题： 1． 数项级数敛散性； 2． 幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域； 3． 求和函数； 4． 将函数展成麦克老林级数。 7.1数项级数敛散性的判别方法 一 基本概念 1. 级数收敛：令121 n n n k k s u u u u ==+++=∑ ，若lim n n s s →∞ =，则称级数 1 n n u ∞ =∑收敛， 若不然，则称 1 n n u ∞ =∑发散； 2．绝对收敛：若1 n n u ∞ =∑收敛，则称 1 n n u ∞ =∑为绝对收敛； 3. 条件收敛：若 1 n n u ∞ =∑发散，而 1 n n u ∞ =∑收敛，则称 1 n n u ∞ =∑为条件收敛； 二 基本结论 1．级数 1 n n u ∞ =∑收敛的必要条件lim 0n n u →∞ =。 2. 等比级数1 n n aq ∞ =∑的公比的绝对值小于1时，级数收敛，其和等于1减公比分之首项。 3. p 级数 11 p n n ∞ =∑，当1p >时，收敛；当1p ≤时，发散。 三 基本方法 1．正项级数敛散性的判别方法 （1）比较判别法： 一般形式：若n n u v ≤（n N >），则 若 1 n n v ∞ =∑收敛，则 1 n n u ∞ =∑收敛；若 1 n n u ∞ =∑发散，则 1 n n v ∞ =∑ 发散。 极限形式：如果0n v ≠，且 lim n n n u l v →∞=， （I ）当0l <<∞时，则 1n n u ∞ =∑和 1 n n v ∞ =∑具有相同的敛散性。 （II ）当0l =时，则 1 n n v ∞ =∑收敛， 1 n n u ∞=∑也收敛。 （III ）当l =∞时，则 1 n n u ∞ =∑发散， 1 n n v ∞ =∑也发散。 第十章 无穷级数 1．判断下列级数的敛散性： （1）Λ Λ++++?+?)2(1421311n n （2）Λ Λ++++++)31 21()3121()3121(22n n （3） Λ Λ++++++2cos 5cos 4cos 3 cos n π π π π 解：（1）由 )211(21+-=n n u n ，所以43)2111211(21→ +-+-+=n n S n （∞→n ） 故原级数收敛，且其和为43 。 （2）由 ΛΛ+++++++)31 21()3121()3 121(22n n ∑∞ =+=1) 3121(n n n 而级数∑∞=121n n 及∑∞ =131n n 均收敛，故原级数收敛。 （3）由0 12 cos ≠→+=n u n π ，（∞→n ），故原级数发散。 注：应用（1）中的技巧，可得对任何自然数p ，有： )1211(1)(1 p p p n n +++= +∑Λ。 2．判别下列级数的敛散性。 （1）)1ln(1∑∞ =+n n π （2）∑∞ =?11 n n n n （3）∑∞ =-+12)1(2n n n （4）)1sin (10∑?∞ =+n n dx x x π （5）∑∞ =1!n n n n （6）∑∞=+++12)1()1)(1(n n n x x x x Λ（0≥x ） （7）n n n a b ∑∞ =1)(，其中a a n →，a b a n ,,皆为正数，0≠a 。 解：（1）由 n n u n π π~)1ln(+= （∞→n ），又 ∑∞ =1n n π 发散，故由比较判别法知， 原级数发散。 （2）由 1111 →=?n n n n n n （∞→n ），又 ∑∞ =11 n n 发散，故由比较判别法的极限形式 可知，原级数发散。 （3）法1： n n n n n u )21(2 12)1(21 -+=-+= -，而∑∞ =-1121 n n 及 n n ∑∞ =-1)21 (均收敛，故原级数 第七章 无穷级数 一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）： 1、形如∑∞ =-11 n n aq 的几何级数（等比级数）：当1 推论：若∑∞ =1n n U 与∑∞ =1 n n V 均为正项级数，且l V U n n n =∞→lim （n V 是已知敛散 性的级数) ①若+∞< 第十章 无穷级数 【考试要求】 1．理解级数收敛、发散的概念．掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质． 2．掌握正项级数的比值审敛法．会用正项级数的比较审敛法． 3．掌握几何级数、调和级数与 p 级数的敛散性． 4．了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法． 5．了解幂级数的概念，收敛半径，收敛区间． 6．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐项积分）． 7．掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法． 【考试内容】 一、常数项级数的相关概念 1．常数项级数的定义 一般地，如果给定一个数列 1u ，2u ，L ，n u ，L ，则由这数列构成的表达式 123n u u u u +++++L L 叫做常数项无穷级数，简称常数项级数或级数，记为 1 n n u ∞ =∑，即 1231 n n n u u u u u ∞ ==+++++∑L L ，其中第n 项n u 叫做级数的一般项． 2．常数项级数收敛、发散的概念 作常数项级数 1 n n u ∞ =∑的前n 项和121 n n n i i s u u u u ==+++=∑L ，n s 称为级数 1 n n u ∞ =∑的部分和，当n 依次取1,2,3,L 时，它们构成一个新的数列 11s u =，212s u u =+，3123s u u u =++，L ， 12n n s u u u =+++L ，L ． 如果级数 1 n n u ∞ =∑的部分和数列{}n s 有极限s ，即lim n n s s →∞ =，则称无穷级数1 n n u ∞ =∑收敛，这时极限s 叫做这级数的和，并写成 123n s u u u u =+++++L L 或者 1 n n u s ∞ ==∑；如果{}n s 没有极限，则称无穷级数1 n n u ∞ =∑发散． 3．收敛级数的基本性质 （1）如果级数 1 n n u ∞ =∑收敛于和s ，则级数 1 n n ku ∞ =∑也收敛，且其和为ks ．一般地，级数 的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变． （2）如果级数 1 n n u ∞=∑、1 n n v ∞ =∑分别收敛于和s 、σ，则级数 1 ()n n n u v ∞ =±∑也收敛，且 其和为s σ±． （3）在级数 1n n u ∞ =∑中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性． （4）如果级数 1n n u ∞=∑收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变． （5）如果级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则它的一般项n u 趋于零，即lim 0n n u →∞ =． 说明：此条件称为级数收敛的必要条件．由原命题成立逆否命题一定成立可得，如果lim n n u →∞ 不为零，则级数 1 n n u ∞ =∑一定发散． 4．几个重要的常数项级数 （1）等比级数 级数 2 1 n n n q q q q ∞ ==++++∑L L 或 20 1n n n q q q q ∞ ==+++++∑L L 称为等比级数或几何级数，其中q 叫做级数的公比．其收敛性为：当1q <时，级数收敛； 当 1q ≥时级数发散． （2）调和级数 第十二章 数 项 级 数 教学目的：（1）理解敛散性概念、级数收敛的性质，熟练求一些级数的和；（2）熟练利用正项级数的收敛原理，比较判别法，Cauchy 、D`Alembert 判别法及其极限形式，积分判别法判别正项级数的敛散性；（3）理解Leibniz 级数，熟练利用Leibniz 级数，Abel 、Dirichlet 判别法判别一般级数的敛散性。 教学重点：上、下极限及其性质，数项级数及其敛散性概念，级数的基本性质，正项级数的判别法，任意项级数的判别法。 教学难点：判别法的应用。 主要教学方法：充分利用教材，采用启发式的课堂教学与讨论相结合的形式组织教学，注意讲授课时与习题课课时的分配，精讲多练，保证必要的习题量。同时，充分利用多媒体辅助教学，注重物理知识背景、几何意义的介绍和数学方法的应用，提高教学效果。 §1 级数的收敛性 1． 级数概念 在初等数学中，我们知道：任意有限个实数n u u u ,,,21 相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论——无限多个实数相加——级数——所可能出现的情形及特征。如 +++++n 2 1 21212132 从直观上可知，其和为1。 又如， +-++-+)1(1)1(1。 其和无意义； 若将其改写为： +-+-+-)11()11()11( 则其和为：0； 若写为： ++-++-+]1)1[(]1)1[(1 则和为：1。（其结果完全不同）。 问题：无限多个实数相加是否存在和； 如果存在，和等于什么。 定义1 给定一个数列{}n u ，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式 +++++n u u u u 321 （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为级数（1）的通项。 级数（1）简记为：∑∞ =1 n n u ，或 ∑n u 。 2． 级数的收敛性 同济第六高等数学教案 版无穷级数 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98- 第十一章无穷级数教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 教学难点： 1、 比较判别法的极限形式； 2、 莱布尼茨判别法； 3、 任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、 函数项级数的收敛域及和函数； 5、 泰勒级数； 第十章 无穷级数 一、概念 1.定义 无穷数列}{n u 中：∑∞ == ++++1 21......n n n u u u u 无穷数列}{n u 的各项之和 ∑∞ =1 n n u 叫无穷级数， 简称级数。n u 叫 ∑∞ =1 n n u 的一般项（通项）； ......21++++n u u u 为展开式。 【例】 ① ∑∞ =++++?+?=+1 ...)1(1 ...321211)1(1n n n n n ② ...ln ...3ln 2ln 1ln ln 1+++++=∑∞ =n n n ③ (323) 2 1++++=∑∞ =n n n ne e e e ne ④......32321++++=∑ ∞ =n x x x x n x n n n 2.级数的分类 ???? ? ?? ? ?=∑∞=),1x u u u n n n n （其中函数项级数：（数项级数）是具体数字常数项级数：每一项都 ①两个特殊的数项级数 ??? ???? ≥?-≥∑∑∞ =∞ =0,1011 n n n n n n n u u u u ）（交错级数：中，正项级数： ②一个特殊的函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 中，n n n x a x u ?=)(（常数乘以x 的 幂级数），即 ∑∞ =1 n n n x a 称为幂级数。 3.级数 ∑∞ =1 n n u 的收敛与发散 前n 项和n n u u u S +++= (21) 数列}{n S 叫∑∞ =1 n n u 的部分和数列。 敛散性： ?? ? ?? ?? ? ??? =→∑∑∑∑∞ =→∞ ∞ =∞=∞ =→∞ →∞发散不存在，则若分和数列的极限）要求级数的和，即求部的和，记为叫收敛，则存在（若11 11 lim ()lim lim n n n n n n n n n n n n n n u S S u u S u S S S 【例】① ∑∞ =+1) 1(1n n n 1 11)111(...)3121()211() 1(1 ...321211+- =+-++-+-=+++?+?= n n n n n S n 1lim =∞ →n n S ，∑ ∞ =+∴1) 1(1 n n n 收敛 ② ∑∞ =1 ln n n !ln ln ...2ln 1ln n n S n =+++= +∞=∞ →n n S lim ，∑∞ =∴1 ln n n 发散 4.几何级数与-p 级数 （1） ∑∞ =-1 1 n n aq 几何级数，首项a ，公比q q q a aq aq a S n n n --=++=-1)1( (1) ∞→n 时： 第十一章 无穷级数 教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 教学难点： 1、比较判别法的极限形式； 2、莱布尼茨判别法； 3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、函数项级数的收敛域及和函数； 高数第七章无穷级 数知识点 第七章 无穷级数 一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）： 1、形如∑∞ =-11n n aq 的几何级数（等比级数）：当1 6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。（通过不等式的放缩） 推论：若∑∞ =1 n n U 与 ∑∞ =1 n n V 均为正项级数，且 l V U n n n =∞→lim （n V 是已知敛散 性的级数) ①若+∞< 第10章 无穷级数 一、常数项级数的概念 常数项级数 设给定一个数列12,,,, n u u u ，表达式 1 n n u ∞ =∑称为常数项无穷级 数．121n n s u u u u =+++ +称为该级数的（前n 项）部分和． 级数收敛 如果部分和数列{}n s 有极限，即若lim n n s s →∞ =，则称该级数收敛，s 为其和，并记为 1 n n u s ∞ ==∑，否则，称级数发散． 二、常数项级数性质 （1）如果级数 1n n u ∞ =∑收敛于s ，则级数 1 n n ku ∞ =∑（k 为常数）也收敛，且收敛于ks ； （2）如果级数 1 1 , n n n n u v ∞ ∞ ==∑∑分别收敛于s 和σ，a 和b 为任意实数，则 1 ()n n n au bv ∞ =+∑也 收敛，且收敛于as b σ+； （3） 在级数中去掉（加上或改变有限项），级数敛散性不变； （4） 收敛级数加括号后仍然收敛，且收敛于原来的和； （5） 级数 1 n n u ∞ =∑收敛的必要条件是：0lim =∞ →n n u ． 三、常数项级数的审敛法 1.正项级数 收敛充要条件 数列{}n s 有上界 1 n n u ∞ =∑收敛。 比较审敛法 n n v u ≤（1,2, n =），当 1 n n v ∞ =∑收敛时? 1 n n u ∞ =∑收敛； 当 ∑∞ =1 n n u 发散时? ∑∞ =1n n v 也发散。 （极限形式） lim n n n u l v →∞=，当0l <<+∞时， 1n n u ∞ =∑与 ∑∞=1 n n v 同时收敛或发散； 当0l =时，若 1 n n v ∞ =∑收敛? 1 n n u ∞=∑必收敛； 当l =+∞时，若 1 n n u ∞ =∑发散? 1 n n v ∞ =∑必发散。 第 十一章 无穷级数 教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函 数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 教学难点： 1、 比较判别法的极限形式； 2、 莱布尼茨判别法； 3、 任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、 函数项级数的收敛域及和函数； 微积分第七章无穷级 数 第七章无穷级数 一、本章的教学目标及基本要求： （1）理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本 性质和收敛的必要条件。 （2）掌握几何级数与p—级数的收敛性。 （3）会用正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 （4）会用交错级数的莱布尼茨定理。 （5）了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 （6）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 （7）掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 （8）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。 （9）了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 （10）掌握函数?Skip Record If...?的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 （11）了解傅氏级数的概念以及函数展开成傅氏级数的狄利克雷定理，会将定义在?Skip Record If...?上的函数展开成傅氏级数，会将定义在?Skip Record If...?上的函数展开成正弦级数与余弦级数，会写出傅氏级数的和 的表达式。 二、本章教学内容的重点和难点： 重点：无穷级数的收敛与发散，正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径与收敛区间的求法． 难点：正项级数的审敛法，幂级数展开，傅立叶级数展开． §7.1常数项级数的概念及性质 一、内容要点 1、常数项级数概念： 常数项级数、部分和、级数的收敛与发散、余项； 2、收敛级数的基本性质及收敛的必要条件： 性质1：若级数?Skip Record If...?收敛于和s，则级数?Skip Record If...?也收敛，且其和为ks．(证明) 性质2：若级数?Skip Record If...?、?Skip Record If...?分别收敛于和s、σ，则级数?Skip Record If...?也收敛，且其和为s±σ．(证明) 性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．(证明) 性质4：若级数?Skip Record If...?收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．(证明)； 江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷 （江西师大附中使用）高三理科数学分析 一、整体解读 试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。 1．回归教材，注重基础 试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。 2．适当设置题目难度与区分度 选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。 3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察 在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。 二、亮点试题分析 1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC → → =，则A BA C →→ ?的最小值为（ ） A ．1 4- B ．12- C ．34- D ．1- 第十二章数项级数 教学目的：1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具；2.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；3.理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。 教学重点难点：本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别；难点是一般级数敛散性的判别法。 教学时数：18学时 §1 级数的收敛性 一．概念： 1．级数：级数，无穷级数; 通项( 一般项, 第项), 前项部分和等概念( 与中学的有关概念联系). 级数常简记为. 2.级数的敛散性与和: 介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想 . 以在中学学过的无穷等比级数为蓝本, 定义敛散性、级数的和、余 和以及求和等概念 . 例1讨论几何级数的敛散性.（这是一个重要例题！） 解时, . 级数收敛; 时, 级数发散; 时, , , 级数发散; 时, , , 级数发散 . 综上, 几何级数当且仅当时收敛, 且和为( 注意从0开始). 例2讨论级数的敛散性. 解（利用拆项求和的方法） 例3讨论级数的敛散性. 解设, , = , . , . 因此, 该级数收敛. 例4 讨论级数的敛散性. 解, . 级数发散. 3.级数与数列的关系: 对应部分和数列{}, 收敛{}收敛; 对每个数列{}, 对应级数, 对该级数, 有=. 于是,数列{}收敛级数收敛. 可见, 级数与数列是同一问题的两种不同形式 . 4. 级数与无穷积分的关系: , 其中. 无穷积分可化为级数; 对每个级数, 定义函数, 易见有 =.即级数可化为无穷积分. 综上所述, 级数和无穷积分可以互化, 它们有平行的理论和结果 . 可以用其中的一个研究另一个 .教案1无穷级数概念与性质
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